2023年北京市初三一模数学试题汇编：点和圆、直线和圆的位置关系

第1页/共1页2023北京初三一模数学汇编点和圆、直线和圆的位置关系一、解答题1．（2023·北京丰台·统考一模）对于点P和图形G，若在图形G上存在不重合的点M和点N，使得点P关于线段中点的对称点在图形G上，则称点P是图形的G的“中称点”．在平面直角坐标系中，已知点，，．(1)在点，，，中，_____是正方形的“中称点”；(2)的圆心在x轴上，半径为1．①当圆心T与原点O重合时，若直线上存在的“中称点”，求m的取值范围；②若正方形的“中称点”都是的“中称点”，直接写出圆心T的横坐标t的取值范围．2．（2023·北京西城·统考一模）在平面直角坐标系中，给定图形和点，若图形上存在两个不同的点，满足．其中点为线段的中点，则称点是图形的相关点．(1)已知点，①在点中，线段的相关点是_______；②若直线上存在线段的相关点，求的取值范围．(2)已知点，，线段的长度为，当线段在直线上运动时，如果总能在线段上找到一点，使得在轴上存在以为直径的圆的相关点，直接写出的取值范围．3．（2023·北京海淀·统考一模）在平面直角坐标系中，对于点，我们称直线为点P的关联直线，例如，点的关联直线为．(1)已知点．①点A的关联直线为_________；②若与点A的关联直线相切，则的半径为_________；(2)已知点，点．点M为直线上的动点．①当时，求点O到点M的关联直线的距离的最大值；②以为圆心，3为半径作．在点M运动过程中，当点M的关联直线与交于E，F两点时，的最小值为4，请直接写出d的值．4．（2023·北京房山·统考一模）在平面直角坐标系中，对于直线和点，给出如下定义：将点向右或向左平移个单位长度，再向上或向下平移个单位长度，得到点，将点关于轴对称点称为点关于直线的“平移对称点”．(1)如图，已知直线为．①点坐标为，则点关于直线的“平移对称点”坐标为__________；②在直线上是否存在点，使得点关于直线的“平移对称点”还在直线上？若存在求出点的坐标，若不存在请说明理由．(2)已知直线，若以点为圆心，1为半径的圆上存在一点，使得点关于直线的“平移对称点”在直线上，直接写出的取值范围．5．（2023·北京朝阳·统考一模）如图，是的弦，过点O作，垂足为C，过点A作的切线，交的延长线于点D，连接．(1)求证：；(2)延长交于点E，连接，，若，，求的长．

参考答案1．(1)，；(2)①；②．【分析】（1）由题意可知，正方形的“中称点”是以，，，为顶点的正方形内部，如图可知，符合题意；，，不符合题意；（2）①由题意得：的“中称点”在以O为圆心，3为半径的圆内，当直线与此圆相切于点D时，求得直线与y轴交于点；同理，相切于点F时，直线与y轴交于点，即可得到m的取值范围；②如图，由由题意可知，正方形在内部，当经过时，解得；当经过时，解得，即可求出t的取值范围．【详解】（1）解：由题意可知，正方形的“中称点”是以，，，为顶点的正方形内部，如图：，在正方形内部，符合题意；在正方形外，在正方形上，不符合题意；故答案为：，；（2）①由题意得：的“中称点”在以O为圆心，3为半径的圆内，当直线与此圆相切于点D时，设在，则，，，，，，，故直线与y轴交于点；同理，相切于点F时，直线与y轴交于点，直线上存在的“中称点”，；②如图，由由题意可知，正方形在内部，当经过时，，，解得：或（舍去）当经过时，，，解得：或（舍去），综上所述，．【点睛】本题考查了新定义的理解，轴对称，圆的基本性质，勾股定理解直角三角形，以及一次函数图像和性质；解题的关键是理解新定义，找到点的轨迹范围．2．(1)①，；②(2)【分析】（1）①根据新定义得出点在以为直径的圆上及其内部，以为直径，为圆心作圆，在圆上或圆内的点即为所求；②根据①可得点在以为直径的圆上及其内部，作出图形，进而根据直线上存在线段的相关点，求得相切时的临界值，即可求解；（2）设点是直线上一点，且点，使得在轴上存在以为直径的圆的唯一相关点，设，则以为直径的圆上两点为直径的圆与轴相切于点，且轴，当且时，轴上存在以为直径的圆的唯一相关点，勾股定理求得的值，进而根据对称性可得当点在轴的下方时，符合题意，即可求解．【详解】（1）解：①∵，，∴，∵是线段的相关点，∵，若点分别与点重合，则中点为，∴在以为直径的圆上，∵是线段上的点，∴点在以为直径的圆上及其内部，故答案为：，．②由题意可得线段的所有相关点都在以为直径的圆上及其内部，如图．设这个圆的圆心是．

