浙教新版九年级上学期《4. 5 相似三角形的性质及其应用》同步练习卷

浙教新版九年级上学期《4.5相似三角形的性质及其

应用》同步练习卷

一.选择题（共1小题）

1.如图，以点。为支点的杠杆，在A端用竖直向上的拉力将重为G的物体匀速

拉起，当杠杆0A水平时，拉力为尸；当杠杆被拉至。4时，拉力为西，过

点S作囱CLOA,过点小作垂足分别为点C、D.

②OA・OC=OB・OD；

③OC・G=OO・Q；

④产二长.

其中正确的说法有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

二.填空题（共2小题）

2.在△ABC中，NAC8=90°,BC=8,AC=6,以点。为圆心，4为半径的圆

上有一动点。，连接AZ）,BD,CD,则［3O+A。的最小值是

2

3.如图，数学兴趣小组测量校园内旗杆的高度，小华拿一支刻有厘米分划的小

尺，站在距旗杆30米的地方，手臂向前伸直，小尺竖直，看到尺上约12个

分划恰好遮住旗杆，已知臂长60cm,则旗杆高为米.

4.小明和几位同学做手的影子游戏时，发现对于同一物体，影子的大小与光源

到物体的距离有关.因此，他们认为：可以借助物体的影子长度计算光源到

物体的位置.于是，他们做了以下尝试.

（1）如图1,垂直于地面放置的正方形框架ABC。，边长A8为30C7",在其正

上方有一灯泡，在灯泡的照射下，正方形框架的横向影子A'B,D'C的长

度和为6cm.那么灯泡离地面的高度为.

（2）不改变图1中灯泡的高度，将两个边长为30C77?的正方形框架按图2摆放，

请计算此时横向影子A，B,D'。的长度和为多少？

（3）有〃个边长为。的正方形按图3摆放，测得横向影子A'B,D'C的长度

和为从求灯泡离地面的距离.（写出解题过程，结果用含a,b,〃的代数式

表示）

5.某高中学校为高一新生设计的学生板凳的正面视图如图所示，其中BA=CD,

BC=20cm,BC、EF平行于地面AD且到地面AD的距离分别为40cm.8cm.为

使板凳两腿底端A、。之间的距离为50cm,那么横梁所应为多长？（材质

及其厚度等暂忽略不计）.

6.如图，花丛中有一路灯杆AB.在灯光下，小明在。点处的影长OE=3米，

沿8D方向行走到达G点，0G=5米，这时小明的影长G"=5米.如果小明

的身高为1.7米，求路灯杆的高度（精确到0.1米）.

7.小明想测量电线杆的高度，他发现电线杆AB的影子正好落在坡面C。和

地面3C上，已知CO和地面成30°角，CO=4m,BC=lOm,且此时测得1加

高的标杆在地面的影长为2加，求A3的长度.

R

8.如图，是一个照相机成像的示意图.

（1）如果像高MN是35mm,焦距是50"?〃?，拍摄的景物高度AB是4.9〃z,拍摄

点离景物有多远？

（2）如果要完整的拍摄高度是2m的景物，拍摄点离景物有4〃?，像高不变，则

相机的焦距应调整为多少？

9.学习投影后，小明、小颖利用灯光下自己的影子长度来测量一路灯的高度，

并探究影子长度的变化规律.如图，在同一时间，身高为1.6〃？的小明CAB）

的影子长是3加，而小颖（EH）刚好在路灯灯泡的正下方”点，并测得

HB=6m.

（1）请在图中画出形成影子的光线，并确定路灯灯泡所在的位置G；

（2）求路灯灯泡的垂直高度G"；

（3）如果小明沿线段向小颖（点H）走去，当小明走到3”中点场处时，

求其影子BiG的长；当小明继续走剩下路程的工到&处时，求其影子&C2

3

的长；当小明继续走剩下路程的2到&处，…按此规律继续走下去，当小明

4

走剩下路程的」一到以处时，其影子8G的长为______匕（直接用〃的代

n+1

数式表示）

A

10.有一块三角形的余料ABC,要把它加工成矩形的零件，已知：BC=Scm,高

AD=l2cm,矩形EFGH的边EF在BC边上，G、H分别在AC.4?上，设

HE的长为ycm、EF的长为xcm

（1）写出y与x的函数关系式.

（2）当光取多少时，EFGH是正方形?

11.一块材料的形状是锐角三角形ABC,边BC=120mm,高4。=80根根，把它

加工成正方形零件如图，使正方形的一边在3c上，其余两个顶点分别在AB,

AC上.

(1)求证：

(2)求这个正方形零件的边长.

12.一块直角三角形木板，它的一条直角边AB长L5〃z,面积为1.5毋.甲、乙

两位木匠分别按图①、②把它加工成一个正方形桌面.请说明哪个正方形面

积较大(加工损耗不计).

