苏科版2024-2025学年九年级数学上册复习：正多边形与圆（专项练习）（基础练）

专题2.16正多边形与圆（专项练习）（基础练）

一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）

1.（2024・湖北宜昌•模拟预测）已知正〃边形的内角和是它的外角和的3倍，则这个正〃边形的中心角为

（）

A.60°B.72°C.30°D.45°

2.（22-23九年级下•浙江•开学考试）一个圆的内接正多边形中，一条边所对的圆心角为18。，则该正多边

形的边数是（）

A.14B.18C.16D.20

3.（2024•安徽宿州•二模）如图，四边形A3CD内接于圆O,且A3、3c都是圆的内接正五边形ABCE尸的

边，则一。的度数为（）

4.（2024・福建厦门•模拟预测）如图，/是正六边形EFGHP。的中心.在平面直角坐标系中，若点M的

坐标为（0,0）,点E的坐标为（T,0）,则点H的坐标为（）

5.（2024•河北邢台•模拟预测）如图，将一张正六边形纸片的阴影部分剪下，恰好拼成一个菱形，若拼成

的菱形的面积为2,则原正六边形纸片的面积为（）

A.4B.6C.8D.10

6.（2024•山西大同・三模）如图，正五边形ABCDE内接于。。，点尸是。。上的一个动点，当尸沿着

3fAfE—C的路径在圆上运动的过程中（不包括8,C两点），/3FC的度数是（）

7.（2023•河北承德•一模）如图，正六边形的两条对角线AE、BE把它分成团、回、团三部分，则该三部分的

面积比为（）

8.（2024・浙江•模拟预测）要在边长为8米的正方形草坪上安装喷水龙头，使整个草坪都能喷洒到水.假

设每个喷水龙头的喷洒范围都是半径为3米的圆面，则需安装这种喷水龙头的个数最少是（）

9.（2024•河北保定•一模）如图，画出了。。的内接正四边形和内接正五边形，且点A在C之间，则

ZABC=（）

A.6°B.9°C.12°D.18°

10.（2024•江苏连云港•二模）如图，内切于正方形边AD、C。分别与切于点E、F,点

M,N分别在线段DE、O尸上，且与。。相切.若AMBN的面积为6,则。。的半径为（）

A.273B.Vioc.2V2D.瓜

二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）

IL（23-24九年级上•上海•期中）如果正多边形的边数是〃（"23）,它的中心角是a。，那么。关于”的函

数解析式及其定义域为

12.（2024・上海•模拟预测）如图，正方形ABFE内切圆半径为2,点6为所边上一点，作正方形GDCF,

贝”四边形AEDG+SQDF

13.（23-24八年级下•广西钦州•期中）如图，正六边形的边长为1,顶点A与原点重合，将对角线A3绕点

A顺时针旋转，使得点8落在数轴上的点C处，则点C表示的数是

14.（2024•四HI南充•三模）如图，点。为正五边形ABCDE的中心,连接BO并延长与CD的延长线交于点F,

则N尸的度数为.

CDF

15.（2024•陕西西安・模拟预测）如图，正六边形ABC0EF内接于OO,对角线AE、BF交于点G,已知。。

16.（2024•江西抚州・一模）如图，小明计划用一张正方形的彩色皮革，剪出一个正六边形的杯垫，正方形

的边长为12cm,则裁出的矩形ADFE的边AE的长为cm

17.（2023•河北保定•一模）如图，在正六边形ABCDEF中，AB=4,。为AD的中点，以。为圆心，下为

半径作。。，M为上一动点，设点〃到正六边形上的点的距离为九

（1）OA=.

（2）当面积最小时，点M到5c的距离为,d的最大值为.

18.（2021九年级•河北•专题练习）如图，在回。中，儿机为直径，。/画3,圆内接正五边形N8CDE的部分

尺规作图步骤如下：

①作出半径。尸的中点

②以点〃为圆心，孙为半径作圆弧，交直径旅于点G.

③NG长即为正五边形的边长、依次作出各等分点8,C,D,E.

