2023-2024学年北京朝阳区和平街一中高一（上）期中数学试题及答案

2023北京和平街一中高一（上）期中数学班级______姓名______学号______一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.A=0,1，B=xN|x，那么集合AB等于（）1.已知集合−)2−23D.A.B.C.P:xR,x+102.设命题，则P为（）xR,x+10xR,x+10xR,x+10A.B.D.xR,x+10C.A={x|1xB={x|x}AB，则a的取值范围是（3.设集合，若）A.1a2B.aC.a1D.a−12y=()fxx0时，y=f(x)4.已知是定义在R上的偶函数，当图象如图所示，则下列关系正确的是（）()(−)()f1f2f3A.B.C.D.()()(−)f3f1f2()()(−)f1f3f2(−)()()f2f1f3(0,+)上单调递减的是（）5.下列函数中，是奇函数且在区间1A.y=−x2B.C.yx−=1D.y=x3y=x2a,b,cRab，则下列不等式一定成立的是（6.已知，且）a|cb|c|）11bA.a2b2B.C.c−ac−bD.a7.设x，则“1x2”是“|x−21”的（RA.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件8.从20152020年，某企业通过持续的技术革新来降低其能源消耗，到了2020年该企业单位生产总值能耗降低了20%.如果这五年平均每年降低的百分率为xx满足的方程是（D.既不充分也不必要条件）A.5x=0.251−x=0.8B.()C.x50.2=−x)D.5=9.函数f(x)=ax2+(a-3)x+1在区间[-1,+∞)上是递减的,则实数a的取值范围是()A.[-3,0)C.[-2,0]B.(-∞,-3]D.[-3,0]()为定义在上的函数，函数(+)是奇函数对于下列四个结论：fxfx110.设R.①f)=0；②f1−x=−f1+x)；)(③函数()的图象关于原点对称；fx④函数()的图象关于点()对称；1,0fx其中，正确结论的个数为（）A.1B.2C.3D.4二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分把答案填在答题卡上.x+1x−1函数y=12.已知函数的定义域是__________.()是定义在上的奇函数，且当fx时，()=(+)，则(−)=fxx1xf1______.Rx01,x113.函数f(x＝x的最大值为________．−x2+x114.函数f(x)的定义域为D，给出下列两个条件：x,xDxxf(x)()；时，总有2fx①对于任意，当12112②f(x)在定义域内不是单调函数.请写出一个同时满足条件①②的函数f(x)，则f(x)=______________.2−x2x,x，f(x)=15.已知函数给出下列四个结论：−x2−2x,x.a①存在实数，使函数f(x)f(x)为奇函数；a②对任意实数，函数既无最大值也无最小值；a③对任意实数和，函数ky=f(x)+k总存在零点；ma(−m)上单调递减.其中所有正确结论的④对于任意给定的正实数，总存在实数，使函数f(x)在区间序号是______________.三、解答题：本大题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.A=xa−1x2a+16.设集合，不等式x2−2x−80的解集为B.（1）当a=1时，求AB，AB，A；RAB（2）当时，求实数的取值范围.a417.设函数f(x)=x++3x（1）求函数()的图像与直线y=2x交点的坐标：fxx+)()的最小值fx（2）当时，求函数（3）用单调性定义证明：函数()在()上单调递增fx.fxax22ax−3．()=−18.已知函数（1）若a=1，求不等式f(x)0的解集；（2）己知a0，且f(x)+)上恒成立，求的取值范围；0在a（3）若关于x的方程f(x)=0x+x，求1有两个不相等的正实数根x，x222的取值范围．12fxx22m+1(mR).()=+−19.已知函数（1）若m=2，求函数()在区间fx−2,1上的最大和最小值；（2）解不等式f(x)2x+1.20.