江苏徐州2024-2025学年高三年级上册8月期初考试数学试题

2024〜2025学年度第一学期高三年级期初抽测

数学试题

注意事项：

1.答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写

在答题卡上.用2B铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上.将条形码横贴在答题卡右

上角“条形码粘贴处”.

2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂

黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.

3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应

位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按

以上要求作答的答案无效.

4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中只有一项是

符合题目要求的.

1.已知集合A=8小及=l°g«+l）（2-x）},则川5:（）

A.{x|0<x<2）B,{x|0<x<2}C.{0,1}D.{0,1,21

2.已知非零实数，，A满足。>b,则下列不等式中正确的是（）

A.—<7-B.a3>b3

ab

71CA

C.b-a+-------<-2D.3a<3b

b-a

第1页/共5页

4.已知函数/（x）的图象向左平移1个单位后关于y轴对称，当玉<%<1时，

[/（々）_/（工1）]（工2_%）〉°恒成立，设/（10§23）>C=则"’b，。的大

小关系为（）

A.c>a>bB.c>b>aC.a>c>bD.b>a>c

5.已知函数〃力=卜+尸一siYx,则“菁>「是“f（芯）>/（“）”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

e%।]

6.函数〃x）=一',若/（。2+1）<〃—10。）一/（5）,则实数〃的取值范围是（）

1ILX,1

A.{-1}B.（-co,-l]

C.[-l,+oo）

7.已知函数"X）的定义域为R,且满足/（x）+/（y）=/（x+y）—2^+2,/（l）=2,则下列结论正确的

是（）

A./（4）=12B.方程y（x）=x有解

C./+是偶函数是偶函数

8.已知函数/（x）的定义域为（0,+功，且（x+y）〃x+y）=M/（x）〃y）,〃l）=e,记

«=/（1]^=/（2）,C=/（3）,则（）

A.a<b<cB.b<a<c

C.a<c<bD.c<b<a

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

第项/共5页

9.下列命题正确的是()

5,

A.命题“Vx〉l,X?—无>0"的否定是'勺％V1,Xg—x0<0；

B.如果A是B的必要不充分条件，B是C的充分必要条件，。是C的充分不必要条件，那么A是。的必

要不充分条件

C.函数/(%)=。必+%+1的图象恒在g(x)=X2+ax的图象上方，贝i]a的范围是(1,5)

D.已知4,1,9，。2，。2，。2均不为零，不等式不等式+4》+。1〉0和+°2%+。2〉。的解集分别为

a.b,c.

M和N,则“二=皆=’”是“M=N”成立的既不充分也不必要条件

%打。2

10.已知函数/(x),g(x)的定义域均为R,函数己(2x+2)为奇函数,F(x-l)为偶函数,g(x)为奇

函数，g(x)=g(4-尤)，则下列说法正确的是()

A.函数/(x)的一个周期是6

B.函数g(x)的一个周期是8

C.若"0)=2,则〃18)+g(68)=-2

D,若当0VxV2时,g(x)=ln(x+l),则当104xW12时，g(%)=ln(13-K)

11.已知事是函数“X)=/+如+"(根<0)的极值点，若/(9”/(%)(玉0》2)，则下列结论正确

的是()

A.y(x)的对称中心为(o,〃)B./(-%；)>/(%1)

C,2%+%2=。D.再+%2〉0

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.已知a,6为实数，若不等式12ax2+(4a+Z?)x+4a+@<2|x+l|对任意xe恒成立，贝!]

3。+。的最大值是.

13.已知函数/(x)=|log2x|,g(x)=；x,若对任意xe[a,+e),总存在两个/e；,4,使得

g(x)-〃Xo)=l，则实数”的取值范围是.

14.若定义在A上的函数和定义在2上的函数g(x),对任意的X]CA,存在龙2^3,使得

第3页/共5页

〃xj+g(x2)=f。为常数)，则称/(X)与g(x)具有关系P。).已知函数/(x)=2cos[2x+Wj

兀2兀

(xe---),g(x)=cos2x-zucosx+5(xeR),且/(x)与g(x)具有关系尸⑶，则根的取

值范围为.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.已知函数/(X)="1%?+(2o-l)x-21nx,oeR.

