新人教A版必修一 函数的零点 教案

函数的零点

课程目标

知识点考试要求具体要求考察频率

函数的零点C理解函数零点的概念与意义，会判常考

断一元二次方程根的存在性及根的

个数。

函数零点的概念与意义A了解函数零点的概念，结合二次函少考

数的图像，了解函数的零点与方程

根的联系。

零点的存在性定理B了解零点的存在性定理内容，并能少考

进行简单应用.

函数的零点分布B理解函数的零点分布，会判断一元少考

二次方程根的存在性及根的个数。

二分法求近似零点A根据具体函数的图像，能够用二分法少考

求相应方程的近似解.

知识提要

函数的零点

函数的零点主要包括函数零点的概念、函数零点的存在性定理、函数的零点分布以及用二分法

求函数的近似零点.

函数零点的概念与意义

对于函数y=/(x).我们把使/'(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点.函数y=/'(x)的零点

就是方程/0)=0的实数根，也就是函数y=的图象与x轴交点的横坐标.

零点的存在性定理

如果函数y=f(x)在区间［a,句上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)"(b)<0,那么函

数y=/(%)在区间(a,b)内有零点，即存在cE(a,b)使得/(c)=0,这个c也就是方程/(%)=0

的根.

函数的零点分布

・函数的零点分布函数的零点在数轴上的分布情况，尤其指二次函数的零点分布问题.

・解决二次函数的零点分布问题的主要方法利用二次函数的图象列不等式组.

二分法求近似零点

对于图象在区间［a,切上连续不断且f(a)•/(/))<0的函数y="x),通过不断的把函数y=

f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近函数的零点，进而得到函数零点

近似值的方法叫做二分法(bisection).

•二分法的精度通过二分法最后确定的函数零点所在的区间(a,b)的长度£,即£=|a-b|.

・二分法的近似解通过二分法最后确定的函数零点所在的区间(a,b)内任意一点都可以作为函

数零点的近似解，特别地，可以将区间端点作为函数零点的近似值.

精选例题

函数的零点

1。已知二次函数f(x)=%2一X—6在区间口,4］上的图象是一条连续的曲线，且〃1)=一6<

0,/(4)=6>0.由零点存在性定理可知函数在［1,4］内有零点.用二分法求解时，取［1,4］的

中点a，则/'(a)=.

【答案】-2.25

【分析】区间［1,4］的中点为2.5,f(2.5)=2.52-2.5-6=-2.25.

2。方程(x-2)(2x+l)(x2-3)=0的实数解为.

【答案】V3,-73,2

3.已知函数f(x)=｛常，若函数。(%)=fM-1x-6有且仅有两个零点，则实数b的取

值范围是.

【答案】0<匕<：

【分析】画出/0)和丫=6彳-3的图象即可.

4.已知关于x的方程/+(a+l)x+2a=0的两根分别在(一8,-1)和(1,+8)内，则实数a的取

值范围为.

【答案】a<一|

5.某方程有一个无理根在区间。=(1,3)内，若用二分法，求此根的近似值，则将D至少等

分次后，所得近似值的精确度为0.1.

【答案】5

【分析】因为管《0.1,得2建>20,n>4,所以至少等分5分.

6.己知函数/'(%)=x|m-x|(xeR),且/'(4)=0.

(1)求实数m的值；

【解】因为/"(4)=0,

所以4Im-4|=0.即m=4.

(2)作出函数f(x)的图象；

x(x-4)=(x-2)2-4,x》4,

【解】/(x)=xIx-4|=

-x(x-4)=—(X—2)2+4,x<4.

/'(x)的图象如图所示：

(3)根据图象指出/(均的单调递减区间；

【解】/0)的减区间是[2,4].

(4)若方程f(x)=a只有一个实数根，求a的取值范围.

【解】从/'(%)的图象可知，当a>4或a<0时,f(x)的图象与直线y=a只有一个交点,

方程/"(%)=a只有一个实数根，即a的取值范围是(一8,0)u(4,+00).

7,已知关于x的-元二次方程/+2mx+2m+l=0.

(1)若方程有两个实根分别在区间(-1,0)和(1,2)内，求实数m的取值范围;

【解】设/'(久)=/+2mx+2m+1,其图象的对称轴为直线x=m,画出示意图.

根据示意图，

方程有两个实根分别在区间(-1,0)和(1,2)内等价于不等式组

"(T)>0,

/(0)<0,

'/■⑴<0,

1/(2)>0,

(2>0,

BnJ2m+1<0,

'，4m+2<0,

(6m+5>0,

解得一3vmv-

o2

(2)若方程的两个实根都在区间(0,1)内，求实数m的取值范围.

