2025年高考数学一轮复习：常用逻辑用语（五大题型）讲义（解析版）

第02讲常用逻辑用语

目录

01考情透视•目标导航............................................................2

02知识导图•思维引航............................................................3

03考点突破•题型探究............................................................4

知识点1：充分条件、必要条件、充要条件........................................................4

知识点2:全称量词与存在量词..................................................................4

知识点3：含有一个量词的命题的否定............................................................5

解题方法总结...................................................................................5

题型一：充分条件与必要条件的判断..............................................................6

题型二：根据充分必要条件求参数的取值范围......................................................8

题型三：全称量词命题与存在量词命题的真假......................................................9

题型四：根据命题的真假求参数的取值范围.......................................................11

题型五：全称量词命题与存在量词命题的否定.....................................................13

04真题练习•命题洞见...........................................................15

05课本典例•高考素材...........................................................16

06易错分析•答题模板...........................................................19

易错点：混淆充分条件与必要条件...............................................................19

答题模板：充分条件与必要条件的判断...........................................................19

考情透视.目标导航

考点要求考题统计考情分析

从近几年高考命题来看，常用逻辑用语没有

(1)必要条件、充分条

2023年新高考I卷第7题，5分单独命题考查，偶尔以已知条件的形式出现在其

件、充要条件；

2023年天津卷第2题，5分他考点的题目中.重点关注如下两点：

(2)全称量词与存在量

2023年全国甲卷第7题，5分(1)集合与充分必要条件相结合问题的解

词；

2022年天津卷第2题，5分题方法；

(3)全称量词命题与存

2021年全国甲卷第7题，5分(2)全称命题与存在命题的否定和以全称

在量词命题的否定.

命题与存在命题为条件，求参数的范围问题.

复习目标：

1、理解充分条件、必要条件、充要条件的意义；

2、理解判定定理与充分条件的关系、性质定理与必要条件的关系；

3、理解全称量词和存在量词的意义，能正确对两种命题进行否定.

匐2

〃二知识导图•思维引航\\

＜若p=»q且1#p,则p是夕的充分不必要条植）

若〃#夕且＜7支,则〃是为的必要不充分条件）

充分条件、必要条件、充要条件

若pnqILqnp,则〃是夕的的充要条件）

《若力#夕上1夕#夕,则p是夕的既不充分也不必要条件,

全称量词与全称量词命题

全称量词与存在量词

存在量词与存在量词命题

常用逻辑用语

全称量词命题P：VxwMp(x)的否定为mx0£M,r0(.%))

含有一个量词的命题的否定

存在量词命题p:3.v0£M,p(Xo)的否定v为V.v£Af,-ip(x)}

设={.v|p(.v)},B=国4住)}，若/UB,则p=q

常用结论设/1=｛.如f）｝,5=3《3）｝,若/1是5,贝乐=4且4#0

设={.v|p(.v)],B={x|q(x)},若4=B,则poq

老占突硒・力理悭宙

「知识育亲

知识点1:充分条件、必要条件、充要条件

1、定义

如果命题“若p,则q”为真(记作0=q),则p是q的充分条件；同时q是p的必要条件.

2、从逻辑推理关系上看

(1)若0=＞4且44p,则p是q的充分不必要条件；

(2)若pLq且qnp,则p是q的必要不充分条件；

(3)若0nq且4=则p是q的的充要条件(也说p和q等价)；

(4)若q且44p＜则p不是q的充分条件，也不是q的必要条件.

对充分和必要条件的理解和判断，要搞清楚其定义的实质：pnq,则p是q的充分条件，同时4是

p的必要条件.所谓“充分”是指只要p成立，q就成立；所谓“必要”是指要使得°成立，必须要q成立

(即如果q不成立，则p肯定不成立).

【诊断自测】(2024•北京西城•二模)己知aeR,》eR.则“必＞1”是""十/＞?”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】当仍＞1时，则必＞2,当且仅当。=3时取等，所以充分性成立，

取。=-4,6=1,满足〃+加＞2,但仍＜1,故必要性不成立，

所以“ab＞1”是“a2+b2＞2”的充分不必要条件.