(1)讨论的单调性；

(2)对于八«1同,%€[2,+8),使得〃工)之匕，求实数a的取值范围.

16.设函数f(x)=k/—尸(a>0且，awl,keR),若〃x)是定义在R上的奇函数且/⑴=万.

(1)求左和a的值；

(2)判断其单调性(无需证明)，并求关于f的不等式/(2，-1)</,2一4)成立时，实数，的取值范围；

(3)函数g(x)=/+a-2"—”(无)，xe[l,2],求g(x)的值域.

17.已知函数=»回，其中e为自然对数的底数.

ax

(1)讨论了(X)的单调性；

(2)若方程〃x)=l有两个不同的根%

⑴求。的取值范围；

(ii)证明：才+考>2.

18.已知函数/(X)=ln(x+l).

(1)讨论函数R(x)=R)的单调性；

⑵设函数g(x)=(x+l)/R，+.

(i)求g⑴-g(-2)的值;

(ii)证明：存在实数冽，使得曲线y=g(x)关于直线x=，〃对称.

第4页/共5页

19.已知函数y=〃x）,其中〃x）=g%3—日2,左eR.若点A在函数y=〃x）的图像上，且经过点A

的切线与函数y=/（x）图像的另一个交点为点B,则称点B为点A的一个“上位点”，现有函数_y=/（X）图

像上的点列M2,M”，…，使得对任意正整数“，点都是点的一个“上位点”.

（1）若左=0,请判断原点。是否存在“上位点”，并说明理由；

（2）若点"1的坐标为（3左,0）,请分别求出点〃2、的坐标；

（3）若的坐标为（3,0）,记点又“到直线丁=机的距离为4.问是否存在实数冽和正整数T,使得无

穷数列斗、dT+x..../+,…严格减？若存在，求出实数加的所有可能值；若不存在，请说明理由.

第5页/共5页

2024〜2025学年度第一学期高三年级期初抽测

数学试题

注意事项：

1.答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写

在答题卡上.用2B铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上.将条形码横贴在答题卡右

上角“条形码粘贴处”.

2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂

黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.

3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应

位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按

以上要求作答的答案无效.

4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中只有一项是

符合题目要求的.

1.已知集合A=8小及=l°g《+l）（2-初，则川5=（）

A.{x|0<%<21B.1.r|0<x<2}C.{0,1}D.{0,1,21

【答案】C

【解析】

【分析】对于集合A,先求出定义域，再求出y=14—的范围,结合yeN,得到集合A；对于集合8,

令真数大于0,求出x得范围，然后求集合A和集合8的交集即可.

【详解】对于集合A,令4—必之。，解得—2<X<2,

所以0<4-％2<4，所以0Vy=W2,

又因为yeN,所以A={0,l,2}；

对于集合8,（x+l）（2-x）>0,解得一1<%<2,

所以8={》|—1<%<2},

故an8={0』}.

故选：C

第1页/共23页

【点睛】本题主要考查求解函数的定义域和值域，以及集合的基本运算，注意求解值域时要优先求解函数

的定义域，属于基础题.

2.已知非零实数）满足。>6,则下列不等式中正确的是（）

A.—<yB.a3>b3

ab

C.b-a+-------<-2D.3a<3*

b-a

【答案】B

【解析】

【分析】取特值可判断A和C,由函数的单调性可判断B和D.

【详解】对于选项A：取。=2,b=-1,则工〉工，故A错误；

ab

对于选项B：因为f（x）=d在R上单调递增，所以当。>8时，/>户，故B正确;

对于选项C：取1=2,b-\,则b-ad---=-2,故C错误；

b-a

对于选项D：因为g（x）=3"在R上单调递增，所以当a>6时，3“〉3"，故D错误.

故选：B.

