活用隐圆的五种定义妙解压轴题（五大题型）（解析版）-2025年高考数学一轮复习（新教材新高考）

重难点突破02活用隐圆的五种定义妙解压轴题

目录

01方法技巧与总结...............................................................2

02题型归纳与总结...............................................................2

题型一：隐圆的第一定义：到定点的距离等于定长...................................2

题型二：隐圆的第二定义：到两定点距离的平方和为定值.............................5

题型三：隐圆的第三定义：到两定点的夹角为90。....................................8

题型四：隐圆的第四定义：边与对角为定值、对角互补'数量积定值....................10

题型五：隐圆的第五定义：到两定点距离之比为定值................................12

03过关测试....................................................................17

方法技巧与总结

活用隐圆的五种定义来妙解压轴题，关键在于理解和运用圆的五种基本性质。这五种定义包括：到定

点的距离等于定长（定义圆）、到两定点距离的平方和为定值、到两定点的夹角为90。、边与对角为定值且

对角互补、到两定点距离之比为定值。

解题时，首先要识别题目中的关键条件，看是否符合隐圆的某一定义。一旦确定，就可以利用圆的性

质来简化问题，如利用直径所对的圆周角是直角、同弦所对的圆周角相等或互补等性质。通过逆用这些性

质，可以找到隐形圆，进而利用圆的几何特征求解。这种方法能有效转化复杂问题，使解题过程更加清晰

明了。

题型一：隐圆的第一定义：到定点的距离等于定长

【典例1-1】已知是单位向量，ab=O,若向量。满足|c-a+b|=l,则|c-61的取值范围是（）

A.rV2-l,^+l]B.[1,^+1]C.[0,2]D.[V5-1.V5+1]

【答案】D

【解析】单位向量6满足。力=0，即作OA=a,OB=b,以射线。4,分别作为x、y轴非负

半轴建立平面直角坐标系，如图,

。=(1,0),6=(0,1),设c=(x,y),则c-a+)=(x-l,y+l),由|"一。+5|=1得：(x-1)2+(y+l)2=1,

x=l+cos6

令.(0＜。＜2兀)，即c=(1+cos。,一1+sin。)，

y=-l+sin，

.1

.夕二祢

Ic-b\=J(1+cos6)2+(-2+sin9辛=^6-2(2sin0-cosO')=«-2加sin(O-0)>其中锐角。满足<

2

COS(p=—f=

因此，当sin(6»-0)=-l时，111ax=，6+2•=J+1，当sin(6»—0)=1时，\(:-%=5瓦店=布-1，

所以lc-6的取值范围是-1，百+1].

故选：D

【典例1-2】已知单位向量。与向量心=(0,2)垂直，若向量c满足,+8+W=l,则|c|的取值范围为()

A.[1,75-1]B.C.[A/5-1,A/5+1]D.

【答案】C

【解析】由题意不妨设°=(1,0),设c=(x,y),贝Ua+b+c=(l,o)+(o,2)+(x,y)=(l+x,2+y).

v|«+Z?+c|=l,.-.(1+x)2+(2+y)2=1,即表示圆心为(一1,一2),半径为1的圆，设圆心为尸，

|OP|=7(-l)2+(-2)2=75.

2

•君=乒了表示圆P上的点到坐标原点的距离，75-1<|C|=7^+/„A/5+1，#1的取值范围为

|^A/5—1,-\/5+1],

故选：C.

【变式1-1]如果圆(了-。)2+口-4=8上总存在两个点到原点的距离为拉，则实数。的取值范围是()

A.(—3,3)B.(—1.1)

C.(-3,1)D.(-3,-l)U(l,3)

【答案】D

【解析】问题可转化为圆。：5-4+('-4=8和圆&:尤2+〉2=2相交，

两圆圆心距d=J(a-Of+(a-0J=>/2IaL

由&-"|00/<氏+「得20_&<伪.|<2应+应,

解得l<|a|<3,即“e(-3,-1)51,3).

