2024-2025学年新教材高中数学课时素养检测十九平面与平面垂直含解析新人教B版必修第四册

PAGE十九平面与平面垂直(30分钟60分)一、选择题(每小题4分,共24分,多选题全部选对得4分,选对但不全对的得2分,有选错的得0分)1.(多选题)假如直线l,m与平面α,β,γ满意l=β∩γ,l∥α,m⊂α,m⊥γ,那么不成立的是 ()A.α⊥γ和l⊥m B.α∥γ和m∥βC.m∥β和l⊥m D.α∥β和α⊥γ【解析】选BCD.由m⊥γ,l⊂γ,可得m⊥l.由m⊂α,m⊥γ,可得α⊥γ.2.从空间一点P向二面角α-l-β的两个面α,β分别作垂线PE,PF,E,F为垂足,若∠EPF=60°,则二面角α-l-β的平面角的大小是 ()A.60° B.120°C.60°或120° D.不确定【解析】选C.若点P在二面角内,则二面角的平面角为120°;若点P在二面角外,则二面角的平面角为60°.【补偿训练】在四面体ABCD中,AB=BC=CD=AD,∠BAD=∠BCD=90°,A-BD-C为直二面角,E是CD的中点,则∠AED的度数为 ()A.45° B.90° C.60° D.30°【解析】选B.如图,设AB=BC=CD=AD=a,取BD的中点F,连接AF,CF,则AF⊥BD,CF⊥BD,所以∠AFC是二面角A-BD-C的平面角,由题意知∠AFC=90°,即AF⊥FC由题意可得AF=CF=QUOTEa.在Rt△AFC中,易得AC=a.所以△ACD为正三角形.又因为E是CD的中点,所以AE⊥CD,即∠AED=90°.3.经过平面α外一点和平面α内一点与平面α垂直的平面有 ()A.0个 B.1个C.多数个 D.1个或多数个【解析】选D.当两点连线与平面α垂直时,可作多数个垂面,否则,只有1个.4.设平面α⊥平面β,在平面α内的一条直线a垂直于平面β内的一条直线b,则 ()A.直线a必垂直于平面βB.直线b必垂直于平面αC.直线a不肯定垂直于平面βD.过a的平面与过b的平面垂直【解析】选C.当α⊥β,在平面α内垂直交线的直线才垂直于平面β,因此,垂直于平面β内的一条直线b的直线不肯定垂直于β.5.在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,已知平面AA1C1C⊥平面ABCD,且AB=BC,AD=CD,则BD与CC1 ()A.平行 B.共面 C.垂直 D.不垂直【解析】选C.如图所示,在四边形ABCD中,因为AB=BC,AD=CD.所以BD⊥AC.因为平面AA1C1C⊥平面ABCD,平面AA1C1C∩平面ABCD=AC,BD⊂平面ABCD,所以BD⊥平面AA1C1C.又CC1⊂平面AA1C1C,所以BD⊥CC1.6.如图,正四面体ABCD中,E,F分别是线段AC的三等分点,P是线段AB的中点,G是直线BD上的动点,则 ()A.存在点G,使PG⊥EF成立B.存在点G,使FG⊥EP成立C.不存在点G,使平面EFG⊥平面ACD成立D.不存在点G,使平面EFG⊥平面ABD成立【解析】选C.正四面体ABCD中,E,F分别是线段AC的三等分点,P是线段AB的中点,G是直线BD上的动点,在A中,不存在点G,使PG⊥EF成立,故A错误;在B中,不存在点G,使FG⊥EP成立,故B错误;在C中,不存在点G,使平面EFG⊥平面ACD成立,故C正确;在D中,存在点G,使平面EFG⊥平面ABD成立,故D错误.二、填空题(每小题4分,共8分)7.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,(1)二面角D1-AB-D的大小是________.

(2)二面角A1-AB-D的大小是________.

【解析】(1)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AB⊥平面AD1,则AB⊥AD1.又AB⊥AD,所以∠D1AD即为二面角D1-AB-D的平面角,在Rt△D1AD中,∠D1AD=45°.(2)与第一问同理可得,∠A1AD为二面角A1-AB-D的平面角,所以二面角A1-AB-D的大小为90°.答案:(1)45°(2)90°8.已知PA⊥矩形ABCD所在的平面(如图),则图中相互垂直的平面有________对.