【答案】D

【解析】

【分析】根据题意，利用函数“X）的定义域7（；）=。，以及Xff时，〃x）>0且-结合

选项，即可求解.

第2页/共23页

【详解】由函数/(X)=』(2XT),可得函数的定义域为(—J)。。+8),且/(；)=0,

X1一

故排除B,C,当xf-8时，〃x)>0且0,排除A.

故选：D.

4.已知函数/(x)的图象向左平移1个单位后关于y轴对称，当药<%<1时，

[/(%2)_/(药)](々_%)〉°恒成立，设a==/(lo§23)>c=/1|J，则。，b，c的大

小关系为()

A.c>a>bB.c>b>aC.a>c>bD.b>a>c

【答案】C

【解析】

【分析】先结合条件判断函数f(x)的对称性质和单调性，再分别界定三个自变量的值或者范围，利用函数

对称性和单调性即得.

【详解】依题可知函数/(X)的图象关于直线X=1对称，且在区间(-8,1)上单调递增，则在区间(L+8)上

单调递减.

因g=ln蹲<ln2<l,则|<log23<2,故/'(2)>/(g)>/(log23),即a>c>b.

故选：C.

【点睛】关键点点睛：解题的关键在于，得知了函数在(1,+8)上的单调性之后，如何判断三个自变量的

313

大小范围，考虑到三个都是大于1的，且有一个是一，故对于log,3和——，就必然先考虑它们与一的大

2m22

小，而这需要利用对数函数的单调性得到.

5.已知函数=-sii?%,则“国>国”是“〃芯)>/(%2)”的()

A.充分不必要条件B,必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

【分析】先推导函数的奇偶性和单调性，再根据充分必要条件的规定进行判断即得.

【详解】易知函数“X)的定义域为R.由/(x)=e"+ef-sidx可得〃一尤)=/(力，

第3页/共23页

所以函数“X)是偶函数.易得r(x)=e"一尸一sin2x,令g(x)=f1x),

则g'(x)=+e-r-2cos2x>2-2cos2x>0,当且仅当x=Q时取等号，

所以/'(x)是增函数，又以(0)=0,故当x>0时，/'(x)〉0,即在(0,+")上单调递增.

由上分析知,当玉>冈上。时，/(为)>/(民|)，因/(|x|)=/(x)，

故当芯>同时，/(%)>〃%2)，即“%>卜2卜是'/(%)>>(%)”的充分条件;

当“玉)>/(%2)时,/(忖|)〉/(民|)，可得|再|>|々|,所以七〉同或％<T%|,

即“玉>网”不是."(再)>/(修)”的必要条件.

故选：A.

6.函数〃x)=F—4，x<\若/(a2+ib〃_i0a)—“5),则实数”的取值范围是()

lux,x>1

A.{—1}B.(-8,-1]

C.[-l,+oo)D.

【答案】A

【解析】

【分析】原不等式变形为/[5(/+1)]三/(_10。)，再利用分段函数的单调性即可得到不等式，解出即可.

【详解】当x<l时，/(x)=e"+x—4,因为y=e、y=x—4在(—%,1)上单调递增，此时〃x)单调递

增，

当时，易知/(x)=lnx单调递增，且当x=l时，e1+l-4=e-3<0=lnb

则/(%)在R上单调递增，

因为片+121，则/(a2+l)+/(5)=ln(a2+i)+in5=ln5(a2+l)=/[5(a2+l)],

所以由/(a2+l)W〃-10a)—"5)得/[5(a2+i)]v〃_ioa),

所以5(/+l)v_10a,解得a=_i.

故选：A.

7.已知函数/a)的定义域为R,且满足/(》)+/(丁)=/(%+y)一29+2,/(1)=2,则下列结论正确的

第4页/共23页

A.F(4)=12B.方程y(x)=x有解

是偶函数D.f是偶函数

【答案】c

【解析】

【分析】由已知利用赋值法与等差数列的求和公式，结合函数的奇偶性及方程解的存在条件检验各选项即

可判断.