13.已知/AOB=90°,0M是NA08的平分线，按以下要求解答问题:

（1）将一块含45°角的直角三角板的直角顶点P在射线0M上移动，两直角边

分别与04、0B交于点C,D,在图1中，点G是CD与0P的交点，且PG

=&PD,求：△POD与APDG的面积之比；

2

（2）将三角板的直角顶点P在射线0M上移动，一直角边与。8交于点O,0D

=1,另一直角边与直线。4、08分别交于点C、E,使以P,D,E为顶点的

三角形与△OCO相似，在图2中作出图形，并求0P的长.

14.在同一时刻两根木竿在太阳光下的影子如图所示，其中木竿AB=2米，它

的影子8C=L6米，木竿P。的影子有一部分落在墙上，PM=1.2米，MN=

15.问题背景在某次活动课中，甲、乙、丙三个学习小组于同一时刻在阳光下对

校园中一些物体进行了测量.下面是他们通过测量得到的一些信息:

乙组：如图2,测得学校旗杆的影长为900cm.

丙组：如图3,测得校园景灯（灯罩视为球体，灯杆为圆柱体，其粗细忽略不计）

的高度为200c"?,影长为156c〃?.任务要求：

（1）请根据甲、乙两组得到的信息计算出学校旗杆的高度；

（2）如图3,设太阳光线N”与。。相切于点M.请根据甲、丙两组得到的信

息，求景灯灯罩的半径.（友情提示：如图3,景灯的影长等于线段NG的影

长；需要时可采用等式1562+2082=26（）2）

16.如图，路灯A离地8米，身高1.6米的小王（CO）的影长。8与身高一样,

现在他沿。。方向走10米，到达E处.

（1）请画出小王在E处的影子E”；

（2）求EH的长.

17.如图，在△ABC中，NB=90°,ZA=60°,AB=1,作等腰三角形△AC。，

使NCA£>=30°,且点。和8位于AC异侧，连结8。交AC于点O

（1）请在所给图形基础上画出符合要求的其中一个草图，并在图中找出相似三

角形后说明理由

（2）在（1）的条件下，求出AO长.

18.在△ABC和aOE/中，NA=NO=70°,ZB=50°，Z£=30°，分别过

两个三角形的一个顶点画直线/、加，使直线/将△A3C分为两个小三角形，

直线机将分成两个小三角形，并使△ABC分成的两个小三角形分别与

△OE尸分成的两个小三角形相似，并标出每个小三角形各个内角的度数.（画

图工具不限，不要求写作法，只要画出一种分法.）

19.如图（1）是一种广场三联漫步机，其侧面示意图如图（2）所示，其中A3

=AC=120cm,BC=S0cm,AD=30cm,ZDAC=90°.求点。到地面的高

20.小胖和小瘦去公园玩标准的跷跷板游戏，两同学越玩越开心，小胖对小瘦说:

“真可惜！我只能将你最高翘到1米高，如果我俩各边的跷跷板都再伸长相

同的一段长度，那么我就能翘到1米25,甚至更高！”

（1）你认为小胖的话对吗？请你作图分析说明；

（2）你能否找出将小瘦翘到1米25高的方法？试说明.

5?/

曲,而P

21.小玲用下面的方法来测量学校教学大楼AB的高度：如图，在水平地面上放

一面平面镜，镜子与教学大楼的距离£4=25米.当她与镜子的距离CE=2.5

米时，她刚好能从镜子中看到教学大楼的顶端B.已知她的眼睛距地面高度

0c=1.6米.请你帮助小玲计算出教学大楼的高度是多少米（注意：根据

22.如图，在一个长40加、宽30〃?的长方形小操场上，王刚从A点出发，沿着

A=B=C的路线以3m/s的速度跑向C地.当他出发4s后，张华有东西需要

交给他，就从A地出发沿王刚走的路线追赶.当张华跑到距3地2?机的。

3

处时，他和王刚在阳光下的影子恰好重叠在同一条直线上.此时，A处一根

电线杆在阳光下的影子也恰好落在对角线AC上.

（1）求他们的影子重叠时，两人相距多少米？（DE的长）

（2）求张华追赶王刚的速度是多少？（精确到O.lm/s）

23.某校八年一班的一节数学活动课安排了测量操场上悬挂国旗的旗杆的高

度.甲、乙、丙三个学习小组设计的测量方案如图所示：甲组测得图中3。=

60米，。。=3.4米，CO=1.7米；乙组测得图中，CD=1.5米，同一时刻影

长尸0=0.9米，E8=18米；丙组测得图中，EF//AB.FH//BD,8。=90米，

所=0.2米，人的臂长（FH）为0.6米.请你任选一种方案，利用实验数据求

24.如图，在平面直角坐标系中，四边形0ABe是矩形，点B的坐标为（4,3）.

（1）直接写出A、C两点的坐标；

（2）平行于对角线AC的直线〃?从原点。出发，沿x轴正方向以每秒1个单位

长度的速度运动，设直线相与矩形048。的两边分别交于点M、N,设直线

m运动的时间为7（秒）.

①若求f的值；

②设△OMN的面积为S,当/为何值时，S=-|.

