河南省卢氏县实验高中2025届高三数学第一学期期末学业质量监测试题含解析

河南省卢氏县实验高中2025届高三数学第一学期期末学业质量监测试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．若的展开式中含有常数项，且的最小值为，则（）A． B． C． D．2．根据散点图，对两个具有非线性关系的相关变量x，y进行回归分析，设u=lny，v=(x-4)2，利用最小二乘法，得到线性回归方程为=0.5v+2，则变量y的最大值的估计值是（）A．e B．e2 C．ln2 D．2ln23．已知等差数列的前n项和为，，则A．3 B．4 C．5 D．64．关于圆周率，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的蒲丰实验和查理斯实验.受其启发，某同学通过下面的随机模拟方法来估计的值：先用计算机产生个数对，其中，都是区间上的均匀随机数，再统计，能与构成锐角三角形三边长的数对的个数﹔最后根据统计数来估计的值.若，则的估计值为（）A． B． C． D．5．在中，“”是“为钝角三角形”的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件6．已知三棱锥且平面，其外接球体积为（）A． B． C． D．7．二项式的展开式中，常数项为（）A． B．80 C． D．1608．已知，则（）A．2 B． C． D．39．己知，，，则（）A． B． C． D．10．某几何体的三视图如图所示，图中圆的半径为1，等腰三角形的腰长为3，则该几何体表面积为（）A． B． C． D．11．已知等比数列的各项均为正数，设其前n项和，若（），则（）A．30 B． C． D．6212．若点(2，k)到直线5x-12y+6=0的距离是4，则k的值是()A．1 B．-3 C．1或 D．-3或二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知为椭圆内一定点，经过引一条弦，使此弦被点平分，则此弦所在的直线方程为________________．14．若变量x，y满足：，且满足，则参数t的取值范围为_______.15．在平面直角坐标系中，双曲线的焦距为，若过右焦点且与轴垂直的直线与两条渐近线围成的三角形面积为，则双曲线的离心率为____________.16．假设10公里长跑，甲跑出优秀的概率为，乙跑出优秀的概率为，丙跑出优秀的概率为，则甲、乙、丙三人同时参加10公里长跑，刚好有2人跑出优秀的概率为________．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）手工艺是一种生活态度和对传统的坚持，在我国有很多手工艺品制作村落，村民的手工技艺世代相传，有些村落制造出的手工艺品不仅全国闻名，还大量远销海外.近年来某手工艺品村制作的手工艺品在国外备受欢迎，该村村民成立了手工艺品外销合作社，为严把质量关，合作社对村民制作的每件手工艺品都请3位行家进行质量把关，质量把关程序如下：（i）若一件手工艺品3位行家都认为质量过关，则该手工艺品质量为A级；（ii）若仅有1位行家认为质量不过关，再由另外2位行家进行第二次质量把关，若第二次质量把关这2位行家都认为质量过关，则该手工艺品质量为B级，若第二次质量把关这2位行家中有1位或2位认为质量不过关，则该手工艺品质量为C级；（iii）若有2位或3位行家认为质量不过关，则该手工艺品质量为D级.已知每一次质量把关中一件手工艺品被1位行家认为质量不过关的概率为，且各手工艺品质量是否过关相互独立.（1）求一件手工艺品质量为B级的概率；（2）若一件手工艺品质量为A,B,C级均可外销，且利润分别为900元，600元，300元，质量为D级不能外销，利润记为100元.①求10件手工艺品中不能外销的手工艺品最有可能是多少件；②记1件手工艺品的利润为X元，求X的分布列与期望.18．（12分）已知A是抛物线E：y2＝2px(p>0)上的一点，以点A和点B(2,0)为直径两端点的圆C交直线x＝1于M，N两点.（1）若|MN|＝2，求抛物线E的方程；（2）若0＜p＜1，抛物线E与圆(x﹣5)2+y2=9在x轴上方的交点为P，Q，点G为PQ的中点，O为坐标原点，求直线OG斜率的取值范围.19．（12分）若关于的方程的两根都大于2，求实数的取值范围．20．（12分）已知椭圆：（），四点，，，中恰有三点在椭圆上.（1）求椭圆的方程；（2）设椭圆的左右顶点分别为.是椭圆上异于的动点，求的正切的最大值.21．（12分）在平面直角坐标系中，点，直线的参数方程为为参数），以坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．（1）求曲线的直角坐标方程；（2）若直线与曲线相交于不同的两点是线段的中点，当时，求的值．22．（10分）在三棱柱中，，，，且.（1）求证：平面平面；（2）设二面角的大小为，求的值.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】展开式的通项为，因为展开式中含有常数项，所以，即为整数，故n的最小值为1．所以.故选C点睛：求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第项，再由特定项的特点求出值即可.(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第项，由特定项得出值，最后求出其参数.2、B【解析】

