一元二次不等式及其解法高一上学期数学湘教版（2019）必修第一册

第1课时一元二次不等式及其解法(1)新知初探课前预习题型探究课堂解透新知初探课前预习最新课程标准1.经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义．2．能够借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集．3．借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系．学科核心素养1.会求一元二次不等式的解集．(逻辑推理、直观想象)2．会求分式不等式的解集．(逻辑推理、数学运算)3．能解决一元二次不等式的实际问题．(逻辑推理、数学建模)4．理解一元二次方程、一元二次函数与一元二次不等式之间的关系，并能解决相应的问题．(逻辑推理)教材要点要点一一元二次不等式的概念一元二次不等式的概念及形式(1)概念：我们把只含有________未知数，并且未知数的最高次数是______的不等式，称为一元二次不等式．(2)形式：①ax2＋bx＋c＞0(a≠0)；②ax2＋bx＋c≥0(a≠0)；③ax2＋bx＋c＜0(a≠0)；④ax2＋bx＋c≤0(a≠0)．一个2状元随笔一元二次不等式的二次项系数

a有a＞0或a＜0两种，注意a≠0.当a＜0时，我们通常将不等式两边同乘以－1，化为二次项系数大于0的一元二次不等式，但要注意不等号要改变方向，这样我们只需要研究二次项系数大于0的一元二次不等式．基础自测1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)mx2＋5x＜0是一元二次不等式．(

)(2)若不等式ax2＋bx＋c＜0的解集为{x|x1＜x＜x2}，则必有a＞0.(

)(3)若不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是{x|x＜x1或x＞x2}，则方程ax2＋bx＋c＝0的两个根是x1和x2.(

)(4)若方程ax2＋bx＋c＝0没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为R.(

)×√√×

答案：A

3．若不等式ax2＋8ax＋21＜0的解集是{x|－7＜x＜－1}，那么a的值是(

)A．1B．2C．3D．4答案：C

4．不等式x2＋6x＋10＞0的解集为________．R解析：∵Δ＝62－4×10＝－4<0，∴方程x2＋6x＋10＝0无解．即函数y＝x2＋6x＋10的图象在x轴上方，所以不等式x2＋6x＋10>0的解集为R.题型探究课堂解透题型1不含参数的一元二次不等式的解法例1

解不等式：(1)－3x2＋6x－2＞0；(2)4x2－4x＋1≤0.

方法归纳解不含参数的一元二次不等式的步骤1．通过对不等式的变形，使不等式右侧为0，使二次项系数为正．2．对不等式左侧因式分解，若不易分解，则计算对应方程的判别式．3．求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程有无实根．4．根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数图象的草图．5．根据图象写出不等式的解集．记忆口诀：设相应的二次函数的图象开口向上，并与x轴相交，则有口诀：大于取两边；小于取中间．

BA题型2三个“二次”之间的关系例2

已知关于x的不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为{x|2＜x＜3}，求关于x的不等式cx2＋bx＋a＜0的解集．

方法归纳一元二次不等式与其对应的函数与方程之间存在着密切的联系，在解决具体的数学问题时，要注意三者之间的相互联系，并在一定条件下相互转换．(1)若一元二次不等式的解集为区间的形式，则区间的端点值恰是对应一元二次方程的根，要注意解集的形式与二次项系数的联系．(2)若一元二次不等式的解集为R或∅，则问题可转化为恒成立问题，此时可以根据二次函数图象与x轴的交点情况确定判别式的符号，进而求出参数的范围．

题型3解含参数的一元二次不等式角度1对判别式“Δ”进行讨论例3

解关于x的不等式2x2＋ax＋2＞0.

角度2对根的大小进行讨论例4

解关于x的不等式x2＋2x＋1－a2≤0(a∈R)．解析：原不等式等价于(x＋1＋a)(x＋1－a)≤0.(1)当－1－a＜－1＋a，即a＞0时，－1－a≤x≤－1＋a；(2)当－1－a＝－1＋a，即a＝0时，不等式即(x＋1)2≤0，∴x＝－1；(3)当－1－a＞－1＋a，即a＜0时，－1＋a≤x≤－1－a.综上，当a＞0时，原不等式的解集为{x|－1－a≤x≤－1＋a}；当a＝0时，原不等式的解集为{x|x＝－1}；当a＜0时，原不等式的解集为{x|－1＋a≤x≤－1－a}．角度3对二次项系数进行讨论例5

设a∈R，解关于x的不等式ax2＋(1－2a)x－2＞0.

方法归纳解含参数的一元二次不等式的步骤跟踪训练3

解关于x的不等式(a－x)(x－a2)＜0，a∈R.

解析：原不等式可化为(x－a)(x－a2)>0，a∈R，当a>1或a<0时，a2>a，原不等式的解集为{x|x<a，或x>a2}；当0<a<1时，a2<a，原不等式的解集为{x|x<a2，或x>a}当a＝1时，原不等式的解集为{x|x≠1}；当a＝0时，原不等式的解集为{x|x≠0}．易错辨析忽视二次项系数致误例6

若不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为{x|－1＜x＜2}，那么不等式a(x2＋1)＋b(x－1)＋c＞2ax的解集为(

)A．{x|－2＜x＜1}B．{x|x＜－2或x＞1}C．{x|x＜0或x＞3}D．{x|0＜x＜3}

答案：D易错警示易错原因纠错心得忽视a的范围致误，易错选C.根据题中所给的二次不等式的解集，结合三个二次的关系得到a＜0，由根与系数的关系求出a，b，c的关系，再代入不等式a(x2＋1)＋b(x－1)＋c＞2ax，求解即可．

答案：C

答案：C

3．已知2a＋1＜0，则关于x的不等式x2－4ax－5a2＞0的解集是(

)A．{x|x＜5a或x＞－a}B．{x|x＞5a或x＜－a}C．{x|－a＜x＜5a}D．{x|5a＜x＜－a}答案：A

4．已知x＝1在不等式k2x2－6kx＋8≥0的解集内，则k的取值范围是___________．k≤2或k≥4解析：由题意知：k