25.一块直角三角形木板的一条直角边A3长为1.5米，面积为1.5平方米，要

把它加工成一个面积最大的正方形桌面，甲、乙两位同学的加工方法分别如

下所示，请你用学过的知识说明哪位同学的加工方法符合要求.（加工损耗忽

略不计，计算结果中的分数可保留）

26.某班研究性学习小组，到校外进行数学探究活动，发现一个如图所示的支架

PAB,于是他们利用手中已有的工具进行一系列操作，并得到了相关数据，从

而可求得支架顶端P到地面的距离.

实验工具：①3米长的卷尺；②铅垂线（一端系着圆锥型铁块的细线）.

实验步骤：

第一步，量得支架底部A、B两点之间的距离；

第二步，在AP上取一点C,挂上铅垂线CD,点。恰好落在直线AB上，量得

C。和AO的长；

第三步，在BP上取一点E,挂上铅垂线EF,点尸恰好落在直线AB上，量得

EF和的长.

实验数据:

线段ABCDADEFBF

长度（米）2.510.81.20.6

问：(1)根据以上实验数据，请你计算支架顶端P到地面的距离(精确到0.1米);

(2)假定你是该小组成员，请你用一句话谈谈本次实践活动的感受.

27.如图，在由边长为1的小正方形组成的网格图中有一个格点三角形ABC(注:

顶点均在网格线交点处的三角形称为格点三角形)

(1)请直接写出△ABC中边上的高线长：；

(2)请在图中画一个格点三角形DER使得〜△ABC,且相似比为2：1；

(3)若建立平面直角坐标系后，A、B、。三点的坐标分别为A(2,4)、B(1,

0)、C(4,2).请在图中确定格点M,使得△BCM的面积为7.5,请直接写

出所有符合题意的格点M的坐标.

28.身高1.6米的安心同学在某一时刻测得自己的影长为1.4米，此刻她想测量

学校旗杆的高度.但当她马上测量旗杆的影长时，发现因旗杆靠近一幢建筑

物，影子一部分落在地面上，一部分落在墙上(如图).她先测得留在墙上的

影子CO=1.2米，又测地面部分的影长BC=3.5米，你能根据上述数据帮安

心同学测出旗杆的高度吗？

29.王大伯要做一张如图1的梯子，梯子共有8级互相平行的踏板，每相邻两级

踏板之间的距离都相等.已知梯子最上面一级踏板的长度A|&=0.5相，最下

面一级踏板的长度A8以=0.8〃Z.木工师傅在制作这些踏板时，截取的木板要

比踏板长，以保证在每级踏板的两个外端各做出一个长为4c7〃的桦头（如图

2所示），以此来固定踏板.现市场上有长度为21〃的木板可以用来制作梯子

的踏板（木板的宽厚和厚度正好符合要制作梯子踏板的要求），请问：制作这

些踏板，王大伯最少需要买几块这样的木板？请说明理由.（不考虑锯缝的损

耗）

AB]

/头

踏板长

4稣

图1

30.如图，要测量人民公园的荷花池A、8两端的距离，由于条件限制无法直接

测得，请你用所学过的数学知识设计出一种测量方案，写出测量步骤.用直

尺或圆规画出测量的示意图，并说明理由（写出求解或证明过

程）.一一^

31.阅读下面材料，完成学习任务：

数学活动测量树的高度

在物理学中我们学过光的反射定律.数学综合实践小组想利用光的反射定律测量

池塘对岸一棵树的高度AB测量和计算的部分步骤如下：

①如图，在地面上的点C处放置了一块平面镜，小华站在3C的延长线上，当

小华从平面镜中刚好看到树的顶点A时.测得小华到平面镜的距离CD=2米,

小华的眼睛E到地面的距离ED=L5米；

②将平面镜从点。沿8C的延长线向后移动10米到点尸处，小华向后移动到点

“处时，小华的眼睛G又刚好在平面镜中看到树的顶点A,这时测得小华到

平面镜的距离尸"=3米；

③计算树的高度AB：设米，8C=y米.

VZABC=ZEDC=9Q°,/ACB=/ECD

：.AABC^AEDC

•AB_BC……

''ED^DC

任务:请你根据材料中得到的测量数据和计算步骤,将剩余的计算部分补充完整.

32.夜晚，小明在路灯下散步.若小明身高1.5〃?，路灯的灯柱高4.5/6

（1）如图1,若小明在相距10米的两路灯A3、CO之间行走（不含两端），他

在路灯下的影子为/在路灯CO下的影子为尸N.解答问题：

①若BF=4,求影子FM.②猜想影子FM与FN的长的和为定值吗？说出理由.

（2）有言道：形影不离.其原意为：人的影子与自己紧密相伴，无法分离.但

在灯光下，人的速度与影子的速度却不是一样的！如图2,若小明在灯柱P。

前，朝着影子的方向（如图箭头），以0.8米/秒的速度匀速行走，试求他影子

的顶端R在地面上移动的速度.

33.如图，在斜坡的顶部有一铁塔AB,在阳光的照射下，塔影OE留在坡面上，

已知铁塔底座宽CD=l4m,塔影长。E=36/〃，小明和小华的身高都是1.6〃?，

小明站在点E处，影子也在斜坡面上，小华站在沿DE方向的坡脚下，影子

在平地上，两人的影长分别为4〃?与2〃z,那么求塔高AB

A

E

34.为了测量图（1）和图（2）中的树高，在同一时刻某人进行了如下操作：

图（1）：测得竹竿C。的长为0.8米，其影CE长1米，树影AE长2.4米.