故选：D

【变式1-2】设meR,过定点A的动直线x+2+m(y-7)=0和过定点8的动直线的-y-加+3=0交于点

P(x,y),贝ij|PA|+|P3|的取值范围是()

A.[A/5,2A/5]B.[A/W,4A/5]C.[264柄]D.〔5,5亚]

【答案】D

【解析】由题意可知，动直线x+2+m(y-7)=0经过定点4(-2,7),

动直线mx-y-m+3=0即加(x—l)—y+3=0,经过定点3(1,3),

〃iw0时，动直线x+2+机(y_7)=0和动直线如_y_机+3=0的斜率之积为始终垂直,

根=0时，也垂直，所以两直线始终垂直，

又尸是两条直线的交点，.•.EOPB,，|/<+|P8|2=|AB|2=25.

设=则1PH=5sin，，|P@=5cos，，

由|网20且归口》0,可得0)1

.•.|PA|+|PB|=5(sin6»+cos6»)=5V2sin6»+^,

八兀713%

。右呜，0~\-----G

444

故选:D.

【变式1-3】设meR,过定点A的动直线x+%y=。和过定点8的动直线〃a-y-相+3=0交于点尸(x,y),

则|以卜|尸理的最大值是()

A.4B.10C.5D.而

【答案】C

【解析】由题意可知，动直线x+畋=0经过定点40，。)，

动直线〃江-〉-"7+3=。即m(x-l)-y+3=0,经过定点3(1,3),

因为lx：”一〃zxl=0,所以动直线尤+my=0和动直线〃u-y-m+3=0始终垂直，

P又是两条直线的交点，

则有E4LPB,.'.\PAf+\PB\1=\ABf=10,

故1PAi•|PB区约"尸叫=5(当且仅当|PA|=|PB\=75时取“=”),

2

故选：C.

【变式1-4】设过定点A的动直线x+my=。和过定点8的动直线〃4->-根+3=0交于点尸(x,y),

贝力尸4『十|尸例2的值为()

A.5B.10C.叵D.V17

2

【答案】B

【解析】由题意，动直线尤+妆=0经过定点(0,0),则4(0,。)，

动直线"ix-y-"7+3=0变形得机(x-l)+(3-y)=0,则云(1,3),

\x+my=Q(nr-3m3-〃？)

由V°c得尸I-―r,~―7,

[mjc-y-m+3=OIm+1m+1J

m2-3m।(3-mm2-3m?_3

.-.|PA|2+|PB|2

m2+1)vm2+1m2+1m+1

_m4-6m3+m2+9-6m+m2+9m2+6m+1+m4+6m3+m2

(m2+1)2

10m4+20m2+10°

=---------------Z------=10

(m2+1)

故选：B.

题型二：隐圆的第二定义：到两定点距离的平方和为定值

【典例2-1】在平面直角坐标系x0y中，尸(2,2),Q(T,0)为两个定点，动点/在直线x=-l上，动点N满

足NO2+NQ2=16,则\PM+PN\的最小值为一.

【答案】5

【解析】设点N(尤,y),由NC)2+NQ2=16得：x2+/+(x+4)2+y2=16,

即/+/+4x=0,即(x+2>+/=4,

；.N在以。。为直径的圆上，不妨设N(2cos"2,2sin。)，,

则PM=(-3,m-2),PN=(2cosO-4,2sin6»-2),

PM+PN=(2cos0-1,2sm0+m-4),

PM+PN|2=(2cos9-7)2+(2sin，+—4/=trr—Sm+69+4[(>n-4)sin0—1cos0}

=(〃z—4>+53+浦⑺-4y+49sin(6—0),其中。为辅助角，

令如-裁+49=t,sin(0-<p)=a,贝5|127,-1<«<1.

:]PM+PN\2=t2+4+4at,

令f(t)=t2+4+4at=(t+2a¥+4-4a2,t>l,—1<fl<1,

・・・/⑺在[7,+8)上单调递增,

故当/^=7时，/«)取得最小值53+28。，

再令g(办=53+28。,-1<a<1,

显然g(a)在［T,I上单调递增，

故。=-1时，g(a)取得最小值53-28=25,

综上，当f=7,a=-l时，|PA/+PN/取得最小值25.

故|PM+PN|的最小值为5,

故答案为：5.

【典例2-2】(2024.江苏盐城.三模)己知A,8,C,。四点共面，BC=2,AB2+AC2=2Q,CD=3CA，则

I2。I的最大值为一.

