北京海淀外国语实验2025届高二数学第一学期期末考试试题含解析_第1页
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文档简介

北京海淀外国语实验2025届高二数学第一学期期末考试试题注意事项1.考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回.2.答题前,请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符.4.作答选择题,必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑;如需改动,请用橡皮擦干净后,再选涂其他答案.作答非选择题,必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律无效.5.如需作图,须用2B铅笔绘、写清楚,线条、符号等须加黑、加粗.一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.过椭圆的左焦点作弦,则最短弦的长为()A. B.2C. D.42.已知向量,,且,则值是()A. B.C. D.3.设,则是的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.曲线与曲线的()A.实轴长相等 B.虚轴长相等C.焦距相等 D.渐进线相同5.在等比数列中,,,则()A.2 B.4C.6 D.86.已知、、、是直线,、是平面,、、是点(、不重合),下列叙述错误的是()A.若,,,,则B.若,,,则C.若,,则D.若,,则7.甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行劳动技术比赛,决出第1名到第5名的名次.甲和乙去询问成绩,回答者对甲说:“很遗憾,你和乙都没有得到冠军.”对乙说:“你当然不会是最差的.”从这两个回答分析,5人的名次排列方式共有()种A.54 B.72C.96 D.1208.设等差数列,的前n项和分别是,,若,则()A. B.C. D.9.数列中,满足,,设,则()A. B.C. D.10.在四面体OABC中,点M在线段OA上,且,N为BC中点,已知,,,则等于()A. B.C. D.11.已知点在抛物线上,则点到抛物线焦点的距离为()A.1 B.2C.3 D.412.若直线a,b是异面直线,点O是空间中不在直线a,b上的任意一点,则()A.不存在过点O且与直线a,b都相交的直线B.过点O一定可以作一条直线与直线a,b都相交C.过点O可以作无数多条直线与直线a,b都相交D.过点O至多可以作一条直线与直线a,b都相交二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.已知、分别为双曲线的左、右焦点,为双曲线右支上一点,满足,直线与圆有公共点,则双曲线的离心率的取值范围是___________.14.下列命题:①若,则;②“在中,若,则”逆命题是真命题;③命题“,”的否定是“,”;④“若,则”的否命题为“若,则”.则其中正确的是______.15.设抛物线的焦点为,直线过焦点,且与抛物线交于两点,,则__________16.若双曲线的渐近线方程为,则该双曲线的离心率为___________;若,则双曲线的右焦点到渐近线的距离为__________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)在①,②,③,这三个条件中任选一个,补充在下面的问题中,并解答问题在中,内角A,,的对边分别为,,,且满足______________(1)求;(2)若的面积为,在边上,且,求的最小值注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分18.(12分)如图,四棱锥中,是边长为4的正三角形,为正方形,平面平面,、分别为、中点.(1)证明:平面;(2)求直线EP与平面AEF所成角的正弦值.19.(12分)2020年8月,总书记对制止餐饮浪费行为作出重要指示,要求进一步加强宣传教育,切实培养节约习惯,在全社会营造浪费可耻、节约光荣的氛围.为贯彻总书记指示,大庆市某学校食堂从学生中招募志愿者,协助食堂宣传节约粮食的相关活动.现已有高一63人、高二42人,高三21人报名参加志愿活动.根据活动安排,拟采用分层抽样的方法,从已报名的志愿者中抽取12名志愿者,参加为期20天的第一期志愿活动(1)第一期志愿活动需从高一、高二、高三报名的学生中各抽取多少人?