图（2）：测得落在地面的树影长2.8米，落在墙上的树影高1.2米，请问图（1）

和图（2）中的树高各是多少？

35.一块直角三角形木版的一条直角边A8为15”，面积为15分,要把它加工

成一个面积最大的正方形桌面，小明打算按图1进行加工，小华准备按图2

进行裁料，他们谁的加工方案符合要求？

36.马戏团让狮子和公鸡表演跷跷板节目.跷跷板支柱A3的高度为1.2米.

（1）若吊环高度为2米，支点A为跷跷板P。的中点，狮子能否将公鸡送到吊

环上，为什么？

（2）若吊环高度为3.6米，在不改变其他条件的前提下移动支柱，当支点A移

到跷跷板PQ的什么位置时，狮子刚好能将公鸡送到吊环上?

37.如图1,已知四边形ABCD点P为平面内一动点.如果

那么我们称点尸为四边形ABC。关于A、8的等角点.如图2,以点8为坐标

原点，8c所在直线为x轴建立平面直角坐标系，点C的横坐标为6.

(1)若A、。两点的坐标分别为A(0,4)、D(6,4),当四边形A8CD关于A、

B的等角点P在DC边上时，则点P的坐标为；

(2)若A、。两点的坐标分别为A(2,4)、。(6,4),当四边形ABC。关于A、

8的等角点P在。。边上时，求点尸的坐标；

(3)若A、。两点的坐标分别为A(2,4)、D(10,4),点P(x,y)为四边

形ABC。关于A、8的等角点，其中x>2,y>0,求y与x之间的关系式.

38.小明用这样的方法来测量建筑物的高度：如图所示，在地面上(E处)放一

面镜子，他刚好从镜子中看到建筑物(AB)的顶端B,他的眼睛离地面1.25

米(CD=1.25米)，如果小明离镜子1.50米(CE=1.50米)，与建筑物的距

离是181.50米(C4=181.50米).那么建筑物的高是多少米？

39.一块三角形的余料，底边BC长18米，高4。=10米，如图.要利用它裁

剪一个长宽比是3：2的长方形，使长方形的长在8C上，另两个顶点在A3、

AC上，求长方形的长EH和宽所的长.

40.小明想知道学校旗杆的高，他在某一时刻测得直立的标杆高1米时影长0.9

米，此时他测旗杆影长时，因为旗杆靠近建筑物，影子不全落在地面上，有

一部分影子在墙上，他测得落在地面上的影长3C为2.7米，又测得墙上影高

CD为1.2米，请你求旗杆的高度.

41.如图，大刚在晚上由灯柱A走向灯柱8,当他走到M点时，发觉他身后影

子的顶部刚好接触到灯柱A的底部，当他向前再走12米到N点时，发觉他身

前的影子刚好接触到灯柱B的底部，已知大刚的身高是1.6米，两根灯柱的

高度都是9.6米，设AM=NB=x米.求：两根灯柱之间的距离.

42.如图，这是我校足球场右上角的示意图，B点是发点球处，围栏外A点有一

根电杆.利用皮尺无法直接测量A、3之间的距离，请你设计一个方案，测出

A、8间的距离，作出图示，说说你的理由.

43.如图，若梯形PMNQ是一块绿化地，梯形上底「。=加，下底MN=〃，现在

计划把价格不同的两种花草种植在$、S2、S3、S4四块地里，使得价格相同的

花草不相邻，为了节省费用，园艺师应该把哪两块地种植较便宜的花草？通

过计算说明你的理由.

44.如图，一块实验田为直角三角形，把这块直角三角形的地分成三部分，其中

两部分为两个直角三角形，分别种红花和蓝花；第三部分为正方形，种上黄

花，已知两块种红花和蓝花的三角形地的最长边分别是50，”和30〃?，请你计

算种红花、蓝花的面积和为多少？

黄花\

45.(1)如图1,/\ABC^P，AB=AC=BC,P为AC上一点，过P点可作条

直线将△ABC分成两部分，使截得的三角形与△A8C相似；作出直线草图.

(2)如图2,△ABC中，NC=90°,P为斜边上的一点，过P点可作条

直线将△ABC分成两部分，使截得的三角形与AABC相似；作出直线草图.

(3)如图3,/XABC中P点为AC上一点，过尸点可作条直

线将△A3C分成两部分，使截得的三角形与△A8C相似，作出直线草图.

46.如图，△ABC是一块面积为2700。/的三角形木板，其中3c=90。加，现在

要将这块木板加工成一个正方形的桌面，如图所示，正方形。EFM即是要加

工成的桌面，点。、M分别在AB、AC边上，点E、厂在8C边上，根据以上

数据求出这个正方形桌面的边长.

47.阅读下列材料：小华遇到这样一个问题：

已知：如图1,在aABC中，三边的长分别为4?=伤，AC=®,BC=2,求

NA的正切值.