【答案】10

【解析】设AC=M,由题意可得：DC=3m,AB=,

「AC2+BC2-AB2m2-8

则:

“'2ACxBC2m

m+2>^20-m1

ABC构成三角形，贝U：(I.-----解得：2<m<4,

由余弦定理：

BD=VfiC2+CD2-2BCxCDxcosC=j4+9m2-2x2x3mx=152+3疗,

V2m

当机=4时，取得最大值为io.

【变式2-1】已知圆C:(x+l)2+(y—2)=l,点A(—I,o),8。,0).设尸是圆C上的动点，令d=+四『,

则d的最小值为—.

【答案】14-46

222

【解析】设P(%,%)，|PA「=(X°+1)2+%2,|P5|=(x0-l)+y0,

2222

|PA|+|PB|=(X0-1)+%2+&+1)+y。2=x；_2%+1+y02+X；+2x°+1+y°2=2x；+2y『+2

=2(/2+%2)+2,

当|。尸|取得最小值时，+1尸即2取得最小值，

由圆C:(x+l)2+(y-2)2=l,则圆心C(—l,2),半径r=l,

易知1nhi=|0。|一「=5/1^-1=近一1,则d1nm=2(石一1『+2=14-4君.

故答案为：14-45石.

【变式2-2】已知圆C:(x+iy+(y—2)2=4,点人(一2,0),82,0).设p是圆C上的动点，令

1=+\PBf,贝ijd的最小值为

【答案】26-8^

【解析】

由已知C(—1,2),r=2,

2

设POofo)，|FA|=J(Xo+2『+y；,|PB|=A/(X0-2)+^,

22

所以d=|"「+1尸砰=(%+2)+y；+&一2)+y；=2(片+y；)+8,

因为|OP|=Jx；+y：,所以当|0P|取得最小值时，d取得最小值，

由IOP|的最小值为|0C|-r=^(-1)2+22-2=正一2,

所以d的最小值为2(君-2『+8=26-8后.

故答案为：26-875.

【变式2-3］正方形ABC。与点p在同一平面内，已知该正方形的边长为1,M|PA|2+|PB|2=|PC|2,则

|尸。|的取值范围为.

【答案】［2-72,2+72］

【解析】如图，以A为坐标原点，建立平面直角坐标系，

则A(O,O),B(1,O),C(1,1),D(O,1),

设点尸(x,y),则由|R4「+|PB『=|pq2,

Wx2+y2+(x-l)2+y2=(JC-1)2+(j-l)2,

整理得V+(y+l)2=2,

即点P的轨迹是以点M(o,-i)为圆心，血为半径的圆，

圆心M到点D的距离为|£陷=2,所以|PD1mhi=2-夜,|PD1mx=2+忘，

所以的取值范围是［2-a,2+0］

故答案为：［2-72,2+72］.

题型三：隐圆的第三定义：到两定点的夹角为90°

【典例3-1】已知向量0,b，c满足什=4,恸=2/，.与匕的夹角为(a-c).仅-c)=0,则代的最

大值为.

【答案】V10+V2

【解析】设OA=a，OB=b，oc=c，

以。4所在的直线为无轴，。为坐标原点建立平面直角坐标系，

因为问=4,忖=20,〃与匕的夹角为

所以4(4,0),3(2,2),设C(x,y),

即。4=a=(4,0),OB=b=(2,i),OC=c=(x,y),

所以a—c=(4—x,-y),b—c=(2—x,2—,

因为(。一<?)一仅_<?)=0,所以x2_6x+8+y2_2y=0,即(x—3)2+(y_1)2=2,

圆心坐标为0(3,1),半径r=&，同表示点C到坐标原点的距离即为圆上的点到坐标原点的距离，

因为圆心0(3,1)到原点的距离为］=序了=而，所以="r=M+@

故答案为：Vio+72.

【典例3-2】已知向量a力为单位向量，且“2=。，若C满足(。-c”6-c)=0,则|c|的最大值是

【答案】V2

【解析】向量。,6为单位向量，且a/=0,

不妨设&=0,0)，6=(0,1),令d=(x,y),

则a—c=Z?-c=(-x,l-y),

(a-c)-^-cj=-x(l-x)-y(l-y)=0即/+/-x-y=0,它表示以为圆心，为半径的圆，

可知同=yjx2+y2=7(x-O)2+(y-O)2表示圆上的点到原点距离，故其最大值是2厂=0.