已知回。的半径R=2,则/¥=.（结果保留根号）

三、解答题（本大题共6小题，共58分）

19.（8分）（2020•江苏盐城,中考真题）如图，点。是正方形，A3CD的中心.

（1）用直尺和圆规在正方形内部作一点E（异于点O）,使得EB=EC；（保留作图痕迹,不写作法）

（2）连接防、EC、EO,求证：ZBEO=ZCEO.

20.（8分）（23-24九年级上•浙江绍兴•阶段练习）如图，正六边形ABCDE/内接于。O,半径为2cm.

⑴求C£）的长度；

⑵若G为。的中点，连接AG,求AG的长度.

21.（10分）（23-24九年级上•江苏宿迁•阶段练习）正六边形ABCDEF的边长为8,求这个正六边形的周

长和面积.

DE

BA

22.（10分）（22-23九年级上•云南昆明•期中）如图，方&A、B、C、O都在。。上，OC_LAB,ZADC=3O°.

⑴求—3OC的度数；

（2）求/ACS的度数；

C

澄

23.（10分）（22-23九年级上•全国•课后作业）如图,已知正〃边形边长为。，边心距为r,求正"边形的

半径R、周长尸和面积S.

月^-F

24.（12分）（21-22九年级上•广西南宁•期中）如图，正三角形、正方形、正六边形等正〃边形与圆的形状

有差异，我们将正n边形与圆的接近程度称为“接近度”.

⑴角的“接近度”定义：设正〃边形的每个内角的度数为相。，将正〃边形的“接近度"定义为|180-时.于是

|180-时越小，该正"边形就越接近于圆，

①若〃=3,则该正"边形的"接近度”等于一.

②若〃=20,则该正"边形的"接近度"等于.

③当"接近度"等于.时，正〃边形就成了圆.

（2）边的“接近度"定义：设一个正"边形的外接圆的半径为凡正〃边形的中心到各边的距离为d,将正"

边形的“接近度"定义为"-1.分别计算〃=3,〃=6时边的"接近度"，并猜测当边的"接近度”等于多少时，

正〃边形就成了圆？

参考答案:

1.D

【分析】本题考查了正多边形的内角和和外角和，正多边形的中心角，根据题意列出方程求得边数，即可

求得中心角的度数.

【详解】解：根据题意，得(〃—2)xl800=3x36。。，

解得〃=8,

360°

团这个正n边形的中心角为^=45。,

8

故选：D.

2.D

【分析】本题主要考查正多边形的有关知识.根据正多边形的中心角为3型60°-计算即可.

n

【详解】解：回一个圆的内接正多边形中，一条边所对的圆心角为18。，

回该正多边形的边数为："=等=20,故D正确.

故选：D.

3.D

【分析】本题考查正多边形与圆，圆周角定理，熟练掌握正多边形与圆的性质和圆周角定理是解题的关键.

连接Q4,OB,OC,先根据正五边形的性质，求出NAO6=N6OC=72。，从而求得NAOC=144。，然后

根据圆周角定理求解即可.

姐夙都是圆的内接正五边形的边,

回ZAOB=/BOC」x360。=72。，

5

0ZAOC=ZAOB+ZBOC=144°,

^\ZD=-ZAOC=72°.

2

故选：D.

4.C

【分析】此题考查了正六边形的性质，熟练掌握正六边形的有关性质是解题的关键.根据点E的坐标求出

ME的长，再根据正六边形的性质求出进而求出H的坐标即可.

【详解】解：如图，连接ME、MH,

FG

团E点的坐标为（T,。），

田MH=1,

0H(1,O),

故选:C.

5.B

【分析】本题主要考查的是正多边形与圆，熟练的把正六边形分割为6个全等三角形是解本题的关键.

如图：可将正六边形分为6个全等的三角形，拼成的四边形由两个三角形组成，剩余部分由4个三角形组

成，据此可求得剩余部分的面积即可.

将正六边形可分为6个全等的三角形,

回拼成的四边形的面积为2,

团每一个三角形的面积为1,

回剩余部分可分割为4个三角形，

团原正六边形纸片的面积为6.

