数学4例题与探究：任意角的三角函数

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精典题精讲例1已知sinα=t且|t|<1，求角α的余弦值和正切值。思路分析：利用三角函数基本关系式，分类讨论求解，即要考虑到α所在象限，以及要求的三角函数值的正负情况.解：∵sinα=t且｜t｜〈1，∴角α可能为四个象限的角和x轴上的轴线角。（1）当α为第一、四象限或x轴正半轴上的角时，有cosα=,tanα==。（2）当α为第二、三象限或x轴负半轴上的角时,有cosα=,tanα==—。绿色通道：若已知正弦、余弦、正切中的某一个三角函数值是用字母表示的，且角所在象限也没有指定时，这个角α可能在四个象限(也可能是轴线角）,此时，不必按四个象限讨论，只需将四个象限角（可能含轴线角)的三角函数值分成两组讨论。变式训练1（2006重庆高考卷,文13）已知sinα=，≤α≤π，则tanα等于______.思路解析：由sinα=,≤α≤πcosα=,所以tanα=—2.答案：—2变式训练2sin2α>0且cosα<0，试确定α所在的象限。思路分析:由sin2α>0得出α的范围，再由cosα〈0得出α的范围，两者取交集即可。解：∵sin2α>0，∴2kπ〈2α〈2kπ+π（k∈Z)。∴kπ<α<kπ+（k∈Z）.当k=2n(n∈Z)时，有2nπ〈α〈2nπ+(n∈Z),∴α为第一象限角。当k=2n+1（n∈Z)时，有2nπ+π<α〈2nπ+(n∈Z)，∴α为第三象限角。∴α为第一或第三象限角。由cosα〈0，知α在第二或第三象限或α终边在x轴的负半轴上.综上所述，知α为第三象限角。例2y=的定义域是_____________。思路解析：利用函数y=sinx，y=cosx，y=tanx的定义域及分式函数的定义域即可求解.要使函数有意义必须使tanx有意义且tanx≠0,即（k∈Z）∴函数y=的定义域为｛x|x≠,k∈Z}。答案：｛x|x≠,k∈Z}黑色陷阱：解答本题，往往容易忽视tanx本身有意义这个条件，只考虑到tanx作为分母不能为0.变式训练若|cosα|=cos（π+α),则角α的集合为_____________.思路解析:由绝对值的意义确定角α所在象限,进而写出范围.由已知,得|cosα｜=-cosα，∴α为第二、三象限角或终边落在y轴上的角.∴2kπ+≤α≤2kπ+（k∈Z）。答案：｛α|2kπ+≤α≤2kπ+，k∈Z｝例3分别作出和-的正弦线、余弦线和正切线。思路分析:利用单位圆中三角函数线的作法作图。解:（1）在直角坐标系中作单位圆，如图1-2—4,以Ox轴为始边作角，角的终边与单位圆交于点P,作PM⊥Ox轴,垂足为M，由单位圆与Ox轴正方向的交点A作Ox轴的垂线与OP的反向延长线交于T点,则的正弦线为有向线段MP,余弦线为有向线段OM，正切线为有向线段AT。图1—2—4（2)同理可作出-的正弦线、余弦线和正切线,如图1-2-5。—的正弦线为有向线段M1P1，余弦线为有向线段O1M1，正切线为有向线段A1T1.图1-2-5黑色陷阱：容易忽视的正切线的数量为负,即有向线段的方向与y轴负方向相同，所以应反向延长.-的正切线同样应反向延长。变式训练集合M=｛x｜sin|x｜=1｝,N=｛x|｜sinx｜=1｝,则M与N之间的关系是(）A。MNB。MNC。M=ND.M∩N=思路解析:采用淘汰法。sin｜x|=1｜x｜=2kπ+（k∈Z）x=±（2kπ+）(k∈Z），｜sinx|=1sinx=±1x=2kπ±（k∈Z),从而淘汰D。又｜sin｜=1,∴∈N,而sin｜|=sin=-1，∴M，从而淘汰B、C。答案:A例4已知tanα=2，求值:（1）=_____________；(2)=______________.思路解析：根据同角的三角函数之间的关系，对所求代数式进行适当变形.(1)∵cosα≠0，分子分母同除cosα，得==-1。(2）∵cos2α≠0,分子分母同除cos2α，得.答案：（1)-1（2）绿色通道:这是一组在已知tanα=m的条件下,求关于sinα、cosα的齐次式值的问题.解这类问题需注意以下几点:（1)一定是关于sinα、cosα的齐次式(或能化为齐次式)的三角函数式;（2）因为cosα≠0,所以可用cosnα(n∈N*)除之.这样可以将所求式化为关于tanα的表达式,整体代入tanα=m的值求解.变式训练已知sin（α+β)=1,求证：tan(2α+β)+tanβ=0。思路分析：由已知得α+β的取值，注意将α+β变形得到α，代入被证式左边，然后利用诱导公式进行化简,直到推得右边.证明:∵sin(α+β）=1，∴α+β=2kπ+(k∈Z)，∴α=2kπ+-β(k∈Z)。∴tan（2α+β）+tanβ=tan[2(2kπ+-β)+β]+tanβ=tan（4kπ+π—2β+β）+tanβ=tan(4kπ+π—β)+tanβ=tan(π—β)+tanβ=—tanβ+tanβ=0.∴tan（2α+β)+tanβ=0得证.例5已知sinα是方程6x=1—根，那么的值等于（)A。±B。±C。D.思路解析：先求出方程6x=1—的根,即为sinα的值,然后对所求式子用诱导公式化简，最后把sinα的值代入化简后的式子即可.