故答案为：V2.

【变式3-1】已知点A(—m,0)，若圆Ud+V—6x—8y+24=0上存在点P,使得

PA±PBJ则实数〃z的最大值是()

A.4B.5C.6D.7

【答案】C

【解析】圆C：%2+y2—6x—8y+24=0即为：(x—3)?+(y—4)?=1,

其圆心为(3,4),半径为1,

设A3的中点为M,

因为点A(-m,0)»»

所以M(0,0),

以AB为直径的圆的方程为：％2+y2=m2,

|CM|=V32+42-5-

若圆C:Y+y2—6x—8y+24=0上存在点尸，使得巴4,QB，

则圆C与圆”有公共点，即同―1归5«同+1，

解得4W帆<6>

所以实数机的最大值是6.

故选：C

【变式3-2】已知圆C：(彳-1)2+&+3)2=10和点/(5,。，若圆C上存在两点A,3使得例，版,则实

数f的取值范围是—.

【答案】-54tW-1

【解析】圆C：(尤-l)2+(y+3)2=10,贝伴径为何，C(l,-3),

如上图，对于直线尤=5上任意一点M(5J),

当AM,8”均为圆的切线时/WB最大，

由题意，MA±"即/AMB=90时，此时M为满足题设条件的临界点,

此时有回=sin/AMC>—.

\CM\2

\AC\72回、拒

当Af在临界点之间移动时，有二2一，即/2»亏，

\CM\2+«+3、)2

即有：(t+3)244,解得：

故答案为：-5<r<-l.

题型四：隐圆的第四定义：边与对角为定值、对角互补、数量积定值

【典例4-1】已知友人』是平面向量，同=1,若非零向量。与e的夹角为不向量。满足

b2-4b-e+3=Q，则|”可的最小值是.

【答案】73-1/-1+V3

【解析】设。=(x,y),e=(l,0),6=W，〃)，则由〈a,e〉=g得K=向冏cos^,x=；+/,可得>=±石了,

由Z?2_4e.A+3=0得根？+〃2—4加+3=0,(加一2)2+/=1，

因此，|a-Z?|=^(x-m)2+(y-n)2表示圆(m-2)2+H2=1上的点到直线y=±JL上的点(%,y)的距离;

故其最小值为圆心(2,0)到直线y=土氐的距离［=乎=退减去半径1,即6.

故答案为：A/3-I

【典例4-2】设向量a,6,c满足。=。=2,〃.6=一2，(a-c,6-c)=60。，则卜|的最大值等于()

A.4B.2C.也D.1

【答案】A

C

因为a="=2,a-b=-2,所以cosa,6=

如图所以，^OA=a,OB=b,OC=c,贝qC4=a-c,C8=6-e,ZAO8=120。.

所以NACB=60。，所以NAO3+NACB=180。，所以A,0,8,C四点共圆.

不妨设为圆M,因为A2=6-所以AB=ci1-la-b+b1=12.

所以=2退，由正弦定理可得V49B的外接圆即圆M的直径为2R=.网=4.

sinZAOB

所以当|。4为圆M的直径时，，取得最大值4.

故选：A.

【变式4-1］（2024.天津.一模）如图，梯形ABCD中，ABCD,A3=2,CO=4,3C=AD=0,£1和尸分别为

4D与BC的中点，对于常数4,在梯形ABCD的四条边上恰好有8个不同的点尸，使得=2成立，

则实数4的取值范围是

4B

1一'

5__9_511

4，~20“一了

£119_j_

45J20，-4

【答案】D

【解析】以8的中点为坐标原点,C£）所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，则

A(-1,2),5(1,2),C(2,0),0(-2,0)，E

当尸在边CD上时，设P（X,0），MG（0,2），则2=PE-PP=X2—

当尸在边CB上时，设尸（苍4—2x）,xe（l,2），则；l=PE.PF=x2—（+（3—2x?=5/—12x+彳e

当P在边AB上时，设P（x,2），We（0,l），则4==

当尸在边AD上时，设夕（%,2%+4）,4£（一2,-1），贝U

2=PE-PF=x2--+（3-2x）2=5x2-12x+—ef--,--1

4I）4I204j

综上所述，实数4的取值范围是［-"?］］-2,-；］=（-2,-；］.故选D.