【详解】对于A,因为函数"X)的定义域为R,且满足/(x)+/(y)=/(x+y)—2盯+2,/(1)=2,

取x=y=l,得/(1)+/(1)=/(2)—2+2,则/(2)=4,

取x=y=2,得/(2)+/(2)=/(4)—8+2,则/(4)=14,故A错误；

对于B,取y=l,得/(x)+/(l)=/(x+l)—2x+2,贝U/(x+l)—/(x)=2x,

所以于(X)—f(x-1)=2(尤-1)-f(x-2)=2(x-2),-,/(2)-/(I)=2,

以上各式相加得了(x)—/(I)=[2(D；2].(X—1)=%,

所以/(x)=x2-x+2(xeZ),

令/(x)=x2-x+2=x,得X2一2%+2=0，此方程无解，故B错误.

对于CD,由B知/(x)=必一x+2,

所以/+=+_1x+g]+2=x2+：是偶函数，

—=—g]—[x—g]+2=d—2x+：不是偶函数，故C正确，D错误.

故选：C.

【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是利用赋值法得到/(x+D-/(x)=2x,再利用等差数列数列的求

和公式得至x+2,从而得解.

8.已知函数/(x)的定义域为(0,+功，且(x+y)"x+y)=R(x)F(y),〃l)=e,记

第5页/共23页

«=/^p=/（2）,c=/（3）,则（）

A.a<b<cB.b<a<c

C.a<c<bD.c<b<a

【答案】A

【解析】

【分析】根据函数/（X）满足的表达式以及/（I）=e,利用赋值法即可计算出仇。的大小.

【详解】由（x+丁）〃兀+>0=冲/'（力1/3"（1）=6可得,

1|AiA

令冗=y=一,代入可得/。）=K=e

2

令x=y=l,代入可得2〃2）=/^l）=e2,即万二/⑵二三,

23

令x=l,y=2,代入可得3/（3）=2/（l）/（2）=2ex]=e3,即c=/（3）=]；

由e。2.71828…可得±2八<J<J,

23

显然可得a<6<c.

故选：A

【点睛】方法点睛：研究抽象函数性质时，可根据满足的关系式利用赋值法合理选取自变量的取值，由函

数值或范围得出函数单调性等性质，进而实现问题求解.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.下列命题正确的是（）

A.命题“Vx〉l,x?-x〉0”的否定是W1,Xg—x0<0',；

B.如果A是B的必要不充分条件，B是C的充分必要条件，。是C的充分不必要条件，那么A是。的必

要不充分条件

C.函数“力=6+%+1的图象恒在8（%）=必+利的图象上方，贝i|a的范围是（1,5）

D.已知。1，4，。1，出,62，。2均不为零，不等式不等式+4》+。1〉0和。2工2+4%+。2〉。的解集分别为

第6页/共23页

a,b,3

M和N,则“二=广=’”是=N”成立的既不充分也不必要条件

a,b2c2

【答案】BD

【解析】

【分析】借助全称命题的否定的定义可得A；借助充分条件与必要条件的关系推导可得B；借助作差法

结合二次函数的性质计算可得C；结合充分条件与必要条件的定义，举出相应反例可得D.

【详解】对A：命题“Vx〉l,/一工〉0”的否定是“川〉1，焉一/<0"，故A错误；

对B：由A是2的必要不充分条件，3是C的充分必要条件，

可得A是C的必要不充分条件，由。是C的充分不必要条件，

则A是。的必要不充分条件，故B正确；

对C：由题意可得/(x)-g(x)=+x+1-x2-ax>0恒成立，

即(。一1)/+(1—a)x+l〉O恒成立，

则当a=1时，有1>0恒成立，符合要求，

当a>l时，△=—4(a-1)=(a<0,解得ae(l,5),

当a<1时，(a—+(1—a)x+l>0不恒成立，故舍去，

综上所述，a的范围是［L5),故C错误；

对D：若“幺L=yi=fL<0"，则“M=N”不成立，

%b2c2

abG

若"M=N=0",贝广'=皆=’"不恒成立，

a2b2c2

a.hG

故"二=皆=，”是=N”成立的既不充分也不必要条件，故D正确.

c

a2%2

故选：BD.

