2023-2024学年北京通州区高一（上）期中数学试题及答案

2023北京通州高一（上）期中数学本试卷共4页，共150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，请将答题卡交回.第一部分（选择题共分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.（）A=4,5,7,BA=6，则1.已知集合4,5,6,74,5A.C.B.D.4x53x7xx−x+10的否定是（）22.命题:x0,x2−x+10−x+10xx2−x+10−x+10A.C.B.D.xx2xx2()上单调递增的是（）3.下列函数中，既是奇函数又在区间1=−xA.B.y2y=x21xC.y=x+D.的对应关系如下表所示，函数y=x3y=()fxy=g(x)f(g3)的图象如图所示,则的值为（4.已知函数）x03306()6fxA.9B.6C.3D.0都为有限集合则()，若cardM=,BABA是5.有限集合M中元素的个数记作,“()()的（）cardAcardB“A.充分不必要条件C.充分必要条件B.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件y=x2+2ax在区间(2,+)a上是增函数，则实数的取值范围是（）6.设函数a∣a2A.C.B.D.∣a∣a7.下列命题中正确的是（）aba,cda−cb−d，则A.若ac2bc2，则B.若D.若abc11bC.若ab，则abcd0，则ad8.向体积相同且高为H的花瓶中，注水注满为止.如果注水量V与水深h的函数关系式如图所示，那么花瓶的形状是（）A.B.C.D.y=()fx的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数y=f(x)为奇函数，有9.我们知道函数y=fx()的图像关于点()成中心对称图形的充要条件是函数Ha,b同学发现可以将其推广为:函数1x+1()=+fxyfxa=(+)−bx为奇函数，则函数的对称中心是（）A.(−−)B.D.()(0,0)(−)C.10.公园内常设有如图所示的护栏，柱与柱之间是一条均匀悬链.数学中把这种两端固定的一条(粗细与质量分布)均匀、柔软的链条，在重力的作用下所具有的曲线形状称为悬链线.在恰当的坐标系中，这类函数的表达式可以为()=x+be−x(其中e=2.718为非零常数,为无理数,，则以下结论正确的是fxaea,be（）b，则y=f(x)为奇函数A.若a=y=f(x)的最小值为2B.若ab1，则函数=()=没有实数根fxC.若ab0，则方程0，则函数y=f(x)为单调递增函数D.若ab0第二部分（非选择题共分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.()=函数fx−x2的定义域是_______.x−112.不等式13.能说明“0的解集为_____________.xxR,ax−ax−10为假命题的一个实数a的值为_______.2x−xa2()=fx，若当a=5时，存在实数，使得()=，则fm的值为_______.m0+14.设函数a22m1,xax若()存在最大值，则实数的最小值为_______.fxa()定义为当自变量取有理数时，函数值为当自变量取无理数时，函数值为以下关Dx15.狄利克雷函数:10.于狄利克雷函数()的性质:Dx①()的值域为Dx；0,1x,yR，则有(+)()+()成立；DxyDxDy②若③函数()的图象关于轴对称；Dxy(())(()(()，使得Ax,fx,Bx,fx,Cx,fx3④不存在为等腰直角三角形.11223其中表述正确的是_______.三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.已知全集U=R，集合A={3x−1B={2x.B和(（1）求A;（2）设集合C={a−1xa+，若Ca，求实数的取值范围.17.已知指数函数(−9).y=()fx的图象过点（1）求函数()的解析式fxf−0.3,f0.3,1（2）试比较()()这三个数的大小，并说明理由;()f−m2+m+11m，求实数的取值范围.（3）若2x+2()=18.