2025年高考数学复习之函数概念与性质

2025年高考数学复习热搜题速递之函数概念与性质(2024年7月)

选择题(共10小题)

1.已知函数/(%)的定义域为(7,0),则函数/(2x+l)的定义域为()

11

A.(-1,1)B.(-1,-今)C.(-1,0)D.1)

2.已知/(x)是定义域为(-8,+oo)的奇函数，满足了(1-X)=/(1+x),若/(1)=2,则/(1)

+f(2)+f(3)+-••+/■(50)=()

A.-50B.0C.2D.50

3.函数/(%)在(-8,4-oo)单调递减,且为奇函数.若/(1)=-1,则满足-1勺(%-2)W1的x

的取值范围是()

A.[-2,2]B.[-1,1]C.[0,4]D.[1,3]

4.已知/(无)=—+法是定义在［a-1,2a］上的偶函数，那么的值是()

1111

A.-4B.-C.-4D.-

3322

5.已知/(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(-8,0)上单调递增，若实数a满足了(2J“)>/

(―鱼)，则。的取值范围是()

113

A.(-8,-)B.(-8,—)u(-,+8)

222

133

C.(一，一)D.(-,+8)

222

6.函数/(无)=出(?-2r-8)的单调递增区间是()

A.(-8,-2)B.(-8,-1)C.(1,+°°)D.(4,+°0)

7.已知函数/(%)的定义域为R,当x<0时，/(无)—X3-1；当-IWXWI时，/(-无)=-/(x)；当x>2

11

时，f(x+2)=/(x—,),则/(6)=()

A.-2B.1C.0D.2

______%2_5%4~6

8.函数/(%)=,4-+欣一—的定义域为()

A.(2,3)B.(2,4]

C.(2,3)U(3,4]D.(-1,3)U(3,6]

9.设/(%)是定义域为R的偶函数，且在(0,+8)单调递减，则()

132

A.f(log3_)>f(2-2)>f(2-3)

4

123

B.f(log3_)>f(2-3)>f(2-2)

4

321

c.f(2-2)>/(2-3)>f(10g3-)

4

231

D.f(2-3)>/(2-2)>/(log3~)

4

10.设/(x)是周期为2的奇函数，当(XW1时，/(x)=2x(17),则/(一|)=(

1111

A.-4B.-4C.-D.-

2442

二.填空题(共5小题)

11.已知函数/(%)是定义在R上的奇函数，当了€(-8,0)时，/G)=24+%2,则/(2)

12.己知函数/(x)—In(V1+%2—x)+1,f(a)=4,则/(-a)=.

13.已知偶函数/(无)在[0,+8)单调递减,户2)=0,若/GcT)>0,则x的取值范围是,

14.设函数/u)=0,则满足/U)+/U—今>1的x的取值范围是

15.已知函数/(X)=/(a*2v-2~x)是偶函数，则a=

三.解答题(共5小题)

-2"+b

16.己知定义域为R的函数f(x)是奇函数.

2x+1+a

(I)求a,b的值;

(II)若对任意的正R,不等式/(尸-2力+f(2?-k)<0恒成立，求上的取值范围.

1

17.已知函数/(%)=%+-,

(I)证明/(X)在[1,+8)上是增函数；

(II)求/(x)在[1,4]上的最大值及最小值.

18.已知/(%)=>-2义3%+4,xE[-1,2].

(1)设/=3"，xE[-1,2],求/的最大值与最小值；

(2)求/(x)的最大值与最小值.

19.已知函数/(x)=W+2〃x+2,xE[-5,5],

(1)当4=1时，求/(X)的最大值和最小值；

(2)求实数〃的取值范围，使y=/(x)在区间[-5,5]上是单调函数.

1

20.已知QER,函数/(x)=log2(―+«).

(1)当〃=1时，解不等式/(%)>1；

(2)若关于X的方程/(x)+log2(/)=0的解集中恰有一个元素，求。的值；

1

(3)设a>0,若对任意正［，1］,函数/(x)在区间上，什1］上的最大值与最小值的差不超过1，求。

的取值范围.

