湖南省2025届高三上学期阶段检测联合考试数学试卷 含解析

湖南省高三年级阶段检测联合考试数学注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.4.本试卷主要考试内容：集合与常用逻辑用语､不等式､函数与导数､三角函数（小题），同高考范围（大题）.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，.若，则（）A B.0 C.1 D.2【答案】A【解析】【分析】先求出集合A,再根据子集关系求参.【详解】因为.又因为，所以,即得.故选：A.2.已知角的终边过点，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据三角函数的定义即可求解.【详解】由题意，.故选：C3.如图，圆的半径为1，劣弧的长为，则阴影部分的面积为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由扇形面积减去三角形面积即可求解.【详解】因为劣弧的长为，所以.则，所以阴影部分的面积为.故选:B4.函数的部分图象大致为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由为偶函数，排除A；当时，，当时，，排除BC，可得正确选项D.【详解】的定义域为且，且f−x=fx，所以为偶函数，排除A；当时，，，，当时，，，，排除BC.故选：D.5.记某飞行器的最大速度，若不变，且，则与的关系为（）A.B.C.若，则；若，则D.若，则；若，则【答案】D【解析】【分析】将表示为，分和分别讨论的单调性，从而得到结果.【详解】因为，所以.若，则，，所以是减函数，因为，所以.同理，若，则是增函数，因为，所以.故选：D.6.已知函数在上单调递增，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由分段函数的单调性，列出不等式，求解即可.【详解】因为在R上单调递增，所以当，单调递增，所以，当时，，单调递增，且当，，所以的范围是.故选:A7.已知定义在上的函数满足，且是奇函数，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据给定条件，利用奇函数的性质及赋值法逐项计算判断即可.【详解】对于A，由为奇函数，得，则，，A错误；对于D，由，得，则，D错误；对于B，由，得，则，，又，因此，B正确；对于C，由，得，则，C错误.故选：B8.已知关于的方程在内有2个不同的解，，则（）A.1 B. C. D.【答案】D【解析】【分析】辅助角公式得，取为锐角且，由得，，则，求值即可.【详解】因为，取为锐角且，，所以，由题意可得.因为，不妨设，由，有，，即，所以，.故选：D.【点睛】思路点睛：辅助角公式的作用之一是将含有正弦、余弦两种三角函数的表达式合并为只含有一种三角函数的表达式，两个角的正弦值相等，则这两个角终边重合或终边关于轴对称.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知函数（，）的部分图象如图所示，则（）A.B.是奇函数C.的最小正周期为D.使取得最小值的的集合为【答案】CD【解析】【分析】由图象可直接判断B，得周期，即可判断C，再结合可判断A，再结合函数解析式可判断D.【详解】由图可得，的最小正周期为，所以，C正确.，由图可得，结合，解得错误.所以，由可得：所以取得最小值的的集合为，D正确.既不是奇函数也不是偶函数，B错误.故选：CD10.已知，，下列结论正确的是（）A. B.的最小值是C.的最小值是8 D.的最小值是【答案】ACD【解析】【分析】由条件等式，有，可求的范围判断选项A；利用基本不等式求和的最小值判断BCD.【详解】，由，解得，A正确；，当且仅当时，等号成立，而此时不存在，B错误；由，得，所以，当且仅当，即时，等号成立，C正确.由，得，则，当且仅当，即时，等号成立，D正确.故选：ACD.11.已知函数，.若表示，中的最大者，设函数，则下列结论正确的是（）A.若没有零点，则的取值范围为B.若只有1个零点，则的取值集合为C.若有2个零点，则的取值范围为D.，【答案】ABC【解析】【分析】对二次函数进行讨论，根据以及，即可分类讨论求解.【详解】图象的对称轴方程为,开口向上，当，即时，对任意，都有，所以没有零点.令，解得.当时，，所以没有零点.当时，.当时，，所以；当时，，所以有1个零点.当时，.当时，；当时，；当时，，所以在上有1个零点，则在上有1个零点.所以有2个零点.设在上的零点为，则当时，，所以当时，，D错误.综上，当时，没有零点；当时，有1个零点；当时，有2个零点,ABC正确故选：ABC【点睛】方法点睛：判断函数零点个数的常用方法：(1)直接法：令则方程实根的个数就是函数零点的个；(2)零点存在性定理法：判断函数在区间上是连续不断的曲线，且再结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)可确定函数的零点个数；(3)数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，在一个区间上单调的函数在该区间内至多只有一个零点，在确定函数零点的唯一性时往往要利用函数的单调性，确定函数零点所在区间主要利用函数零点存在定理，有时可结合函数的图象辅助解题.