数学4优化训练：二倍角的三角函数

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精3.2二倍角的三角函数5分钟训练（预习类训练,可用于课前)1。（全国卷Ⅲ）设0≤x≤2π，且=sinx—cosx,则(）A。0≤x≤πB.≤x≤C。≤x≤D。≤x≤思路解析：==|sinx-cosx|.又=sinx—cosx,∴|sinx—cosx|=sinx-cosx。∴sinx-cosx≥0,sinx≥cosx。又0≤x<2π,∴≤x≤。答案：C2。（重庆)(cos-sin)(cos+sin）等于()A.-B.-C.D.思路解析：(cos—sin)(cos+sin)=cos2—sin2=cos.答案:D10分钟训练(强化类训练,可用于课中）1。（浙江）已知k＜—4,则函数y＝cos2x+k(cosx-1）的最小值是（)A.1B.-1C.2k+1D.-2k+1思路解析：y＝cos2x+k（cosx-1）=2cos2x+kcosx-(k+1）。令t=cosx，t∈［—1,1],则y=2t2+kt-（k+1），对称轴t=—.∵k<—4，∴t=—〉1。∴函数y=2t2+kt-（k+1)在［-1，1］上为单调递减函数。当t=1,即cosx=1时，函数有最小值1。答案：A2.（湖北)函数y=｜sinx|cosx—1的最小正周期与最大值的和为_____________。思路解析：y=|sinx|cosx-1=所以ymax=-，画图可知最小正周期为2π。答案：2π—3。（山东）已知函数y=sin（x—）cos(x—）,则下列判断正确的是()A.此函数的最小周期为2π，其图象的一个对称中心是(，0)B。此函数的最小周期为π，其图象的一个对称中心是（,0）C。此函数的最小周期为2π，其图象的一个对称中心是(，0）D。此函数的最小周期为π，其图象的一个对称中心是（，0）思路解析：本题考查三角函数的变形及三角函数的图象的性质。y=sin（x—）cos(x-)=sin(2x-），它的周期为T=π，对称中心的横坐标为x=+，当k=0时,对称中心为（,0)。答案：B4。(江西）在△OAB中,O为坐标原点，A(1,cosθ），B(sinθ,1）,θ∈（0,］，则△OAB的面积达到最大值时，θ等于(）A。B.C。D。思路解析：运用图形,根据图形表示△ABC的面积，将实际问题转化成数学问题.运用三角函数解决相应的实际问题,首先应根据题目的要求将面积的表达式写出来，然后在表达式中，根据自变量的取值范围,最终求出答案，所要注意的是，解决此类问题时不能仅凭函数的表达式，应考虑实际情况，例如，在函数的自变量中，可以取负数，而如果在实际题目中，自变量表示的是天数，那么自变量必须为正数，且为整数等等。S△ABC=1-sinθ—cosθ-（1—cosθ)（1—sinθ）=—sinθcosθ=—sin2θ。当2θ=π，即θ=时，面积最大.答案:D5.(浙江）已知函数f（x）=2sinxcosx+cos2x.(1）求f(）的值;(2）设α∈(0，π),f（）=，求sinα的值。思路解析：本题主要考查三角函数的倍角公式、两角和的公式等基础知识和基本的运算能力.解：(1)∵f（x）=sin2x+cos2x,∴f（）=sin+cos=1。（2)f(）=cosα+sinα=,∴sin(α+）=，cos（α+)=±。sinα=sin（α+-)=××=.∵α∈(0,π），∴sinα>0,故sinα=。志鸿教育乐园眼皮最大老师：“世界外什么东西最大？”学生:“眼皮.”老师：“为什么？"学生:“只要把眼一闭,全世界都被遮住了.”30分钟训练（巩固类训练,可用于课后）1.（全国Ⅰ)当0<x<时,函数f（x）=的最小值为（)A.2B。2C。4D。4思路解析:f(x）==+=+=cotx+4tanx=cotx+≥2=2×2=4。答案：C2.（全国Ⅱ)锐角三角形的内角A、B满足tanA—=tanB，则有()A.sin2A-cosB=0B。sin2A+cosB=0C.sin2A—sinB=0D。sin2A+sinB=0思路解析：由已知得-=,∴=tanB。∴-=tanB,—cot2A=tanB。∴tan（2A+）=tanB.∴2A+—π=B,∴2A—B=，2A-=B，∴sin(2A—)=sinB。∴cos2A-sinB=0.∴cos（2A—)=sin2A.∴sin2A=cosB.∴sin2A—cosB=0。答案：A3。设α是第四象限的角,若=，则tan2α=________________。