方程两实根都在区间(0,1)内等价于不等式组

M>0,

)/(0)>0,

1八1)>0,

\0<—m<1,

解得-：<nt41—V2.

80若函数f(x)=|M-2x|-a没有零点，求实数a的取值范围.

【解】由题意令g(x)=|/-2x|,函数g(x)=|/一2x|的图象如下图所示.

函数/'(x)没有零点，即直线y=a与函数。。)=|"一2"的图象没有交点，观察图象可知,

此时a<0.故a的取值范围为(一8,0).

9。已知二次函数f(x)的二次项系数为a,且不等式f(x)>—2x的解集为(1,3).

(1)若方程fG)+6a=0有两个相等的根，求函数fG)的解析式；

【解】因为不等式f(x)+2x>0的解集为(1,3),

所以方程f(x)=—2x的解为1和3,

所以f(x)+2x=a(x—l)(x—3),且a<0,

所以/'(x)=a(x-1)(%—3)—2x=ax2-(2+4a)x+3a,①

将方程f(x)+6a=0整理得a/-(2+4a)x+9a=0,②

因为方程②有两个相等的根，所以4=[-(2+4a)]2-4a-9a=0,

即5a2-4a-1=0,解得a=1(舍)或a=—

将a=代入①得f(x)的解析式为f(x)=-1x2-1x-|.

(2)若不等式/"(x)>。有解,求实数a的取值范围.

【解】由(1)中a<0可知JQ)>0有解的充要条件是方程①有两个不相等实根,

a<0,

可得

[2(1+2a)]2-4a-3a>0,

a<0,

即

a2+4a4-1>0,

解得<-2-g或a>-2+V3,

即aV—2—VS>或-2+A/3VQV0.

故当f(x)>0有解时，实数Q的取值范围是(—8,—2-73)0(-2+73,0).

10.设函数/(%)=ax2+b%+c,且/⑴=—p3a>2c>2b.

(1)求证a>0且一3

a4

【解】/(I)=a+b+c=^,

所以3a+2c+2b=0.

因为3a>202b,

所以3a>0,2b<0.

(3a>2c=-3a—2b,b

i=一>—3Q，

U>0a

(3a>2b.b3

la>0a<2f

(2bV2G一b3

la>0=：<一不

所以且—

Q>03<—a<-4

(2)函数/(%)在区间(0,2)内至少有一个零点；

【解】f(0)=c,/(2)=4Q+2b+c=Q—c.

①当c>0时，因为a>0,

所以f(0)=oOJ(1)=-,v0.

所以函数/(%)在区间(0,1)内至少有一个零点.

②当c40时，因为a>0,/(I)=一：>0,/(2)=a-c>0.

所以函数/(%)在区间(1,2)内至少有上个零点.

(3)设笈1，%2是函数/(%)的两个零点，求1%1-的取值范围•

【解】X1，%2是函数/(%)的两个零点，

所以％1+&=_*勺/2=：=一|一'.

所以%-女1=[01+%2)2—4%%2=潞-4(一|一?=聆+2丫+2.

因为

—3<-a<-p4

所以4|%1-％21V

出-力|的取值范围[企，亨卜

函数零点的概念与意义

1。若实数a>0,b>0,且：+：=1,则当，吆的最小值为m时，函数f(x)=e-m*।inx|

-1的零点个数为.

【答案】1

【分析】

2a+b

8

即m=1,从而/'(x)—e-x|InxI-1.

由f(x)=e~xIInx|-1=0,得|Inx|=

因为函数y=1Inx|与y=e*的图象只有一个交点，

所以函数/(久)=e-x|Inx|—1只有一个零点.

2.若函数/(x)=2x-ax+3有一个零点是1,则f(—1)=.

【答案】6

【分析】/"(x)=2x-ax+3有一个零点为1,则2x1-ax1+3=0,=5,

所以/'(x)=2x—5x+3=—3x+3,故/'(-1)=6.

3.若函数f(x)=Igx+2x-3的零点在区间(k,k+1)内(k6Z),则k=

【答案】1

4o对于函数y=/(x),我们把叫做函数y=f(x)的零点.

【答案】使f0)=0的实数%

5.若函数/(x)=ax2-x-1仅有一个零点，则实数a的值是.

【答案】。=一；或。=0

4

6.求下列函数的零点.

(1)/(x)=%34-1；

【解】令/(%)=/+1=(%+1)(7-%+1)=0,解得％=一1.