，，，．当直线与相切，且时，将直线与轴的交点分别记为，则点的坐标是，．．，，解得．当直线与相切，且时，同理可求得．所以的取值范围是．（2）解：设点是直线上一点，且点，使得在轴上存在以为直径的圆的唯一相关点，设，则以为直径的圆上两点为直径的圆与轴相切于点，且轴，如图所示，设以为直径的圆，圆心是．则，∴是的中点，，∴当且时，轴上存在以为直径的圆的唯一相关点，在中，，∴，∴，根据对称性可得当点在轴的下方时，也符合题意，∴．【点睛】本题考查了几何新定义，切线的性质，垂径定理，勾股定理，理解新定义是解题的关键．3．(1)①；②(2)①；②或【分析】（1）①根据关联直线的定义进行求解即可；②设直线与相切于点E，连接，设直线与x轴，y轴分别交于C、D，先求出C、D的坐标，进而得到，利用勾股定理求出，再利用等面积法求出的长即可得到答案；（2）①先求出直线直线的解析式为，设点M的坐标为，则点M的关联直线为，推出点M的关联直线经过定点，进而得到当点H与点N重合时，最大，即点O到点M的关联直线的距离最大，然后利用勾股定理求解即可；②同理求出点M的关联直线经过定点；如图所示，过点T作于N，连接，则，要想最小，则要使最大，由此得到，由（2）①可知，当点N与点重合时，最大，由此即可建立方程，解方程即可．【详解】（1）解：①由题意得，点的关联直线为，故答案为：；②如图所示，设直线与相切于点E，连接，设直线与x轴，y轴分别交于C、D，∴，∴，∴，由切线的性质可得，∴，∴，∴的半径为；（2）解：①设直线的解析式为，由题意得，点，点，∴，∴，∴直线的解析式为，设点M的坐标为，∴点M的关联直线为，∴点M的关联直线经过定点，如图所示，过点O作直线的垂线，垂足为H，∴，∴当点H与点N重合时，最大，即点O到点M的关联直线的距离最大，∴点O到点M的关联直线的距离的最大值为；②同理可得直线的解析式为，设点M的坐标为，∴点M的关联直线为，∴点M的关联直线经过定点；如图所示，过点T作于N，连接，则，∴，∴要想最小，则要使最大，∵的最小值为4，即的最小值为2，∴，由（2）①可知，当点N与点重合时，最大，∴，∴，∴，∴，解得或．【点睛】本题主要考查了切线的性质，垂径定理，勾股定理，一次函数与几何综合等等，正确推出点M的关联直线经过定点是解题的关键．4．(1)①；②(2)【分析】（1）①根据“平移对称点”的定义进行求解即可；②先求出点B关于直线l的“平移对称点”坐标，再把“平移对称点”的坐标代入直线l解析式中进行求解即可；（2）设，则点P关于直线的“平移对称点”为，由点P在以点为圆心，1为半径的圆上，得到，则，即可推出点在以点为圆心，以1为半径的圆上运动，则当与直线有交点时满足题意；如图所示，当直线与相切于点H时，当直线与相切于点G时，求出两种临界情况下t的值即可得到答案．【详解】（1）解：①由题意得，点向右平移1个单位长度，向下平移1个单位长度的对应点为，∵点关于y轴对称的点为，∴点关于直线的“平移对称点”坐标为，故答案为：；②设点B的坐标为，则经过平移后点B的对应点坐标为，∴点B关于直线的“平移对称点”的坐标为，∵点关于直线的“平移对称点”还在直线上，∴，∴，∴，∴；（2）解：设，则点P关于直线的“平移对称点”为，∵点P在以点为圆心，1为半径的圆上，∴，∴，∴，∴点到点的距离为1，∴点在以点为圆心，以1为半径的圆上运动，∴当与直线有交点时满足题意；不妨设，设直线与x轴，y轴分别交于N，M，∴，∴，∴，如图所示，当直线与相切于点H时，∴，，∴，∴，∴；同理可求出当直线与相切于点G时，，∴当时，直线与有交点，即以点为圆心，1为半径的圆上存在一点，使得点关于直线的“平移对称点”在直线上．【点睛】本题主要考查了坐标与图形变换—平移和轴对称，一次函数与几何综合，切线的性质，勾股定理等等，正确理解题意是解题的关键．5．(1)见解析(2)【分析】（1）连接，根据切线的性质和即可求出答案；（2）延长交于点E，连接，，根据勾股定理和锐角三角函数即