2024-2025学年广西高三（上）调研数学试卷（9月份）（含答案）

2024-2025学年广西名校高三(上)调研数学试卷(9月份)

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.设集合4=[1,2a+1},B={3,a—1,3a—2},若4=8,则a=()

A.-2B.-1C.1D.3

2.若复数z是方程+5=o的一个根，则怙|=()

A.3B.A/3C.5D."

3.在平行四边形4BCD中，AB=3,AD=也，=45°,DE=2EC,则族•族=()

A.1B.-C.2D.3

7T71

4.已知sin(1+a)=3sm(4—cr),则cos2a=()

4334

A.-mB.-mC.耳D.M

qq

5.设等比数列{a九}的刖？1项和为S"Cl2+a5=2,%+。6=1，则S5=()

A.早B.63C.4D.31

P1一

6.已知a=4+b=log32,c=log52,则a,b,c的大小关系是()

A.a>b>cB.a>c>bC.b>c>aD.c>b>a

7.已知点P在抛物线M：y2=4x±,过点P作圆C：Q—2)2+y2=i的切线，若切线长为2",则点P到M的

准线的距离为()

A.5B.A/29C.6D.回

3

8.根据公式si?13a=3sina—4sinafs讥10。的值所在的区间是()

A.(吴)B,(|,1)C.(II)D.(1|)

二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9.某品牌新能源汽车2024年上半年的销量如下表：

月份t12345

销量y(万辆)11.712.413.813.214.6

根据上表的数据，下列说法正确的是()

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A.销量的极差为3.6B,销量的平均数为13.5

C.销量的第40百分位数为13.8D.销量的中位数为13.2

TT

10.已知函数/(x)=COS(3X—%)(3>0),则下列说法中正确的是()

A.当3=2时，一兀是/(%)的一个周期

B.将/(%)的图象向右平移着个单位后，得到函数g(%)的图象，若9(%)是奇函数，则3的最小值为2

C.若存在%1，久2W渡春1(巧工％2)，使得f(%l)=/(%2)=岑，则3的取值范围是［10,+00)

D,存在3,使得f(x)在［-要由上单调递减

11.已知双曲线C：/=1的左、右焦点分别为％、F2,过点尸2且倾斜角为a的直线/与双曲线的右支交

于4B两点(4在第一象限)，则下列说法中正确的是()

A.双曲线C的虚轴长为避

B.<a(将

C.△48%的周长的最小值为16

D.当trma=一届时，△册F2的内切圆面积为争

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.已知函数/(%)=sin2x+3%+1,且/'(a)=4,则f(—a)=.

13.将一个底面半径为2,高为避的圆柱形铁块熔铸成一个实心铁球，则该实心铁球的表面积为.

14.已知有4B两个盒子，其中4盒中有3个黑球和3个白球，B盒中有3个黑球和2个白球，这些球除颜色外

完全相同.甲从4盒，乙从8盒各随机抽取一个球，若两球同色，则甲胜，并将取出的2个球全部放入4盒

中，若两球不同色，则乙胜，并将取出的2个球全部放入B盒中.按上述方法重复操作两次后，4盒中有8个

球的概率是______.

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15.(本小题13分)

记aABC的内角4B,C的对边分别为a,b,c,面积为S,已知4S=平(炉一口2一02).

(1)求NB的大小；

(2)若6=々，E是4C的中点，且4B1BE,求BE.

16.(本小题15分)

某高新技术企业新研发出了一种产品，该产品由三个电子元件组装而成，这三个电子元件在生产过程中的

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次品率均为［组装过程中不会造成电子元件的损坏，当且仅当三个电子元件都不是次品时，产品能正常工

O

作，否则该产品为次品.

(I)设一件产品中所含电子元件为次品的个数为X,求X的分布列和期望；

(2)设a="任取一件产品为次品”，B="该产品仅有一个电子元件是次品”，求P(B|2)；

(3)安排质检员对这批产品进行逐一检查，确保没有次品流入市场.现有两种方案，

方案一：安排三个质检员先行检测这三个元件，次品不进入组装生产线；

方案二：安排一个质检员检测成品，若发现次品，则进行电子元件的更换，保证产品能正常工作.更换电子

元件的费用为15元/个.

已知每位质检员的月工资为3000元，该企业每月生产该产品800件，请从企业获益的角度考虑，应该选择

哪种方案？

17.(本小题15分)

如图，在四棱锥P—A8CD中，平面PBD1底面4BCD,PB=PD=2,底面A8CD是边长为衣的正方形.

(1)求证：PA=PC；

(2)E是棱PA上一点，若AC与平面BDE所成角为60。，求四棱锥E-4BCD的体积.

18.(本小题17分)

椭圆氏总+f1=l(a＞匕＞0)的离心率为挈，过点P(a,b)的直线/与椭圆E交于M,N两点.当直线Z过坐标

原点。时，|MN|=2P.

(1)求椭圆E的方程.

(2)设4B分别是椭圆E的右顶点和上顶点，过点M作无轴的平行线分别与直线力B,NB交于C,。两点.试探

究D,C,M三点的横坐标是否构成等差数列，并说明理由.

19.(本小题17分)

已知函数/'(久)=Inx+?-l(aGR),且x轴是曲线y=/(X)的切线，

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(1)求〃尤)的最小值;

(2)证明：告1+士1+…+《1<》2(716N*)；

n+1n+22n\'

(3)设F(%)=^--lnx—mf(^)(m>2),F(l)=F(n)(n>1),证明：对任意％G(l,n],

(m—l)/nx>x—1.