2025年高考数学复习热搜题速递之函数概念与性质(2024年7月)

参考答案与试题解析

一.选择题(共10小题)

1.已知函数/(x)的定义域为(-1,0),则函数/(2尤+1)的定义域为()

11

A.(-1,1)B.(-1,-今)C.(-1,0)D.0，1)

【考点】函数的定义域及其求法.

【专题】函数的性质及应用.

【答案】B

【分析】原函数的定义域，即为2尤+1的范围，解不等式组即可得解.

【解答】解：•原函数的定义域为(-1,0),

1

-1<2%+1<0,解得-

则函数/(2x+l)的定义域为(-1,-1).

故选：B.

【点评】考查复合函数的定义域的求法，注意变量范围的转化，属简单题.

2.已知/(X)是定义域为(-8,+oo)的奇函数，满足了(1-X)=/(1+x),若/(1)=2,则/(1)

+f(2)+f(3)+•••+/,(50)=()

A.-50B.0C.2D.50

【考点】抽象函数的周期性.

【专题】整体思想；定义法；函数的性质及应用.

【答案】C

【分析】根据函数奇偶性和对称性的关系求出函数的周期是4,结合函数的周期性和奇偶性进行转化求

解即可.

【解答】解：无)是奇函数，且/(1-x)=/(l+x),

'.f(1-x)=f(1+x)=-/(x-1),f(0)=0,

则/(x+2)=-f(x),则/(x+4)=-f(x+2)=/(x),

即函数无)是周期为4的周期函数，

'：f(1)=2,

：.f(2)=f(0)=0,f(3)=/(1-2)=/(-1)=-f⑴=-2,

f(4)=f(0)=0,

则/⑴+f(2)+f(3)+f(4)=2+0-2+0=0,

则/(I)+f(2)+f(3)+•••+/,(50)=12,(1)+f(2)+f(3)+f(4)]+f(49)+f(50)

=/(1)+f(2)=2+0=2,

故选：C.

【点评】本题主要考查函数值的计算，根据函数奇偶性和对称性的关系求出函数的周期性是解决本题的

关键.

3.函数尤)在(-8,+oo)单调递减，且为奇函数.若/■(1)=-1,贝U满足-1勺(X-2)W1的X

的取值范围是()

A.[-2,2]B.[-1,1]C.[0,4]D.[1,3]

【考点】奇偶性与单调性的综合.

【专题】转化思想；转化法；函数的性质及应用.

【答案】D

【分析】由已知中函数的单调性及奇偶性，可将不等式-1勺(尤-2)W1化为-1WX-2W1,解得答

案.

【解答】解：二•函数/(无)为奇函数.

若/(I)=-1,则/(-1)=1,

又•••函数/(x)在(-8,+8)单调递减，-1勺(尤-2)W1,

：.f(1)勺(尤-2)勺(-1),

-1。-2W1,

解得：xG[l,3],

故选：D.

【点评】本题考查的知识点是抽象函数及其应用，函数的单调性，函数的奇偶性，难度中档.

4.已知无)=o?+bx是定义在m-1,2a]上的偶函数，那么(7+6的值是()

1111

A.-4B.-C.-4D.-

3322

【考点】奇函数偶函数的判断.

【专题】常规题型；转化思想；综合法；函数的性质及应用；数据分析.

【答案】B

【分析】依照偶函数的定义，对定义域内的任意实数，/(-无)=/(尤)，由此求得6的值.且定义域关

于原点对称，故。-1=-2a,由此求得a的值，从而得到a+b的值.

【解答】解：对于函数知/(x)=ax2+bx,

依题意得：/(-%)=/(x),.,.b=0.

.1

3^.a-1-2a,••ci—§,

••a+b=口.

故选：B.

【点评】本题考查偶函数的定义，对定义域内的任意实数，/(-无)=/(%);奇函数和偶函数的定义域

必然关于原点对称，定义域区间2个端点互为相反数，属于基础题.

5.已知/(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(-8,0)上单调递增，若实数a满足了(2鹏11)>/

(―企)，则。的取值范围是()

113

A.(-°°,-)B.(-8,-)u(-,+8)

222

【考点】由函数的单调性求解函数或参数.