故选B.

6.A

【分析】本题考查了正多边形与圆，圆周角定理，根据正多边形的性质求得中心角为72。，进而根据圆周

角定理即可求解.

【详解】解：连接08,。。,

^BC=BC>

0NBFC=-ZBOC=36°

2

故选：A.

7.A

【分析】根据正多边形的性质，三角形中线的性质即可求解.

【详解】解：如图，SAAFE=S^AOE=S4AOB=S^COB=SACOD=S4DOE，

03、回、回三部分的面积比为1:2:3,

故选：A.

【点拨】本题考查了正多边形，三角形中线的性质，熟记图形的性质并准确识图是解题的关键.

8.B

【分析】本题考查了正多边形和圆，要使整个草坪都喷到水，必须计算出正方形的外接圆的面积是解题的

关键.根据已知可计算得到每个喷水龙头的喷洒面积，及正方形的外接圆的面积，则此时就不难求得需安

装这种喷水龙头的个数.

【详解】解：回正方形的边长为8m,

回正方形的外接圆的半径是理卢=4&m，则其外接圆的面积是（40）,兀=32兀tn?,

团每个喷水龙头喷洒的面积是32x%=9701?,

贝1）32兀+9兀=4.

故选：B.

9.B

【分析】本题考查正多边形的性质、圆周角定理，解题的关键是掌握正多边形的性质和圆周角定理.连接

OB,OA,0C,根据正多边形的性质可得N8Q4=72。，ZBOC=90°,进而得到ZAOC=18。，最后根据圆

周角定理即可求解.

【详解】解：如图，连接03,OA,OC,

3600360°

则/BOA=^-=72°,ZBOC=^-=900°,

54

ZAOC=90°-72°=18°,

贝ij/ABC'NAOC=9。.

2

故选:B.

10.D

【分析】本题考查正方形内切圆的性质，正方形的性质、勾股定理切线长定理等知识，设与。。相切

与点K,设正方形的边长为2a.因为AZXCD、MN是切线，可得AE=DE=DF=CF=a,

MK=ME,NK=NF,设MK=ME=x,NK=NF=y,在RtADMN中，以为

MN-x+y,DN=a-y,DM-a-x,则（%+»=5-%）?+（°-才，推出ax+ay+xy=/,根据

SABMN=S正方形ABCD-S"ABM-S«DMN-SHBCN=6,构建方程求出。即可解决问题；

【详解】解：如图所示，设“N与。。相切与点K,

由题意得，AE=DE=DF=CF

由切线长定理可知ME=MK，NK=NF,

设正方形边长为2a,ME=MK=x,NK=NF=y,则/忘=。£=。尸=。产=。

团MN=x+y,DM=a-x,DN=a-y,

由勾股定理得MN2=DM2+DN2,

团(x+yj+(a-y)2,

2

0x+2xy+y2=a2-lax+x2+a2-lay+y2,

2

^\ax+ay+xy=af

回SABMN=S正方形ABC。-SgBM.$GMN~^ABCN=6,

团（2a）—-•2tz•-e（a--y）-].2a.（a+y）=6,

3lz

团5a2一万（依+故+孙）=6,

3212「

团一ci—Q=6,

22

0a=76(负值舍去),

团AB=2a=2^/^,

团0。的半径为",

故选：D.

360z/

11.cc=----（几23）

n

【分析】本题考查了正多边形的计算，一个正多边形的中心角都相等，且所有中心角的和是360度，用360

度除以中心角的度数，就得到边数.

【详解】解：由题意可得：边数为360。+〃=",

则0二理2（〃23）.

n

故答案为：«=—(«>3).

n

12.8

【分析】本题考查了正方形的性质，内切圆的性质，根据正方形AB/方内切圆半径为2,得出钻=EF=4,

结合S四边形AEDG+S&GDF=^AEG+^EDF，再代入数值进行计算，即可作答.