144）（204）<204）

【变式4-2］（2024•广东广州.一模）在平面四边形ABC。中，连接对角线3。，己知CD=9,BD=16,

4

^BDC=90°,sinA=,，则对角线AC的最大值为.

【答案】27

4

【解析】画出图像如下图所示，由于sinA=M、BD=16为定值，故A在以3。为弦的圆上运动，由正弦定

理得2火=彳=2。，火=1。，故圆心的坐标为（8,-6）,AC的最大值即为CA的值，也即是CO+R的值，由两

5

点间的距离公式有CO+R=782+152+10=27.

题型五：隐圆的第五定义：到两定点距离之比为定值

【典例5-1】古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：已知平面内两个定点及动点尸，若言=2（几>。

r/X.

且2wl）,则点尸的轨迹是圆.后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆（简称“阿氏

圆”）.在平面直角坐标系中，已知。（0,0）及（。,0）,直线4：区-y+k+3=o,直线4h+外+3左+1=0,

若尸为//的交点，则;Q「。|+:1|尸。|的最小值为()

A.叵B.6-3A/2C.9-372D.

2

【答案】A

【解析】当左=o时，4：y=3，：x=T，此时4平2,交点为尸(-1,3).

当左片0时，由4:-一y+左+3=0,斜率为左,

由:x+ky+3k+1=0,—,(_L,

k

综上，4U.

又4:%(x+l)-y+3=0,，直线4恒过E(-l,3),

4：x+1+%(y+3)=0,..•直线4恒过F(-l,-3),

若P为44的交点，则PE,PF,设点P(x,y),

所以点尸的轨迹是以ER为直径的圆，除去尸点，

则圆心为EF的中点C(-l,0),圆的半径为r=网=3,

2

故尸的轨迹方程为(x+1)2+/=9(yw-3),

即f+/+2%=8(yw—3),贝lj有y2——%2—2x+8.

又。(O,O),Q(O,a),易知O、Q在该圆内，

又由题意可知圆C上一点4(2,0)满足wa=2,取。(8,0),

则由4=6,满足/万=3.

PDiiii

下面证明任意一点P(x，y)都满足记=3,即1Pq=3帜@,

31Poi=^9(x2+y2)=^9(%2-X2-2X+8)=j9(-2x+8),

又|PD|=J(尤-8j+y2=J(x-8)2-Y-2x+8=J-18尤+72=,9(-2x+8),

:.3\PO\=\PD\.

所以31Pq+因=附+闸>|D<2|,

X|DQ|=J(8-0)2+(0-V2)2=A/66,

所以||P0|+J叫2字’

如图，当且仅当三点共线，且尸位于。，。之间时，等号成立

即•||尸。|+m尸。|最小值为手.

故选：A.

【典例5-2】（2024•江西赣州•模拟预测）阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德并称为

亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的

是：已知动点M与两定点A,B的距离之比为“几＞0,4-1）,那么点M的轨迹就是阿波罗尼斯圆，简称阿

氏圆.已知在平面直角坐标系中，圆O：V+y2=l、点和点M为圆O上的动点，则

21MAi-的最大值为（）

A.-B.姮C.-D.也

2222

【答案】B

【解析】设知«江令21AMi=|MC|,则■=g，

由题知圆V+y2=l是关于点A、C的阿波罗尼斯圆，且2=；，

2

设点c（s〃），则也竺［=x+1+/

惘口小（x-mj2

2m+42nm2+n2-1

整理得：x2+y2+-----XH-----y二---------

333

2m+4苏+〃2—11「

比较两方程可得:~二0，。,-------------=1,gRpnm=-2〃=0,点C（—2,0）,

3T3

21MAi-|加冽=|"。-|4"1的值最大，最大为忸q=当

当点M位于图中的位置时,

故选：B.