(2)现在要从第一期志愿者中的高二、高三学生中抽取2人粘贴宣传标语,求抽出两人都是高二学生的概率是多少?(3)食堂每天约有400人就餐,其中一组志愿者的任务是记录学生每天倒掉的剩菜剩饭的重量(单位:公斤),以10天为单位来衡量宣传节约粮食的效果.在一个周期内,这组志愿者记录的数据如下:前10天剩菜剩饭的重量为:后天剩菜剩饭的重量为:借助统计中的图、表、数字特征等知识,分析宣传节约粮食活动的效果(选择一种方法进行说明即可)20.(12分)设数列是公比为q的等比数列,其前n项和为(1)若,,求数列的前n项和;(2)若,,成等差数列,求q的值并证明:存在互不相同的正整数m,n,p,使得,,成等差数列;(3)若存在正整数,使得数列,,…,在删去以后按原来的顺序所得到的数列是等差数列,求所有数对所构成的集合,21.(12分)王同学入读某大学金融专业,过完年刚好得到红包6000元,她计划以此作为启动资金进行理投资,每月月底获得的投资收益是该月月初投入资金的20%,并从中拿出1000元作为自己的生活费,余款作为资金全部投入下个月,如此继续.设第n个月月底的投资市值为an.(1)求证:数列{-5000}为等比数列;(2)如果王同学想在第二年过年的时候给奶奶买一台全身按摩椅(商场标价为12899元),将一年后投资市值全部取出来是否足够?22.(10分)已知函数(1)求f(x)在点处的切线方程;(2)求证:

参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】求出椭圆的通径,即可得到结果【详解】过椭圆的左焦点作弦,则最短弦的长为椭圆的通径:故选:A2、A【解析】求出向量,的坐标,利用向量数量积坐标表示即可求解.【详解】因为向量,,所以,,因为,所以,解得:,故选:A.3、B【解析】,,所以是必要不充分条件,故选B.考点:1.指、对数函数的性质;2.充分条件与必要条件.4、D【解析】将曲线化为标准方程后即可求解.【详解】化为标准方程为,由于,则两曲线实轴长、虚轴长、焦距均不相等,而渐近线方程同为.故选:5、D【解析】由等比中项转化得,可得,求解基本量,由等比数列通项公式即得解【详解】设公比为,则由,得,即故,解得故选:D6、D【解析】由公理2可判断A选项;由公理3可判断B选项;利用平行线的传递性可判断C选项;直接判断线线位置关系,可判断D选项.【详解】对于A选项,由公理2可知,若,,,,则,A对;对于B选项,由公理3可知,若,,,则,B对;对于C选项,由空间中平行线的传递性可知,若,,则,C对;对于D选项,若,,则与平行、相交或异面,D错.故选:D.7、A【解析】根据题意,分2种情况讨论:①、甲是最后一名,则乙可以为第二、三、四名,剩下的三人安排在其他三个名次,②、甲不是最后一名,甲乙需要排在第二、三、四名,剩下的三人安排在其他三个名次,由加法原理计算可得答案【详解】根据题意,甲乙都没有得到冠军,而乙不是最后一名,分2种情况讨论:①甲是最后一名,则乙可以为第二、三、四名,即乙有3种情况,剩下的三人安排在其他三个名次,有种情况,此时有种名次排列情况;②甲不是最后一名,甲乙需要排在第二、三、四名,有种情况,剩下的三人安排在其他三个名次,有种情况,此时有种名次排列情况;则一共有种不同的名次情况,故选:A8、B【解析】利用求解.【详解】解:因为等差数列,的前n项和分别是,所以.故选:B9、C【解析】由递推公式可归纳得,由此可以求出的值【详解】因为,,所以,,,因此故选C【点睛】本题主要考查利用数列的递推式求值和归纳推理思想的应用,意在考查学生合情推理的意识和数学建模能力10、B【解析】根据空间向量基本定理结合已知条件求解【详解】因为N为BC中点,所以,因为M在线段OA上,且,所以,所以,故选:B11、B【解析】先求出抛物线方程,焦点坐标,再用两点间距离公式进行求解.【详解】将代入抛物线中得:,解得:,所以抛物线方程为,焦点坐标为,所以点到抛物线焦点的距离为故选:B12、D【解析】设直线与点确定平面,由题意可得直线与平面相交或平行.分两种情形,画图说明即可.【详解】点是空间中不在直线,上的任意一点,设直线与点确定平面,由题意可得,故直线与平面相交或平行.(1)若直线与平面相交(如图1),记,①若,则不存在过点且与直线,都相交的直线;②若与不平行,则直线即为过点且与直线,都相交的直线.(2)若直线与平面平行(如图2),则不存在过点且与直线,都相交的直线.综上所述,过点至多有一条直线与直线,都相交.故选:D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】过点作于,过点作于,利用双曲线的定义以及勾股定理可求得,由已知可得,可得出关于、的齐次不等式,结合可求得的取值范围.