故选：A.

知识点2：全称量词与存在量词

(1)全称量词与全称量词命题.短语“所有的”、“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号

“V”表示.含有全称量词的命题叫做全称量词命题.全称量词命题“对M中的任意一个x,有皿无)成立”可

用符号简记为“VxeM,p(x)”，读作“对任意x属于V,有p(x)成立

(2)存在量词与存在量词命题.短语“存在一个”、“至少有一个“在逻辑中通常叫做存在量词，并用符

号“三”表示.含有存在量词的命题叫做存在量词命题.存在量词命题“存在M中的一个飞,使p(x0)成立”

可用符号简记为“上0eMjU)”，读作“存在M中元素％,使p(x。)成立”(存在量词命题也叫存在性命

题).

【诊断自测】下列命题中的假命题是()

A.3xeR.log2x<0B.HreR,cosx=l

C.VJTeR,x2>0D.VxeR,2X>0

【答案】C

【解析】因为Iog2：=-l,cos0=l,02=0,所以选项A、B均为真命题，选项C为假命题；

因为y=2"在R上的值域可知2">0,所以D为真命题；

故选：C

知识点3：含有一个量词的命题的否定

(1)全称量词命题P：V兀WM，P(%)的否定力为玉。CM,-n/2(X0),

(2)存在量词命题p:3x0cM,p(%0)的否定r?为VxwMfXx).

【诊断自测】(2024•全国•模拟预测)已知命题〃:VX£Z,X2»O,贝IJ-1P为()

A.BxeZ,x2<0B.Z,x2<0

C.GZ,x2<0D.Z,x2<0

【答案】C

【解析】由题意，全称量词命题的否定是存在量词命题，可得：

命题p：VxGZ,X220的否定为：-1P为玉:£Z,X2<0.

故选：C.

解题方法总结

1、从集合与集合之间的关系上看

设A={]|夕(%)},B=[x\q{x}].

(1)若则p是9的充分条件(夕=>“)，g是p的必要条件；若ASgB,则p是9的充分不必

要条件，q是p的必要不充分条件，即〃=>,且44p；

简记：“小n大”.

(2)若则p是q的必要条件，q是p的充分条件；

（3）若A=B,则p与q互为充要条件.

2、常见的一些词语和它的否定词如下表

原词语等于大于小于是都是任意至多至多

（=）（＞）（＜）（所有）有一个有一个

否定词语不等于小于等于大于等于不是不都是某个至少有一个都

（＜）（＞）两个没有

（1）要判定一个全称量词命题是真命题，必须对限定集合拉中的每一个元素x证明其成立，要判断

全称量词命题为假命题，只要能举出集合〃中的一个无。，使得其不成立即可.

（2）要判断一个存在量词命题为真命题，只要在限定集合河中能找到一个不使之成立即可，否则这

个存在量词命题就是假命题.

/--------------HM-u

\题型洞察n

题型一：充分条件与必要条件的判断

【典例1-1】（2024•浙江宁波•二模）已知平面。，6,7,ec尸=/,则是“a，7且分，/”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】C

【解析】由于夕。=1,所以luajup,

若U人则a，7,»,故充分性成立，

若a_Ly,/31丫，设。,Y=m,

则存在直线au/,使得所以aJ_a,由于/ua,故a_L/,

同理存在直线6u7,使得8_L〃，所以6_LQ,由于/u尸，故6_U,

由于a,b不平行，所以。力是平面/内两条相交直线，所以故必要性成立，

故选：C

【典例1-2]（2024•湖南•二模）已知实数a＞b＞0,则下列选项可作为的充分条件的是（）

A.y/a-y[b=1B.7--=—

ba2

C.20-2*=1D.log2a-log2Z?=l

【答案】C

【解析】取"=4,b=l,满足y-扬=1,但是推不出。一6＜1,故排除A；

取a=2,b=l,满足:一!=:,但是推不出。一6<1,故排除B；

ba2

取a=4,b=2,满足Iog2a-log2b=l,但是推不出a-匕<1,故排除D；

由2"-2"=1，a>b>0,可推出2"nZ3+lvZ'+i，即a<b+l,即a—6<1,故充分性成立.