已知函数fx.2x−1（1）证明:()为偶函数;fx（2）用定义证明:()在区间(+)上单调递减fx.19.刚刚结束的2023年杭州亚运会给人们留下了深刻印象，也带火了很多杭州特色产品.某小组通过对一款杭州特产龙井茶的某官网销售情况的调查发现:该商品在过去天内，销售单价()(单位:百元)与时间Pxxk()=+()(单位:件)与时间的部分数据如下表(单位:天)的函数关系近似满足Px所示:1(k为常数),日销售量Qxxxx51015202540030()180310390420330Qx已知第5天的日销售收入为216.（1）求k的值；（2）给出以下三种函数模型(1)Q(x)=ax+bQxax2bx()=+()=Qxab.x；(2)；(3)请根据上表中的数据，选择你认为最合适的一种函数来描述()与的变化关系，并求出函数()的解QxQxx析式;（3）记该商品在这30天内的日销售收入为()(单位:百元)，求()的最大值HxHx.()=fxx2+2+m，函数()=+，用()表示()()中的较大者，gx2x2.xRMxfx,gx20.设函数记为M(x)=f(x),g(x，再从条件（12）这两个条件中选择一个作为已知.条件（1）:f(3)=f)xR,f(x)f(−)恒成立.条件（2）:()()fxgx（1）求不等式的解集;（2）当()(()−)恒成立，求实数的取值范围注如果选择多Mxmgxx1,4x时，关于的不等式2m;:个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.=a,a,a,aS，定义ijS21.已知正整数集合,对任意12111()()()da,ajda,a=−ka,aSaa.若存在正整数，使得对任意，都有,则称集合Sijijijiiak2j)最大值.da,ai,aSjFdS具有性质.记()是集合中的(kijA=2,3和集合B=4,6F（1）判断集合是否具有性质，直接写出结论；3n−1()dSF（2）若集合S具有性质，求证：；416Fn（3）若集合S具有性质，求的最大值.k参考答案第一部分（选择题共分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.【答案】B【分析】根据交集的含义即可.，5A【详解】根据交集的含义知故选：B2.【答案】D【分析】根据存在量词命题的否定为全称量词命题判断即可.−x+10为存在量词命题，xx2【详解】命题：其否定为：xx−x+10.2故选：D3.【答案】D【分析】根据幂函数、指数函数以及对勾函数的奇偶性和单调性即可得到答案.12的定义域为)，不关于原点对称，则其不是奇函数，故A错误；【详解】对A，函数=yx1x2=2−x=对B，y，根据指数函数的性质知其不是奇函数，故B错误；11，2211251f=+=11f1x()=+()=+=f1y=x+对C，设fxx2，而12，则在区间x12()不是单调递增，故错误；C对D，根据幂函数的图象与性质知y=x3是奇函数且其在区间()上单调递增，故D正确.故选：D.4.【答案】B【分析】直接根据函数图像和表格计算得到答案.(())()fg3=f6=6.【详解】故选：B.5.【答案】A【分析】根据集合新定义以及集合交集、子集的含义即可判断.AB=AAB,B都为有限集合，【详解】因为，所以，又因为cardAcardB()()，则正向可以推出，所以cardAcardB()()，举例()A1,2=B=4,5，A，但若，则反向无法推出，AB=A是“cardAcardB()的充分不必要条件.则“故选：A.6.【答案】C【分析】根据二次函数的单调性即可得到不等式，解出即可.2a21y=x2+2ax的对称轴为x=−=−a，且开口向上，【详解】(2,+)−a2a2，则要使其在区间上是增函数，需，解得则其取值范围为∣a，故选：C.7.【答案】D【详解】举例说明判断ABC，利用不等式性质推理判断D.=−1，显然|a=01|b|，A错误；a=b【分析】对于A，由ac2bc2，得ab，取a,cdabc===−d=−4，显然a−c=35=b−d，B错误；对于B，由，取11对于C，由ab，取a=b=−1，显然=1−1=，C错误；ab1111对于D，由cd0，得0，则−−0，而ab0，dcdcadbcadb−−D因此，所以，正确.c故选：D8.【答案】B【分析】确定花瓶形状为下宽上窄的形状，对比选项得到答案.