小华是这样解决问题的：

如图2所示，先在一个正方形网格(每个小正方形的边长均为1)中画出格点△

ABC(△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处)，然后在这个正方形网格中再

画一个和XABC相似的格点△OEF,从而使问题得解.

(1)如图2,ADEF中与NA相等的角为,ZA的正切值为.

(2)参考小华的方法请解决问题：若△LMN的三边分别为LM=2,MN=2日

LN=2娓,求NN的正切值.

48.把一个等腰直角三角形和一个正三角形分别分割成3个三角形，使等腰直角

三角形中的3个小三角形和正三角形中的3个小三角形分别相似？请画出三

角形的分割线，在小三角形的各个角上标出度数.

F三角形等腰直角三角形

49.已知：如图所示，要在高A£>=80»w?,底边BC=120/初”的三角形余料中截

出一个正方形板材AD与PN交于E.求正方形的边长.

50.如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标作为点A,再在

河的这一边选定点B和。，使然后，再选点E,使用视

线确定BC和AE的交点D.此时如果测得8。=60米，。。=30米，EC=25

米，求两岸间的大致距离AB.

浙教新版九年级上学期《4.5相似三角形的性质及其应用》

2018年同步练习卷

参考答案与试题解析

一.选择题（共1小题）

1.如图，以点。为支点的杠杆，在A端用竖直向上的拉力将重为G的物体匀速

拉起，当杠杆水平时，拉力为长当杠杆被拉至OA时，拉力为过

点囱作过点Ai作AiOLOA,垂足分别为点C、D.

©AOBiC^AO^iD；

（2）OA*OC=OB*OD；

③OC・G=OD,Fi；

④广二刃.

其中正确的说法有（）

%

A.1个B.2个C.3个D.4个

【分析】根据在同一平面内，垂直于同一直线的两直线互相平行判断出

然后求出判断出①正确；

根据相似三角形对应边成比例列式求解即可得到②正确；

根据杠杆平衡原理：动力X动力臂=阻力X阻力臂列式判断出③正确；

求出尸的大小不变，判断出④正确.

【解答】解：•.•&C_LOA,A}D^OA,

：.B\C//A\D,

/.△OBiC^AOAiD,故①正确；

QB

•OC=1

,"OD虱，

由旋转的性质得，OB=OBi，OA=OAi，

：.OMOC=OB*OD,故②正确；

由杠杆平衡原理，OC・G=OD・Fi，故③正确；

.•&=生=曳=理是定值，

GOD0A10A

，尸1的大小不变，

AF=F\,故④正确.

综上所述，说法正确的是①②③④.

故选：D.

【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，杠杆平衡原理，熟练掌握相似三

角形的判定方法和性质并准确识图是解题的关键.

二.填空题（共2小题）

2.在△A8C中，ZACB=90°,BC=S,AC=6,以点。为圆心，4为半径的圆

上有一动点。，连接AO,BD,CD,贝岭BD+A。的最小值是，近

【分析】如图，在C8上取一点R使得Cf=2,连接CD,AF.由△/COs4

DCB,推出迎=空=工，推出DF=；D,推出工8O+AO=O尸+AF,根据

BDCD222

DF+AD^AF即可解决问题；

【解答】解：如图，在C8上取一点F,使得b=2,连接CO,AF.

B

：.CD=4,CF=2,CB=8,

：.CET=CF*CB,

•CD=CB

*"CFCF'

■:/FCD=/DCB,

:.AFCDsADCB,

.DF=CF=1

・•丽CDI'

:.DF=LBD,

2

:.LBD+AD=DF+AF,

2

DF+AD^AF,AF=^22+52=2VTO>

：.^BD+AD的最小值是2伤，

故答案为2国.

【点评】本题考查相似三角形的应用，两点之间线段最短，勾股定理等知识，解

题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题.

3.如图，数学兴趣小组测量校园内旗杆的高度，小华拿一支刻有厘米分划的小

尺，站在距旗杆30米的地方，手臂向前伸直，小尺竖直，看到尺上约12个

分划恰好遮住旗杆，已知臂长60cm,则旗杆高为6米.

【分析】根据题画出图形，根据相似三角形的性质解答.

【解答】解：由题意可知△ABC是等腰三角形，AG为高,

；.BG=LBC,DF=^-DE=^-X12cm=0.06m,

222

AE为臂长，即60c7九=0.6加.AG=30m,

由题意可知△AFOSAAGB,即更=如，

AGBG

即=2毁，解得8G=3m,：.BC=2BG=2X3=6m.

30BG

【点评】本题考查相似三角形性质的应用.解题时关键是找出相似的三角形，然

后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题.

三.解答题（共47小题）

4.小明和几位同学做手的影子游戏时，发现对于同一物体，影子的大小与光源

到物体的距离有关.因此，他们认为：可以借助物体的影子长度计算光源到

物体的位置.于是，他们做了以下尝试.

（1）如图1,垂直于地面放置的正方形框架ABC。，边长A8为30cm,在其正

上方有一灯泡，在灯泡的照射下，正方形框架的横向影子A'B,D'。的长

度和为6cm.那么灯泡离地面的高度为180cM.