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参考答案

l.c

2.D

3.X

4.C

5.C

6.A

7.C

8.B

9sB

10.ABC

ll.BCD

12.-2

13.1271

14上

,70

15.解:⑴由4S=道（抉-人2-2）,

可得4x|tlCS讥8=避（炉一层―。2）,

由余弦定理，可得sinB=一避cosB,

WfltanB=—4，又BE（0,兀），

所以B=手

（2）因为481BE,所以乙4BE=90°,乙EBC=30°,

因为E是ZC中点，所以=$△BEC，

即•BE=-|-a•BE•sm30°,即a=2c,

代入川=小+c2-2accosB,B=狰，b=",

解得c=1,所以BE=^AE2-AB2=^-.

16.解：（1）根据题意可得X的所有可能取值为0,1,2,3,

易知P（X=0）=（l—软=|§，P（x=l）=W（l［）2xR|g,p（x=2）=《c4）ix《）2=W，

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P(X=3)=4)3=壶

所以X的分布列如下:

X0123

343147211

P

512512512512

3

—r4曰廿口十目任4厂八八八343,4147,n21,nx1=192

可得期望值为E(X)=0x-T—T+1x--+2x--+37777778;

(2)由(1)可知P⑷=「泮=蜷，PQ4B)=累，

147

则P(8⑷=今图)=强=147

169；

I)512

(3)若采用方案一，则每月支出总费用为％=3X3000=9000元,

若采用方案二,

由(1)可知平均每个产品需更换的电子元件个数E(X)=称

则每月生产的800件产品平均需更换800E(X)=300个，

每月更换电子元件的总费用为300X15=4500元，

则每月支出总费用为丫2=1x3000+4500=7500元;

显然Z<%，

所以从企业获益的角度考虑，应该选择方案二.

17.(1)证明：设4c与8。相交于点0,连接。P,

因为底面4BCD是边长为我的正方形，

所以AC1BD,且点。既是AC的中点，也是8。的中点，

又平面PBD1底面4BCD,平面PBDC底面力BCD=BD,ACu平

面ABCD,

所以4C1平面PBD,

因为。Pu平面PBO,所以AC1OP,

又点。是AC的中点，

所以PA=PC.

(2)解：因为PB=PD,。是BD的中点，所以BD1OP,

结合(1)可得，。4，OB,0P两两垂直，

故以。为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

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则4(1,0,0),C(-1,0,0),B(0,1,0),0(0,-1,0),P(0,0,®

所以需=(2,0,0),DB=(0,2,0),记=(1,0,—避)，

设方=沟=(尢0,-84),AG[0,1],

则方=DP+PE=(0,1,73)+(A,0,-732)=(2,1,73-732),

n-DB^=2y=0

设平面BDE的法向量为五=(x,y,z),则

n-DE=Ax+y+—O'

取％=A/3(A—1),则y=0,z=2,所以7=(4(4—1),0,4)，

因为4C与平面所成角为60。，

西•向2-\/3(1—A)

所以|cos<C4n>I==sm60°=同,解得；I=I，

\CA\•|n|-2x，3]_1)2+不2，

所以而=将,

所以四棱锥E—ABCO的体积U=P-ABCD=7XTXXS正方形/BCD=2X口X平X(")2=孚.

乙NO4Jj

18.解：⑴由题意得e*噜所端/

当过点P(a,b)的直线2过坐标原点。时，直线斜率为2=4,

则此时直线I的方程为y=京，设直线I与椭圆E交点”(配》。),

不妨取配＞°，则N(—x(),一为)，且yo=，o①，

因为|MN|=2巡，所以其+羽=5②,

由①②可得配=¥，y°=孝，M哼斗,

总+工=1

所以既工2b2，解得

,a3

故椭圆E的方程为卷+y2=i.

(2)D,C,M三点的横坐标构成等差数列，理由如下：

不妨设直线MN的方程为％=my+n,M(%i,yD，^(%2了2)(71工Ly2HD，

因为直线MN经过点P(3,l),所以租+九=3,

"x=my+n

联立乃+丫2=1,消去工并整理得(血2+9)y2+2mny+n2-9=0,

,9夕一

由韦达定理得力+y=春黑，y/2=九2一9

2m2+9

所以/+备=-+久2(、1-1)

(yi-i)(y2-i)

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2my1y2+(n—m)(yi+y2)—2n

—yiy2-(yi+yz)+1

2m•考二2+(n-m)•二^竺■—2n

________优/+/7nz+9____

-2一9_—2nm,1

m2+9m2+9

—18(m+n)「

=(m+n)2

因为B,D,N三点共线，所以潦y=若，

yi-iyz-yBo-i1

而膜B===五七=k=-F

即比i,12_久c

即yi+y1--6-荻-2・%_1，

则+xD=2xc,

故D,C,M三点的横坐标成等差数列.

19.(1)解：由/'(%)=Inx+^-l(aeR)得(。)=~^,

因切线方程为y=o,令(0)=9黄=0,得比=a,故可知切点为(a,0),

所以/(a)=Ina+?—1=0,得a=1,

故/(x)=dx+(一1，f(x)=q一白=妥，

当x6(0,1)时，f(x)<0,/(%)在区间(0,1)上单调递减，

当％e(1,+8)时，f(x)>0,f(x)在区间(1,+8)上单调递增，

故/。)的最小值为八1)=0.

(2)证明：由(1)可知f。)=lnx+--1>0,故"x>—,故In。+1)>7^7,

XXA.~T~1.

21

令尤='neN*,贝肛ng+l)2r=BpinC^)§pin(n+1)-Znn

n

111

故？i+]+九+23-+-^<ln(n+1)—Znn+l