所以/•(%)=%3+1的零点是一1.

..v2i7Y4-1

【解】令人行=立竿=铝4=0,

7x-1x-1

解得x=-l.

所以/•(%)=噜里的零点是一1.

7。己知函数/(%)=-3x2+2%-m+1.

(1)当in为何值时，函数有两个零点、一个零点、无零点；

【解】函数有两个零点，则对应方程一3/+2%-耀+1=0有两个根，

易知4>0,即4=4+12(1-瓶)>0,可解得mV/

4=0,可解得m=/

J<0,可解得m>土

故m<g寸，函数有两个零点；

m=g时，函数有一个零点；

时，函数无零点.

(2)若函数恰有一个零点在原点处，求根的值.

【解】因为0是对应方程的根，有1一根=0,可解得zn=l.

8.己知函数/(%)=/+2力欠+c(cvb<1),若函数/(%)的一个零点是1,且函数y=/(%)+

1有零点.

(1)证明:一3Vc4一1,且b》0；

【解】因为函数八%)的一个零点是1,

所以f(l)=0,即1+2b+c=0,

得c</?=——<1,得—3Vc,

函数y=f(x)+1有零点，即方程/+2b%+c+1=0有实数根，

故/=4b之-4(c+1)》0,即/=(c+1)2—4(c+1))0,

所以c>3或c4-1.

又cvbvl,所以一3VC4-1,由匕=-3-得b>0.

(2)若m是函数y=/(x)+1的一个零点，判断/(m-4)的正负，并加以证明.

【解】f(m—4)的符号为正.

证明如下：

/(x)=x2+2bx+c=/一(c+l)x+c=(%—1)(%—c),

由为m是函数y=/(x)+1的一个零点，

所以/(m)=-1,

从而f(m)=(m—c)(7n—1)<0,

所以c<m<1.

所以c—4VTH—4<—3<c,

这样/(m—4)=(m—4—c)(m—4—1)>0,

即“m—4)的符号为正.

9.已知函数/(%)=4-^x2—2x(QWR).

(1)当Q=3时，求函数/(x)的单调区间；

【解】当Q=3时，/(%)=—1/+|%2_2%,得r(%)=—尤2+3%—2.

因为/(%)=-x2+3x—2—(x—1)(%—2),

所以当av%<2时,/'(x)>0,函数/(%)单调递增;

当％VI或%>2时，/,(%)<0,函数/(%)单调递减.

所以函数/(%)的单调递增区间为(1,2),单调递减区间为(一8,1)和(2,+8).

(2)若对于任意％6[1,+8)都有r(%)<2(a-1)成立，求实数Q的取值范围;

【解】方法1：由/(%)=+|%2一2%,得r(x)=-2.

因为对于任意％G[1,+8)都有/,(%)<2(a-1)成立，

即对于任意％E[1,+8)都有-%2+。%-2V2(a-1)成立，

即对于任意％G[L+8)都有/-ax+2a>0成立，

令九(%)=x2-ax+2a,要使对任意%G[1,+8)都有h(%)>0成立，

p>0

必须满足4Vo或仁41

U(l)>0

fa2—8a>0

即a2—8a<0或<1

(1+Q>0

所以实数a的取值范围为(—1,8).

方法2：Etl/Cx)=—1x3+|x2—2x,得/''(x)=—/+ax—2,

因为对于任意Xe[1,；8)扁r(x)<2(a-1)成立，

所以问题转化为，对于任意xG[1,+8)都有f(x)]max<2(a-l).

因为尸(幻=一(％-32+9—2,其图象开口向下，对称轴为x=/

①当]<1时，即a<2时，f'(x)在[1,+8)上单调递减，

所以『(x)]max=r(l)=a-3，

由a—3V2(a—1),得a>—1,此时—1Va<2.

②当㈠1时，即a》2时，f'(x)在[1用上单调递增，在《，+8)上单调递减，

所以r(X)max=r®=9一2,

由老一2<2(a-1),得0<a<8,此时2<a<8.

综工①②可得，实数a的取值范围为(一1,8).

(3)若过点(0,—3可作函数y=f(x)图象的三条不同切线，求实数a的取值范围.

【解】设点P(t,-*3—2t)是函数y=f(x)图象上的切点，

则过点P的切线的斜率为A=f'(t)=-t2+at-2,

所以过点P的切线方程为y+gt*—/12+2t=(—t2+at-2)(x—t).

因为点(o,-9在切线上，

所以一1+^户—t2+2t=(―t2+at-2)(0—t)

即2t3_l[24-lQ.