由6x=1-,解得x=,即sinα=,=-tanα,∵sinα=,∴α应为第一或第二象限的角。∴tanα=±，-tanα=±。答案：A黑色陷阱:解答此题容易出错的地方有两处，一是在解方程6x=1—时,忽视了x的定义域，错误地把得到的负值也保留;二是对各诱导公式掌握不熟练，在化简所求关系式的过程中出错。变式训练1已知sin(π-α）-cos（π+α）=（〈α<π),则sinα—cosα等于___________。思路解析:将已知平方，得sinαcosα，然后利用（sinα±cosα)2=1±2sinαcosα求解。易知sin（π-α)—cos（π+α）=sinα+cosα=.两边平方,得1+2sinαcosα=，∴2sinαcosα=.∵<α<π，∴sinα>0>cosα.故有sinα-cosα==.答案:变式训练2如图1—2-6，已知长方形的四个顶点A（0，0），B（2,0)，C(2,1），D（0,1)。一质点从AB的中点P0出发，沿与AB夹角为θ的方向射到BC上的点P1后，依次反射到CD、DA和AB上的点P2、P3、P4（入射角等于反射角）。设P4的坐标（x4，0）,若1〈x4〈2,则tanθ的范围是(）图1—2-6A.(,1)B.（,）C.(,）D。（，）思路解析:可以把tanθ表示为x4的函数,即得到tanθ=f(x4)，再根据1〈x4〈2求解；或得到x4=f(tanθ)，然后根据1〈f(tanθ)〈2解tanθ;也可用淘汰法.设P1(2,y1），P2(x2,1）,P3(0，y3），其中P0（1，0)，根据反射角与入射角相等的关系，得到关系式tanθ=。∴y1=tanθ，x2=2—,y3=1-x2tanθ=2-3tanθ,x4=—3。∵θ∈(0,)，x4∈(1,2)，∴1<—3<2.解得<tanθ<。答案：C例6已知cos（-α)=，求cos(+α)-sin2（α-）的值.思路分析：注意到—α++α=π,可以把+α化成π-(-α），α-=—(-α)，利用诱导公式化简即可.解:cos(+α）=cos［π—（—α）]=—cos(-α）=，sin2(α-）=sin2［-(-α）］=1-cos2(—α）=1-()2=,∴cos（+α)—sin2（α-)=—=.绿色通道:此类题目要灵活运用诱导公式，在做题时要注意观察角与角之间的关系，例如+α=π—(-α），利用诱导公式把未知三角函数值用已知三角函数表示出来.变式训练求函数y=lgsin(630°-2x)的最大值。思路分析：将sin（630°-2x)化简为-cos2x,然后利用对数函数单调性及余弦函数的有界性,求得y=lgsin（630°—2x）的最大值。解：sin（630°—2x）=sin(360°+180°+90°-2x）=sin(180°+90°-2x)=—sin（90°-2x）=—cos2x,∴y=lgsin(630°-2x)=lg（-cos2x).其中—cos2x〉0，∴cos2x〈0。又cos2x≥-1，∴当且仅当cos2x=-1时，ymax=lg1=0。例7若f(sinx）=cos17x,求f（）的值。思路分析:此类题目是诱导公式与函数之间的一种混合运算，在运算的过程中，要理解函数表达式的意义,灵活运用诱导公式.解:f（）=f(sin)=cos=cos（2π+)=cos=cos(π—）=—cos=.绿色通道:此类题目在运算过程中要注意选取恰当的角，在运用诱导公式时，要注意角的合理拆分.解答三角函数问题的时候，除了掌握特殊角的三角函数值，还要能够把某些数值恰当地转化成某个特殊角的三角函数的形式，以达到简化问题的目的。变式训练设f（x)=asin（πx+α)+bcos(πx+β），其中a、b、α、β都是非零实数，若f(2002）=-1,则f(2003）等于____________.思路解析:用诱导公式寻求f（2002)和f(2003)的关系。f(2003)=asin（2003π+α)+bcos（2003π+β）=asin[π+(2002π+α)］+bcos[π+（2002π+β）］=-asin(2002π+α）-bcos（2002π+β）=—f(2002）=1.答案:1问题探究问题1你能找到三角函数值在各个象限的符号记忆规律吗?导思：三角函数的符号是根据三角函数的定义和各象限内的坐标符号导出的,从原点到角的终边上任意一点的距离r总是正值,根据三角函数的定义可知正弦的符号取决于纵坐标y的符号,余弦的符号取决于横坐标x的符号,正切当x、y同号时为正，异号时为负.探究：方法一：利用口诀“一全正，二正弦,三正切，四余弦”，也可简写为“全，S，T,C”来记忆.上述口诀表示：第一象限全是正值，第二象限正弦（S)是正值，第三象限正切(T）是正值，第四象限余弦(C)是正值。至于正割、余割和余切函数值在各象限的符号,只需记住它们与余弦、正弦、正切在各象限内的符号相同就可以了.方法二：利用图1-2-7记忆,口诀在图下方:图1—2-7问题2诱导公式六:sin(+α）=cosα，cos（+α）=—sinα课本中已经给出了推导方法，你还能有其他的方法推导出这两个公式吗？导思:思路一：借助诱导公式五实现正弦函数与余弦函数的相互转化,再借助公式三判断出函数值的符号；思路二:借助单位圆,根据三角函数值去找角的终边，从而得出公式的