2024年江苏省常州市教育会九年级数学第一学期开学达标检测试题【含答案】

学校________________班级____________姓名____________考场____________准考证号学校________________班级____________姓名____________考场____________准考证号…………密…………封…………线…………内…………不…………要…………答…………题…………第1页，共5页2024年江苏省常州市教育会九年级数学第一学期开学达标检测试题题号一二三四五总分得分A卷（100分）一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）1、（4分）一次函数的图象如图所示，则不等式的解集是（）A． B． C． D．2、（4分）如图，在△ABC中，∠ABC的平分线交AC于点D，AD＝6，过点D作DE∥BC交AB于点E，若△AED的周长为16，则边AB的长为（）A．6 B．8 C．10 D．123、（4分）如图，已知正方形ABCD的面积等于25，直线a，b，c分别过A，B，C三点，且a∥b∥c，EF⊥直线c，垂足为点F交直线a于点E，若直线a，b之间的距离为3，则EF=（）A．1 B．2 C．-3 D．5-4、（4分）下列命题是真命题的是（）A．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形B．对角线相互平分的四边形是菱形C．对角线相互垂直的四边形是平行四边形D．对角线相等的平行四边形是矩形5、（4分）如图，在轴正半轴上依次截取，过点、、、……分别作轴的垂线，与反比例函数交于点、、、…、，连接、、…，，过点、、…、分别向、、…、作垂线段，构成的一系列直角三角形（图中阴影部分）的面积和等于（）.A． B． C． D．6、（4分）如图，已知平行四边形，，，，点是边上一动点，作于点，作（在右边）且始终保持，连接、，设，则满足（）A． B．C． D．7、（4分）如图，矩形纸片ABCD中，BC=4cm，把纸片沿直线AC折叠，点B落在E处，AE交DC于点O，若AO=5cm，则ΔABC的面积为（A．16cm2 B．20cm28、（4分）下列平面图形中，不是轴对称图形的是（）A． B． C． D．二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）9、（4分）在▱ABCD中，如果∠A+∠C=140°，那么∠B=度．10、（4分）如图，A、B两点被池塘隔开，在AB外选一点C，连接AC、BC，取AC、BC的中点D、E，量出DE=a，则AB=2a，它的根据是________．11、（4分）如果是两个不相等的实数，且满足，那么代数式_____.12、（4分）在甲、乙两名同学中选拔一人参加校园“中华诗词”大赛，在相同的测试条件下，两人5次测试成绩分别是：甲：79，86，82，85，83；乙：88，79，90，81，72；数据波动较小的一同学是_____．13、（4分）如图，已知一块直角三角板的直角顶点与原点重合，另两个顶点，的坐标分别为，，现将该三角板向右平移使点与点重合，得到，则点的对应点的坐标为__________．三、解答题（本大题共5个小题，共48分）14、（12分）甲、乙两人利用不同的交通工具，沿同一路线从A地出发前往B地，甲出发1h后，乙出发，设甲与A地相距y甲(km)，乙与A地相距y乙(km)，甲离开A地的时间为x(h)，y甲、y乙与x之间的函数图象如图所示．(1)甲的速度是_____km/h；(2)当1≤x≤5时，求y乙关于x的函数解析式；(3)当乙与A地相距240km时，甲与A地相距_____km．15、（8分）（1）计算：；（2）先化简，再求值：（-4）÷，其中x=1．16、（8分）如图，平面直角坐标系中，矩形的对角线，．(1)求点的坐标；(2)把矩形沿直线对折，使点落在点处，折痕分别与、、相交于点、、，求直线的解析式；(3)若点在直线上，平面内是否存在点，使以、、、为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．17、（10分）如图，在边长为正方形中，点是对角线的中点，是线段上一动点（不包括两个端点），连接.（1）如图1，过点作交于点，连接交于点.①求证：;②设，，求与的函数关系式，并写出自变量的取值范围.（2）在如图2中，请用无刻度的直尺作出一个以为边的菱形.18、（10分）先化简，再求值：.其中.B卷（50分）一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）19、（4分）如图,△ABO的面积为3,且AO=AB,反比例函数y=kx的图象经过点A，则k的值为___20、（4分）五子棋的比赛规则是：一人执黑子，一人执白子，两人轮流放棋，每次放一个棋子在棋盘的格点处，只要有同色的五个棋子先连成一条线(横、竖、斜均可)就获得胜利．如图是两人正在玩的一盘棋，若白棋A所在位置用坐标表示是(－2，2)，黑棋B所在位置用坐标表示是(0，4)，现在轮到黑棋走，黑棋放到点C的位置就获得胜利，则点C的坐标是__________．21、（4分）已知直线与平行且经过点，则的表达式是__________．22、（4分）（2011山东烟台，17，4分）如图，三个边长均为2的正方形重叠在一起，O1、O2是其中两个正方形的中心，则阴影部分的面积是.23、（4分）如图，直线y＝x＋b与直线y＝kx＋6交于点P（3，5），则关于x的不等式kx＋6＞x＋b的解集是_____．二、解答题（本大题共3个小题，共30分）24、（8分）在ΔABC中，∠C=90°，AC=BC，BP是ΔABC的角平分线，过点P作PD⊥AB于点D，将∠EPF绕点P旋转，使∠EPF的两边交直线AB于点E，交直线BC于点F，请解答下列问题：(1)当∠EPF绕点P旋转到如图1的位置，点E在线段AD上，点F在线段BC上时，且满足PE=PF.①请判断线段CP、CF、AE之间的数量关系，并加以证明②求出∠EPF的度数.(2)当∠EPF保持等于(1)中度数且绕点P旋转到图2的位置时，若∠CFP=60°，BE=3+6-125、（10分）4月23日是世界读书日，总书记说：“读书可以让人保持思维活力，让人得到智慧的启发，让人漱养浩然正气．”倡导读书活动，鼓励师生利用课余时间广泛阅读．期末学校为了调查这学期学生课外阅读情况，随机抽样调查了一部分学生阅读课外书的本数，并将收集到的数据整理成如图的统计图．(1)本次调查的学生人数为______人；(2)求本次所调查学生读书本数的众数，中位数；(3)若该校有800名学生，请你估计该校学生这学期读书总数是多少本？26、（12分）如图，在矩形ABCD中AD=12，AB=9，E为AD的中点，G是DC上一点，连接BE，BG，GE，并延长GE交BA的延长线于点F，GC=5（1）求BG的长度；（2）求证：是直角三角形（3）求证：