故选：C.

【方法技巧】

1、要明确推出的含义，是p成立4一定成立才能叫推出而不是有可能成立.

2、充分必要条件在面对集合问题时，一定是小集合推出大集合，而大集合推不出小集合.

【变式1-1]（2024•辽宁沈阳•二模）已知向量a=（2,4）,b=（3,—l）,贝=0”是“（“+助”a-助”

的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不

必要条件

【答案】A

【解析】当（a+M）~L（a—幼）时，（a+妨）•（"一助）=0,BPa-k2b=0<

故（于+的-/[32+（一1）1=0,解得左=±忘.

故"％=0”是"+助X（«-序）”的充分不必要条件.

故选：A

ab△

【变式1-2]（2024•福建福州•模拟预测）设a,6eR,则“"<0”是“时+词=。”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】C

,f«>0[a<0ab门、

【解析】当"VO时，,八或7，则可+或二°，即充分性成立；

也<0[Z?>0n

abbb

当时+帆二°时，~a=~~a>^1则即必要性成立；

ab

综上可知，“ab<0”是“同+同=。”的充要条件.

故选：C.

【变式1-3]（多选题）已知p是r的充分而不必要条件，q是r的充分条件，s是r的必要条件，q是s的必

要条件，下列命题正确的是（）

A.r是q的充分条件B.p是q的充分条件

C.r是q的必要而不充分条件D.r是s的充分而不必要条件

【答案】AB

【解析】由已知得pnr,qor,ms,s=q,所以r=>q且qnr,故A正确，C不正确；〃=>4,

B正确；rns且snr,D不正确.

故选:AB.

题型二：根据充分必要条件求参数的取值范围

【典例2-1】设xeR,a<b,若"aW夕'是“炉+》_240”的充要条件，贝姐一〃的值为（）

A.0B.-3C.3D.2

【答案】C

【解析】解不等式炉+尤—240可得—,由题意可知a=—2,b=l,因此，b—a=3.

故选：C.

【典例2-2］给出如下三个条件：①充要②充分不必要③必要不充分.请从中选择补充到下面横线上.

已知集合p=同-1〈尤45},S=［x\2-m<x<3+2m^,存在实数加使得“xeP”是“xeS”的___条件.

【答案】②，③

【解析】①“xeP”是“xeS”的充要条件，则2-加=-1,3+2m=5,此方程无解，故不存在实数加，则不

符合题意；

②"xe尸"是"xeS”的充分不必要条件时，3+2m>5,2-m<3+2m解得m23,符合题意;

③“xeP”是“xeS”的必要不充分条件时，当S=0,2-m>3+2m,得机<；；

当Sw0,需满足2—7九V3+2〃z,3+2m<5,解集为-gw/wVl；

综上所述，实数加的取值范围-;4根<g.

故答案为：②，③.

【方法技巧】

1、集合中推出一定是小集合推出大集合，注意包含关系.

2、把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参

数的不等式求解.在充分必要条件求解参数取值范围时，要注意端点能否能取到，容易出错.

【变式2-1］已知命题P：“方程+2尤+1=0至少有一个负实根"，若"为真命题的一个必要不充分条件为

a<m+l,则实数加的取值范围是—.

【答案】m>0

［解析】若命题P：“方程62+2尤+1=0至少有一个负实根”为真命题，

。=0时，2x+l=0,x=-，符合题意；

21

当时0时，A=4-4<7>0,且%+%=——>0,玉%2=一<。，

aa

则此时方程依2+2x+1=0有一个正根和一个负根，符合题意；

当〃>0时，由A=4—4。=0,解得〃=1,

止匕时方程为％之+2%+1=(%+1)2=0,%=—1符合题意；

21

由△=4一44>0解得0<。<1,止匕时x+x=——<0,玉9=—>。，

x2aa

则此时方程依2+2%+1=0有两个负根，符合题意.