【详解】解：依题意,

团AE=EF=2x2=4

回四边形GDC户是正方形

©GD=FG

1

贝JS四边形AEDG+S&GDF

—V+V

一^^AEG丁2AEDF

=-AExEG+-EFxGD

22

=-AExEG+-AExFG

22

=^AEx（EG+FG）

=-AExEF

2

14

=—x4x44

2

8

故答案为：8

13.73

【分析】过点2作于点。，利用正六边形的性质，直角三角形的性质，勾股定理计算即可.

本题考查了正六边形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握性质和勾股定理是解题的关键.

【详解】过点2作于点。，

回正六边形的边长为1,顶点A与原点重合，

360°

国EB=OE=1,ZBED=——=60。，/FAR=/EBA=/FBD=30°,

6

^ED=-EB=-BD=^EB2-ED2,

2292

0AB=2S£>=73,

根据旋转性质，得OC=AB=5

回点c表示的数是6，

故答案为：6

14.180/18度

【分析】本题考查正多边形和圆，根据正五边形的外角和为360。求出外角度数，再直角三角形两锐角互余

得出结果.

【详解】解：由题意可知，直线。8是正五边形ABCDE的对称轴，因此3尸_L£®,

五边形ABCDE是正五边形,

:.NEDF=——=72°,

5

,-.ZF=90°-72°=18°,

故答案为：18°.

15.1

【分析】先由圆与内接正六边形性质得到AAO尸是等边三角形，OG是线段AF的垂直平分线，从而确定

HA=HF二,在RtAFGH中，由含30。的直角三角形性质、勾股定理即可得到答案.

2

【详解】解：连接。4、OF,连接OG并延长，交AF于H,如图所示:

G------/D

在正六边形ABCDEF中，对角线AE=3/，且每一个内角均为120。,

AB=AF,FA^FE,

ZABF=ZAFB=30°,ZAEF=ZAFE=30°,

:.ZFAG=ZFGA,则G4=GF,

V正六边形ABCDEF内接于。O,

360°

:.OA=OF,且NAOP=——=60°,贝UAAO尸是等边三角形，

6

AF=OF=6

■.■OA=OF,GA^GF,

是线段转的垂直平分线，则即==且，

2

在RUFG”中，ZGHF=90°,ZGFH=30°,设GH=x,则G尸=2x,由勾股定理可得

HF==d（2x）2—x?=y/3x,解得x=—,

FG=2x=l,

故答案为：1.

【点拨】本题考查圆与多边形，涉及正多边形性质、圆的性质、等边三角形的判定与现在、垂直平分线的

判定与性质、含30。的直角三角形性质、勾股定理等知识，熟练掌握圆与多边形综合题型的解法是解决问

题的关键.

16.6y/3

【分析】本题考查的是正多边形的性质，全等三角形的判定与性质，含30。的直角三角形的性质，勾股定

理的应用，先证明NAGQ=4D"K=NQWE=60。，^AGQ^DHK^EMQ,再结合全等三角形的性质与勾

股定理可得结论.

【详解】解：如图，标注正六边形的顶点，

⑦GH=GQ=QM=KH=a,ZQGH=ZGHK=ZQMN=120°,

国NAGQ=/DHK=NQME=60。,

团正方形ABC。，

aAD=AB=CD=12,ZA=ZD=ZB=90°f

田小AGQmADHKQEMQ,ZAQG=90°-60°=30°,

国AQ=DK=EQ,AG=DH=EM=-a,

2

11-

团-Q+Q+—Q=12,

22

解得：〃=6,

团AG=3,GQ=6,

0A2=A/62-32=343=EQ>

ElAE=6^/3，

故答案为：6A/3

17.4734+百/白+4

【分析】（1）连接。8,可得AAO3是等边三角形，即可；

（2）当OM垂直平分BC时，面积最小，设。”的延长线交3c于点N,连接。3,根据勾股定理求

出QV的长，即可；根据题意得当点M在线段AD上时，d最大，即可.

【详解】解：（1）连接。5,

360°

在正六边形A3CDE尸中，ZAOB=——=60°,OA=OB,

6

团AAOB是等边三角形，

团OB=AB=4；

故答案为：4

（2）如图1,当垂直平分3c时，△500面积最小，设的延长线交5c于点N,连接08.