【变式5-1］（2024.湖南.模拟预测）希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名.他发现：“平面

内到两个定点A,8的距离之比为定值％（2^1）的点的轨迹是圆”.后来，人们将这个圆以他的名字命名，

称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系My中，A（T,l）,B（-4,4）,若点尸是满足2=g的

阿氏圆上的任意一点，点。为抛物线C:y2=i6x上的动点，。在直线x=T上的射影为R,则

|P8|+2|PQ|+2|QR|的最小值为()

A.4A/5B.875D.2病

【答案】D

【解析】设尸（x,y）,

PA]J(x+4『+(yT)2

1

则

2

化简整理得（X+4『+/=4,

所以点尸的轨迹为以（T,0）为圆心2为半径的圆,

抛物线C:/=16x的焦点F（4,0）,准线方程为x=T,

则|PB|+2|PQ|+2|QR|=2|PA|+2|PQ|+2|QP|

=2(|^4|+|Pei+ieF|)>2|AF|=2V65,

当且仅当A，P，Q，B（只。两点在A/两点中间）四点共线时取等号,

所以1PBi+21PQ|+21QR|的最小值为2相.

【变式5-2】阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠，

他对圆锥曲线有深刻且系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书中，阿波罗尼斯圆

是他的研究成果之一，指的是：已知动点M与两定点A,3的距离之比为“2＞。,4=1),那么点河的轨

迹就是阿波罗尼斯圆.如动点M与两定点A(|,o13(5,0)的距离之比为g时的阿波罗尼斯圆为

x2+y2=9.下面，我们来研究与此相关的一个问题：已知圆。：无2+产=4上的动点”和定点4(-1,0),

3(1,1),则21M4|+河网的最小值为()

A.2+A/TOB.后C.726D.729

【答案】C

因此21MAi+1=||+1MB闫BN|="(-4-=届,当且仅当点M是线段BN与圆。的交点时取

等号，

所以21M4|+|MS|的最小值为四.

故选：c

【变式5-3]（2024•全国•模拟预测）阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德被称为亚历山

大时期数学三巨匠，阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点A，8的距离之比为定值〃彳>0,且2*1）的点的

PA1

轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”.在平面直角坐标系x0y中，A（-2,0）,8（4,0）,点？满足=设点

rDZ

尸的轨迹为曲线C,则下列说法错误的是（）

A.C的方程为（了+力+y=16

B.当A,3,P三点不共线时，则=尸O

C.在C上存在点使得|MO|=2|〃A|

D.若。（2,2）,则|即+2|尸力的最小值为46

【答案】C

空」#+2y+/

；，化简得（尤+）故正确;

【解析】设P（x,y）,由4?+/=16,A

PB千小一盯+J

OA\1\PA

当A民尸三点不共线时，=-=所以尸O是ZAP5的角平分线，所以NAPO=N/PO,故B正

（JD\2rD

确;

设M（x,y）,则存了了=2河以下，化简得（x+$2+y2=T，因为J（一4+§2+（0-0>=g<4-g,

所以C上不存在点使得|/O|=2|M4],故C错

误；

因为•篇=；,所以|尸固=2|以|,所以|「同+2|尸。=2|斜+2「。自2|4。=46，当且仅当尸在线段AD上

时，等号成立，故D正确.

故选：C.

0

//过关测试,\

1.阿波罗尼斯是古希腊著名的数学家，对圆锥曲线有深刻而系统的研究，阿波罗尼斯圆就是他的研究成

果之一，指的是：已知动点M与两定点。P的距离之比附=2（2>0"x1）,那么点M的轨迹就是阿

波罗尼斯圆.已知动点M的轨迹是阿波罗尼斯圆，其方程为/+丁=1,定点。为x轴上一点，尸，;，0

且4=2,若点3（1,1）,则21Mpi+|MB|的最小值为（）

A.76B.V7C.710D.而

【答案】C

【解析】设。（。,。），M（x,y）,所以=+,

\22

之二二2

因为扁=几且4=2,所以

+/

2

整理可得V+V+1±^苫=勺二，

33

又动点M的轨迹是炉+y2=1,

3=o

3

所以2、，解得。=-2,

a-11

-------=1

I3

所以。（一2,0）,又M9=2|MP|,

所以21Mpi+|MB卜因为5（1,1）,

所以2|〃P|+|MB帕勺最小值为忸@=J0+2）2+（1—0）2=如.

故选：c.