32a3=

若过点(0,-9可作函数y=f(x)图象的三条不同切线，

则方程|t3-汕2+；0有三个不同的实数解.

令g(t)=|#-：at2+：,则函数y=g(t)与t轴有三个不同的交点•

令g'(t)=2t2—at=0,解得t=。或t=p

因为g(o)=g(f)=}

所以必须gG)=-#+,<0,即a>2.

所以实数a的取值范围为(2,+8).

10.若函数/'(x)=ax2-x-1仅有一个零点，求实数a的取值范围.

【解】(i)若a=0,则f(x)=—x-1为一次函数，易知函数仅有一个零点；

(ii)若a丰0,则函数£(久)为二次函数，它只有一个零点，

即方程f(x)=0有两个相等的实根，故4=1+4a=0,解得a=一；.

综上，当a=0或a=-j时,函数/Xx)仅有一个零点.

零点的存在性定理

1.若方程2a/-x-1=0在(0,1)内恰有一解，则实数a的取值范围是.

【答案】a>l

【分析】设/(%)=2a分-x-1,由题意得/(0)•/(I)<0,即(一1)•(2a-2)<0,

所以a>1.

2。设%o是函数/(%)=2"+%的零点，且&W+l),kWZ,则/c=.

【答案】-1

3.若方程Inx+2x-6=0在(71,71+l),neZ内有一解，则n=().

【答案】2

4。若方程Inx+2x-10=0的解为与，则不小于X。的最小整数是.

【答案】5

【分析】设/'(x)=lnx+2x-10,则/'(4)=ln4-2<0/(5)=ln5>0,所以/'(4)•/'(5)<

0.故函数f(x)的零点所在的区间为(4,5),即&6(4,5).故不小于&的最小整数是5.

5o方程％2一|%一血=。在[_1,1]上有实根，则m的取值范围是.

【答案】卜总|]

【分析】因为％2一|%一巾=0,

所以TH=X2-|x,XG[-1,1],原题可转化为求二次函数m/一|%在上的值域问题，

所以7n=/_|x=(x_9)一看6卜高式

(1)已知函数/(%)=-4,若在[一2,0)上存在%0，使/(&)=0,求实数m的取值范围；

【解】由已知，得/(—2)•(0)40即(―6m—4),(—4)40,

解得所以m的取值范围是(一8,-2.

⑵若方程2a/一X一1=0在(0,1)上恰有一解，求实数a的取值范围.

【解】由已知，得一1・(2。一1一1)<0,解得a>L所以a的取值范围是(1,+8).

7。已知函数f(x)是定义在(一8,0)u(0,+8)上的奇函数，当％>0时/(X)=log2x.

(1)求当％<0时，求函数f(x)的表达式；

【解】当％V0时,/(X)=-log2(-x).

(2)若g(x)=2z(x6R)集合A={x\/(x)>2},B={%Ig(x)>16或曰<g(x)<1],试

判断集合A和8的关系;

【解】集合力={%I%>4或一}《％Vo},B={%4或-［4X《()},4是B的真子

集；

’(3)已知对于任意的k€N,不等式1恒成立，求证：函数/(%)的图象与直线y=%没

有交点；

【解】根据对称性，只要证明函数/(%)的图象与直线y=%在％E(0,+8)上无交点即可.

令％E(O,+8),函数月=log2%,y2=x.

当%6(0,1］时,yi>0,y2>0,则为<y2.

kk+1k

当％6(2,2］(keN)时,%4k+1,y2>2>k+1,则％<力,则在%€(0,+8)上直线

y=x始终在y=log2》的图象之下方.

综上所述，由于对称性可知，函数/(%)的图象与直线y=%没有交点.

8o已知二次函数/(%)=QM+/)%+c(atb,ceR),/(-2)=/(O)=0,/(%)的最小值为-1.

(1)求函数f(%)的解析式；

【解】因为f(—2)=/(0)=0/(x)的最小值为一1,所以QVO,/(-1)=—1,一2和0是对

应方程a/+力％+。=0的两根.

2

根据题意,不妨设/(%)=ax［x+2),又/(一1)=-1,所以Q=1,所以/(%)=x+2x.

(2)设g(x)=/(-%)-4/(x)+1,若g(%)在［-1,1］上是减函数，求实数兀的取值范围；

【解】g(%)=(1-A)%2-2(1+A)x+1,

①当;I=1时应(%)=-4x+1在上是减函数，满足题意.

②当;IK1时，对称轴方程为:x=岩.