（2）不改变图1中灯泡的高度，将两个边长为30cm的正方形框架按图2摆放,

请计算此时横向影子A'B,D'。的长度和为多少？

（3）有〃个边长为。的正方形按图3摆放，测得横向影子A'B,D'C的长度

和为从求灯泡离地面的距离.（写出解题过程，结果用含a,4〃的代数式

表示）

【分析】（1）设灯泡的位置为点P,易得△勿。s△必'D',设出所求的未知

数，利用相似三角形的对应边的比等于对应高的比，可得灯泡离地面的高度；

（2）同法可得到横向影子A'B,D'。的长度和；

（3）按照相应的三角形相似，利用相似三角形的对应边的比等于对应高的比，

用字母表示出其他线段，即可得到灯泡离地面的距离.

【解答】解：（1）设灯泡离地面的高度为xc〃z,

,JAD//A'D',

：.ZPAD=ZPA'D',NPDA=NPD'A'.

△如£>s△%'D'.

根据相似三角形对应高的比等于相似比的性质，可得*一拜，

A'D'PM

•・•-3-0-—--x---3-0-,

36x

解得x=18O.

（2）设横向影子A'B,D'C的长度和为ycm,

同理可得.•.一”=3,

60+y180

解得y=12c"z；

（3）记灯泡为点P,如图：

'：AD//A'D',

.，.ZMD=ZB4/D',NPDA=NPD'A'.

：./\PAD^/\PA'D'.

根据相似三角形对应高的比等于相似比的性质，可得-7■竺一拜，

A'D'PM

（直接得出三角形相似或比例线段均不扣分）

设灯泡离地面距离为九，由题意，得，尸N=x-a,A£）=加z,A'D'=na+b,

.・.na_x-a]_a

na+bxx

且=]-na

xna+b

na2+ab

人

b

【点评】本题主要考查相似三角形的判定与性质，注意运用相似三角形对应高的

比等于相似比这个性质.

5.某高中学校为高一新生设计的学生板凳的正面视图如图所示，其中BA=CD,

BC=20cm,BC、EF平行于地面AD且到地面AO的距离分别为40的、Scm.为

使板凳两腿底端A、。之间的距离为50cm,那么横梁E/应为多长？(材质

及其厚度等暂忽略不计).

【分析】根据等腰梯形的性质，可得A"=OG,EM=NF,先求出A"、G。的长

度，再由可得出EM,继而得出EF的长度.

【解答】解：过点8作BHLAO于点”，交EF于点M,过点C作CGLAO于

点G,交EF于点、N,

由题意得，MH=8cm,BH=4Qcm,则3M=32cm,

・••四边形ABC。是等腰梯形，AD=5Qcm,BC=20cm,

：.AH=^-(AD-BC)=l5cm.

2

，JEF//AD,

:.丛BEMS^BAH,

•EM=BM即里=邃.

''AH丽’、正语，

解得：EM=12,

故EF=EM+NF+BC=2EM+BC=44cm.

【点评】本题考查了相似三角形的应用及等腰梯形的性质，解答本题的关键是熟

练掌握等腰梯形的性质，这些是需要我们熟练记忆的内容.

6.如图，花丛中有一路灯杆A8.在灯光下，小明在。点处的影长OE=3米，

沿8。方向行走到达G点，OG=5米，这时小明的影长G"=5米.如果小明

的身高为1.7米，求路灯杆A8的高度（精确到0.1米）.

【分析】根据CDLBH,FGLBH,可得：XABEsXCDE,则有里=

AB

DE和FGHG嘘谭即彘HG,从而求出BD

DE+BDABHG+GD+BDHG+GD+BD

的长，再代入前面任意一个等式中，即可求出AB.

【解答】解：根据题意得：AB±BH,CDLBH,FG上BH,（1分）

在RtAAB£和RtACD£中,

CDA.BH,

：.CD//AB,

可证得：

△CDEsAABE

...CD=DE①,（4分）

ABDE+BD

同理：Zl=一HG_②，（5分）

ABHG+GD+BD

又CD=FG=l.7m,

由①、②可得：

DE二HG

DE+BD=HG+GD+BD'

即3_5

"3+BD=10+BD'

解之得：BD=1.5m,（6分）

将80=7.5代入①得：

AB=5.95m^6.0m.（7分）

答：路灯杆4?的高度约为6。口.（8分）

（注：不取近似数的，与答一起合计扣1分）

【点评】解这道题的关键是将实际问题转化为数学问题，本题只要把实际问题抽

象到相似三角形中，利用相似比列出方程即可求出.

7.小明想测量电线杆A3的高度，他发现电线杆A3的影子正好落在坡面8和

地面3C上，已知CO和地面成30°角，CQ=4m,BC=lOm,且此时测得1加

高的标杆在地面的影长为2m，求A8的长度.

B

【分析】利用直角三角形的性质可得。尸长，也就是BE的长，还可以求得CF

的长，也就求得了8尸的长，也就是的长；易得AE与影长OE构成的三

角形和标杆与影长构成的三角形相似，利用相似三角形的对应边成比例可得

AB的长.