【解析】因为DA⊥AB,DA⊥PA,AB∩PA=A,所以DA⊥平面PAB,同理BC⊥平面PAB,又AB⊥平面PAD,所以DC⊥平面PAD,所以平面PAD⊥平面AC,平面PAB⊥平面AC,平面PBC⊥平面PAB,平面PAB⊥平面PAD,平面PDC⊥平面PAD,共5对.答案:5三、解答题(每小题14分,共28分)9.如图所示,四边形ABCD为正方形,PD⊥平面ABCD,PD∥QA,QA=AB=QUOTEPD.证明:平面PQC⊥平面DCQ.【证明】由四边形ABCD为正方形,可得CD⊥AD,又PD⊥平面ABCD,所以PD⊥CD,PD⊥AD,因为AD∩PD=D,所以CD⊥平面AQPD,因为PQ⊂平面AQPD,所以CD⊥PQ.如图所示,取PD的中点E,连接QE.则DE∥AQ,且DE=AQ,从而四边形AQED是平行四边形,则QE∥AD,所以QE⊥PD,所以DQ=QP.设QA=1,则AB=1,PD=2.在△DQP中,有DQ=QP=QUOTE,PD=2.所以DQ2+QP2=PD2,故∠PQD=90°,即DQ⊥PQ.又CD∩DQ=D,所以PQ⊥平面DCQ.又PQ⊂平面PQC,所以平面PQC⊥平面DCQ.10.(2024·全国Ⅱ卷)如图,已知三棱柱ABC-A1B1C1的底面是正三角形,侧面BB1C1C是矩形,M,N分别为BC,B1C1的中点,P为AM上一点,过B1C1和P的平面交AB于E,交AC于F.(1)证明:AA1∥MN,且平面A1AMN⊥平面EB1C1F;(2)设O为△A1B1C1的中心,若AO∥平面EB1C1F,且AO=AB,求直线B1E与平面A1AMN所成角的正弦值.【解析】(1)因为M,N分别为BC,B1C1的中点,所以MN∥BB1,又AA1∥BB1,所以MN∥AA1,在正△ABC中,M为BC的中点,则BC⊥AM,又因为侧面BB1C1C为矩形,所以BC⊥BB1,因为MN∥BB1,所以MN⊥BC,又MN∩AM=M,MN,AM⊂平面A1AMN,所以BC⊥平面A1AMN,又因为B1C1∥BC,所以B1C1⊥平面A1AMN,又因为B1C1⊂平面EB1C1F,所以平面EB1C1F⊥平面A1AMN.(2)连接NP,因为AO∥平面EB1C1F,平面AONP∩平面EB1C1F=NP,所以AO∥NP,依据三棱柱上下底面平行,平面A1NMA∩平面ABC=AM,平面A1NMA∩平面A1B1C1=A1N,所以ON∥AP,故四边形ONPA是平行四边形,设△ABC边长是6m(m>0),可得:ON=AP,NP=AO=AB=6m,因为O为△A1B1C1的中心,且△A1B1C1边长为6m,所以ON=QUOTE×6m×sin60°=QUOTEm,故ON=AP=QUOTEm,易证得EF∥BC,所以QUOTE=QUOTE,所以QUOTE=QUOTE,解得EP=m,在B1C1上截取B1Q=EP=m,故QN=2m,因为B1Q=EP,且B1Q∥EP,所以四边形B1QPE是平行四边形,所以B1E∥PQ,由(1)知B1C1⊥平面A1AMN,故∠QPN为B1E与平面A1AMN所成的角,在Rt△QPN中,依据勾股定理可得:PQ=QUOTE=QUOTE=2QUOTEm,所以sin∠QPN=QUOTE=QUOTE=QUOTE,所以直线B1E与平面A1AMN所成角的正弦值为QUOTE.(35分钟70分)一、选择题(每小题4分,共16分,多选题全部选对得4分,选对但不全对得2分,有选错的得0分)1.(多选题)用a,b,c表示空间中三条不同的直线,γ表示平面,则下列命题为真命题的是 ()A.若a⊥b,b⊥c,则a∥cB.若a∥b,a∥c,则b∥cC.若a∥γ,b∥γ,则a∥bD.若a⊥γ,b⊥γ,则a∥b【解析】选BD.对于A,正方体从同一顶点引出的三条直线a,b,c,满意a⊥b,b⊥c,但是a⊥c,所以A错误;对于B,若a∥b,a∥c,则b∥c,所以B正确;对于C,平行于同一平面的两条直线的位置关系可能是平行、相交或者异面,所以C错误;对于D,由垂直于同一平面的两条直线平行,知D正确.2.如图所示,三棱锥P-ABC的底面在平面α内,且AC⊥PC,平面PAC⊥平面PBC,点P,A,B是定点,则动点C运动形成的图形是 ()A.一条线段B.一条直线C.一个圆D.一个圆,但要去掉两个点【解析】选D.因为平面PAC⊥平面PBC,AC⊥PC,AC⊂平面PAC,且平面PAC∩平面PBC=PC,所以AC⊥平面PBC.又因为BC⊂平面PBC,所以AC⊥BC,所以∠ACB=90°,所以动点C运动形成的图形是以AB为直径的圆,除去A和B两点.3.将角A为60°,边长为a的菱形ABCD沿BD折成60°的二面角,则折叠后A与C之间的距离为 ()A.a B.QUOTEa C.QUOTEa D.QUOTEa【解析】选C.设折叠后点A到A1的位置,取BD的中点E,连接A1E,CE.则BD⊥CE,BD⊥A1E.于是∠A1EC为二面角A1-BD-C的平面角.故∠A1EC=60°.因为A1E=CE,所以△A1EC是等边三角形.所以A1E=CE=A1C=QUOTEa.4.如图所示,在四边形ABCD中,AD∥BC,AD=AB,∠BCD=45°,∠BAD=90°,将△ABD沿BD折起,使平面ABD⊥平面BCD,构成四面体ABCD,则在四面体ABCD中,下列命题正确的是 ()A.平面ABD⊥平面ABC B.平面ADC⊥平面BDCC.平面ABC⊥平面BDC D.平面ADC⊥平面ABC【解析】选D.在题图①中因为∠BAD=90°,AD=AB,所以∠ADB=∠ABD=45°.因为AD∥BC,所以∠DBC=45°.又因为∠BCD=45°,所以∠BDC=90°,即BD⊥CD.在题图②中,此关系仍成立.因为平面ABD⊥平面BCD,所以CD⊥平面ABD.因为BA⊂平面ADB,所以CD⊥AB.因为BA⊥AD,CD∩AD=D,所以BA⊥平面ACD.因为BA⊂平面ABC,所以平面ABC⊥平面ACD.【补偿训练】如图,在四面体P-ABC中,AB=AC,PB=PC,D,E,F分别是棱AB,BC,CA的中点,则下列结论中不成立的是 ()A.BC∥平面PDFB.DF⊥平面PAEC.平面PDF⊥平面PAED.平面PDF⊥平面ABC【解析】选D.因为D,F分别为AB,AC的中点,则DF为△ABC的中位线,则BC∥DF,依据线面平行的判定定理,可知BC∥平面PDF,A成立.又E为BC的中点,且PB=PC,AB=AC,则BC⊥PE,BC⊥AE,依据线面垂直的判定定理,可知BC⊥平面PAE.因为BC∥DF,所以DF⊥平面PAE,B成立.又DF⊂平面PDF,则平面PDF⊥平面PAE,C成立.要使平面PDF⊥平面ABC,已知AE⊥DF,则必需有AE⊥PD或AE⊥PF,由条件知此垂直关系不肯定成立.二、填空题(每小题4分,共16分)5.如图,在三棱锥P-ABC内,侧面PAC⊥底面ABC,且∠PAC=90°,PA=1,AB=2,则PB=________.