1-A

i)当4<1时，1-4>0,所以=>101+4》1-；1,得04/1<1；

1-A

ii)当a>1时,1—Ao,所以^--4—1=1+a>—1+Ar得a>1.

综上所得，4》0.

(3)设函数九(%)=log21p-若此函数在定义域范围内不存在零点，求实数p的取值范

围.

【解】函数九(%)=1呜历-/(%)］在定义域内不存在零点，必须且只须有P-/(%)>0有解,

且P一/(%)-1无解•

即［p—f(%)］max>0,且1不在［p-/0)］的值域内.

又f(x)的最小值为一1，所以函数丫=2一/(刀)的值域为(一8邛+1］.所以{；；；：；，解得

-1<p<0.

所以p的取值范围为(一1,0).

9.已知二次函数f(x)有两个零点-3和1,且有最小值-4.

(1)求/1(%)的解析式;

【解】由题意可得八一3)=0/(1)=0,所以/(x)的图象关于直线x=-1对称,

设/(%)=a(x+l)2—4,令％=1,则/(l)=4Q—4=0,a=1,所以/(x)=%2+2x-3.

(2)令g(x)=m/3)+1(m0).①若m<0,证明：g(%)在［-3,+8)上有唯一零点；②

若m>0,求y=|g(%)I在卜3,|］上的最大值.

【解】①由题意得g(%)=zn(x+1尸一4m+1,m<0

对称轴为％=-1>一3,所以g(x)在［-3,-1］上单调递增，［-1,+8)上单调递减.

又g(_3)=l>0,^(-l)=l-4m>0,

所以函数g(%)在没有零点，在［-1,+8)上有且只有一个零点，

所以/(%)在［-3,+8)上有唯一零点.

②g(-l)=l-4m,g(-3)==,+1,因为m>0,所以g(|)>g(-3),

当1_4m》0,即rn<［时，'max=1g(x)lmax=5(|)=J^+l,

当1—4m<0,即时，

若4m-14+1,即:<mWax=1lmax=|g(|)|=；m+l.

若47n-1>^m+l,即mymax=|g(x)lmax=lg(T)1=4m-1,

综上所述，当0<m4强寸,ymax=+1；当m>?时，ymax=4m-1.

10o已知函数g(x)=e'(e=2.718…)的图象如图所示.

(1)在所给坐标系中画出@(x)=(e-l)x+1的图象;

【解】如图，*(x)=(e—l)x+l的图象是一条直线(过点(0,1)和(l,e)).

y

t-lg(x)=ex

fl/(p(x)=(c-\)x+\

(2)利用(1)中所作的图象，比较g(0.9)与*(0.9)的大小;

【解】作直线x=0.9分别交g(x)和@0)于4,B两点.

因为B在A的上方，所以g(0.9)>0(0.9).

(3)若f(x)=Inx+2x-6在区间(2,3)内存在零点c,并求出零点c的近似值X。所在的一个区间,

使得优o-c|<0.1.

【解】因为f(x)在区间(2,3)内连续，所以在区间［2.5,e］上也连续.

因为/l(2.5)=ln2.5+5-6=ln2.5-1<Ine-1=0,

/(e)=Ine+2e-6>l+2x2.7—6=0.4>0,

所以/•(2.5)-f(e)<0.

所以f(x)在(2.5,e)区间存在零点c,

故f(x)在(2,3)区间存在零点一

因为*(0.9)=(e-1)x0.9+1=0.9e+0.1<0.9X2.72+0.1=2.548<2.6.

又W(0.9)>5(0.9),

所以e09<2.6.

所以0.9<ln2.6.

因为/'(2.6)=ln2.6+5.2-6=ln2.6-0.8>0.9-0.8=0.1>0,

所以f(2.5)・f(2.6)<0.

所以零点c属于区间(2.5,26).

若取零点c的近似值与所在区间为(252.6),则风一c|<12.6-2.51=0.1,

所以零点c的近似值&可取区间(252.6).

函数的零点分布

z

1.已知函数/'(x)=-x+ax+a有两个不同的零点%1，不,且看<2<x2>则实数a的取值范围

为.

【答案】a>|

【分析】依题意得，g尉2+，了仇、。解出。>£

(/(2)=-4+2a+a>0,3

2。已知函数/'(x)对任意的x6R满足f(-x)=f(x),且当x》0时,/'(x)=/一+i.若

/'(x)有4个零点，则实数a的取值范围是.

【答案】(4,+8)

3o若函数f(x)=x2—mx+27n的一个零点大于1,另一个零点小于1,则实数m的取值范围

为.

