2021全国硕士研究生招生考试《数学1》真题

单选题(共10题，共10分)

1.二次型f(xl,x2,x3)=(xl+x2)2+(x2+x3)2(x3xl)2的正惯性指数与负惯性指

数依次为().

【答案】B

【解析】

A.2,0

B.1,1

C.2,1

D.1,2

2.设A,B为随机事件，且0

【答案】D

【解析】

故D项不正确.

A.见图A

B.见图B

C.见图C

D.见图D

3.

【答案】D

【解析】因为

函数f(x)在x=0处可导且导数不为零.

A.连续且取得极大值

B.连续且取得极小值

C.可导且导数为零

D.可导且导数不为零

4.设函数f(x,y)可微，且f(x+Lex)=x(x+l)2,f(x,x2)=2x21nx,则

df(l,1)=().

【答案】C

【解析】将f(x+l,ex解析x+l)2两边对x求导得

A.dx+dy

B.dx-dy

C.dy

【解析】因为-r(A,BA)+r(AAT)-r(A,BA)+r(A),fir(A,BA)>

r(A),所以

A.见图A

B.见图B

C.见图C

D.见图D

’……-I

7.设(XI,Yl),(X0Y2),…，(Xn,Yn)为来自总体的

简单随机样本，令口=

，则().

【答案】C

【解析】

A.见图A

B.见图B

C.见图C

D.见图D

8.设函数1__________I处的3次泰勒多项式为ax+bx2+cx3,则

().

【答案】A

【解析】

A.见图A

B.见图B

C.见图C

D.见图D

9.设函数f(x)在区间［0,1］上连续，则I____________1().

【答案】B

【解析】由定积分定义得_____________________________I,这里将区间［0,

1］分为n等份，即

A.见图A

B.见图B

C.见图C

D.见图D

10.设XI,X2,…，X16是来自总邓（口，4）的简单随机样本，考虑假设检验

问题：HO：uW10,Hl：u>10.」（x）表示标准正态分布函数.若该检验问

题的拒绝域为,其中I_____L则口二11・5时，该检

验犯第二类错误的概率为（）.

【答案】B

“斯】

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A.见图A

B.见图B

C.见图C

D.见图D

问答题（共6题，共6分）

11.

【答案】

【解析】

12.

【答案】

【解析】

13.己知曲线I_______________________求C上的点到xOy坐标平面距离的最

大值.

【答案】

【解析】设C上的点(x,y,Z)到xOy坐标平面的距离为d,则d=|z|根据题

意，目标函数为f(x,y,z)=z2,约束条件是x2+2y2-z-6=0及4x+2y+z-

30-0.构造拉格朗日函数F(x,y,z,入，u)-z2+X(x2+2y2-z-6)+u

(4x+2y+z一30),则

14.设DR2是有界单连通闭区域,

【答案】

【解析】(1)要使1_______________________________I取得最大值，则D应该

包含所有使得被积函数f(x,y)=4-x2-y2^0并且D中不能包含使得f(x,

y)=4-x2-y2<0的区域,故D1={(x,y)x2+y2W4},

又Q(x,y),P(x,y)在」D1围成的区域DI上有奇点，所以要补充曲线L：

x2+4y2=£2,£)0足够小，取顺时针方向，且L围成的区域为D”，则Q(x,

y),£6。y)在口)1与L围成的色域>上满足格林公式的条件，

取得最大值的积分区域记为D1

(I)求I(D1)的值;

(II)

其中I—bi是DI的正向边界.

15.

【答案】

【解析】(D

所以

A的特征值为入1二七2二a一1,入3=a+2.当入1二人2二a―1时，|A-(a-

l)E|x=O,

([)求正交矩阵P,使PTAP为对角矩阵;

(11)求止定矩阵C,使C2=(a-3)E-A,其中E为三阶单位矩阵.

16.在区间(0,2)上随机取一点，将该区间分成两段，其中较短一段的长度记为

X,较长一段的

【答案】

【解析】(I)由题意知，X+Y=2,0

长度记为Y,

(I)求X的概率密度;

(II)求Z的概率密度;

(HI)求E(^_I).

填空题(共6题，共6分)

17.