【解析】因为侧面PAC⊥底面ABC,交线为AC,∠PAC=90°(即PA⊥AC),PA⊂平面PAC,所以PA⊥平面ABC,所以PA⊥AB,所以PB=QUOTE=QUOTE=QUOTE.答案:QUOTE6.如图所示,在三棱锥P-ABC中,PA⊥底面ABC,∠BAC=90°,F是AC的中点,E是PC上的点,且EF⊥BC,则QUOTE=________.

【解析】在三棱锥P-ABC中,因为PA⊥底面ABC,∠BAC=90°,所以AB⊥平面APC.因为EF⊂平面PAC,所以EF⊥AB,因为EF⊥BC,BC∩AB=B,所以EF⊥底面ABC,所以PA∥EF,因为F是AC的中点,E是PC上的点,所以E是PC的中点,所以QUOTE=1.答案:17.如图所示,AB为圆O的直径,点C在圆周上(异于点A,B),直线PA垂直于圆O所在的平面,点M为线段PB的中点.有以下四个命题:①PA∥平面MOB;②MO∥平面PAC;③OC⊥平面PAC;④平面PAC⊥平面PBC.其中正确的命题是________.(填上全部正确命题的序号)

【解析】因为PA⊂平面MOB,所以①不正确;因为MO∥PA,而且MO⊄平面PAC,所以②正确;OC不垂直于AC,所以③不正确;因为BC⊥AC,BC⊥PA,AC∩PA=A,所以BC⊥平面PAC,所以平面PAC⊥平面PBC,所以④正确.答案:②④8.如图,△ABC是等腰直角三角形,∠BAC=90°,AB=AC=1,将△ABC沿斜边BC上的高AD折叠,使平面ABD⊥平面ACD,则折叠后BC=________.

【解析】因为在原△ABC中,AD⊥BC,所以折叠后有AD⊥BD,AD⊥CD,所以∠BDC是二面角B-AD-C的平面角.因为平面ABD⊥平面ACD,所以∠BDC=90°.在Rt△BCD中∠BDC=90°,BD=CD=QUOTE,所以BC=QUOTE=1.答案:1三、解答题(共38分)9.(12分)如图所示,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,底面ABCD是直角梯形,AB⊥AD,CD⊥AD.求证:平面PDC⊥平面PAD.【证明】因为PA⊥平面ABCD,CD⊂平面ABCD,所以PA⊥CD.又因为CD⊥AD,PA∩AD=A,所以CD⊥平面PAD.又因为CD⊂平面PDC.所以平面PDC⊥平面PAD.10.(12分)已知三棱锥P-ABC中,侧面PAC与底面ABC垂直,PA=PB=PC.(1)求证:AB⊥BC.(2)若AB=BC,过点A作AF⊥PB于点F,连接CF,求证:平面PBD⊥平面AFC.【证明】如图所示:(1)取AC的中点D,连接PD,BD,因为PA=PC,所