设某商品的利润只由生产成本和销售收入决定．生产成本C（单位：万元）与生产量x（单位：千件）间的函数关系是C＝3+；销售收入（单位：万元）与生产量x间的函数关系是18x−8x63x++5,0x6S=.（Ⅰ）把商品的利润表示为生产量x的函数；（Ⅱ）为使商品的利润最大化，应如何确定生产量？x,xP()=fx21.设函数其中P，M是非空数集．记f(P）＝{yy＝f(x)，xP}，f(M)＝{|y＝f(x)，−x,xMx∈M}．（Ⅰ）若P＝[0，3]，M＝﹣∞，﹣1)f(P)∪f(M)；（Ⅱ）若P∩M＝∅，且f()是定义在R上的增函数，求集合P，M；（Ⅲ）判断命题“若PM≠R，则f(P∪f(M)≠R”的真假，并加以证明．参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.【答案】C【分析】先求出B集合，再根据并集合的运算求出两个集合的并集.B=xN|x3=2，所以A2，【详解】故选：C2.【答案】C【分析】特称命题的否定是全称命题，先否定量词，再否定结论.P:xR,x+10xR,x+10，则P为：【详解】命题故选：C3.【答案】D【分析】根据AB，由集合，B有公共元素求解.AA={x|1xB={x|x}【详解】集合，AB因为，所以集合A，B有公共元素，所以a−1．故选：D4.【答案】Af(2)=f2()，再结合当【分析】根据函数的奇偶性得到x0时，函数为单调递减函数，即可求解.y=fx()是定义在R上的偶函数，可得−=()f(2)f2，【详解】由题意，函数又由当x0时，函数为单调递减函数，所以f)(2)f3()，所以f)f(−2)f(3).故选：A.5.【答案】C【分析】根据函数的单调性和奇偶性对各个选项逐一分析即可.y=−xy的图象关于轴对称，2【详解】对A，函数y=−x2是偶函数，故A错误；故1的定义域为)不关于原点对称，对B，函数=yx21故=是非奇非偶函数，故B错误；yx2=x−1的图象关于原点对称，x−1是奇函数，且在(0,+)上单调递减，故y=x3的图象关于原点对称，对C，函数y故y=C正确；对D，函数故y=x3是奇函数，但在(0,+)上单调递增，故D错误.故选：C.6.【答案】D【分析】对A，B，C，利用特殊值即可判断，对D，利用不等式的性质即可判断.【详解】解：对A，令a=1，b=−2，此时满足ab，但ab2，故A错；211对B，令a=1，b=−2，此时满足ab，但，故B错；ab对C，若c对D，，ab，则a|c|b|c，故C错；=−a−b，则c−ac−b，故D正确.故选：D.7.【答案】A【分析】先解不等式，再根据两个解集包含关系得结果.−1x−2x3,又1,2()，所以“1x2”是“−”的1,3x21【详解】充分不必要条件，选A.【点睛】充分、必要条件的三种判断方法．pqqppq1．定义法：直接判断“若则”、“若则”的真假．并注意和图示相结合，例如“⇒”为真，pq是的充分条件．则pqqpqppqpqqp2．等价法：利用⇒与非⇒非，⇒与非⇒非，⇔与非⇔非的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．3．集合法：若A⊆B，则A是B的充分条件或B是A的必要条件；若A＝B，则A是B的充要条件．8.【答案】D【分析】根据题设逐年列出生产总值能耗后可得正确的选择.(−)，a1xa【详解】设2015年该企业单位生产总值能耗为，则2016年该企业单位生产总值能耗(−)2(−)32017年该企业单位生产总值能耗a1x，2018年该企业单位生产总值能耗a1x，(−)4(−)52019年该企业单位生产总值能耗a1x，2020年该企业单位生产总值能耗a1x，(−)由题设可得a1x5=(−)=0.8，5a即1x故选：D.9.【答案】D【详解】当a=0时,f(x)=-3x+1显然成立,当a≠0时,需解得-3≤a<0,综上可得-3≤a≤0.【误区警示】本题易忽视a=0这一情况而误选A,失误的原因是将关于x的函数误认为是二次函数.10.