10.已知函数/(x),g(x)的定义域均为R,函数〃2x+2)为奇函数，〃尤-1)为偶函数，g(x)为奇

函数，g(x)=g(4-力，则下列说法正确的是()

A.函数/(x)的一个周期是6

B.函数g(x)的一个周期是8

第7页/共23页

c.若/(o)=2,则/(18)+g(68)=—2

D.若当0<x<2时，g(x)=ln(尤+1),则当10VxW12时，g(x)=ln(13-x)

【答案】BCD

【解析】

【分析】选项A,根据条件得到/(T)=—/(f+4),/(-%)=/(%-2),即可求解；选项B,根据条件

得到g(x)=-g(x+4)=g(x+8),即可求解；选项C,利用选项A和B,可得

/(18)+g(68)=/(6)+g(4),再求出/(6),g(4),即可求解；选项D,利用选项C中结果，结合条件

得至Ug(x)=g(x-8)=g(4—(x—8))=g(12—x),即可求解.

【详解】对于选项A,因为〃2x+2)为奇函数，所以/(-2x+2)=-/(2x+2),

令t=2x,得到〃2T)=__/«+2),

即有/(T)=-〃/+4),故可得x)=-/(x+4),

又/(x-1)为偶函数，所以/(—x—l)=/(x—1),即有/(—x)=/(x—2),

所以/(x—2)=—/(x+4),得到/(x)=—/(x+6),所以/(x)=—/(x+6)=/(x+12),

即函数/(x)的一个周期是12,所以选项A错误，

对于选项B,因为g(x)为奇函数，所以g(-x)=—g(x),又g(x)=g(4-x),

所以一g(-x)=g(4-x),即g(x)=-g(x+4)=g(x+8),

所以函数g(x)的一个周期是8,所以选项B正确，

对于选项C,由选项A和B知，/(18)+g(68)=/(6)+g(4),

又g(0)=g(4)=0,/(6)=-/(0)=-2,所以〃18)+g(68)=_2,故选项C正确，

对于选项D,因为当0<x<2时，g(x)=ln(x+l),

所以当10<x<12时，0W12—九W2,所以

g(x)=g(x-8)=g(4-(x-8))=g(12-x)=ln(12-x+l)=ln(13-x),

所以选项D正确,

故选：BCD.

第8页/共23页

【点睛】

11.已知事是函数"%）=%3+如+”（根＜0）的极值点，若/（%2）=/（%）（玉片》2），则下列结论正确

的是（）

A.f（x）的对称中心为（0,"）B.〃-再）＞〃菁）

C.2x1+%=0D.%!+x2>0

【答案】AC

【解析】

【分析】利用〃0+x）+〃0-力=2”，可判断A；令/'（0=0,解得x,代入/（一七）一/（七）可判

断B；利用导数判断出y=/（x）的单调性并求出极值点，结合图像分情况由〃%2）=〃石）（%产马）解

出入2,可得2芯+々=0可判断C；利用C选项，若%=，?，々=於『^，得出玉+%＜0可判

断D.

【详解】对于A,因为/（0+x）+/（0—x）=/+如+“一/一如+”=2〃，

所以〃x）的对称中心为（0,"）,故A正确；

对于B,f'（x）=3x2+m,令十（x）=0,解得x=±、口值,

f（一玉）一/（%）=-X：-mX]+n-xf-mxl-n

因为根＜0,所以可得/（—Xi）＞/（xJ,

因为m＜0,所以叫』二—m名＜

0,可得了（一再）＜/（玉）,

33

故B错误;

—m

对于c,令r（x）=o,解得》=±.