【详解】根据函数图像知：开始阶段相同的高度下体积增加得快，结束阶段增加得慢，故花瓶形状为下宽上窄的形状，对比知B满足.故选：B9.【答案】A1()=gx+−=++−()=−(−)gxgx，根据得到f(xa)bxaba=−1【分析】，根据定义域得到x+a+1b1，得到对称中心.11x+1()=gxf(xa)−b=x+a++−【详解】f(x)=x+，b为奇函数，x+a+1x2−b+)x+11定义域为xx−a−1()=−+−=关于原点对称，故a=−1，gxx1b，xx−b+)x+1(−x)2+b+)x+1−xx2()=−(−)，即，gxgx=−xx2−b+)x+1x2+b+)x+1−(+)=+b1b1，=即，故xx(−−).1，即对称中心为1故b故选：A.10.【答案】C【分析】根据给定的函数，结合函数的相关概念逐项分析判断即可得解.【详解】显然函数()=x+be−x的定义域为R，fxae对于A，当a=b时，()()，函数f(x)是偶函数，A错误；ab0ab=1，函数fxaexbe−x0，错误；−=ae−x+x=x+be−x=fxfxbeae+对于B，当，()=Bab0或ab0ab0f(x)=ae+be−x0，x对于C，由ab0，得，当时，ab0()=+fxaexbe−x0，因此方程()=没有实数根，正确；fx0当时，Cab0ab0y=ae是减函数，y=be−x也为减函数，x对于D，当时，有，而函数fxae+be−因此函数()=xx是减函数，D错误.故选：C第二部分（非选择题共分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.+)【答案】【分析】函数【详解】函数()=fx−x−20x2的定义域满足的定义域满足，解得答案.()=fxx−2x−20x2+).，解得，故函数定义域为故答案为：+)12.【答案】x0x1【分析】根据分式的运算性质分类讨论求出不等式的解集.−x−10x−10x0x10x1，第二个不等式组的解集0【详解】或，解第一个不等式组，得x0x为空集.故答案为：x0x1【点睛】本题考查了分式不等式的解集，考查了数学运算能力，属于基础题.13.【答案】0（答案不唯一）【分析】取a=0得到ax【详解】取a=0，则ax故答案为：022−−ax−1=−−10恒成立，得到答案1，1，.ax−1=−−10恒成立，故“xR,ax2−ax−10为假命题.14.【答案】①.18.0【分析】根据给定条件，求得2f(x)有最大值的a的范围即得.m=3，再利用指数运算计算即得；分段讨论函数f(x)的取值情况，求出x−x52【详解】当a=5时，f(x)=，由()=，得fm，解得02m−3=02m=3，5,x5x+=()2m2==232218；22m1所以xaf(x)=2−a(x(,af(x)f(a)2−,a]上单调递增，=a−3，当时，x在af(x)=(a,0)，(0,+)x(a,0)f(x)1时，，当0时，在上单调递增，当xx+)，f(x)0恒成立，又f(a)=2a−32，则()不存在最大值，即fx当0不符合题意，当a=0时，当x(a,+)时，恒有f(x)=0，而f(a)=2−3=2a，则函数f(x)有最大值0，符合题意，a当a0时，f(x)=在(a,+)上单调递减，x(a,+)，0f(x)1，x当()231fa=a−，即a2时，函数f(x)有最大值2a−3，a因此函数f(x)有最大值时，a所以实数的最小值为0.故答案为：18；015.【答案】①③④【分析】根据狄利克雷函数的性质一一分析即可.【详解】对于①，函数的值域为，故①正确；x+yD(x+y)=1，D(x)=1，D(y)=1，为有理数，x,y对于②，若均为有理数，则则D(x+y)D(x)+D(y)，故②错误；−xf(x)=1=f(x)−对于③，若x是有理数，则是有理数，则，−xf(x)=0=f(x)−若x是无理数，则是无理数，则，故对任意xR,f(−x)=f(x)，故函数()是偶函数，③正确；fx对于④，若为等腰直角三角形，不妨设角B为直角，则()()()的值R可能性只能为()=()=()=或fx,fx,fxf1f2f30123()=()=()=，fxfxfx1123x−x=1f(x)=f(x)()()矛盾，fxfx12由等腰直角三角形的性质得，所以，这与2112(())(()(()Ax,fx,Bx,fx,Cx,fx故不存在，使得为等腰直角三角形.112233故答案为：①③④.