【解答】解：作。于点E,DF上BC于点F.

B

;DC=4m,ZDCF=30°,

DF=2m,

・・BE=DF=2m,CF=«CD2-DF?=2，

：.ED=BF=BC+CF=(10+2心m.

•••同一时刻的光线是平行的，水平线是平行的，

光线与水平线的夹角相等，

又•••标竿与影长构成的角为直角，AE与EO构成的角为直角，

：.AE与影长DE构成的三角形和标杆与影长构成的三角形相似，

•.A•-E_1-,

ED2

解得AE=(5+^3)相，

：.AB=AE+BE=(7+V3)m.

答：AB的长为(7+遂)m.

【点评】考查相似三角形的应用；用到的知识点为：两角对应相等的两三角形相

似；相似三角形的对应边成比例.作出两条辅助线构造出2个直角三角形是

解决本题的突破点.

8.如图，是一个照相机成像的示意图.

(1)如果像高MN是35mm,焦距是50mm,拍摄的景物高度AB是4.9〃?，拍摄

点离景物有多远？

(2)如果要完整的拍摄高度是2〃?的景物，拍摄点离景物有4加，像高不变，则

相机的焦距应调整为多少？

35mm

【分析】(1)利用相似三角形对应边上的高等于相似比即可列出比例式求解;

(2)和上题一样，利用物体的高和拍摄点距离物体的距离及像高表示求相机的

焦距即可.

【解答】解：根据物体成像原理知：/XLMNs4LBA,

•MNLC

"AB^LD'

(1)•.•像高MN是35如〃，焦距是50/〃〃?，拍摄的景物高度A3是49",

•0.035_4.9

-0.05-LD~，

解得：LD=7,

...拍摄点距离景物7米；

(2)拍摄高度是2m的景物，拍摄点离景物有4〃?，像高不变，

.35二2000

••记二4000'

解得:LC=70,

•••相机的焦距应调整为70mm.

【点评】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是根据题意得到相似三角形，

并熟知相似三角形对应边上的高的比等于相似比.

9.学习投影后，小明、小颖利用灯光下自己的影子长度来测量一路灯的高度，

并探究影子长度的变化规律.如图，在同一时间，身高为16〃的小明(AB)

的影子长是3加，而小颖(EH)刚好在路灯灯泡的正下方”点，并测得

HB=6m.

(1)请在图中画出形成影子的光线，并确定路灯灯泡所在的位置G；

(2)求路灯灯泡的垂直高度G”；

(3)如果小明沿线段8”向小颖(点H)走去，当小明走到3"中点囱处时，

求其影子BiG的长；当小明继续走剩下路程的工到&处时，求其影子

3

的长；当小明继续走剩下路程的1到&处，…按此规律继续走下去，当小明

4

走剩下路程的一L到5处时，其影子&G的长为一一m.（直接用〃的

n+1~2n+2-

代数式表示）

B,B

【分析】（1）确定灯泡的位置，可以利用光线可逆可以画出;

（2）要求垂直高度G"可以把这个问题转化成相似三角形的问题，图中AABC

s丛GHC由它们对应成比例可以求出GH-,

（3）的方法和（2）一样也是利用三角形相似，对应相等成比例可以求出，然后

找出规律.

【解答】解：（1）如图（2分）

（2）'：ABA,HC,GHLHC,

J.AB//GH,

：.AABCSAGHC,

.K,（3分）

GHHC

,•A.B—1.6//z,BC=3/?i,HB=6m

.1.63

,*GH-6+3"

：.GH=4.S（〃?）.（4分）

（3）同理△AiBiCisAGHCi，

■A1B1B1C1

GH=HCj;

设B\C\长为x（〃z）,则L6=x,

4.8x+3

解得：乂金（fn）9即BCi二?（〃z）.解分）

2112

同理舞第T

解得32c2=1（加），（6分）

.1.6-BnCn

r.f工，

BnCJ+n+1

解得：B“Cn=」一.

2n+2

【点评】本题只要是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的性质对

应边成比例解题，此题有三问，比较麻烦，但方法一样.

10.有一块三角形的余料ABC,要把它加工成矩形的零件，已知：BC=8cm,高

AD=\2cm,矩形EFGH的边EF在BC边上，G、H分别在AC.AB上，设

HE的长为ycm、EF的长为xcm

(1)写出）与x的函数关系式.

(2)当x取多少时，EFGH是正方形?

【分析】（1）先由BC=8。“，高A£>=12cm,"E的长为yc〃z、E/7的长为xc机可

知，AK=AD-y=\2-y,HG=EF=x,再根据〃G〃BC可知，XAHGsX

ABC,由相似三角形的对应边成比例即可得出y与x的函数关系式；

（2）根据正方形的性质可知旷=心再代入（1）中所求的代数式即可得出结论.