【答案】m<—1

4。若方程7/一(m+13)>;-血一2=0的一个根在区间(0,1)上，另一个根在区间(1,2)上，

则实数机的取值范围是.

【答案】(一4,一2)

5。设函数xf1若函数y=/"(x)-2x+t有两个零点,则实数t的取值范围

是.

(答案1(-00,-2]U(0,21n2-1)

【分析】实际上是函数y=f(x)图象与直线y=2%-t有两个交点问题,过原点与曲线f(x)=

ex-l(x>0)相切的切线为y=x,而斜率为2的切线方程为y=2x-(21n2-1),从而得0<t<

21n2-l,又当一t》2时恒有两交点，故t4一2,所以t的取值范围是(-8,-2]U(0,21n2-1).

6o若一元二次方程以2+3-+卜一3=o的两根都是负数，求k的取值范围.

【解】由题意,kRO,所以

(A=(3k)2-4k(k-3)>0,

3k

「不<。，

k-3

>0,

Ik

解得k<—当或k>3.

70关于x的方程/+2(m+3)x+2m+14=0有两实根在［0,4］内，求m的取值范围.

【解】令

/(%)=%24-2(m+3)%+2m4-14,

原命题等价于

f(0)>0,2m+1430,

/(4)>0,16+8(m+3)+2m+14>0,

2(m+3)

0<--―-<4,—7<m<—3,

m《一5或m》1,

4(m+3)2—4(2m+14)>0,

解得

27

<-5.

8.函数y=/+(m+l)x+m的两个不同的零点是乙和%2，且%「&的倒数平方和为2，求

【分析】由题，+x2=-m-1,xrx2=m.

又4>0,・•・mH1.

11(X+X)2-2XXm2+l

—+—~----1------2------------1---2-=-----------解得TH=-1.

X?TX22(X,X2)2m2

【解】m=-l

9。画出函数f(x)=2/—3%+1的图象，判断函数在以下区间(一1.5,-1),(0,0.5),(0.8,1.5)内

有无零点，并判断零点的个数.

【解】首先作出xj(x)的对应值表(如下)：

%-1.5-1-0.500.511.5

/(X)-1.2522.251-0.2503.25

所以图象为

由上表和上图可知，

/(-1.5)<0J(-l)>0,

即

f(一1.5)•“-1)<0,

说明这个函数在区间(一1.5,-1)内有零点.同样，它在区间(0,0.5)内也有零点.另外，/(1)=

0,所以1也是它的零点.由于函数/'(x)在定义域(-8,—1.5)和(1,+8)内是增函数，所以它共

有3个零点.

10.已知关于x的方程/-2(m+2)x+zn2-1=0,则m取何实数值时，此方程:

(1)有两个实数根;

【解】由4=4(m+2尸—4(62—1)》0,解得m》一

(2)有两个正根；

侑=4(m+2尸-4(m2-1)>0,

【解】由|m+2>0,解得或m>l.

^m2—1>0.

(3)有一个正根，一个负根.

【解】由与孙=m2—1<0,得—1<m<1.

(注：这里不用再考虑4>0了，想想为什么？)

二分法求近似零点

u用二分法求方程/(x)=0在区间(0,2)内的近似根,/(1)=-2,/(1.5)=0.625/(1.25)=

-0.984,/(1.375)=-0.260,下一个求/'(巾)，则m.

【答案】L4375

2o用二分法研究函数/(%)="+3工一1的零点时，第一次经计算f(0)<0,/(0.5)>0,可

得其中一个零点出€，第二次应计算，这时可判断&€.

【答案】(0,0.5)；/(0.25)；(0.25,0.5)

3

【分析】由二分法知，x0€(005),取Xi=0.25,这时/(0.25)=0.25+3x0.25-1<0,故

X。6(0.25,0.5).

3。在用二分法求方程f(x)=0在［0,1］上的近似解时，经计算，/(0.625)<0,/(0.75)>0,

/(0.6875)<0,即可得出方程的一个近似解为(精确度为0.1).

【答案】0.75或0.6875

【分析】因为I0.75-0.68751=0.0625<0.1,所以0.75或0.6875都可作为方程的近似解.

4。在16枚崭新的金币中，有一枚外表与真金币完全相同的假币(质量小一点)，现在只有一

台天平，若用二分法的思想，则最多称次就可以发现这枚假币.

【答案】4

【分析】将16枚金币均分成两份，放在天平两端，则假币一定在较轻的8枚中;再将这8枚均分

成两份，则假币一定在较轻的4枚中，以此类推可得.