综上所述，P为真命题时，。的取值范围是

若P为真命题的一个必要不充分条件为a4加+1,

贝Um+1>1,m>0.

故答案为：相>0

22

【变式2-2】已知集合A=B={x\x-2ax+a-l<o\,若“xeA”是“xe3”的必要非充分条

件，则实数。的取值范围是—.

【答案】{a|T〈a<3}

【解析】由题意可得4=|尤|^|<0,={司―2<》<4},B=(%|x2-2ar+<22-l<0}={x|a-l<x<a+l},

若“xeA”是“xeB”的必要非充分条件，则集合B是集合A的真子集，

贝』"一It：’且等号不能同时成立,解得-lWa<3,

[a+l<4

所以实数。的取值范围是{a|TV“43}.

故答案为：{。|一14。43}.

【变式2-3]已知命题p:4-xV6,q:x"-l,若"是4的充要条件，则”.

【答案】-1

【解析】由题意得，p-.4-x<6,得x"2,

设4={小12},8={上加-1},由P是4的充要条件，得A=3,

即a-1=-2,得a=-1.

故答案为：-1

题型三：全称量词命题与存在量词命题的真假

【典例3-1】下列正确命题的个数为（）

2432

①VxeR,X+2>0；@VxeN,x>l；®3xeZ,x<1；@3xeQ,x=3.

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【解析】VxeR,尤2+222>0,①正确；当x=0时，尤4=0<1,②错误；

当x=0时，炉=0<1,③正确；由于（土省产=3,而-石，百都是无理数，④错误,

所以正确命题的个数为2.

故选:B

【典例3-2]（2024•高三•北京通州•期中）下列命题中的假命题是（）

A.VxeR,[g]>0B.HreR,J>%

C.VxeR,2凶>1D.3XGR,tanx>1

【答案】C

【解析】对于A,因为指数函数的值域为（0,+"）,所以WxeR,2）>0,A对；

对于B,当尤=9时，B对；

4⑷24

对于C,当x=0时，少=2°=1，C错；

对于D,当时，tanx=tang=唐>1,D对.

故选：C.

【方法技巧】

1、全称量词命题与存在量词命题的真假判断既要理解汉字意思，又要使用数学结论.

2、全称量词命题和存在量词命题的真假性判断相对简单，注重细节即可.

【变式3-1】下列命题中，既是存在量词命题又是真命题的是（）

A.3x€R,l+sinx<0

B.每个等腰三角形都有内切圆

C.VxeR,x2+2x>-1

D.存在一个正整数，它既是偶数又是质数

【答案】D

【解析】B与C均为全称量词命题，A与D均为存在量词命题，BC错误；

因为VxeR,l+sinx20,贝『勺尤€口,1+511«<0,,是假命题，A错误；

正整数2既是偶数又是质数，贝广存在一个正整数，它既是偶数又是质数”是真命题，D正确.

故选：D

【变式3-2]（2024•广东东莞•三模）已知全集U和它的两个非空子集A,8的关系如图所示，则下列命

题正确的是（）

B.VxgA,x^B

C.3XGB,x^AD.Xfx^B,xeA

【答案】B

【解析】由图可知B=且A,3非空,

则根据子集的定义可得：

对于A,HxeA,xeB不正确，

对于B,VxgA,正确，

对于C,HxeB,xeA不正确，

对于D,\fx^B,xdA不正确，

故选：B.