当X〉子或x＜—J子时，r（x）＞0,y=f（x）是单调递增函数,

3

\—m

当一--<x<于时，r（x）＜0,y=/（x）是单调递减函数,

3

所以y=/（x）在x=—T时有极大值，在》=子时有极小值,

如下图，当石=—｛子时，若/（%）=/（%）（芯片％2），则

/（玉）―/（%2）=%：+mx\+〃一考一mx?-n=（玉一%2）（%；+再%2+%；+加）=0,

三/+¥+机=°，解得/=久!近

可得X；+X1%2+X；+机=°，即一^—

当王=j子时，如下图，若/（々）=/（石）（石。元2），则

/（X1）-/（X2）-A+mx\+〃一只_mx?一〃=（%一％2）（%；+玉％2+¥+加）=0,

+3。，解得―一号

可得X；+xxx2+xf+m=0,即—+

所以2玉+%=0；

第10页/共23页

综上所述，2%+马=0,故C正确;

-2y/-3m

对于D,由C选项可知,X、=--------

3

所以玉+々=故D错误.

故选：AC.

【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是利用导数研究函数的单调性和极值点.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.已知a力为实数，若不等式12ax2+（4。+6）》+4。+4<2,+1］对任意工€恒成立，则

3a+b的最大值是.

【答案】6

【解析】

【分析】先对不等式等价变换为2小+1）+$+%2,令仁用得如+拳+%2,构造函数

r\—2«4〃+Z?«2/、/、

/(%)=2m+-^+Z?,从而<-2<5a+b<2,又3。+匕=2（4。+人）-（5。+3，利用不等式性质即可求解

范围.

【详解】因为x」,3

所以…『2,

则不等式12ax2+(4a+6)x+4a+q<2|x+l|等价于2a(x+l)~+Z?(x+l)+2。<2|x+l|,

la3

等价于2a(x+1)+-+---b--<2,令/=x+l,则fe-,2,

x+14

从而2at+?+b«2,令=2af+-+Z?,由对勾函数的性质知/+；e2,-|

第11页/共23页

一2V4〃+bV2

因为归2,即一所以《

-2<5a+b<2

3=4m+5nm=2

令3a+b=根（4a+Z?）+〃（5〃+b）,则<1,解得《

l=m+nn——\'

/、/、f4〃+b=2[a=—4

所以3a+0=2(4a+。)—(5a+0)42x2-(—2)=6,当且仅当｛即｛时取等号，

5〃+/?=—28=18

故3a+。的最大值是6.

故答案为：6

【点睛】关键点点睛：本题考查了复合函数的值域及不等式的性质，解题的关键是对不等式等价变形，利

用换元法结合对勾函数性质求解函数范围，最后利用不等式性质求解即可.

13.已知函数〃x)=|log2x|,g(x)=,x,若对任意xe[a,+e),总存在两个/e-A,使得

2_2

g(x),〃Xo)=l，则实数4的取值范围是.

【答案】[2,+00)

【解析】

【分析】由已知可得，fM<~,画出/(x)在4，4]上的函数图象，可得出0<241,进而求得实数

az〃

a的取值范围.

122

【详解】/(%0)=^^=一，xe[a,+oo),y(x0)<-,

g(AJxa

作出在弓，4]上的函数图象如图：

・•・对任意xe[a,+oo）,总存在两个/e-A,使得g（x）・/（x（））=l,

/.0<-<1,解得a»2.

a

第12页/共23页

故答案为：[2,+oo).

14.若定义在A上的函数和定义在2上的函数g(x),对任意的看eA,存在使得

〃xj+g(x2)=f(f为常数)，则称“X)与g(x)具有关系P。).已知函数/(x)=2cos12x+j

兀2兀

(xe—),g(x)=cos2x-mcosx+5(%eR),且/(x)与g(x)具有关系P(3),则根的取

值范围为.

【答案】(-°O,-4]U[4,+OO)

【解析】

【分析】先根据题意求出函数Ax)的值域为[-2,1],由题意得到[-2,1]口3-g(%)的值域，再将函数

3—8(%)=-＜：052%+加以九%-2进行换元，h[t)=-t2+mt-2,t,由对称轴进行分类讨论，得到

可/)的值域，从而得到不等式，求出答案.