【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用.

【答案】C

【分析】根据函数的对称性可知无)在(0,+8)递减，故只需令反即可.

【解答】解：(无)是定义在R上的偶函数，且在区间(-8,0)上单调递增，

：.f(x)在(0,+8)上单调递减.

V2|al|>0,f(-V2)=f(V2),

.•.2|fl-1|<V2=2；.

：.\a-1|<1,

解得:<a<|.

22

故选：C.

【点评】本题考查了函数的单调性，奇偶性的性质，属于中档题.

6.函数/(%)=出(7-2尤-8)的单调递增区间是()

A.(-8,-2)B.(--1)C.(1,+8)D.(4,+8)

【考点】复合函数的单调性.

【专题】转化思想；转化法；函数的性质及应用；数学建模；数学运算.

【答案】D

【分析】由x2-2x-8>0得：xE(-°°,-2)U(4,+°°),令/-2%-8,则y=lnt,结合复合函

数单调性“同增异减”的原则，可得答案.

【解答】解：由f-2x-8>0得：xE(-8,-2)U(4,+°°),

令-2x-8,则y=lnt,

VxE(-8,-2)时，t=j?-2x-8为减函数；

xG(4,+8)时，/=/-2x-8为增函数；

y=lnt为增函数，

故函数/(%)=ln(x2-2x-8)的单调递增区间是(4,+8),

故选：D.

【点评】本题考查的知识点是复合函数的单调性，对数函数的图象和性质，二次数函数的图象和性质，

难度中档.

7.已知函数/(x)的定义域为R,当x〈0时，/(%)=4-1；当-IWXWI时，/(-x)=-/(x)；当1〉*

11

时，f(x+2)~f(x—2)»则/(6)=()

A.-2B.1C.0D.2

【考点】函数的周期性；函数的值.

【专题】综合题；转化思想；综合法；函数的性质及应用.

【答案】D

【分析】求得函数的周期为1,再利用当-IWXWI时，/(-x)得到/(I)

当xVO时，f(x)=%3-1,得到/(-1)=-2,即可得出结论.

【解答】解：.•,当，时,f(x+^)—/(X—

.,.当x*时，f(x+1)=f(X),即周期为1.

•V(6)=/(1),

,当-1WxW1时，/(-x)—-f(x),

"⑴=-/(-D-

:当x<0时，f(x)=x3-1,

：.f(-1)=-2,

,V(1)=-/<-1)=2，

：.f(6)=2.

故选：D.

【点评】本题考查函数值的计算，考查函数的周期性，考查学生的计算能力，属于中档题.

___________汽2_5%+6

8.函数/(无)=J4一+/g―—的定义域为()

A.(2,3)B.(2,4]

C.(2,3)U(3,4]D.(-1,3)U(3,6]

【考点】函数的定义域及其求法.

【专题】函数的性质及应用；数学运算.

【答案】C

【分析】根据函数成立的条件进行求解即可.

(4—\x\>0

【解答】解：要使函数有意义，贝4％25X+6>八，

(—4<x<4

即(x_2)(f)0,

Ix—3

空|甲>。等价为①%>3即x>3

，即43,

,(x-2)(x-3)>0lx>3^x<2

^(x<3_fx<3,

②)，即n，此时2<尤<3,

1(%-2)(%-3)<0(2<x<3

即2<尤<3或x>3,

：-4OW4,

解得3cxW4且2<尤<3,

即函数的定义域为(2,3)U(3,4],

故选：C.

【点评】本题主要考查函数的定义域的求解，要求熟练掌握常见函数成立的条件.

9.设/(%)是定义域为R的偶函数，且在(0,+8)单调递减，则()

132

A.f(log3-)>f(2-2)>f(2-3)

4

123

B.fdog3_)>f(2-3)>f(2-2)

4

321

c.f(2-2)>/(2-3)>f(log-)

34

231

D.f(2-3)>f(2-2)>f(log3-)

4

【考点】函数的奇偶性；由函数的单调性求解函数或参数.

【专题】函数思想；函数的性质及应用.