【解答】解：（1）BC=Scm,高A£）=12c加，HE的长为yc〃z、E/7的长为xcm,

四边形EEG”是矩形，

：.AK=AD-y=n-y,HG=EF=x,HG//BC,

.AK—HG即12-y_x

**AD-BC''12-F

.,.y—12-—x；

2

(2)由⑴可知，y与x的函数关系式为y=12-净，

••,四边形EFG"是正方形，

：.HE=EF,即无=y,

.,.光=12-—X,

2

解得x=丝.

5

答：当工=丝时，四边形EFG”是正方形.

5

【点评】本题考查的是相似三角形性质的应用.解题时关键是找出相似的三角形,

然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题.

11.一块材料的形状是锐角三角形ABC,边8C=120〃〃〃，高4。=80加加，把它

加工成正方形零件如图，使正方形的一边在8c上,其余两个顶点分别在A3,

AC上.

(1)求证：

(2)求这个正方形零件的边长.

【分析】(1)根据四边形EF”G是正方形，可得EF〃BC,所以

(2)设这个正方形零件的边长是xmm,根据豆=超，求出这个正方形零件的

BCAD

边长是多少即可.

【解答】(1)证明：；四边形EFHG是正方形，

J.EF//BC,

，△AERs/MBC.

(2)解：设这个正方形零件的边长是xmm,

'：EF//BC,

.EF=AK

**BCAD)

•x_80-x

,,I20-80

解得x=48

答：这个正方形零件的边长是48〃〃〃.

【点评】此题主要考查了正方形的特征和应用，以及三角形相似的判定和性质的

应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①三边法：三组对应边的比

相等的两个三角形相似；②两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对

应相等的两个三角形相似;③两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似.

12.一块直角三角形木板，它的一条直角边A3长15”，面积为15/.甲、乙

两位木匠分别按图①、②把它加工成一个正方形桌面.请说明哪个正方形面

积较大(加工损耗不计).

【分析】结合相似三角形的1进而得出两个正方形的面积进而比较得出答案.

【解答】解：由48=1.5机，SAABC=l.5/n2,可得BC=2m,

由图①，过点B作RtaABC斜边AC上的高，BH交DE于■P,交AC于H.

由AB=\.5m,BC=2m,

得AC=<7AB2+BC2=71.52+22=2.5(

由可得：BH=^^=\,2(m),

AC

设甲设计的桌面的边长为x〃z,

'."DE//AC,

/.RtABDE^RtAB/lC,

•BPDEg|j1.2rx

•・丽记’1.2二2.5’

解得X受(m),

37

由图②，若设乙设计的正方形桌面边长为＞〃?,

由DE//AB,得RtACDE^RtACBA,

...述0,即上上i

ABBC1.5-2

解得厂@(M,

丫7

•♦30630

37y735

.\x<y,即x2<y2,

•正方期①vs正方形②，

.•.第二个正方形面积大.

【点评】此题主要考查了相似三角形的应用，正确表示出正方形的边长是解题关

键.

13.已知NAO8=90°,OM是NAOB的平分线，按以下要求解答问题:

（1）将一块含45°角的直角三角板的直角顶点P在射线OM上移动，两直角边

分别与04、08交于点C,D,在图1中，点G是C。与OP的交点，且PG

=返20,求：△POO与的面积之比；

2

（2）将三角板的直角顶点P在射线0M上移动，一直角边与。8交于点。，0D

=1,另一直角边与直线。4、。3分别交于点C、E,使以P,D,E为顶点的

三角形与△OCO相似，在图2中作出图形，并求0P的长.

【分析】（1）先判定△PODS^PDG,然后根据相似三角形的性质和已知条件

就可以求出△P。。与△POG的面积比；

（2）分两种情况进行讨论：①当。在0A上时；②当。在。4延长线上时，分

别根据相似三角形的性质以及全等三角形的性质进行求解.

【解答】解：（1）如图1,过P作PNLOB,垂足分别为“，N,则/

HPN=90°,

/.ZHPC+ZCPN=90°,

VZCPN+ZNPD=90°,

ZHPC=ZNPD,

•.•OM是NAOB的平分线，

：.PH=PN,

又,：NPHC=NPND=9U°,

:.△PCH/APDN,

：.PC=PD,

：.ZPDG=45°,

"：ZPOD=45°,

/PDG=APOD,

'：ZGPD=ZDPO,

：./\POD^APDG,

.SAPQD（PD）2_4_.

（2）分两种情况：

①如图，若PC与边04相交,

'：ZPDE>ZCDO,

当△PQEsaoc。时，ZCDO=ZPED,

：.CE=CD,

■:COLED,

：.OE=OD,

OP=LED=OD=I；

2

②如图，若PC与边。4的反向延长线相交，

过P作PN±OB,垂足分别为〃，N,

■:ZPED>NEDC,

当△PDEs^ooc时，/PDE=/ODC,

ZOEC=ZPED,

：.ZPDE=ZHCP,

,:PH=PN,RSHC丝RtAPND,

:.HC=ND,PC=PD,

：.ZPDC=45°,

/.ZPDO=ZPCH=22.5°,

AZ(9PC=180°-ZPOC-ZOCP=22.5°,

:.OP=OC.

设OP=x,则OH=ON=&x,

2

：.HC=DN=