【详解】过点作于,过点作于,因为,所以,又因为,所以,故,又因为,且,所以,因此,所以,又因为直线与圆有公共点,所以,故,即,则,所以,又因为双曲线的离心率,所以.故答案为:.14、②③④【解析】根据不等式的性质,正弦定理与四种命题的概念,命题的否定,判断各命题【详解】①,满足,但,①错;②在中,由正弦定理,因此其逆命题也是真命题,②正确;③存在命题的否定是全称命题,命题“,”的否定是“,”,③正确;④由否命题的概念,“若,则”的否命题为“若,则”,④正确故答案为:②③④15、【解析】抛物线焦点为,由于直线和抛物线有两个交点,故直线斜率存在.根据抛物线的定义可知,故的纵坐标为,横坐标为.不妨设,故直线的方程为,联立直线方程和抛物线方程,化简得,解得,故.所以.【点睛】本小题主要考查直线和抛物线的位置关系,考查抛物线的几何性质和定义.考查三角形面积公式.在解题过程中,先根据题目所给抛物线的方程求得焦点的坐标,然后利用抛物线的定义:到定点的距离等于到定直线的距离,由此求得点的坐标,进而求得直线的方程,联立直线方程和抛物线方程求得点的坐标.最后求得面积比.16、①.②.3【解析】由渐近线方程知,结合双曲线参数关系及离心率的定义求双曲线的离心率,由已知可得右焦点为,应用点线距离公式求距离.【详解】由题设,,则,当时,,则双曲线为,故右焦点为,所以右焦点到渐近线的距离为.故答案为:,3.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、选择见解析;(1);(2)【解析】(1)选条件①.利用正弦定理边角互化,结合两角和的正弦公式可得,从而可得答案;选条件②.边角互化、切化弦,结合两角和的正弦公式可得,从而得答案;选条件③.边角互化,利用余弦定理可得,从而可得答案;(2)由三角形面积公式可得得,再利用余弦定理与基本不等式可得答案.【详解】(1)方案一:选条件①由可得,由正弦定理得,因为,所以,所以,故,又,于是,即,因为,所以方案二:选条件②因为,所以由正弦定理及同角三角函数的基本关系式,得,即,因为,所以,又,所以,因为,所以方案三:选条件③∵,∴,即,∴,∴又,所以(2)由题意知,得由余弦定理得,当且仅当且,即,时取等号,所以的最小值为18、(1)见解析(2)【解析】(1)连接,证明,即可证明平面;(2)取的中点,连接,由平面平面,得平面,建立如图所示空间直角坐标系,利用向量法即可求得答案.【小问1详解】证明:连接,是正方形,是的中点,是的中点,是的中点,,平面,平面,平面;【小问2详解】取的中点,连接,则,因为是边长为4的正三角形,所以,因为平面平面,且平面平面,所以平面,建立如图所示空间直角坐标系,则,则,设平面的法向量,则有,可取,则,所以直线EP与平面AEF所成角的正弦值为.19、(1)6,4,2;(2);(3)答案见解析.【解析】(1)先求出抽样比,然后每次按比例抽取即可求出;(2)先求出抽出两人的基本事件,再求出两人都是高二学生包含的基本事件,即可求出概率;(3)可求出平均值进行判断;也可画出茎叶图观察判断.【详解】解:(1)报名的学生共有126人,抽取的比例为,所以高一抽取人,高二抽取人,高三抽取人.(2)记高二四个学生为1,2,3,4,高三两个学生为5,6,抽出两人表示为(x,y),则抽出两人的基本事件为(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,4),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6)共15个基本事件,其中高二学生都在同一组包含(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4),共6个基本事件.记抽出两人都是高二学生为事件,则,所以高二学生都在同一组的概率是.(3)法一:(数字特征)前10天的平均值为23.5,后10天的平均值为20.5,因为20.5<23.5,所以宣传节约粮食活动的效果很好.法二:(茎叶图)画出茎叶图因为前10天的重量集中在23、24附近,而后10天的重量集中在20附近,所以节约宣传后剩饭剩菜明显减少,宣传效果很好.20、(1)(2),证明见解析.(3)不存在,【解析】(1)数列为首项为公差为的等差数列,利用等差数列的求和公式即可得出结果;(2),,成等差数列,则+=2,根据等比数列求和公式计算可解得,进而计算可得,即可判断结果;(3)由题意列出,

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