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知函数则___________.【答案】3【解析】【分析】根据解析式代入求解即可.【详解】因为，所以.故答案为：313.将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，若的图象关于点对称，则的最小值为___________.【答案】【解析】【分析】根据函数图象的平移可得，即可根据对称性求解.【详解】由题意可得，由的图象关于点对称，可得，即.因为，取，，所以的最小值为.故答案：14.已知函数，若存在，使得，且的最小值为1，则___________.【答案】2【解析】【分析】设，求得，构造，结合其单调性即可求解.【详解】当时，单调递增，当时，单调递增，又可得，且因为存在，使得，所以，即.不妨设，则，即，所以.设函数，则.所以在上单调递减，，解得.故答案为：2四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.在锐角中，内角，，所对的边分别为，，.，.（1）求；（2）若，求的周长.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由，利用倍角公式化简得，正弦定理求得，可得角；（2）正弦定理求，余弦定理求，可得周长.【小问1详解】因为，由，，所以.由正弦定理，所以.因为为锐角，所以.【小问2详解】由正弦定理得.在锐角中，，即，解得或.当时，，B为钝角，不符合题意.当时，经验证，符合题意.故的周长为.16.某校为了解该校学生对篮球及羽毛球的喜爱情况，对学生进行简单随机抽样，获得的数据如下表：单位：人球类男生女生喜欢不喜欢喜欢不喜欢篮球400100200100羽毛球35015025050假设所有学生对篮球及羽毛球是否喜爱相互独立，（1）分别估计该校男生喜欢篮球的概率､该校女生喜欢篮球的概率；（2）从该校全体男生中随机抽取2人，全体女生中随机抽取1人，估计这3人中恰有2人喜欢篮球的概率；（3）将该校学生喜欢羽毛球的概率估计值记为，假设该校高一年级有500名男生和400名女生，除高一年级外其他年级学生喜欢羽毛球的概率估计值记为，试比较与的大小（结论不要求证明）【答案】（1）男生喜欢篮球的概率约为，女生喜欢篮球的概率约为.（2）（3）【解析】【分析】（1）根据古典概型的概率公式直接求解即可；（2）结合（1）及相互独立事件同时发生的概率直接求解即可；（3）求解，，即可利用放缩以及不等式的性质求解．【小问1详解】该校男生喜欢篮球的概率约为，该校女生喜欢篮球的概率约为.【小问2详解】3人中恰有2人喜欢篮球分两种情况，①仅有2名男生喜欢篮球，②仅有1名男生喜欢篮球，1名女生喜欢篮球，所以3人中恰有2人喜欢篮球的概率约为【小问3详解】．理由如下：，设该校总人数为，则该校喜欢羽毛球的人数约为，由表可知，男生喜欢羽毛球的概率为，女生喜欢羽毛球的概率为，所以一年级喜欢羽毛球的人数约为，故除一年级外其他年级喜欢羽毛球的概率为．故17.如图，在四棱台中，底面是菱形，平面，，.（1）求四棱台的体积；（2）求二面角的正弦值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）通过证明平面，得到，再求得，由体积公式即可求解；（2）建系，求得平面法向量，代入夹角公式即可.【小问1详解】延长交于点，连接.因为，所以，所以分别为的中点.同理，分别为的中点.所以因为平面，所以，所以，所以是等边三角形，所以四棱台的体积为.【小问2详解】取的中点，连接.以为坐标原点，分别以直线为轴､轴､轴，建立空间直角坐标系，则.设平面的法向量为，则取，则.设平面的法向量为，则取，则.设二面角的大小为，，故二面角的正弦值为.18.已知椭圆的左､右焦点分别为，，为椭圆上的动点，的面积的最大值为，且点到点的最短距离是2.（1）求椭圆的标准方程；（2）过点作斜率为的直线，交椭圆于，两点，交抛物线：于，两点，且，求直线的方程.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据面积及点到焦点的距离最小值得出方程组求出,即可得出椭圆方程；（2）先设直线再联立方程组再应用弦长公式分别求出，再代入计算求参，即可得出直线的方程.【小问1详解】由题意可得解得，则椭圆的标准方程为.【小问2详解】由（1）可知F21,0，设直线的方程为，联立整理得，则，从而，故.联立整理得，则，故.因为，所以，整理得，即，解得.因为，所以，所以，则直线的方程为.19.已知函数.设曲线与轴负半轴相交于点，曲线在点处的切线为，（1）证明：曲线上的点都不在直线的下方.（2）若关于的方程（为负实数）有两个不相等的实根，，证明：①；②.【答案】（1）证明见解析（2）①证明见解析；②证明见解析【解析】【分析】（1）先根据得出切线，再构造函数求导得出函数的单调性进而证明不等式；（2）①由（1）得，再求导函数得出是增函数，再结合极值得出fx≥fx3=−14sin2x3【小问1详解】由题意可得..切线的方程为.令函数..令函数，所以是减函数.所以当时，，当x∈x0,+∞时，所以在上单调递增，在上单调递减.所以.故曲