【变式3-3]（2024•福建厦门•模拟预测）已知集合M,N满足McN声0,贝|（）

A.VxeM,xeNB.VxeAf,xaN

C.3x&M,xGND.Bx&M,x^N

【答案】C

【解析】对于A,^M=[1,2],N={1},满足McNw0,而2eM,2wN,A错误;

对于B,^LM=[1,2},N={1},满足MCNH。，而leM,leN,B错误；

对于C,根据集合交集的定义可知HxeM,xeN,故C正确，

对于D,WM={1},N={1,2},满足McNr0,但*eM,x*N不成立，D错误,

故选：C

题型四：根据命题的真假求参数的取值范围

【典例4-1]（2024•全国•模拟预测）已知命题“对于Vxe（O,"）,e*>办+1”为真命题，写出符合条件

的。的一个值：—.

【答案】一1（答案不唯一）

（解析】对于Vx€（0,+。），e*>1,

当a<0时，对于Vxe（0,+8）,ax+l<l,则。可取任意负数，如-1；

故答案为：-1.

jrjr

【典例4-2】（2024•高三•湖北武汉•期末）若命题“V尤,tan2毛+22m”是假命题，则实数加

_86

的取值范围是.

【答案】（3,+功

TT兀

【解析】若命题"Vx（）£—,tan2%+22m”是真命题，可得（tan2xo+2）N机即可；

oO

兀71

易知y=tan2%o+2在％°w—上单调递增,

86

=tan)+2=3

所以(tam+ZL可得用《3；

又因为该命题是假命题，所以可得相>3,

即实数机的取值范围是（3,y）.

故答案为：（3,收）

【方法技巧】

1、在解决求参数的取值范围问题上，可以先令两个命题都为真命题，若哪个是假命题，去求真命题

的补集即可.

2、全称量词命题和存在量词命题的求参数问题，要注意端点是否可以取到.

【变式4-1]若命题“VxeR,（a+l）/+x+G0”是真命题，则实数。的取值范围为一.

3

【答案】——

4

【解析】因为命题（。+1卜2+%+1是真命题，

当。+1=0,即。=-1时，不等式为1+120,显然不满足题意，；

fa+l>03

当a+lwO,即aw—1时，所以j1_4（a+l）<0，解得

3

故答案为：^>-4，

4

【变式4・2】（2024•辽宁•三模）若“土«0,也），使f—依+4<0”是假命题，则实数。的取值范围

为.

【答案】（—8,4]

【解析】因为“玄40,+力），使尤2一以+4<0”是假命题,

所以“\7xe（0,+oo）,Y—依+420”为真命题，

4z、

其等价于。4X+（在（0,+8）上恒成立，

4

又因为对勾函数/（尤）=X+2在（0,2］上单调递减，在2+8）上单调递增，

X

所以/（力皿=/（2）=4,

所以aW4,即实数。的取值范围为（-双4］.

故答案为：（-8,4］.

【变式4-3］（2024•辽宁•模拟预测）命题人存在使得函数〃力-2〃a在区间

内单调，若P的否定为真命题，则。的取值范围是—.

【答案】

【解析】命题p的否定为：任意〃ze［T,l］，使得函数/。）=/-2如在区间［%+00）内不单调，

由函数/（尤）=/-25在（-co,：”）上单调递减，在（根,心）上单调递增，

则。<相，而

得av—1,

故答案为：（72,-1）

题型五：全称量词命题与存在量词命题的否定

【典例5-1】（2024•内蒙古赤峰•一模）命题“VxeR,3nGN",〃>炉”的否定形式是（）

A.VxeR,\/neN*,n<x2B.eR,3neN*,n<x2

C.HxeR,V"eN*,n<x2D.HxeR,V”eN*,n<x2

【答案】C

【解析】由全称量词命题与存在量词命题的否定可知：命题“VxeR,3neN：〃>炉”的否定形式是

“*eR,V”eN",n<x2

故选：C

【典例5-2［（2024•陕西商洛•三模）命题“对任意的的否定是（）

A.不存在一/+］（0B.存在xeR,d-Y+ivo

C.存在xeR,尤3+1<0D.对任意的xe-尤2+1>o

【答案】C

【解析】“对任意的xeR,x'-f+lN。”的否定是：存在xeR,/-/+1<0.