参考答案与详细解析一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）1、D【解析】

写出函数图象在x轴下方所对应的自变量的范围即可．【详解】当x＞-1时，y＜0，

所以不等式kx+b＜0的解集是x＞-1．

故选：D．本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．2、C【解析】

根据角平分线的定义得到∠EBD＝∠CBD，根据平行线的性质得到∠EDB＝∠CBD，等量代换得到∠EBD＝∠EDB，求得BE＝DE，于是得到结论．【详解】解：∵BD平分∠ABC，∴∠EBD＝∠CBD，∵DE∥BC，∴∠EDB＝∠CBD，∴∠EBD＝∠EDB，∴BE＝DE，∵△AED的周长为16，∴AB+AD＝16，∵AD＝6，∴AB＝10，故选：C．本题考查了平行线的性质，角平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握各定理是解题的关键．3、A【解析】

延长AE交BC于N点，过B点作BM⊥AN于M点，过N点作NH⊥FC于H点，在Rt△ABM和Rt△BMN中，易得cos∠BAM=cos∠MBN，即，解得BN=，从而求出CN长度，在Rt△HNC中，利用cos∠HNC=cos∠MBN=，求出NH长度，最后借助EF=NH即可．【详解】解：延长AE交BC于N点，过B点作BM⊥AN于M点，过N点作NH⊥FC于H点，因为正方形的面积为23，所以正方形的边长为3．在Rt△ABM中，AB=3，BM=3，利用勾股定理可得AM=2．∵∠BAM+∠ABM=90°，∠NBM+∠ABM=90°，∴∠MBN=∠BAM．∴cos∠BAM=cos∠MBN，即，解得BN=．∴CN=BC-BN=．∵∠HNC=∠MBN，∴cos∠HNC=cos∠MBN=．∴，解得NH=3．∵a∥c，EF⊥FC，NH⊥FC，∴EF=NH=3．故选：A．本题考查正方形的性质、平行线间的距离、解直角三角形，解题的关键是根据题意作出辅助线，转化角和边．4、D【解析】

分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案．【详解】解：A、错误，例如对角线互相垂直的等腰梯形；B、错误，平行四边形的对角线都是互相平分的；C、错误，如下图四边形对角线互相垂直，但并非平行四边形，D、正确.故选D.本题主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．5、B【解析】

