浙教新版九年级下学期《2. 3 三角形的内切圆》同步练习卷

浙教新版九年级下学期《2.3三角形的内切圆》

同步练习卷

一.解答题(共50小题)

1.如图，△A8C中，AC=8C,点/是△ABC的内心，点。在边上，以点。

为圆心，。8长为半径的圆恰好经过点/,连接。，B1.

(1)求证：C/是。。的切线；

(2)若AC=8C=5,AB=6,求8/的长.

2.如图，是△ABC的外接圆，8c为。。的直径，点E为△ABC的内心，

连接AE并延长交。。于。点，连接BD并延长至F,使得BD=DF,连接

CF、BE.

(1)求证：DB=DE；

(2)求证：直线CF为。。的切线.

(3)若tan/AOB=q,BC=10,求的长.

3

3.如图，。。是△ABC的外接圆，/H是。O的切线，切点为RAb平分NBAC.连

接AE交8C于E,连接8E

(1)求证：FH//BC；

(2)若在上存在一点。，使得FB=FD,试说明点。是△ABC的内心.

4.在△ABC中，边AC上有一点。满足OC=2AO,。是△BOC的内心，E、

分别为OO与边3D、。。的切点，设

(1)求证：@AELEF,@AE//DO；

(2)若AC=6,。。的半径为1,求AE的长.

5.△A3C的内切圆。。与8C,CA,A3分别相切于点。、E、F,且AB=9cv%,

BC=14an,CA=13cm,求A从BD、CE的长.

6.如图，△ABC的周长为24,面积为24,求它的内切圆的半径.

7.如图，/是△ABC的内心，/B4C的平分线与△ABC的外接圆相交于点

与8C相交于点E.

(1)写出图中与△CAE相似的所有三角形;

(2)求证：DI=DB-,

(3)求证：DI2=DE*DA.

8.如图，在△ABC中，ZC=90°,。。为它的内切圆，切点分别为E、F、D,

斜边AB=10,△ABC的内切圆半径为1,求△ABC的周长.

9.如图，。。是△A3C的内切圆，与A3、BC、CA分别相切于点。、E、F,Z

DEF=45度.连接3。并延长交AC于点G,AB=4,AG=2.

(1)求NA的度数；

(2)求的半径.

10.如图，在△ABC中，。是内心，点E,尸都在大边上，已知B/=84,

CE=CA.

(1)求证：。是△AEF的外心；

(2)若N8=40°,ZC=30°,求NEOF的大小.

11.如图，在△ABC中，A8=AC,内切圆。与边BC、AC、AB分另U切于。、E、

F.

(1)求证：BF=CE；

(2)若NC=30°,CE=2炳,求AC.

12.如图，。是△ABC的外心，/是△ABC的内心，连A/并延长交和。。于

D、E两点.

(1)求证：EB=Eh

(2)若A8=4,AC=3,BE=2,求A/的长.

13.如图，已知点/是aABC的内心，A/交8C于。，交外接圆。于£,求证:

IE=EC.

14.如图，。。是△ABC的外接圆，点E为△ABC内切圆的圆心，连接AE的延

长线交BC于点尸，交。。于点。；连接BD,过点。作直线。M,使NBOM

=ADAC.

(1)求证：直线。M是。。的切线；

(2)若。/=2,且A/=4,求8。和。E的长.

15.如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线交8C于点E,交△ABC的外接

圆OO于点。，连接8。，过点。作直线。M,使NBQM=ND4C；

(1)求证：直线。M是。。的切线；

(2)若DF=2,AF=5,求3。长.

16.如图，/XABC中，ZC=90°,。。是△ABC的内切圆，D、E、F是切点.

(1)求证：四边形OOCE是正方形；

(2)如果AC=6,BC=8,求内切圆。。的半径.

17.如图，点/是△ABC的内心，A/的延长线和△ABC的外接圆相交于点

与相交于点E.

(1)求证：DI=DB；

(2)^AE=6cm,ED=4cm,求线段。/的长.

18.如图，BC为。。的直径，点A为。。上一点，点E为△A8C的内心，0E

±EC.

(1)若BC=10,求。E的长；

(2)求sinNEBO的值.

19.如图，。。是△ABC的外接圆，为。0的直径，点E为△ABC的内心,

连接AE并延长交于。点，连接8。并延长至尸，使得连接

CF、BE.

(1)求证：DB=DE；

(2)求证：直线CT为。。的切线.

(1)求△A3C的外接圆的直径；

(2)如果AB=8C,求△ABC内切圆的半径.

A

21.如图，点E是△ABC的内心，线段AE的延长线交△ABC的外接圆于点。.

(1)求证：ED=BD；

(2)若N84C=90°,△ABC的外接圆的直径是6,求3。的长.

22.已知：如图，在Rt/XABC中，ZC=90°,。。与△ABC的三边分别切于点

D,E,F.

(1)连接AO、B0,求乙408的度数；

(2)连接8。，若tanNOBC=L,求tanNAB。的值.

23.如图，E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆。0相交于点。.

(1)求证：△8DE是等腰三角形；

(2)若©0的直径为10cm，/BAC=60°,求的长.

24.已知，如图，在AABC中，E是内心，延长AE交△ABC的外接圆于点。,

弦交弦8C于点?

(1)求证：DE=DB；

(2)若COSN8AC=L,BC=6,则。E=

2-------

25.如图，在Rt^ABC中，ZC=90°,。。是△A3C的内切圆，切点。、E、

F,

(1)求证：四边形OEC/是正方形；

(2)若AE=10,BE=3,求。。的面积.