【详解】由题意得对任意的％eA,存在々eB,使得〃xj+g(x2)=3，

又/(x)=2cos+聿)e[-2,1],故[―2,1仁[3—g)]的值域,

因为3—g(x)=3-cos2x+mcosx-5=-cos2x+mcosx-2,XGR,

令1=cosx,贝V£[一1,1],

设/z(/)=-r+mt-2,t£[-1,1],

①若对称轴£VT,即机(一2时，h⑺e[/z(l),/z(-l)]=[m-3,-m-3],

一m—321

则＜。c，解得根＜一4,与小V—2求交集，结果为加W—4；

②若三N1,即加22时，/i(?)e[/?(-1),/?(1)]=[-7/1-3,zn-3],

m-3＞1

则＜cc，解得加24,与加22取交集，结果为加24,

-m-3＜-2

2

m、「(m\\「m'

③若一1＜万＜0,即-2(机＜0时，h{t]eA(l),AlyI=m-3,--2,

第13页/共23页

--2>1LL

则，4，解得或机W-2百，与一2〈根<0取交集，结果为0,

m-3<-2

、「、(mW「m2-

④若0V5<1,即04加<2时，//(/)€—I=-w—3,——2,

m2

----2>1「

则《4，解得加22旧或加4一2百，与0〈根<2取交集，结果为0.

~m-3<-2

综上，加24或加W-4.

所以冽的取值范围为(-8,-4]U[4,+8).

故答案为：(-℃,-4]U[4,+oo).

【点睛】方法点睛：函数新定义问题的方法和技巧：

(1)可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解；

(2)可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻；

(3)发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律；

(4)如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使

用书上的概念.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.已知函数/(%)=-|-x2+(2tz-l)x-21nx,tzeR.

(1)讨论的单调性；

出对于\/%€[1同,%€[2,+8),使得〃了)射，求实数a的取值范围.

【答案】(1)答案见解析；

(2)aN—.

5

【解析】

【分析】(1)对函数求导，讨论aWO、a>0研究导数符号确定区间单调性；

(2)问题化为"x"%,=2对Vxe[l同恒成立，讨论a<1、求参数范围.

【小问1详解】

第14页/共23页

由题设尸(x)=ax+2a—1—2=加+(2"1)”—2=(ax—l)(x+2)且%(0,+8)，

XXX

当QV0时尸(X)<o,f(x)在(0,+8)上递减；

当〃>0时，令/'(%)=0nx='，

a

当0<x<工时/'(x)<0"(x)在区间［o」］上递减；

a\a)

当X〉工时/'(%)>0,/(x)在(l,+oo］上递增.

a\aJ

所以当a40时，f(x)的减区间为(O,+s),无增区间；

当a>0时，/(x)的增区间为［：,+8；减区间为10,：］.

【小问2详解】

由题设知/(%)»%,=2对Vxw［1同恒成立.

当a<1时，此时1<2,不合题设，舍去.

当a»l时，r(x"0"(x)在［l,e］上递增，只需“1)言—符合.

综上：a>—.

3

16.设函数/(%)=h,一尸(a>0且，awl,keR),若/(x)是定义在R上的奇函数且/⑴=5.

(1)求1和a的值；

(2)判断其单调性(无需证明)，并求关于，的不等式f(2/-1)<F(/—勺成立时，实数f的取值范围;

(3)函数g(x)=++a3_4/(x),xe［l,2］,求g(x)的值域.

【答案】(1)a=2,k=l.

(2)增函数，/>3或1

【解析】

第15页/共23页

3

【分析】(1)〃x)为R上的奇函数，利用/(0)=0和/⑴=万，列方程即可求出左与。；

(2)判断为增函数，利用/(x)的单调性解不等式；

(3)化简g(x)=(2-2-»—4(2。2-，)+2,禾U用/=2，—2，

可得g(x)=〃(/)=/—4/+2=«—2)2—2,根据xe[l,2],判断出。的范围，进而得到g(x)的值域.