由可设点的坐标为（1，），点的坐标为（1，），点的坐标为（1，）…点的坐标为（1，），把x=1，x=2，x=3代入反比例函数的解析式即可求出的值，再由三角形的面积公式可以得出…的值，即可得出答案.【详解】∵∴设（1，），（1，），（1，）…（1，）∵、、、…、在反比例函数的图像上∴∴∴∵∴…∴因此答案选择B.本题考查的是反比例函数综合题，熟知反比例函数图像上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键.6、D【解析】

设PE=x，则PB=x，PF=3x，AP=6-x，由此先判断出，然后可分析出当点P与点B重合时，CF+DF最小；当点P与点A重合时，CF+DF最大.从而求出m的取值范围.【详解】如上图：设PE=x，则PB=x，PF=3x，AP=6-x∵∴由AP、PF的数量关系可知，如上图，作交BC于M，所以点F在AM上.当点P与点B重合时，CF+DF最小.此时可求得如上图，当点P与点A重合时，CF+DF最大.此时可求得∴故选：D此题考查几何图形动点问题，判断出，然后可分析出当点P与点B重合时，CF+DF最小；当点P与点A重合时，CF+DF最大是解题关键.7、A【解析】

由矩形的性质可得∠B=90°，AB∥CD，可得∠DCA=∠CAB，由折叠的性质可得BC=EC=4cm，AB=AE，∠E=∠B=90°，∠EAC=∠CAB=∠DCA，可得AO=OC=5cm，由勾股定理可求OE的长，即可求△ABC的面积．【详解】解：∵四边形ABCD是矩形∴∠B=90°，AB∥CD∴∠DCA=∠CAB∵把纸片ABCD沿直线AC折叠，点B落在E处，∴BC=EC=4cm，AB=AE，∠E=∠B=90°，∠EAC=∠CAB，∴∠DCA=∠EAC∴AO=OC=5cm∴OE=∴AE=AO+OE=8cm，∴AB=8cm，∴△ABC的面积=12×AB×BC=16cm2故选：A．本题考查了翻折变换，矩形的性质，勾股定理，熟练运用折叠的性质是本题的关键．8、A【解析】试题分析：根据轴对称图形的定义作答．如果把一个图形沿着一条直线翻折过来，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．解：根据轴对称图形的概念，可知只有A沿任意一条直线折叠直线两旁的部分都不能重合．故选A．考点：轴对称图形．二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）9、1．【解析】根据平行四边形的性质，对角相等以及邻角互补，即可得出答案．解：∵平行四边形ABCD，∴∠A+∠B=180°，∠A=∠C，∵∠A+∠C=140°，∴∠A=∠C=70°，∴∠B=1°．故答案为1．10、三角形的中位线等于第三边的一半【解析】∵D,E分别是AC,BC的中点,

∴DE是△ABC的中位线,

∴DE=AB,

设DE=a，则AB=2a，故答案是:三角形的中位线等于第三边的一半.11、1【解析】

由于m，n是两个不相等的实数，且满足m2-m=3，n2-n=3，可知m，n是x2-x-3=0的两个不相等的实数根．则根据根与系数的关系可知：m+n=1，mn=-3，又n2=n+3，利用它们可以化简，然后就可以求出所求的代数式的值．【详解】解：由题意可知：m，n是两个不相等的实数，且满足m2-m=3，n2-n=3，所以m，n是x2-x-3=0的两个不相等的实数根，则根据根与系数的关系可知：m+n=1，mn=-3，又n2=n+3，则2n2-mn+2m+2015=2（n+3）-mn+2m+2015=2n+6-mn+2m+2015=2（m+n）-mn+2021=2×1-（-3）+2021=2+3+2021=1．故答案为：1．本题考查一元二次方程根与系数的关系，解题关键是把所求代数式化成两根之和、两根之积的系数，然后利用根与系数的关系式求值．12、答案为甲【解析】

方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．【详解】解：＝83（分），＝82（分）；经计算知S甲2＝6，S乙2＝1．S甲2＜S乙2，∴甲的平均成绩高于乙，且甲的成绩更稳定，故答案为甲本题主要考查平均数、方差等知识，解题的关键是记住：方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．13、【解析】