ElZBO^=-x60o=30o,OB=OA=AB=4,BN=-BC=-AB=2,

222

^ON=>jOB--BN2=2A/3，

0MN=ON-OM=26-6=6，

即此时M到BC的距离为百.

如图2,当点Af在线段AC）上时，d最大，d=OM+OD=OM+OA=4+y/3.

故答案为：6；4+后

【点拨】本题主要考查了正多边形与圆，熟练掌握正多边形与圆的性质是解题的关键.

18.10-26

(分析］连接/G,由作图可知,0/=2,"为O尸中点，可求=1,由勾股定理得AH=y/o^+OH2=百，

可求06=君-1,由勾股定理4B2="G2=CM2+OG2=4+(^-1)占10-2百即可.

【详解】解：连接NG,由作图可知，04=2,(9/7=1,H为OF中点、,

0077=—OF--X2-1L,

22

在必中，由勾股定理

^AH=7OA2+OH2=拄+f=旧，

EL48=HG=A/5,

WG=GH-0H=y/5-1,

在R&OG中，由勾股定理得，

SAB2AG2=OA-+OG2=4+（亚-1）2=10-275.

故答案为：10-2遥.

【点拨】本题考查尺规作圆内接正五边形的方法与步骤，线段垂直平分线，勾股定理，作圆弧，掌握圆内

接正五边形的方法与步骤，线段垂直平分线，勾股定理，作圆弧的方法是解题关键.

19.（1）见解析；（2）见解析

【分析】（1）作BC的垂直平分线即可求解；

（2）根据题意证明VEBO三VECO即可求解.

【详解】。）如图所示，点E即为所求.

⑵连接03、OC

由⑴得：EB=EC

:O是正方形ABCD中心,

OB=OC,

•••在和中，

EB=EC

<EO=EO

OB=OC

:yEBOWECO（SSS）,

:.ZBEO=ZCEO.

【点拨】此题主要考查正方形的性质与证明，解题的关键是熟知正方形的性质、垂直平分线的作图及全等

三角形的判定与性质.

20.（1）2cm

（2）

【分析】（1）连接OC,OD,根据正六边形的性质可得/COD=60。，再根据圆的半径都相等可得△COD

是等边三角形，进而可求解.

（2）连接AC,AD,由AD为。。的直径，得-48=90。，利用勾股定理及中点的性质即可求解.

【详解】（1）解：连接OC,OD,如图：

•••六边形ABCDEF是正六边形，

360°

ZCOD=^-=60°,

6

又：0c,0。是的半径，且半径为2cm,

OC=OD=2cm,

.1△COD是等边三角形，

CD=OC=2cm.

（2）连接AC,AD,如图：

则A£＞为。。的直径,

AD=4cm,ZACD=9Q°,

由(1)得：CD=2cm,

在中，ZACD=9Q)°,

AC=《AD1-CD2=A/42-22=273cm，

••・G为8的中点，

/.CG=—CD=1cm,

2

在Rt^ACG中，NACG=90°,

AG=VAC2+CG2=J(2A/3)2+12=V13cm.

【点拨】本题考查了正多边形的性质、等边三角形的判定及性质、勾股定理及圆周角，熟练掌握基础知识，

借助适当的辅助线解决问题是解题的关键.

21.周长48,面积96石

【分析】本题主要考查了正六边形的性质，根据正多边形的性质，得出A。旬为等边三角形，即可解答.解

题的关键是掌握正多边形每条边相等，以及中心角的求法.

【详解】解：正六边形的周长=6AB=48；

连接OA,OB,过点。作OG_LAB于点G,

SOA=OB,ZAOB=60°,

团AOAB为等边三角形，

^\AB=OA=8,=60°,

0OG=OA—=—x8=4^,

22

正六边形的面积S=6X、8X46=96B

2

22.(1)60°

(2)120°

【分析】(1)根据垂径定理得出AC=BC，再利用圆周角定理得出/BOC的度数:

(2)连接9,根据圆内接四边形的性质便可求得结果.

【详解】(1)回点A、B、C