【答案】C【分析】gx=fx+1令()()，①：根据()=求解出()的值并判断；②：根据()为奇函数可知g00f1gx(−)=−()，化简此式并进行判断；根据=(+)与=()的图象关系确定出()关于点gxgxyfx1yfxfx对称的情况，由此判断出③④是否正确.gx=fx+)，【详解】令()(①因为()为R上的奇函数，所以gx()=(+)=，所以()=，故正确；f1g0f0100②因为()为R上的奇函数，所以gx(−)=−()，所以(gxf−x+1=−fx+)，即)(gx(−)=−(+)，故正确；f1xf1xy=fx+1()的图象由y=()fx的图象向左平移一个单位得到的，因为y=fx+1()的图象关于原点对称，所以y=()的图象关于点0)对称，故③错误④正确，fx又所以正确的有：①②④，故选：C.【点睛】结论点睛：通过奇偶性判断函数对称性的常见情况：（1）若f(x+a)为偶函数，则函数=()x=a的图象关于直线对称；yyfx（2）若f(x+a)为奇函数，则函数=()的图象关于点(a,0)成中心对称.fx二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分把答案填在答题卡上.【答案】x|x−且1xx【分析】求使函数有意义的的范围即为定义域，逐项求解即可.x+10，解得x−1且x1，【详解】解：由题意得x−10且故函数的定义域为{∣x−1x.故答案为：x|x1且x12.【答案】2−f1=−f1【分析】根据题意，结合()()，代入即可求解.【详解】由函数()是定义在R上的奇函数，且当x0时，()=(+)，fxx1xfxf−1=−f1=−1+=−2.则()()故答案为：2.−13.【答案】2【分析】求出函数在每一段的最大值，再进行比较，即可得答案；1【详解】当x1时，函数f(x)=为减函数，x所以f(x)在x=1处取得最大值为f=1；当x1时，易知函数f(x)=−x2+2在x=0处取得最大值为f(0)2.=故函数f(x)的最大值为2.故答案为：2.【点睛】本题考查分段函数的最值，考查运算求解能力，属于基础题.1()=14.【答案】fx【分析】x根据题意写出一个同时满足①②的函数f(x)即可.1()=，在(,0)上单调递减，()上单调递减，fx【详解】解：易知：xx,xDxx时，总有()()；fxfx12故对于任意，当12121()=fx()(+)上不单调,0且在其定义域.x1()=fx故答案为：.x15.【答案】①②④【分析】分别作出a=0，a0和0的函数f(x)的图象，由图象即可判断①②③④的正确性，即可得正确答案.【详解】如上图分别为a=0，a0和0时函数f(x)的图象，2−x2x,x0对于①：当a=0时，f(x)=，−x2−2x,x0f(x)图象如图1关于原点对称，所以存在a0=使得函数f(x)为奇函数，故①正确；y→−x→时，y→+x→对于②：由三个图知当最小值；故②正确；时，，当，所以函数f(x)既无最大值也无y=−k对于③：如图2和图3中存在实数k使得函数y=f(x)图象与没有交点，此时函数y=f(x)k+没a有零点，所以对任意实数和，函数ky=f(x)+k总存在零点不成立；故③不正确m=+(−m)对于④：如图2，对于任意给定的正实数，取am1即可使函数f(x)在区间上单调递减，故④正确；故答案为：①②④【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是分段函数图象，涉及二次函数的图象，要讨论a=0，a0和0即明确分段区间，作出函数图象，数形结合可研究分段函数的性质.三、解答题：本大题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.，x0或xABx|0x4=AB=x|−2x，16.1）1（2）a4或−1a2,B）根据条件，先求出集合A=和A两种情况讨论，即可得出结果.，再借助数轴即可求出结果；AB（2）根据，分【小问1=−Bx|2x4，即−2x−80，得到2x4由x2，，当a=1时，A=x0x5AB=x|0x4，=−ABx|2x5x0或x.由图知，，【小问2ABA=a−12a+3，得到a4，满足题意，因为，当，即a−1−212A，即a−4，由AB，得到−1a，得到，2a+341综上，实数a的取值范围为a4或−1a.2()(−−2)(2)7(3)证明见解析.17.【答案】(1)4,8或【分析】4x++3=2x（1）由解出方程可得答案.x44（2）利用均值不等式x++32x+3可得答案.xx(3)由定义法证明函数单调性的步骤即可证明.4x++3=2x−3x−4=0，解得x=4或x=−1）由，即x2x所以函数()的图像与直线y=2x交点的坐标为(4,8)或(−−)fx，244f(x)=x++32x+3=7（2）当x0时，xx4x=,x=2时，取得等号.