将u=lny，v=(x-4)2代入线性回归方程=-0.5v+2，利用指数函数和二次函数的性质可得最大估计值.【详解】解：将u=lny，v=(x4)2代入线性回归方程=0.5v+2得：，即，当时，取到最大值2，因为在上单调递增，则取到最大值.故选：B.【点睛】本题考查了非线性相关的二次拟合问题，考查复合型指数函数的最值，是基础题,.3、C【解析】

方法一：设等差数列的公差为，则，解得，所以.故选C．方法二：因为，所以，则.故选C．4、B【解析】

先利用几何概型的概率计算公式算出，能与构成锐角三角形三边长的概率，然后再利用随机模拟方法得到，能与构成锐角三角形三边长的概率，二者概率相等即可估计出.【详解】因为，都是区间上的均匀随机数，所以有，，若，能与构成锐角三角形三边长，则，由几何概型的概率计算公式知，所以.故选：B.【点睛】本题考查几何概型的概率计算公式及运用随机数模拟法估计概率，考查学生的基本计算能力，是一个中档题.5、C【解析】分析：从两个方向去判断，先看能推出三角形的形状是锐角三角形，而非钝角三角形，从而得到充分性不成立，再看当三角形是钝角三角形时，也推不出成立，从而必要性也不满足，从而选出正确的结果.详解：由题意可得，在中，因为，所以，因为，所以，，结合三角形内角的条件，故A,B同为锐角，因为，所以，即，所以，因此，所以是锐角三角形，不是钝角三角形，所以充分性不满足，反之，若是钝角三角形，也推不出“，故必要性不成立，所以为既不充分也不必要条件，故选D.点睛：该题考查的是有关充分必要条件的判断问题，在解题的过程中，需要用到不等式的等价转化，余弦的和角公式，诱导公式等，需要明确对应此类问题的解题步骤，以及三角形形状对应的特征.6、A【解析】

由,平面,可将三棱锥还原成长方体,则三棱锥的外接球即为长方体的外接球,进而求解.【详解】由题,因为,所以,设,则由,可得,解得,可将三棱锥还原成如图所示的长方体,则三棱锥的外接球即为长方体的外接球,设外接球的半径为,则,所以,所以外接球的体积.故选:A【点睛】本题考查三棱锥的外接球体积,考查空间想象能力.7、A【解析】

求出二项式的展开式的通式，再令的次数为零，可得结果.【详解】解：二项式展开式的通式为，令，解得，则常数项为.故选：A.【点睛】本题考查二项式定理指定项的求解，关键是熟练应用二项展开式的通式，是基础题.8、A【解析】

利用分段函数的性质逐步求解即可得答案．【详解】，；；故选：．【点睛】本题考查了函数值的求法，考查对数的运算和对数函数的性质，是基础题，解题时注意函数性质的合理应用．9、B【解析】

先将三个数通过指数，对数运算变形，再判断.【详解】因为，，所以，故选：B.【点睛】本题主要考查指数、对数的大小比较，还考查推理论证能力以及化归与转化思想，属于中档题.10、C【解析】

几何体是由一个圆锥和半球组成，其中半球的半径为1，圆锥的母线长为3，底面半径为1，计算得到答案.【详解】几何体是由一个圆锥和半球组成，其中半球的半径为1，圆锥的母线长为3，底面半径为1，故几何体的表面积为.故选：.【点睛】本题考查了根据三视图求表面积，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.11、B【解析】

根据，分别令，结合等比数列的通项公式，得到关于首项和公比的方程组，解方程组求出首项和公式，最后利用等比数列前n项和公式进行求解即可.【详解】设等比数列的公比为，由题意可知中：.由，分别令，可得、，由等比数列的通项公式可得：，因此.故选：B【点睛】本题考查了等比数列的通项公式和前n项和公式的应用，考查了数学运算能力.12、D【解析】

由题得，解方程即得k的值.【详解】由题得，解方程即得k=-3或.故答案为：D【点睛】(1)本题主要考查点到直线的距离公式，意在考查学生对该知识的掌握水平和计算推理能力.(2)点到直线的距离.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】

设弦所在的直线与椭圆相交于、两点，利用点差法可求得直线的斜率，进而可求得直线的点斜式方程，化为一般式即可.【详解】设弦所在的直线与椭圆相交于、两点，由于点为弦的中点，则，得，由题意得，两式相减得，所以，直线的斜率为，所以，弦所在的直线方程为，即.故答案为：.【点睛】本题考查利用弦的中点求弦所在直线的方程，一般利用点差法，也可以利用韦达定理设而不求法来解答，考查计算能力，属于中等题.14、【解析】