思路解析：由=，∴=.∴2cos2α+cos2α=。∴1+2cos2α=.∴cos2α=。又∵α为第四象限角，即2kπ+<α〈2kπ+2π，∴4kπ+3π<2α〈4kπ+4π。故2α可能在第三、四象限.又cos2α=，∴sin2α=-.∴tan2α=—。答案:-4。（2005北京）函数f(x)=(）A。在［0,］,（,π）上递增，在［π，］,（，2π）上递减B.在［0，］，（π,）上递增,在［，π］，（，2π)上递减C.在(，π），（,2π)上递增，在［0,］，(π，）上递减D.在［0，］,(，π)上递增，在［0,］，（，2π）上递减思路解析：对二倍角余弦公式及两个变式的正用、逆用应熟练，对处理绝对值问题的基本思路是用分类讨论的思想去掉绝对值然后再研究问题：正切函数的单调区间.f（x）===.当x∈[0，］或x∈（，π)时sinx≥0,f（x）=tanx在［0，],(，π）上为增函数.当x∈［π,］或x∈（，2π)时,sinx≤0，f(x)=—tanx在［π，］，(，2π)上为减函数。答案：A5.（2005江苏）若sin（-α)=，则cos(+2α）等于（)A。—B。-C.D.思路解析：本题考查三角函数两角和公式，倍角公式及三角恒等变形和相关计算能力.cos（+2α)=2cos2（+α)-1=2［cos·cosα-sin·sinα]2—1=2(cosα-sinα)2—1=2（sin·cosα-cos·sinα)2-1=2×—1=—。答案:A6.（2005全国卷Ⅲ)已知函数f(x）=2sin2x+sin2x，x∈［0,2π］,求使f(x)为正值的x的集合。解：∵f(x)=1—cos2x+sin2x=1+sin（2x-），∴f(x）〉01+sin(2x-)>0sin(2x—）〉—-+2kπ〈2x-〈+2kπkπ〈x〈+kπ。又x∈[0，2π],∴x∈(0,)∪（π,）.7。(2005天津）已知sin（α-）=，cos2α=，求sinα及tan(α+）。解法一:由题设条件，应用两角差的正弦公式得=sin（α-)=(sinα-cosα)，即sinα—cosα=。①由题设条件,应用二倍角余弦公式得=cos2α=cos2α-sin2α=（cosα—sinα)（cosα+sinα)=-(cosα+sinα),故cosα+sinα=—。②由①和②式得sinα=，cosα=—.因此,tanα=—，由两角和的正切公式tan(α+)====。解法二:由题设条件，应用二倍角余弦公式得=cos2α=1—2sin2α,解得sin2α=,即sinα=±.由sin(α—）=可得sinα-cosα=.由sinα=+cosα〉0，且cosα=sinα—〈0，故α在第二象限.于是sinα=，从而cosα=sinα—=-.以下同解法一。8。（2005辽宁)如图3—图3-2（1）将十字形的面积表示为θ的函数.(2）θ为何值时，十字形的面积最大？最大面积是多少？思路解析：本题主要考查根据图形建立函数关系、三角函数公式、用反三角函数表示角以及解和三角函数有关的极值问题等基础知识，考查综合运用三角函数知识的能力.解：（1）设S为十字形的面积，则S=2xy—x2=2sinθcosθ-cos2θ（〈θ〈).（2）S=2sinθcosθ-cos2θ=sin2θ-cos2θ-=sin(2θ—φ)-,其中cosφ=。当sin（2θ—φ）=1，即2θ—φ=时，S最大。S的最大值为。9.已知sin22α+sin2αcosα-cos2α=1，α∈(0，），求sinα,tanα。思路解析：可将sin2α,cos2α用升幂公式化为方程来解。本题一定要注意α的范围，否则会出现cosα=0或sinα=—1的错误。解：由题意知4sin2αcos2α+2sinαcos2α-2cos2α=0，即2cos2α(2sinα—1)(sinα+1）=0.又α∈(0,），∴sinα+1≠0,cos2α≠0。由2sinα—1=0得sinα=，∴α=，tanα=.10.（2005福建）已知-<x〈0，sinx+cosx=.(1）求sinx—cosx的值；（2）求的值.思路解析：本题主要考查三角函数的基本公式、三角恒等变换、各个象限内三角函数符号的特点等基本知识,以及推理和运算能力.解:（1）由sinx+cosx=,平方得sin2x+2sinxcosx+cos2x=,即2sinxcosx=-。∵(sinx-cosx)2=1-2sinxcosx=.又∵—<x〈0,∴sinx〈0,cosx〉0,sinx-cosx<0.故s