故选：C.

【方法技巧】

含量词命题的否定，一是改写量词，二是否定结论.

【变式5-1］（2024•四川成都•模拟预测）命题*e［T』］,x+忖<0的否定是（）

A.3XG[-1,1],X+|X|>0

B.VXG[-1,1],X+|X|>0

C.VxGU(1,+O?),A:+|X|>0

D.VxG(-a?,-1)u(1,,X+|x|<0

【答案】B

【解析】因为命题玉;«-19,九十国<0,

则其否定为v%W-u],x+Wzo.

故选:B

【变式5-2】已知命题?勺夕<0,3，(cos町%(sine)。。“则()

A.-ip：mOe]o，T，(cos6()s'n">(sind)°°'",且T7是真命题

B.「p：veqo,"(cos肛m">(sinV，且丑是假命题

C."勺公(。,：],(cos<n'>(sin0)cos\且刃是假命题

D.(cos。)™1",(sin。)。*",且W是真命题

【答案】D

【解析】由(cos。产"((sin。)。。。

则:V。e[°，：]，(cos。产'>(sin^)cose,

由Me(。,：1,贝！]有0<sin夕<cos〃<l,

(COST11。V(sin。)*等价于sin91ncose<cos91nsine

卜代IN十Ineos。/Insin。

善仇于

令〃x)=((O<x<l),贝IJ尸(x)=^^,

则0vx<l时,f")>0恒成立,

故〃x)在(0,1)上单调递增，

又0vsin。vcos0<\,

Incos。Insin。

故>------

cos。sin。

即（cosOyi©>（Siners,

故原命题错误，则F是真命题.

故选：D.

【变式5-3]（2024•贵州遵义•一模）已知命题p：T无>1,In尤〉;-止，则力为（

A.Vx>19Inx—§3B.3x«1,Inx<——§3

C.3x«1,Inx<————-D.3x>1,Inx————

【答案】D

【解析】由命题0：Vx>l,lnx>]-可知，

-P为三无>1,Inx<j,故D正确；ABC错误;

故选:D

1.（2022年新高考天津数学高考真题）“x为整数”是“2x+l为整数”的（）条件

A.充分不必要B.必要不充分C.充分必要D.既不充分也不必要

【答案】A

【解析】由x为整数能推出2x+l为整数，故"x为整数，，是“2x+l为整数”的充分条件，

由x=g,2x+l为整数不能推出x为整数，故“x为整数”是“2x+l为整数”的不必要条件，

综上所述，“x为整数”是“2x+l为整数”的充分不必要条件，

故选：A.

1.（2022年新高考浙江数学高考真题）设XER,则“sinx=l”是“cos%=0”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不

必要条件

【答案】A

【解析】因为sin?%+cos?%=1可得：

当sinx=l时，cosx=0,充分性成立；

当cos尤=0时，sinx=±l,必要性不成立；

所以当xwR，sin%=l是cosx=0的充分不必要条件.

故选：A.

2.（2022年新高考北京数学高考真题）设｛4｝是公差不为。的无穷等差数列，贝『，｛%｝为递增数列”是“存

在正整数N。，当〃〉N。时，。“>0”的（）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】C

【解析】设等差数列｛%｝的公差为d,则dwo,记［司为不超过尤的最大整数.

若｛%｝为单调递增数列，则d>0,

若qNO,则当时，«„>«1>0；若弓<0,则%=%,

由q=4+（l）d>0可得〃>1一号，取乂=a+1,则当”>N。时，a„>0,

所以，“｛4｝是递增数列”=>“存在正整数N。，当〃>N。时，4>0”；

若存在正整数N。，当〃>N0时，%>0,取％eN*且左>乂，以>。，

彳发设。<0,令%=%+（〃一左）d<0可得〃>左一个，且左一个〉左，

当"〉k-^-+1时，«„<0,与题设矛盾，假设不成立，则d>0,即数列｛风｝是递增数列.