【答案】c

32

【分析】根据Iog34>log33=l,0<2-2<2-3<2°=1,结合/(%)的奇偶性和单调性即可判断.

1

【解答】解：•・,/(%)是定义域为R的偶函数，.・・/(，。03》=/。。。34)，

32

VIog34>log33=l,0<2~2<2~3<2°=1,

32

-_

.•.0<22<23<ZO534

/(x)在(0,+8)上单调递减，

321

.•./(2-2)>/(2-3)>/(Z0^A),

故选：C.

【点评】本题考查了函数的奇偶性和单调性，关键是指对数函数单调性的灵活应用，属基础题.

10.设无)是周期为2的奇函数，当OWxWl时，/(x)=2尤(1-尤)，贝行(—务=()

1111

A.-4B.-4C.-D.-

2442

【考点】函数的奇偶性.

【专题】计算题.

【答案】A

qi1

【分析】由题意得)=-/(-),代入已知条件进行运算.

【解答】解：•../(X)是周期为2的奇函数，当OWxWl时，f(x)=2x(1-X),

qi111

•v(-j)=/)=-/(1-)=-2x|(1-1)=-j,

故选：A.

【点评】本题考查函数的周期性和奇偶性的应用，以及求函数的值.

填空题(共5小题)

11.已知函数/(无)是定义在R上的奇函数，当无C(-8,0)时，/(X)=2尤3+7,则/(2)=已

【考点】函数的奇偶性.

【专题】转化思想；转化法；函数的性质及应用.

【答案】见试题解答内容

【分析】由已知中当X6(-8,0)时，f(x)=2X3+X2,先求出了(-2),进而根据奇函数的性质，可

得答案.

【解答】解：：当尤(-8,0)时，f(x)=2^+?,

：.f(-2)=-12,

又•..函数/(x)是定义在R上的奇函数，

：.f(2)=12,

故答案为：12

【点评】本题考查的知识点是函数奇偶性的性质，函数求值，难度不大，属于基础题.

12.己知函数/(x)—In(Vl+x2—x)+1,/(a)—4,则/(-a)--2.

【考点】函数的奇偶性.

【专题】计算题；函数思想；综合法；函数的性质及应用.

【答案】见试题解答内容

【分析】利用函数的奇偶性的性质以及函数值，转化求解即可.

【解答】解：函数g(x)=ln(Vl+^2-x)

______1______

满足g(-x)=ln(V1+x2+x)=Ini—=—In(V1+x2—x)=-g(x),

Jl+%2—x

所以g(x)是奇函数.

函数/(x)—In(V1+x2-x)+1,f(a)=4,

可得/(a)—4—In(V1+a2—a)+1,可得/a(V1+a2—a)=3,

贝!J/(-a)=-In(V1+a2-a)+1=-3+1=-2.

故答案为：-2.

【点评】本题考查奇函数的简单性质以及函数值的求法，考查计算能力.

13.已知偶函数/(x)在［0,+8)单调递减，f(2)=0,若/(尤-1)>0,则x的取值范围是(-1,

3).

【考点】奇偶性与单调性的综合.

【专题】函数的性质及应用.

【答案】见试题解答内容

【分析】根据函数奇偶性和单调性之间的关系将不等式等价转化为了(|x-1|)>/(2),即可得到结论.

【解答】解：：偶函数/(无)在［0,+8)单调递减，f(2)=0,

，不等式/(尤-1)>0等价为了(X-1)>/(2),

即/(|尤-1|)>/(2),

；.|x-1|<2,

解得_1<x<3,

故答案为：(-1,3)

【点评】本题主要考查函数奇偶性和单调性之间的关系的应用，将不等式等价转化为了(|x-1|)>/(2)

是解决本题的关键.

X+1V011

Y'~，则满足f(x)>1的X的取值范围是(―$+8)

{2”,x^^0

【考点】函数的值.

【专题】分类讨论；转化法；函数的性质及应用.

【答案】见试题解答内容

【分析】根据分段函数的表达式，分别讨论尤的取值范围，进行求解即可.