三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.AB={x|2x，(=；A{x|x16.1）（2）a1或a6.）化简集合A，利用交集、补集、并集的定义求解即得.（2）利用交集运算的结果列出不等式求解即可.【小问1依题意，A={x|xB={x|2x，则AB={x|2x，x，所以(x.【小问2集合C={a−1xa+，而C因此a+12或a−15，解得a1或a6，，a所以实数的取值范围是a1或a6.x13()=17.1）fxf−0.31f0.3（2）()()，理由见解析1−51+5,（3）22fx=a）设函数为()x，代入数据计算得到答案.（2）根据指数函数的单调性计算得到答案.（3）根据指数函数单调性得到m−2+m10，解得答案.+【小问1x11设函数为f(x)=axf，则(2)=a−2=9，解得a=()=，即fx3；3【小问2x13()=1=()f0，函数fx在R上单调递减，且故(()，即(−)()；f0.3f0f0.3)()f0.31f0.3【小问3x13()(+m+1f(0))()=f−m2+m+11f−m2函数fx在R上单调递减，，即，1−51+51−51+5m，即,.故m−2+m+10，解得m222218.1）证明见解析（2）证明见解析）利用奇偶函数的判定方法即可；（2）利用定义法进行取值作差变形判定即可.【小问12|x|2f(x)=D={∣x.的定义域为因为，所以f(x)x2−12|−x|22|x|2xD,−xDf(x)−===f(x)对于任意，因为，(−x)2+12x−1所以f(x)为偶函数.【小问22x+22x+)f(x)==当时，.x2−1x−1任取1,2+)，且xx，2122−2(2−x)1(−)(−)1x1x112()−()=−=f1fx那么，2−x1x12因为11x，所以x2−111x(−)(−)1f(x)−f(x)00，从而，1222fxfx即()().所以f(x)是+)上的减函数.1219.1）k=1xx30()（2）Q(x)（3）441=−x2+x，()()=P5Q5216）由代入计算可得；Qx=ax+bx，再代入数据计算可得；（2）首先判断()2（3）由()Hx=PxQx()()求出()的解析式，再根据二次函数的性质计算可得.Hx【小问1k5()()=P5Q5+=1180216k=1，解得．由题意得【小问2由表中的数据知，当时间变化时，该商品的日销售量有增有减，并不单调，Qx=ax+bx．而①，③中的函数为单调函数，故只能选②，即()2()=()=Q5180Q10310，，由表中数据可得25a+b=180100a+b=310a=1b=41即，解得，故Q(x)=−x2+x，()．xx30【小问31()=+()xx30由（1）可得Px1，x1x依题意H(x)=PxQx=1+()()−x2+x)=−x=−x22−x+x+41+40x+41=−(−)441，(xx30)，x20+2所以当x时()取得最大值，即HxHx()=()=H20441，即()的最大值为Hx441.20.1）(−,−,)(（2）a2m）选择条件①代入计算即可求得值，再列出不等式解出即可；选择条件②根据二次函数的最m值即可得到的值；（2）求出分段函数()，再分离参数，利用基本不等式即可得到答案.Mx【小问1f(=f若选择条件①因为，所以9−5m=1+m，故m=1.f(x)=x2+2x+g(x)=2x+2，所以因为f(x)g(x)，故x22x12x2，+++解得x−1或x1，(−,−,)(所以不等式解集为若选择条件②xR,f(x)f(.f(−恒成立，故f(x)最小值为，所以对称轴方程为x=−1，所以x=−m=−1，故m=1.以下同条件条件①.【小问2不论是条件①或是条件②均可以得到m=1，xR,Mx=f(x),g(x，()因为根据（1）中条件①的同种方法即可得到当−1x1时，f(x)g(x)，2+2xx−1+xM(x)=2x+−1x1所以，2x+2x+x1又因为当x4]，不等式M(x)a(g(x)−2)恒成立，+2x+12ax恒成立，故当x4]，不等式x212ax++2x4].即恒成立，x11因为x++22x+2=4，xx当且仅当x=1时等号成立，故2a4，即a2.具有性质；集合B=6不具有性质A=2,3