2023年北京市高三二模数学试题汇编：抛物线

第1页/共1页2023北京高三二模数学汇编抛物线一、单选题1．（2023·北京海淀·统考二模）已知抛物线，经过点P的任意一条直线与C均有公共点，则点P的坐标可以为（

）A． B． C． D．2．（2023·北京西城·统考二模）已知抛物线与抛物线关于轴对称，则的准线方程是（

）A． B．C． D．3．（2023·北京房山·统考二模）已知圆的圆心在抛物线上，且此圆过定点，则圆与直线的位置关系为（

）A．相切 B．相交 C．相离 D．不能确定二、填空题4．（2023·北京丰台·统考二模）在水平地面竖直定向爆破时，在爆破点炸开的每块碎片的运动轨迹均可近似看作是抛物线的一部分．这些碎片能达到的区域的边界和该区域轴截面的交线是抛物线的一部分（如图中虚线所示），称该条抛物线为安全抛物线．若某次定向爆破中碎片达到的最大高度为40米，碎片距离爆炸中心的最远水平距离为80米，则这次爆破中，安全抛物线的焦点到其准线的距离为__________米．三、解答题5．（2023·北京东城·统考二模）已知焦点为的抛物线经过点．(1)设为坐标原点，求抛物线的准线方程及△的面积；(2)设斜率为的直线与抛物线交于不同的两点，若以为直径的圆与抛物线的准线相切，求证：直线过定点，并求出该定点的坐标．四、双空题6．（2023·北京朝阳·二模）已知圆A：，抛物线C：，则圆心A到抛物线C的准线的距离为________；过圆心A的直线与圆A相交于P，Q两点，与抛物线C相交于M，N两点，若，则________.7．（2023·北京昌平·统考二模）已知抛物线的焦点为，点在上，且在第一象限，则点的坐标为__________；若，点到直线的距离为__________.

参考答案1．D【分析】根据点与抛物线的位置即可求解.【详解】在轴上，所以在抛物线外部，将代入抛物线中，则，所以在抛物线外部，将代入抛物线中，则，所以在抛物线外部，将代入抛物线中，则，所以在抛物线内部，将选项中的点分别在直角坐标系中画出来，只有点在抛物线内部，故当点位于点处，此时经过点P的任意一条直线与C均相交，故均有公共点，故选：D2．D【分析】根据两个抛物线的对称性，即可求抛物线的准线方程.【详解】抛物线的准线方程为，因为抛物线与抛物线关于轴对称，所以两个抛物线的准线也关于轴对称，所以的准线方程是.故选：D3．A【分析】根据抛物线的定义求得正确答案.【详解】抛物线的焦点为，准线方程为，根据抛物线的定义可知，到焦点的距离等于到准线的距离，所以圆与直线相切.故选：A4．80【分析】建立平面直角坐标系，待定系数法求出抛物线方程，得到答案.【详解】以抛物线最高点为坐标原点，平行于地面为轴，建立平面直角坐标系，设抛物线方程为，由题意得，将其代入抛物线方程得，解得，故安全抛物线的焦点到其准线方程为80米.故答案为：805．(1)准线为，(2)证明见解析，定点．【分析】（1）由点在抛物线上代入求参数，写出抛物线方程，进而得准线方程，最后求△的面积；（2）设为，联立抛物线并应用韦达定理、中点公式得的中点N点横坐标，根据到准线的距离等于列方程得，即可证结论并确定定点坐标.【详解】（1）因为抛物线过点，所以，即．故抛物线的方程为，焦点，准线方程为.所以（2）设直线的方程为．由得：，又有．设则，．设的中点为，则.所以到准线的距离，，依题意有，即，整理得，解得，满足．所以直线过定点．6．【分析】由题设有且半径，抛物线准线为，即可得A到抛物线C准线的距离，根据对称性令和在两侧，易知为中点，设直线联立抛物线，应用韦达定理、弦长公式求.【详解】由题设且半径，抛物线准线为，则A到抛物线C准线的距离为，又，故A在抛物线内部，若抛物线上任意点，则其到A的距离，所以圆A在抛物线内部，如上图示：由对称性，不妨令和在两侧，由易知：为中点，若直线为，联立抛物线得，所以，则，，而，即，经检验，此时，故，所以.故答案为：4，7．【分析】根据抛物线的方程可得焦点坐