根据A点的坐标，得出OA的长，根据平移的条件得出平移的距离，根据平移的性质进而得出答案.【详解】∵A（-1,0），∴OA=1,

∵一个直角三角板的直角顶点与原点重合,现将该三角板向右平移使点A与点O重合，得到△OCB′,∴平移的距离为1个单位长度，∵点B的坐标为∴点B的对应点B′的坐标是，故答案为：.此题主要考查根据平移的性质求点坐标，熟练掌握，即可解题.三、解答题（本大题共5个小题，共48分）14、（1）V甲=60km/h（2）y乙=90x-90（3）220【解析】

（1）根据图象确定出甲的路程与时间，即可求出速度；（2）利用待定系数法确定出y乙关于x的函数解析式即可；（3）求出乙距A地240km时的时间，加上1，再乘以甲的速度即可得到结果．【详解】（1）根据图象得：360÷6=60km/h；（2）当1≤x≤5时，设y乙=kx+b，把（1，0）与（5，360）代入得：，解得：k=90，b=-90，则y乙=90x-90；（3）∵乙与A地相距240km，且乙的速度为360÷（5-1）=90km/h，∴乙用的时间是240÷90=h，则甲与A地相距60×（+1）=220km.此题考查了一次函数的应用，弄清图象中的数据是解本题的关键．15、（1）-1；（2）x-2，-1【解析】

（1）先通分，再把分子相加减即可；（2）先算括号里面的，再算除法即可．【详解】解：（1）原式====-1；（2）原式=•=•=x-2，当x=1时，原式=1-2=-1．本题考查的是分式的混合运算，熟知分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序；先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的是解答此题的关键．16、（1）；（2）；（3）存在符合条件的点共有4个，分别为【解析】分析：（1）利用三角函数求得OA以及OC的长度，则B的坐标即可得到；（2）分别求出D点和E点坐标，即可求得DE的解析式；（3）分当FM是菱形的边和当OF是对角线两种情况进行讨论．利用三角函数即可求得N的坐标．详解：（1）在直角△OAC中，tan∠ACO=，∴设OA=x，则OC=3x，根据勾股定理得：（3x）2+（x）2=AC2，即9x2+3x2=571，解得：x=4．则C的坐标是：（12，0），B的坐标是（）；（2）由折叠可知，∵四边形是矩形，∴∥，∴，∴=，∴设直线的解析式为，则，解得；∴.（3）∵OF为Rt△AOC斜边上的中线，∴OF=AC=12，∵，∴tan∠EDC=∴DE与x轴夹角是10°，当FM是菱形的边时（如图1），ON∥FM，∴∠NOC=10°或120°．当∠NOC=10°时，过N作NG⊥y轴，∴NG=ON•sin30°=12×=1，OG=ON•cos30°=12×=1，此时N的坐标是（1，1）；当∠NOC=120°时，与当∠NOC=10°时关于原点对称，则坐标是（-1，-1）；当OF是对角线时（如图2），MN关于OF对称，∵F的坐标是（1，1），∴∠FOD=∠NOF=30°，在直角△ONH中，OH=OF=1，ON=．作NL⊥y轴于点L．在直角△ONL中，∠NOL=30°，∴NL=ON=，OL=ON•cos30°=×=1．此时N的坐标是（，1）．当DE与y轴的交点时M，这个时候N在第四象限，此时点N的坐标为：（1，-1）．则N的坐标是：（1，-1）或（1，1）或（-1，-1）或（2，1）．点睛：此题属于一次函数综合题，涉及的知识有：锐角三角函数定义，勾股定理，以及菱形的性质，本题对于N的位置的讨论是解第三问的关键．17、(1)①见解析；②；（2）见解析【解析】