所以，“｛4｝是递增数列”U“存在正整数N。，当“>乂时，风>0”.

所以，“｛%｝是递增数列”是“存在正整数或，当〃>乂时，%>0”的充分必要条件.

故选：C.

3.（2021年天津高考数学试题）已知oeR,则“a>6”是“片>36”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】由题意，若a>6,则标>36,故充分性成立；

若02>36,则a>6或"<-6,推不出。>6,故必要性不成立；

所以“a>6”是“a2>36”的充分不必要条件.

故选：A.

匐5

//理本典例；高考素材\\

1.设集合A=｛x|x满足条件p｝,2=｛x|x满足条件4｝.

(1)如果A=那么p是q的什么条件？

(2)如果3=A,那么p是q的什么条件？

(3)如果4=3,那么p是q的什么条件？

试举例说明.

【解析】(1)若则有xeAnxeB,即每个使p成立的元素也使“成立，

即。二夕，所以。是q的充分条件.如A={x|x>l},B={x\x>0],

B,x>l是尤>0的充分条件.

(2)若则有xeBn尤eA,即每个使q成立的元素也使p成立，

即所以。是g的必要条件.如A={x|x>。},B={x\x>\],则8gA,

*>0是》>1的必要条件.

(3)若A=3,则AgB,BA,所以〃是q的充要条件.如A=B={x|x>l},

x>l是x>l的充要条件.

2.在下列各题中，判断p是q的什么条件(请用“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分又

不必要条件”回答)：

(l)p:三角形是等腰三角形,4：三角形是等边三角形；

(2)在一元二次方程中，，0?+加:+0=0有实数根，q:b2-4ac..Q-

p\a^PryQ,q\a^P\

(4)p：〃wPuQ,q:aeP；

(5)p:x>yq:J>J

【解析】(1)因为等腰三角形是特殊的等边三角形，

故p是q的必要不充分条件.

⑵一元二次方程依2+区+。=0有实数根则判别式八=〃2—4QC.O.

故p是q的充要条件.

(3)因为a£尸门。,故〃£尸且〃£。；当时Q不一定成立.

故〃是q的充分不必要条件.

(4)因为故。£尸或所以。£尸不一定成立；

当〃£尸时。£尸。0一定成立.

故〃是q的必要不充分条件.

(5)当x=1,y=-2时，满足x>>但Y>J不成立.

当％=-2,y=1时，满足—>J?但1>>不成立.

故〃是q的既不充分又不必要条件.

3.设。力，。分别是ABC的三条边,且源必c.我们知道,如果，ABC为直角三角形，那么"2+b2=c2(勾股定理).

反过来，如果/+/=o2,那么ABC为直角三角形(勾股定理的逆定理).由此可知，二ABC为直角三角形的充要

2

条件是a?+b=02.请利用边长。力，分别给出ASC为锐角三角形和钝角三角形的一个充要条件，并证明.

【解析】解:⑴设a,b,c分别是的三条边，且a<b<c,MC为锐角三角形的充要条件是a2+b2>c2.

证明如下:必要性:在ABC中,NC是锐角，作AD1BC,D为垂足，如图(1).

显然AB?=AD2+DB2=AC2-CD2+(CB-CD)2=AC2-CD2+CB2+CD2-2cBCD

=AC2+CB2-2CBCD<AC2+次,即c?</+/.

充分性:在ABC中,q2+62>c2,r.NC不是直角.

假设NC为钝角，如图(2).作ADLBC,交BC延长线于点D.

贝［JAB2=AD2+BD2=AC2-CD2+(BC+CD)2=AC2-CD2+BC2+CD2+2BCCD

=AC2+BC2+2BCCD>AC2+BC2.

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BPc>无+°\与>c”矛盾.

故NC为锐角，即ABC为锐角三角形.

(2)设ahc分别是，ABC的三条边，且a<b<c,ABC为钝角三角形的充要条件是a2+b2<c2.

证明如下:必要性:在AB