2.阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥

曲线有深刻而系统的研究，主要研究成果在他的代表作《圆锥曲线》一书，阿波罗尼斯圆是他的研究成果

之一，指的是：已知动点M与两个定点A、8的距离之比为4（2>0,彳力1）,那么点M的轨迹就是阿波

罗尼斯圆.若已知圆。必+y=1和点4（-3,0；点8（4,2）,M为圆。上的动点，则2M的最小

值为（）

A.2而B.2A/10

C.底D.737

【答案】B

【解析】令21M4|=M。，则给=:，所以JC+2J+y_1,

11的一"〃?）2+（匕.-2

整理士+9+也±3x+®y=,得根=一2,〃=0,点M位于图中M1、知2的位置时,

333一

2|幽+|人倒=|MC|+W码的值最小可得答案.设M（x,y）,令21M4|=|"C|,则普=；，

由题知圆/+9=1是关于点A、C的阿波罗尼斯圆，=

设点c（双小，则画引+y整理得:

阳。^（x-m）2+（y-n）2?

22

22m+4Inm+n-1

,H----------x-\-----y=

333

2H7+49nm2+n2-1

比较两方程可得：3产=0,y=0,1,

3

即加=—2,〃=0,点C（—2,0）,

当点M位于图中Mi、"2的位置时，

2|A£4|+|MB|=|MC|+|MB|的值最小，最小为2M.

故选：B.

）

A.[A/5-1,A/5+1]B.[1,75+1]C.[5,6]D.[4,6]

【答案】D

【解析】••4）是单位向量，.•.W=W=L

,■|C-3Z?-46/|=1

•|c-3b—4a1=c-2c,（36+4a）+9b+24。1b+16a~=1且ci-b-0-

・・.2八四+甸=J+24,又中人+同=J(36+4Q『=5,

.-.|c|+24=2x5x|c|cos0(。是"与3。+4〃的夹角).

又一1<COS0<1,

.-.24<|C|2+24<10|C|,

.­.|C|2-10|C|+24<0.

根据一元二次不等式的解法，

解得4<卜区6.

故选：D.

4.如果圆C:(x-m)2+(y-m)2=16上总存在两个点到原点的距离为2,则实数，”的取值范围是().

A.卜3夜,3夜)B.(-叵吟

C.(-3A/2,V2)D.卜3应,-夜)(夜,3夜)

【答案】D

【解析】如果圆C:(xr〃)2+(y-〃z)2=16上总存在两个点到原点的距离为2

则圆C：(元—机)~+(y—=16和圆O:Y+丁=4相交，

又圆+(y-〃z)2=16的圆心为C(m,"2),半径为耳=4

两圆圆心距|CO|=^(m-0)2+(m-0)'=A/2\m\)

由卜一2|<<q+2得4—2<-\/2|w|<4+2,

解得及<帆<3啦，即加e(-3A/2,-V2)U(四,3行).

故选：D.

5.设mwR,过定点A的动直线〃z"y=。和过定点8的动直线x+/y-4m-3=。交于点p,贝北24|+|「却

的取值范围是()

A,[62百]B.[2A/5,5]

C.[5,50]D.[5,10]

【答案】C

【解析】由已知可得动直线niX-y=Q经过定点A(0,0),

动直线x+阳-47TL3=0经过定点3(3,4),

且两条直线互相垂直，且相交于点尸，

所以2_LPB,即|巳4「+|尸8「=|4邦=25,

由基本不等式可得|「加*+1盟丫v2仍4卡「呼卜

即25<(|PA|+|PB|)2<50,可得54|到+|尸3归50,

故选：C.

6.设，"eR,过定点A的动直线X+冲+机=0和过定点8的动直线3-y-%+2=0交于点尸(x,y),则

IR4I+I尸8|的取值范围是()

A.[括,2石]B.[A/W,2A/5]C.[9,4逃]D.[26,4逐]

【答案】B

【解析】由题意可知，动直线无+冲+机=。经过定点A(0,T),

动直线小一丫-〃7+2=。，即m(x-l)-y+2=0,经过点定点8(1,2),

「动直线x+冲+相=0和动直线如-丁-相+2=0的斜率之积为一1,始终垂直，

尸又是两条直线的交点，

PAVPB,日产+1PB\2=\AB|2=10.