当且仅当即xx+)()的最小值为fx7.所以当(3)任取时，函数x,x2x21，且1244()−()=++−++fxfxx3x3则212122(−)41x244=(−)+xx−=(−)+xx212121xx12xx−42xx124xx1=(−)−xx=(−)21121xx12x,x2xxxx4x−x0，则，1221由，且1212xx−4xx−40，则(2x)−012所以121xx12fx−fx0f(2)()所以()()f1，即21所以函数()在()上单调递增fx【点睛】思路点睛：本题考查利用函数的奇偶性求参数，证明函数的单调性和利用单调性解不等式.证明函数的单调性的基本步骤为：xx.12(1)在给定的区间内任取变量x,x，且设12()−()变形，注意变形要彻底，变形的手段通常有通分、因式分解、配方、有理化等f1fx(2)作差.2()()的大小.2fx，fx(3)判断符号，得出(4)得出结论.1{xx1或x18.1）+)（2）（3）(4)）由题意得x2−2x−30，求解即可得出答案；−=−−（2）函数f(x)ax22ax3a(x2=−−a3(a0)，可得二次函数f(x)图象的开口向上，且对称轴为x=1，题意转化为f(x)min≥0，利用二次函数的图象与性质，即可得出答案；（3）利用一元二次方程的根的判别式和韦达定理，即可得出答案．【小问1当a=1时，f(x)=x−2x−3，2f(x)0，即x2x3，1或−2x−30，解得x−∴不等式的解集为{xx1或x；【小问2f(x)=ax2−2ax−3=a(x−2−a−3(a0)，x+)则二次函数f(x)图象的开口向上，且对称轴为x=1，∴f(x)在+)上单调递增，f(x)=f=a−3，；f(x)0在+)f(x)min≥0，上恒成立，转化为∴a−30，解得a1，故实数a的取值范围为+【小问3)f(x)=0关于x的方程有两个不相等的正实数根x,x，12∵f(x)=ax−2ax−3，120，xx0，12+2Δ=4a+12a02∴a0且x+x=20a−3，解得，123=−xx012a612+22=(x+x)2−2xx=4+，1212a6g(a)=4+a−3令（a(−,−在上单调递减，6(−0)g(a)(2,4)，，ax21+x22(2,4)的取值范围为．故19.1）最大值为0，最小值为4−（2）答案见解析）当m=2时，可得f(x)=x+2x−3，结合二次函数的图象与性质，即可求解；2（2）把不等式转化为【小问1x+(2)02x−m，结合一元二次不等式的解法，即可求解.2解：当m=2时，可得f(x)=x+2x−3，2则函数()表示开口向上的抛物线，且对称轴为y=fxx=−1，y=fx()在−−1[上单调递减，在上单调递增，所以函数所以，当x=−1时，函数()取得最小值，最小值为fx(−)=−，f14f−2=f1=0又因为()()，所以函数的最大值为0，y=f(x)的最大值为0，最小值为4综上可得，函数.【小问2解：由不等式f(x)2x+1，即x22m+12x1，+−+即不等式x+(m−2)x−2m=(x+mx−0)，2当m=−2时，不等式即为(x−0，此时不等式的解集为空集；2当−m2时，即m2时，不等式的解集为−mx2；当−m2时，即m−2时，不等式的解集为2x−m，综上可得：当m=−2时，不等式的解集为空集；2时，不等式的解集为(−,2)m−2时，不等式的解集为(−m)当m；当.182x++0x6y=x−20.Ⅰ）8Ⅱ）确定为5千件时，利润最大．11−x,x6【分析】(I)用销售收入减去生产成本即得利润；(II)分段求出利润函数的最大值可得生产产量．18x−814−(3+xx63x++5−(3+x),0x6yy=S−C=【详解】(I)设利润是(万元)，则，182x++2,0x6y=x−∴8；11−x,x618x−898−x时，y=2x+(II)0x6+2=−−x)+，即x=5时，y]+18，98−x由“对勾函数”知，当8−x==6，当x6时，∴x=5时，y=11−x是减函数，x=6y时，=5，y=6，∴生产量为5千件时，利润最大．【点睛】本题考查分段函数模型的应用，解题关