【解答】解：若无W0,则x—得W—1

1111

则/(x)+于(%—2)>1等价为x+1+x—,+1>1,即2x>—2f则％〉—4，

1

此时一彳VvWO,

11

当x>0时，f(x)=2%>1,x-1>—2，

当X—>0即时，满足f(x)+于(%—白>1T旦成立，

ill1111

当02%—2〉一2，即3之％>。时，f(X—2)=%—)+1=1+2^>2,

1

此时f(%)+于(%—2)>1怛成立，

综上X>—

故答案为：(―/,+°°).

【点评】本题主要考查不等式的求解，结合分段函数的不等式，利用分类讨论的数学思想进行求解是解

决本题的关键.

15.已知函数/(无)=/(〃・2，-2一、)是偶函数，贝lja=1.

【考点】函数的奇偶性.

【专题】计算题；方程思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算.

【答案】1.

【分析】利用奇函数的定义即可求解a的值.

【解答】解：函数/(X)=?(°・2工-2一、)是偶函数,

y=/为R上的奇函数，

故2一工也为R上的奇函数，

所以如=o=a・2°-2°=a-1=0,

所以a=1.

法二：因为函数/(x)=x3(<7・2*-2))是偶函数，

所以/(-x)=f(x),

即-x3(a«2-*-2x)=/(a»2x-2-x),

3x-x3xA

即r(a«2-2)+x(a'2~-2)=0,

即(a-1)(2A'+2%)尤3=0,

所以a=1.

故答案为：1.

【点评】本题主要考查利用函数奇偶性的应用，考查计算能力，属于基础题.

三.解答题(共5小题)

一2书

16.己知定义域为R的函数/(%)=是奇函数.

2x+1+a

(I)求a,b的值;

(II)若对任意的怎R,不等式/(p-2f)+f(2r-k)<0恒成立，求左的取值范围.

【考点】奇偶性与单调性的综合.

【专题】压轴题.

【答案】见试题解答内容

【分析】(I)利用奇函数定义，在/(-%)=-/(无)中的运用特殊值求a,b的值；

(II)首先确定函数/(x)的单调性，然后结合奇函数的性质把不等式V(2r-^)<0转

化为关于t的一元二次不等式，最后由一元二次不等式知识求出k的取值范围.

【解答】解：(I)因为/(x)是奇函数，所以/(0)=0,

b—11-2X

即---=0=>/)=1f(x)=

a+2、7Q+2%+I

Y1

1—21—

又由/(I)=-/(-1)知---=——-=a=2.

a+4a+1

所以a=2,b=l.

经检验4=2,b=l时，/（%）=F1一是奇函数.

2%+1+2

-1_2%11

（II）由（I）知f（x）=^TT=—/+告，

易知/（X）在（-8,+oo）上为减函数.

又因为了（X）是奇函数，

所以/（?-2f）+f（2r-k）<0

等价于/（Z2-20<-f（2p-k）=f（左-2*）,

因为了（无）为减函数，由上式可得：?-2?>^-2?.

即对一切方R有:3?-2t-k>0,

从而判别式/=4+12kV0今kV—

1

所以人的取值范围是k<_q.

【点评】本题主要考查函数奇偶性与单调性的综合应用；同时考查一元二次不等式恒成立问题的解决策

略.

1

17.已知函数f（x）=x+婷

（I）证明/（%）在［1,+8）上是增函数；

（II）求/（X）在［1,4］上的最大值及最小值.

【考点】函数的单调性.

【专题】计算题.

【答案】见试题解答内容

【分析】（/）用单调性定义证明，先任取两个变量且界定大小，再作差变形看符号.

（〃）由（/）知/（无）在口，+8）上是增函数，可知在［1,4］也是增函数，则当x=l时，取得最小值，

当x=4时，取得最大值.

【解答】（/）证明：在［1,+8）上任取XI,XI,且无1<_X2（2分）

fQl）-f（久2）=与+；-（乂2+；）（1分）

X1x2

=（久1_%2）一襄1（1分）

xlx2

VX1<X2.*.X1-X2<0

VxiG［l,+8）,X2G［1,+°°）/.X1X2-l>0

.*./（XI）-f（X2）<0即/（XI）<f（X2）

故/(x)在口，+8)上是增函数(2分)

(〃)解：由⑺知：

f(%)在[1,4]上是增函数

...当尤=1时，有最小值2；

17

当x=4时，有最大值丁(2分)

4

【点评】本题主要考查单调性证明和应用单调性求函数最值问题.