（1）①连接DE，如图1，先用SAS证明△CBE≌△CDE，得EB=ED，∠CBE=∠1，再用四边形的内角和可证明∠EBC=∠2，从而可得∠1=∠2，进一步即可证得结论；②将△BAE绕点B顺时针旋转90°，点E落在点P处，如图2，用SAS可证△PBG≌△EBG，所以PG=EG=2－x－y，在直角三角形PCG中，根据勾股定理整理即得y与x的函数关系式，再根据题意写出x的取值范围即可.（2）由（1）题已得EB=ED，根据正方形的对称性只需再确定点E关于点O的对称点即可，考虑到只有直尺，可延长交AD于点M，再连接MO并延长交BC于点N，再连接DN交AC于点Q，问题即得解决.【详解】（1）①证明：如图1，连接DE，∵四边形ABCD是正方形，∴CB=CD，∠BCE=∠DCE=45°，又∵CE=CE，∴△CBE≌△CDE（SAS），∴EB=ED，∠CBE=∠1，∵∠BEC=90°，∠BCF=90°，∴∠EBC+∠EFC=180°，∵∠EFC+∠2=180°，∴∠EBC=∠2，∴∠1=∠2.∴ED=EF，∴BE=EF.②解：∵正方形ABCD的边长为，∴对角线AC=2.将△BAE绕点B顺时针旋转90°，点A与点C重合，点E落在点P处，如图2，则△BAE≌△BCP，∴BE=BP，AE=CP=x，∠BAE=∠BCP=45°，∠EBP=90°，由①可得，∠EBF=45°，∴∠PBG=45°=∠EBG，在△PBG与△EBG中，，∴△PBG≌△EBG（SAS）.∴PG=EG=2－x－y，∵∠PCG=∠GCB+∠BCP=45°+45°=90°，∴在Rt△PCG中，由，得，化简，得.（2）如图3，作法如下：①延长交AD于点M，②连接MO并延长交BC于点N，③连接DN交AC于点Q，④连接DE、BQ，则四边形BEDQ为菱形.本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、四边形的内角和、勾股定理和菱形的作图等知识，其中通过三角形的旋转构造全等三角形是解决②小题的关键，利用正方形的对称性确定点Q的位置是解决（2）题的关键.18、原式=，又x2+2x-15=0，得x2+2x=15，∴原式=.【解析】试题分析：先算括号里面的，再算除法，最后算减法，根据x2+2x-15=0得出x2+2x=15，代入代数式进行计算即可．试题解析：原式=.∵x2+2x-15=0，∴x2+2x=15，∴原式=.【点睛】本题考查的是分式的化简求值，此类题型的特点是：利用方程解的定义找到相等关系，再把所求的代数式化简后整理出所找到的相等关系的形式，再把此相等关系整体代入所求代数式，即可求出代数式的值．一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）19、1【解析】

过点A作OB的垂线，垂足为点C，根据等腰三角形的性质得OC=BC，再根据三角形的面积公式得到12OB•AC=1，易得OC•AC=1，设A点坐标为（x，y），即可得到k=xy=OC•AC=1【详解】过点A作OB的垂线，垂足为点C，如图，∵AO=AB，∴OC=BC=12OB∵△ABO的面积为1，∴12OB⋅AC=1∴OC⋅AC=1.设A点坐标为(x,y),而点A在反比例函数y=kx(k>0)∴k=xy=OC⋅AC=1.故答案为：1.此题考查反比例函数系数k的几何意义，解题关键在于作辅助线.20、(3，3)【解析】

根据题意可以画出相应的平面直角坐标系，从而可以得到点C的坐标．【详解】由题意可得如图所示的平面直角坐标系，故点C的坐标为（3，3），故答案为（3，3）．本题考查坐标确定位置，解题的关键是明确题意，建立合适的平面直角坐标系．21、【解析】

先根据两直线平行的问题得到k=2，然后把（1，3）代入y=2x+b中求出b即可．【详解】∵直线y=kx+b与y=2x+1平行，∴k=2，把(1,3)代入y=2x+b得2+b=3，解得b=1，∴y=kx+b的表达式是y=2x+1.故答案为：y=2x+1.此题考查一次函数中的直线位置关系，解题关键在于求k的值.22、2【解析】

解：正方形为旋转对称图形，绕中心旋转每90°便与自身重合.可判断每个阴影部分的面积为正方形面积的，这样可得答案填2.23、x＜1【解析】

观察函数图象得到当x＜1时，函数y=kx+6的图象都在y=x+b的图象上方，所以关于x的不等式kx+6＞x+b的解集为x＜1．【详解】由图象可知，当x＜1时，有kx＋6＞x＋b，当x＞1时，有kx＋6＜x＋b，所以，填x＜1本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=ax+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．二、解答题（本大题共3个小题，共30分）24、(1)①CP-CF=AE，理由见解析；②∠EPF=135°；(2)SΔAEP【解析】

(1)①根据角平分线的性质得到PD=PC，②根据全等三角形的性质即可得到答案；(2)根据全等三角形的性质和判定即可得到答案；【详解】(1)①CP-CF=AE∵PD⊥AB∴∠PDE=∠C=90