【小问1详解】

,//(x)=kax-ax是定义域为R上的奇函数，

•**/(0)-0,得左=1.此时，/(x)=ax-a~x,/(-x)=a~x-ax=-f(x),即/(%)是R上的奇函数.

3131

,•*f(X)――,a---,即2/—3o—2=0，a=2^a=――(舍去)

2a22

故。=2,k=1.

【小问2详解】

2

明显地，/(%)为增函数，则只需2%—4，t-2t-3>09

工/>3或1<-1.

【小问3详解】

g(x)=22X+2-2X—4(2乂—2一，)=(2工——4(2,—2f+2,

令％=2'-2T(1«%V2),由(2),易知1=加(x)在x£[l,2]上为增函数，

315

:•tJ5,丁，・，・g(x)=〃⑺=/2—4/+2=(1-2)2-2

1517

当"J,g⑶有最大值廿

当/=2时,g(x)有最小值-2,g(x)的值域是

17.已知函数〃x)=53,其中e为自然对数的底数.

ax

(1)讨论“X)的单调性；

(2)若方程〃x)=l有两个不同的根―

⑴求。的取值范围；

(ii)证明:片+考>2.

第16页/共23页

【答案】(1)答案见解析

(2)(i)(0,1)；(ii)证明见解析

【解析】

【分析】(1)求出函数的导函数，再分。>0、。<0两种情况讨论，分别求出函数的单调区间；

(2)⑴参变分离可得上巫=。，令g(x)=L坦，利用导数说明函数的单调性，求出函数的最值，即

XX

可求出a的取值范围；(ii)不妨设西<々，则。<玉<1<%，分尤2€［2,+°°)、％e(L2)两种情况讨论，

当龙2e(L2)时，p(x)=g(x)-g(2-x)(0<尤<1),利用导数说明函数的单调性，即可证明

X1+%〉2,再由基本不等式即可得证.

【小问1详解】

由题意得〃制=53=巴吧，xe(O,+s),则/'(x)=—*,

axaxcix

由/'(x)=0,解得x=L

显然a70,

若a>0,则当0<x<l时,尸(力>04(%)单调递增,当x>l时，/'(x)<0,/(x)单调递减；

若a<0,则当0<x<l时，/(力<0"(九)单调递减,当％>1时,广(%)>。"(力单调递增.

综上，当a>0时，f(x)在区间(0』)内单调递增，在区间(1,+8)内单调递减；

当a<0时，/(x)在区间(0』)内单调递减，在区间(1,+8)内单调递增.

【小问2详解】

,In(ex)1+Inx

(i)由二-2=1,得------=a,

axx

设g(X)=H^,由⑴得g(x)在区间(0,1)内单调递增，在区间(1,+8)内单调递减，

又g［：］=O,g(l)=l,当x>l时，g(x)>0,且当Xf+co时，g(x).O,

所以当0<°<1时，方程匕则=。有两个不同的根，即方程的D=1有两个不同的根，故”的取值范围

xax

是（0,1）.

第17页/共23页

1nxi+1_lnx2+1

(ii)不妨设再<%2，贝！JO<%且

解法一：

当％242,+8)时，W+%；>考24>2,即尤;+%>2；

当％241,2)时，2-X2e(O,l).

设p(x)=g(+g(2—x)=?+l^L±,0…1,

In%ln(2-x)〉_当_ln(2-x)In-(x-l)"+1

则P'(x)=-

x(2-x)

所以P(X)在区间(0,1)内单调递增，

则p(x)<p(l)=0,即g(x)<g(2—x),

所以g(2-xj>g(xj=g(x2),

又石«0,1),2-%>1,々>l,g(x)在区间(1,+8)内单调递减,

所以2—七</，即%+/〉2,

又石力々，所以才+X；〉2%1%2,

故2x：+2x；〉x；+x；+2引工2=&+%)一>4,所以x：+x