18.已知y(x)=9x-2X3x+4,A-e[-1,2].

(1)设f=3lxe[-1,2],求f的最大值与最小值；

(2)求/(x)的最大值与最小值.

【考点】函数的最值.

【专题】计算题.

【答案】见试题解答内容

1

【分析】(1)设f=3L由x&[-1,2],且函数/=3》在[-1,2]上是增函数，故有-<t^9,由此求得

t的最大值和最小值.

(2)由/(无)=2-2/+4=(/-1)2+3,可得此二次函数的对称轴为f=l,且-<^9,由此求得了

(x)的最大值与最小值.

1

【解答】解：(1)设1,2],函数f=3*在[-1,2]上是增函数，故有,WW9,故f的

最大值为9,r的最小值为点

1

(2)由/(x)=9-¥-2X3A+4=/2-2/+4=(r-1)2+3,可得此二次函数的对称轴为t=l,且-WtW9,

故当f=l时，函数/(x)有最小值为3,

当t=9时，函数/(无)有最大值为67.

【点评】本题主要考查指数函数的综合题，求二次函数在闭区间上的最值，属于中档题.

19.已知函数/(x)=x2+2ax+2,xG[-5,5],

(1)当a=l时，求/(x)的最大值和最小值；

(2)求实数a的取值范围，使y=/(x)在区间[-5,5]上是单调函数.

【考点】函数的最值；由函数的单调性求解函数或参数.

【专题】常规题型；计算题.

【答案】见试题解答内容

【分析】(1)先求出二次函数的对称轴，结合开口方向可知再对称轴处取最小值，在离对称轴较远的端

点处取最大值；

(2)要使y=/(x)在区间［-5,5］上是单调函数，只需当区间「5,5］在对称轴的一侧时，即满足条

件.

【解答】解：(1)/(x)—x2+2ax+2=(x+a)2+2-a1,

其对称轴为x=-°,当a=l时，f(x)—X2+2X+2,

所以当尤=-1时，f(X)min=f(-1)=1-2+2=1；

当x=5时，即当a=l时，/(x)的最大值是37,最小值是1.(6分)

(2)当区间［-5,5］在对称轴的一侧时,

函数y=f(x)是单调函数.所以-aW-5或-

即a25或aW-5,即实数a的取值范围是(-8,-5］U［5,+8)时，

函数在区间［-5,5］上为单调函数.(12分)

【点评】本题主要考查了利用二次函数的性质求二次函数的最值，以及单调性的运用等有关基础知识，

同时考查分析问题的能力.

1

20.己知aCR,函数/(x)=log2(-+a).

(1)当a=l时，解不等式无)>1；

(2)若关于尤的方程/(尤)+log2(?)=0的解集中恰有一个元素，求。的值；

1

(3)设。>0,若对任意正与，1］,函数/(尤)在区间［3什1］上的最大值与最小值的差不超过1,求。

的取值范围.

【考点】函数的最值；指、对数不等式的解法；一元二次不等式及其应用.

【专题】分类讨论；转化思想；函数的性质及应用；导数的综合应用；不等式的解法及应用.

【答案】见试题解答内容

11

【分析】(1)当。=1时，不等式/(无)>1化为：1。92©+1)>1，因此嚏+1>2,解出并且验证即可

得出.

11

(2)方程/(x)+log2(x2)=0即log2(-+Q)+log2(x2)=0,(-+Q)X2=1,化为：af+x-1=0,

XX

对〃分类讨论解出即可得出.

111

(3)〃>0,对任意怎邑1］,函数/(x)在区间上，什1］上单调递减，由题意可得/002(了+。)一，。出(在y+

a)<1,因此詈警上?<2,化为：a2?=gG),0工，1],利用导数研究函数的单调性即可得出.

t[l+a(t+l)]t2+t2

【解答】解：(1)当。=1时，不等式/(X)>1化为：1。92©+1)>1，

11

+1>2,化为：一>1,解得0c尤<1,

XX

经过验证满足条件，因此不等式的解集为：(0,1).