设/A3P=6,贝lJ|H4|=a3sin(9,|PB|=JIUcosP,

由|PA|..O且|尸可得9e[0,-]

2

.[PA|+|PB\=^s/lOCsin0+cos0)=2百sin(。+—),

。e[0,—],

2

4717T3〃"

444

.,万冗、IT

sin(9H—)G[—，1」,

42

.•.2&sin(6»+?)e而，2后,

故选：B.

7.设向量a,b,c满足：|a|=|6|=l,a.b=~,^a-c,b-c)=60°,贝lj|c|的最大值为()

A.2B.73C.也D.1

【答案】A

【解析】由题意可得|a|=|b|=l,a-b=^-,.•.lxlxcos(a,/?)=-；,

设。4=〃,OB=b,OC=c?则cA=〃一△，CB=b—c，

又（Q-己Z?-d）=60。，/.ZACB+ZAOB=60°+120°=180°,

二.A、。、B、。四点共圆，

当最大时，有|c|=|ocj=2H,R为该圆的半径，

由AB?=（〃—]）2=/十/一2〃.人=3,所以,|AB|=^3

在，A03中，由正弦定理可得2R=A'=1_=2,

sinZAOBsin120°

当且仅当OC是ZAO3的平分线时，取等号，此时©的最大值为圆的直径大小为2.

8.（2024•辽宁・模拟预测）古希腊著名数学家阿波罗尼斯（约公元前262年至前190年）与欧几里得、阿基

TM

米德齐名，著有《圆锥曲线论》八卷.平面内两个定点M,N及动点P,若布=4（九>0且2W1）,则点

T的轨迹是圆.后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆.点P为圆A：（x-l）2+y2=4上一

动点，0为圆B：（尤-3>+（y_4）2=l上一动点，点C（—3,0）,则|尸。+|尸。|+|尸理的最小值为一.

【答案】9

【解析】由P为圆A：（x-l）2+y2=4上一动点，得A（l,0）,|"|=2,

由。为圆B：（x-3）2+（y-4）2=1上一动点，得3（3,4）,忸0=1,

又仙。|=1,恒。=4.

AOAP1

因为^=二方=不，^ACP=ZACP,所以443644PO,

AC/

于是|尸C|=2|尸0.

当P,。,8共线且|P0<|依|时|「0+|尸理取得最小值，即\PQ>[+\PB\>2\PB\-1.

所以|PC|+|尸@+|尸31221Pol+2|尸耳-1N2|0耳一1=27（3-0）2+（4-0）2-1=9,

当O,P,B共线时等号成立.

故答案为：9.

9.古希腊数学家阿波罗尼斯在他的巨著《圆锥曲线论》中有一个著名的几何问题：在平面上给定两点4

B,动点P满足以|=川国|（其中2是正常数，且XR1）,则尸的轨迹是一个圆，这个圆称之为“阿波罗尼

斯圆现已知两定点"（TO）、N（2,l）,P是圆O:/+y2=3上的动点，则61PMi+|PN|的最小值为

【答案】V26

【解析】如图，在无轴上取点S（-3,0）,

POS,.•.附=两尸闾,

.•.6pM+|PN|=|PS|+|PN闫SN|（当且仅当尸为SN与圆。交点时取等号），

.•.（用PM|+|PN|）=|SN|=J（—3—2）2+（0-1）2=而

故答案为：A/26.

10.（2024.高三.吉林通化・期末）古希腊数学家阿波罗尼斯（约公元前262-190年），与欧几里得、阿基米德

并称古希腊三大数学家；他的著作《圆锥曲线论》是古代数学光辉的科学成果，它将圆锥曲线的性质网络

殆尽，几乎使后人没有插足的余地.他发现“平面内到两个定点A，2的距离之比为定值彳（彳21）的点的轨迹

是圆后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.比如在平面直角坐标系

中，4（0,1）、5（0,4）,则点尸满足彳=；所得尸点轨迹就是阿氏圆；已知点C（-2,4）,。为抛物线V=8x

上的动点，点。在直线x=—2上的射影为小M为曲线（尤+2），/=4上的动点，则；阳。+|。川+|0叫

的最小值为.贝||同。+|。叫+|。叫的最小值为

【答案】V17；4小