5。用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤：

(1)确定区间［a,b］,验证,给定精确度£；

(2)求区间(a,b)的中点；

(3)计算/8)；

①若/1(c)=0,则;

②若/1(a)•f(c)<0,则令b=c(此时零点*oe)；

③若f(c)•f(b)<0,则令a=c(此时零点Xoe).

(4)判断是否达到精确度£：即若Ia-b|<£,则得到零点近似值a(或b);否则重复(2)-

(4).

【答案】(1)/(a)"(b)<0(2)c(3)①c就是函数的零点②(a,c)③(c,b)

6o用二分法求/一X一1=0在区间口,1.5］的一个近似解(精确到0.01).

【解】设/'(X)=/_x-1,

⑴=一1<0,。(1,5)=、>0,

O

•••在区间［1,1.5］内,f(x)=0有实数解.

取［1,1.5］为初始运算区间，用二分法逐次计算列表如下:

端点(中点)坐标中点函数值符号取值区间

/(I)=-1<0,/(1.5)=0.875>0[1,1.5]

=1.25f(xi)<0[1.25,1.5]

艾2=1.375f3)>o[1.25,1.375]

%3=1.3125g<o[1.3125,1.375]

%4=1.34375fM>o[1.3125,1.34375]

%5=1.328125f3)>0[1.3125,1.328125]

%6=1.3203f(%6)<0[1.3203,1.3281]

x7=1.3242fg)<0[1.3242,1.3281]

XQ=1.32615/■(&)>0[1.3242,1.32615]

x9=1.32518m>o[1.3242,1.32518]

x10=1.32469/Uio)<0[1,32469,1.32518]

xn=1.32494fOii)>o[1,32469,1.32494]

•••区间［1.32469,1.32494］的左右端点精确到0.01时所取近似值都是1.32.因此1.32就是所求的近

似解.

7o设函数g(x)=—6x3-13x2—12x—3.

(1)证明:g(x)在区间(一1,0)内有一个零点;

【解】令gg)=0,由解)？;算；=X。6(-1.0),

所以g(x)在区间(一1,0)内有一个零点.

(2)借助计算器，求出g(x)在区间(-1,0)内零点的近似解.(精确到0.1)

【解】由惊)吵比0”(-。5。)；

嚅荔)io'，—

由归;养I°=&6(-0.5,-0.375);

由锹蕾<>0°25375,-。375),

所以%0X-0.4.

8。在26枚崭新的金币中混入了一枚外表与它们完全相同的假币(重量轻一点),现在只有一台

天平(无祛码)，请问你最少称几次就可以发现这枚假币？(要求思想和方法是恰当、可行、

便捷的)

【解】第一步，将26枚金币平均分成两份放在托盘上，假币在较轻的13枚中；

第二步，将第一步中13枚较轻者分成6,6,1,若将6,6组合放入托盘平衡，则剩下1枚为

假币；

第三步，若第二步中6,6组合不平衡，将较轻的6枚拿出并再分成3,3组合放入托盘称重；

第四步：将第三步中较轻的3枚拿出分成1,1,1,拿其中2枚分别放在左、右托盘中,从中判

断出哪枚为假币.故最少四次正确的操作就可发现假币.

9。求冠的近似值(精确度是0.01).

【解】令/(#)=/—2,则函数f(x)的零点的近似值就是短的近似值，下面用二分法求其

零点的近似值.

由于f(l)=一1<0,/(2)=6>0,故可取区间［1,2］作为计算的初始区间.

用二分法逐步计算，列表如下：

区间中点中点函数近似值

[112]1.51.375

[1,1.5]1.25-0.0469

[1.25,1.5]1.3750.5996

[1.25,1.37]1.31250.2610

[1.25,1,31]1.281250.1003

[1.25,1.28]1.2656250.0273

[1,25,1,26]1.2578125-0.01

[1,2578125,1.265625]

区间［1.2578125,1.265625］的长度为1.265625-1.2578125=0.0078125<0.01,所以这个

区间的两个端点都可以作为函数/(x)零点的近似值，即好的近似值可以是1.2578125或

1.265625.

1()。请设计“二分法”算法，求函数f(x)=x3+x2-1在区间［0,1］上的零点的近似值(精确度为

0.01).

