数学备课资料：向量数乘运算及其几何意义

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精备课资料一、向量的数乘运算律的证明设a、b为任意向量,λ、μ为任意实数,则有（1）λ(μa)=（λμ）a;①（2)（λ+μ）a=λa+μa;②（3）λ(a+b）=λa+λb。③证明：（1)如果λ=0或μ=0或a=0，则①式显然成立.如果λ≠0,μ≠0,且a≠0，则根据向量数乘的定义,有|λ（μa)|=|λ｜｜μa|=|λ｜｜μ｜｜a|,|(λμ）a｜=|λμ｜|a｜=｜λ｜｜μ｜｜a|。所以｜λ（μa）｜=｜（λμ）a｜。如果λ、μ同号，则①式两边向量的方向都与a同向；如果λ、μ异号，则①式两边向量的方向都与a反向。因此，向量λ（μa)与(λμ）a有相等的模和相同的方向，所以这两个向量相等.（2)如果λ=0或μ=0或a=0,则②显然成立.如果λ≠0,μ≠0且a≠0，可分如下两种情况：当λ、μ同号时,则λa和μa同向，所以|(λ+μ）a｜=｜λ+μ｜｜a｜=(｜λ|+｜μ｜）｜a｜,｜λa+μa｜=|λa|+｜μa｜=|λ||a|+|μ|｜a｜=（|λ|+｜μ｜)|a｜,即有|（λ+μ）a|=｜λa+μa|.由λ、μ同号，知②式两边向量的方向或都与a同向,或都与a反向，即②式两边向量的方向相同.综上所述,②式成立。如果λ、μ异号，当λ〉μ时，②式两边向量的方向都与λa的方向相同；当λ〈μ时,②式两边向量的方向都与μa的方向相同。还可证｜(λ+μ)a｜=｜λa+μa｜。因此②式也成立.(3)当a=0，b=0中至少有一个成立，或λ=0,λ=1时,③式显然成立.图13当a≠0，b≠0且λ≠0，λ≠1时,可分如下两种情况：当λ〉0且λ≠1时如图13，在平面内任取一点O作=a,=b，=λa，=λb,则=a+b，=λa+λb.由作法知∥,有∠OAB=∠OA1B1，|｜=λ｜|。所以｜==λ。所以△AOB∽△A1OB1.所以=λ，∠AOB=∠A1OB1。图14因此O、B、B1在同一条直线上，｜｜=｜λ｜，与λ的方向也相同.所以λ（a+b)=λa+λb。当λ<0时，由图14可类似证明λ（a+b）=λa+λb。所以③式也成立.二、备用习题1.[（2a+8b）—（4a-2b)]等于（）A.2a-bB.2b—aC.b-aD。a2。设两非零向量e1、e2不共线,且ke1+e2与e1+ke2共线，则k的值为（）A。1B.—1C.±13。若向量方2x—3(x—2a)=0，则向量x等于（)A。aB。—6aC.6aD.a4。在△ABC=，EF∥BC,EF交AC于F，设=a，=b,则用a、b表示的形式是=_________.5。在△ABC，M、N、P分别是AB、BC、CA边上的靠近A、B、C的三等分点，O是△ABC平面上的任意一点，若+=e1—e2，则=________.6.已知△ABC的重心为G,O为坐标原点，=a,=b，=c,求证：=(a+b+c）。7。对判断向量a=-2e与b=2e是否共线?有如下解法：解：∵a=-2e，b=—2e,∴b=-a.∴a与b共线。请根据本节所学的共线知识给以评析.如果解法有误，请给出正确解法。参考答案：1。B2.C3.C4.—a+b5。e1—e2.6。连接AG并延长,设AG交于M。∵=b—a,=c—a,=c—b，∴=+=（b—a）+(c-b)=(c+b-2a）。∴==（c+b—2a）.∴=+=a+(c+b-2a）=（a+b+c).7。评析:乍看上述解答，真是简单明快.然而，仔细研究题目已知,却发现其解答存在问题，这是因为，原题已知中，对向量e并无任何限制，那么就应允许e=0,而当e=0时，显然,a=0，b=0，此时，a不符合定理中的条件,且使b=λa成立的λ值也不唯一(如λ=-1，λ=1，λ=2等均可使b=λa成立)，故不能应用定理来判断它们是否共线.可见,对e=0的情况应另法判断才妥。综上分析,此题应解答如下：解:(1)当e=0时，则a=-2e=0。由于“零向量与任一向量平行”且“平行向量也是共线向量”，所以此时a与b共线.