11

(2)方程/(%)+log2(x2)=0即log2(一+a)+log2(x2)=0,(一+〃)/=1,化为：a^+x-1

XX

=0,

若4=0,化为X-1=0,解得X=l,经过验证满足：关于％的方程/(%)+log2(X2)=0的解集中恰有

一个元素1.

若“W0,令A=l+4〃=o,解得〃=一去，解得了=2.经过验证满足：关于x的方程/(%)+10g2(x2)

=0的解集中恰有一个元素L

综上可得：〃=0或—

1

(3)46对任意怎邑1],函数/⑴在区间上，什1]上单调递减，

・11

1・1。。2(£+。)一，。02Qqzy+。)<1，

.(l+ta)(t+l)<2

•・t[l+a(t+l)]一'

1_4-1

化为：-n---=g(t),怎,1]»

r+t2

I(ts_-42+()一(]一()(2计1)_产2t]_3])22<(；-1)—2句

；.g(/)在尾，1]上单调递减，.1另时，g(?)取得最大值，g(3=|.

a>

的取值范围是修，+8).

【点评】本题考查了对数函数的运算法则单调性、不等式的解法、利用导数研究函数的单调性极值与最

值，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于难题.

考点卡片

1.指、对数不等式的解法

【知识点的认识】

不等式的解法

(1)整式不等式的解法(根轴法).

步骤：正化，求根，标轴，穿线(偶重根打结)，定解.

特例：

①一元一次不等式办>b解的讨论；

②一元二次不等式ax~+bx+c>0(a=0)解的讨论.

(2)分式不等式的解法：先移项通分标准化，则

"x)>cJ/(x)g(x)*0

>0=/(x)g(x)>0;----------二U:一二

g(x)|g(x)*0

(3)无理不等式：转化为有理不等式求解.

7(x)>o；

©质>质=<蛉)“『正又域

；/(%)>鼠幻

八",、、八

。不而>g(x)o总f/(xx、)>00或称乘；◎"^<©x)={g(x)20

lr(x)>[g(x)]2L<0[/(x)<[g(x)]*

(4)指数不等式：转化为代数不等式

小*>>1)<=>/(x)>g(x):>a*8(0Va<1)of(x)<g(x)

>b(a>0.d>0)o/(x)lga>lgd

(5)对数不等式：转化为代数不等式

f/(x)>0[/(x)>0

log.f(.x)>log,g(x)(a>1)o<'g(x)>0;10ga/(x)>logag(xX0<a<1)c=><'g(x)>0

l/(x)>g(x)l/(x)<g(x)

(6)含绝对值不等式

①应用分类讨论思想去绝对值；

②应用数形思想；

③应用化归思想等价转化.

1小)1<8。)o{-g(x)<f(x)<g(x)

"(x)|>g(x)og(x)<0(/(x),g(x坏同时为0域幅g/(x才(X)>g(x)

注：常用不等式的解法举例(X为正数)：

①x(l-x)2=i.2x(l-xXl-x)<|(1)3='

@y=x(l一x1=j2=2x^(1；妙一丁2)4y=捺=y«挈

类似于N=sinxcos、=sinxQ-sin%),③|x+L|=|x|+凸(x与工同号，故取等)之2

YYY

2.一元二次不等式及其应用

【知识点的认识】

含有一个未知数且未知数的最高次数为2的不等式叫做一元二次不等式.它的一般形式是a^+bx+c>0

或ajT+bx+c<0(a不等于0)其中以N+加计。是实数域内的二次三项式.

特征

当△=d-4ac>0时，

一元二次方程。7+笈+。=0有两个实根，那么a/+6x+c可写成a(x-xi)(x-x2)

当△=/?2-4ac=O时，

一元二次方程°7+6尤+0=0仅有一个实根，那么m2+版+<:可写成a(x-xi)2.

当△=/?2-4ac<0时.

一元二次方程a^+bx+c=0没有实根，那么cur+bx+c与x轴没有交点.