【解】算法如下：

第一步：因为f(0)=—1,"1)=1,f(0)"(l)<0,则区间［0,1］为有解区间,精确度1-0=

1>0.01；

第二步：取［0,1］的区间中点0.5,计算外0.5)=-0.625,由于f(0.5)"(1)<0,可得到新的有

解区间［0.5,1］,精确度1—0.5=0,5>0,01；

第三步：取［0.5,1］的区间中点0.75,计算;'(0.75)“-0.0156,由于/'(0.75)"(1)<0,可得到

新的有解区间［0.75,1］,精确度1-0.75=0,25>0.01；

当得到新的有解区间［0.75,0.7578］时，

由于10.7578-0.751=0,0078<0.01,该区间精确度已满足要求，取区间［0.75,0.7578］的中

点0.7539,那么0.75就是方程的一个近似值.

课后练习

Io设函数/(x)=Inx+mmGR,若g(x)=f'(x)有一个零点，则实数m的取值范围是

().

2.若函数f(x)=2ax-2a+1在上有一个零点，则a的取值范围是.

3.方程Igx=sinx的实根的个数为.

4.已知函数八>)="+"+<:在(1,2)内有两个相异零点，且/(々)<0.用不等式“>”、“<

”表示下列关系：(l)b+c+l0；(2)/(x0-1)0.

5。设f(x)是定义在R上的奇函数，且/)=2、+要,设90)=*?'、若函数y=

g(x)-t有且只有一个零点，则实数t的取值范围是.

6。已知小是方程4——4mx+m+2=0的两个实根，当好+熠=4时，实数m的值

是.

7.二次函数y=ax2+bx+c中，若ac<0,则函数的零点个数是.

8。若函数f(x)唯一的零点在区间(1,3)或(1,4)或(1,5)内，则①函数f(x)的零点在(1,2)或

(2,3)内；②函数f(x)在(3,5)内无零点；③函数f(x)在(2,5)内有零点；④函数/'(x)在(2,4)内

不一定有零点;⑤函数f(x)的零点必在(1,5)内.以上说法错误的是(将标号填在横线

上).

9o已知f(x)=(x+l)“x-l|,若关于x的方程/(x)=x+t有三个不同的实数解，则实数t

的取值范围是.

(2x+2.

10o已知函数f(x)=丁'"&,若函数y=f(x)-m有三个零点，则实数m的取值

l|log2(x-1)］,x>1

范围是.

llo方程(x+l)(x-2)(x-3)=1在区间(0,2)内(填“有”或“无”)实数根.

12。已知函数f(x)=x2+mx-\1-x2|(mGR),若/(x)在区间(一2,0)上有且只有1个零点，则

实数Tn的取值范围是.

13.已知函数/'(x)=logM+久-b(a>0,且awl).当2<a<3<b<4时，函数f(x)的零

点Xoe(n,n+1),neN*,则n=.

14。设函数y=f(x)的图象在［a,b］上连续，若满足,方程/。)=0在［a,b］上有实根.

15.已知函数f(x)=log2x+x-2的零点在区间(n,n+l)(n6Z)内，则n=.

16o已知关于x的方程7/一(a+13)x+a2-a-2=0有两个实数根Xi，x2,且满足0<

xx<1<x2<2,则实数a的取值范围是.

17。已知f(x)是以2为周期的偶函数当x€［0,1］时,/(x)=X,且在［一1,3］内,关于x的方程

/(x)=/cx+fc+l(fc£R,fc*一1)有四个根，则化的取值范围是.

18。若关于x的方程3tx2+(3-7t)x+4=0的两实根a,凡满足0<。<1<夕<2,则实数t的

取值范围是.

19.已知函数f(x)=1x3+x2+(2a-l)x+a2-a+1,若f'Q)=。在(1,3］上有解，则实数a的

取值范围为.

20.(1)定义在R上的函数f(x)是周期为2的奇函数，则方程f(x)=0在闭区间［一2,2］上至少

有个实数根.

(2)函数/'(x)=Igx-sinx零点的个数是.

(3)函数y=/与函数y=2'的交点个数是.

21=函数y=Igx+2x-5的零点X。€(1,3),对区间(1,3)利用两次"二分法"，可确定而所在的

区间为.

22.在用二分法求方程y=x3-2x-1的一个近似解时,现在已经将一根锁定在区间(1,2)内，则下

一步可断定该根所在的区间为.

23.下表是函数f(x)在区间［1,2］上一些点的函数值.由此可判断：方程f(x)=0的一个近似解

为.(精确度0.1,且近似解保留两位有效数字)

x11.251.371.4061.4381.51.621.751.8752

/(X)-2-0.984-0.260-0.0520.1650.6251.9852.6454.356

24。若函数/'(X)的图象是连续不间断的，根据下面的表格，可以断定f(x)的零点所在的区间

为.(只填序号)

x123456

/(X)136.12315.542-3.93010.678-50.667-305.678

①(一