根据变量x，y满足：，画出可行域，由，解得直线过定点，直线绕定点旋转与可行域有交点即可，再结合图象利用斜率求解.【详解】由变量x，y满足：，画出可行域如图所示阴影部分，由，整理得，由，解得，所以直线过定点，由，解得，由，解得，要使，则与可行域有交点，当时，满足条件，当时，直线得斜率应该不小于AC，而不大于AB，即或，解得，且，综上：参数t的取值范围为.故答案为：【点睛】本题主要考查线性规划的应用，还考查了转化运算求解的能力，属于中档题.15、【解析】

利用即可建立关于的方程.【详解】设双曲线右焦点为，过右焦点且与轴垂直的直线与两条渐近线分别交于两点，则，，由已知，，即，所以，离心率.故答案为：【点睛】本题考查求双曲线的离心率，做此类题的关键是建立的方程或不等式，是一道容易题.16、【解析】

分跑出优秀的人为：甲、乙和甲、丙和乙、丙三种情况分别计算再求和即可.【详解】刚好有2人跑出优秀有三种情况：其一是只有甲、乙两人跑出优秀的概率为；其二是只有甲、丙两人跑出优秀的概率为；其三是只有乙、丙两人跑出优秀的概率为,三种情况相加得.即刚好有2人跑出优秀的概率为.故答案为：【点睛】本题主要考查了分类方法求解事件概率的问题,属于基础题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）①2②期望值为X900600300100P【解析】

（1）一件手工艺品质量为B级的概率为.（2）①由题意可得一件手工艺品质量为D级的概率为，设10件手工艺品中不能外销的手工艺品可能是件，则，则,.由得，所以当时，，即，由得，所以当时，，所以当时，最大，即10件手工艺品中不能外销的手工艺品最有可能是2件.②由上可得一件手工艺品质量为A级的概率为，一件手工艺品质量为B级的概率为，一件手工艺品质量为C级的概率为，一件手工艺品质量为D级的概率为，所以X的分布列为X900600300100P则期望为.18、（1）.（2）【解析】

（1）设A的坐标为A（x0，y0），由题意可得圆心C的坐标，求出C到直线x＝1的距离.由半个弦长，圆心到直线的距离及半径构成直角三角形可得p的值，进而求出抛物线的方程；（2）将抛物线的方程与圆的方程联立可得韦达定理，进而求出中点G的坐标，再求出直线OG的斜率的表达式，换元可得斜率的取值范围.【详解】（1）设A（x0，y0）且y02＝2px0，则圆心C（），圆C的直径|AB|，圆心C到直线x＝1的距离d＝|1|＝||，因为|MN|＝2，所以（）2+d2＝（）2，即1，y02＝2px0，整理可得（2p﹣4）x0＝0，所以p＝2，所以抛物线的方程为：y2＝4x；（2）联立抛物线与圆的方程整理可得x2﹣2（5﹣p）x+16＝0，△＞0，设P（x1，y1），Q（x2，y2），则x1+x2＝2（5﹣p），x1x2＝16，所以中点G的横坐标xG＝5﹣p，yG（），所以kOG（0＜P＜1），令t＝5﹣p（t∈（4，5）），则kOG（），解得0＜kOG，所以直线OG斜率的取值范围（0，）.【点睛】本题考查抛物线的性质及直线与抛物线的综合，换元方法的应用，属于中档题.19、【解析】

先令，根据题中条件得到，求解，即可得出结果.【详解】因为关于的方程的两根都大于2，令所以有，解得，所以.【点睛】本题主要考查一元二次方程根的分布问题，熟记二次函数的特征即可，属于常考题型.20、（1）；（2）【解析】

（1）分析可得必在椭圆上，不在椭圆上，代入即得解；（2）设直线PA，PB的倾斜角分别为，斜率为，可得.则，，利用均值不等式，即得解.【详解】（1）因为关于轴对称，所以必在椭圆上，∴不在椭圆上∴，，即.（2）设椭圆上的点（），设直线PA，PB的倾斜角分别为，斜率为又∴.，，（不妨设）.故当且仅当，即时等号成立【点睛】本题考查了直线和椭圆综合，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于较难题.21、（1）；（2）.【解析】

（1）在已知极坐标方程两边同时乘以ρ后，利用ρcosθ＝x，ρsinθ＝y，ρ2＝x2+y2可得曲线C的直角坐标方程；（2）联立直线l的参数方程与x2＝4y由韦达定理以及参数的几何意义和弦长公