【解题方法点拨】

例1：一元二次不等式，<x+6的解集为.

解：原不等式可变形为(尤-3)(x+2)<0

所以，-2<x<3

故答案为：(-2,3).

这个题的特点是首先它把题干变了形，在这里我们必须要移项写成^^bx+cVO的形式；然后应用了特征

当中的第一条，把它写成两个一元一次函数的乘积，所用的方法是十字相乘法；最后结合其图象便可求解.

【命题方向】

①一元二次不等式恒成立问题：

一元二次不等式a^+bx+cX)的解集是R的等价条件是：a>0且△<0；一元二次不等式av2+Z?x+c<0的

解集是R的等价条件是：。<0且△<().

②分式不等式问题：

~~~（x）・g（x）>0；

。（无）

f），vo=y（x），g（x）<o；

gOO

f（x）（久）'。（久）N0.

。（久）—ig。）丰o^

f（x）c/（x）-g（x）<o

g（x）1。）丰o

3.函数的定义域及其求法

【知识点的认识】函数的定义域就是使函数有意义的自变量的取值范围.

求解函数定义域的常规方法：①分母不等于零；

②根式（开偶次方）被开方式20；

③对数的真数大于零，以及对数底数大于零且不等于1；

④指数为零时，底数不为零.

⑤实际问题中函数的定义域；

【解题方法点拨】

求函数定义域，一般归结为解不等式组或混合组.（1）当函数是由解析式给出时，其定义域是使解析

式有意义的自变量的取值集合.（2）当函数是由实际问题给出时，其定义域的确定不仅要考虑解析式有意

义，还要有实际意义（如长度、面积必须大于零、人数必须为自然数等）.（3）若一函数解析式是由几个

函数经四则运算得到的，则函数定义域应是同时使这几个函数有意义的不等式组的解集.若函数定义域为

空集，则函数不存在.（4）抽象函数的定义域：①对在同一对应法则/下的量“x”“x+a”“尤所要满

足的范围是一样的；②函数g（x）中的自变量是无，所以求g（x）的定义域应求g（x）中的尤的范围.

【命题方向】高考会考中多以小题形式出现，也可以是大题中的一小题.

4.函数的单调性

【知识点的认识】

一般地，设函数了（无）的定义域为/,如果对于定义域/内某个区间。上的任意两个自变量尤1,血，

当X1<X2时，都有了（XI）</（%2）,那么就说函数/（X）在区间。上是增函数；当X1<X2时，都有了（XI）

>f（XI）,那么就说函数/（X）在区间D上是减函数.

若函数了（尤）在区间。上是增函数或减函数，则称函数/（尤）在这一区间具有（严格的）单调性，区间。

叫做y=f（x）的单调区间.【解题方法点拨】

判断函数的单调性，有四种方法：定义法；导数法；函数图象法；基本函数的单调性的应用；复合函数遵

循“同增异减”；证明方法有定义法；导数法.

单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用符号“U”

联结，也不能用“或”联结，只能用“和”或“，”连结.

设任意xi,x2E[a,切且xi#x2,那么

①"%1）-'（支2）＞o可a）在口，句上是增函数;

X±-X2

“久1）-"久2）＜00/（X）在山，切上是减函数.

②(xi-x2)\f(xi)-f(X2)］>0<=>f(x)在［a,切上是增函数;

(xi-X2)\f(xi)-f(%2)］<0<=^/(x)在［a,b］上是减函数.

函数的单调区间，定义求解求解一般包括端点值，导数一般是开区间.

【命题方向】

函数的单调性及单调区间.是高考的重点内容，一般是压轴题，常与函数的导数相结合，课改地区单调

性定义证明考查大题的可能性比较小.从近三年的高考试题来看，函数单调性的判断和应用以及函数的最

值问题是高考的热点，题型既有选择题、填空题，又有解答题，难度中等偏高；客观题主要考查函数的单

调性、最值的灵活确定与简单应用，主观题在考查基本概念、重要方法的基础上，又注重考查函数方程、

等价转化、数形结合、分类讨论的思想方法.预测明年高考仍将以利用导数求函数的单调区间，研究