26.如图,△48C中,ZC=90°,且8C=5,它的内切。。分别与边A3、BC、

CA相切于点。、F、E,。。的半径r=2.求△ABC的周长.

27.如图，RtZXABC的内切圆。。与45、BC、AC分别切于点。、E、F,且AC

=13,AB=\2,ZABC=90°求：。0的半径长.

28.已知：如图，点N为△ABC的内心，延长AN交BC于点。，交△A3C的外

接圆于点E.

(1)求证：EB=EN=EC；

29.到目前为止，计算三角形的面积有哪一些公式呢？下面我们来小结归纳一下

吧：

公式(1)：底X高

公式(2)；s△4(a+b+cAr，其中。、从c为三角形三边长，r为三角形内切

圆半径.

公式(3)：课本尸19海伦-秦九韶公式：SA^p(p-a)(p-b)(p-c)

其中。、氏c为三角形三边长，◎山£

P2

根据上述3个公式，请你选择适当的方法计算：

问题1：已知△ABC的三边a=4,b=5,c=6,求△ABC的面积.

问题2：如图，在中，ZC=90°,AC=5,BC=12,求△ABC的内切

圆半径r.

30.如图，△ABC中，ZC=90°,它的内切圆。分别与边A3、BC、C4相切

于点。、E、F,且80=12,AO=8,求。0的半径r.

31.如图，RtZXABC中，ZC=90°,△ABC的内切圆。。与BC,CA,AB分

别相切于点。，E,F

(1)求证：四边形OOCE是正方形；

(2)若BC=5、AC=12,。0的半径为R,求R的值.

32.如图，已知E是△A3C的内心，NBAC的平分线交BC于点F,且与△ABC

的外接圆相交于点D.

(1)求证：NDBE=NDEB；

(2)若AO=8c〃z,DF：M=l：3.求OE的长.

33.如图，点/是△ABC的内心，A/的延长线交边BC于点。，交△ABC外接圆

于点E.

(1)求证：IE=BE；

(2)若/E=4,AE=8,求OE的长.

I

BC

E

34.△ABC的内切圆分别切BC、CA、AB三边于。、E、F,G是EF上的一点,

J.DG1EF,求证：DG平分N8GC.

35.已知：△ABC内接于00,/是△ABC的内心，AD交BC于点E.求证：DB

=DI.

36.如图，/\ABCA、B,。三点的坐标分别为A(0,8),B(-6,0),C

(15,0).若△ABC内心为O,求点。的坐标.

37.如图，△ABC中，ZC=90°,为△ABC的内切圆，点。为△ABC的外

心，BC=6,AC=8.

(1)求O/的半径；

(2)求线段0/的长.

38.如图，点/是△ABC的内心，A/的延长线与边3c相交于点。，与△A3C的

外接圆相交于点C.

求证：IE=BE.

A

39.如图，在△A3C中，AB=AC,。。是△ABC的内切圆，它与AB,BC,CA

分别相切于点。、E、F.

(1)求证：BE=CE；

(2)若NA=90°,AB=AC=2,求。。的半径.

40.如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线与相交于点E与△ABC的

外接圆相交于点D.

(1)求证：ZBAD=ZCBD；

41.如图，。0是△ABC的内切圆，切点分别为。、E、F,ZB=60°,ZC=

70°,求NEO尸的度数.

=90°，AC=6cm,BC=8an.求:。0的半径是多少cm?

43.如图，在△ABC中，/是内心，。是边上一点，O。经过8点且与A/

相切于/点.

(1)求证：AB=AC；

(2)若3C=16,。。的半径是5,求4的长.

44.如图，。0是△ABC的内切圆，点。、E、尸为切点，点M为优弧DER上

任意一点，ZB=66°，NC=37°,求NM的大小.

45.如图，△ABC中，AC=BC,/为AABC的内心，。为BC上一点，过8、I

两点的。。交于。点，tanNC5/=L,AB=6

3

(1)求线段8。的长;

(2)求线段的长.

46.如图，在△A3C中，ZC=90°,。。是△ABC的内切圆，切点分别为

E,F,若BD=6,AD=4,求O。的半径儿

47.如图，ZC=90°,。0是RtZVIBC的内切圆，分别切BC,AC,于点E,

F,G,连接OE,OF.AO的延长线交于点。，AC=6,CD=2.

(1)求证：四边形OECF为正方形;

(2)求。。的半径；

(3)求的长.

48.△ABC的内切圆与BC,CA,A3分别相切于点。、E、F,且

BC=16cm,CA=l5cm,求ARBD、C£的长？

E

BC

49.如图，在Rt^ABC中，内切圆。。分别与A3、AC.BC相切，且A8=5,

AC=\3,求内切圆的半径.

50.如图，在△ABC中，ZC=90°,NA、NB的平分线交于点D,DEA.BC

于点E,DF±AC于点F.

(1)求证：四边形CFDE是正方形；

(2)若AC=6,BC=8,求△ABC的内切圆半径.

E

浙教新版九年级下学期《2.3三角形的内切圆》2018年

同步练习卷

参考答案与试题解析

一.解答题(共50小题)

1.如图，△A3C中，AC=8C,点/是△A3C的内心，点。在边上，以点。

为圆心，08长为半径的圆恰好经过点/,连接C/,BI.

(1)求证：C/是。0的切线；

(2)若AC=8C=5,AB=6,求8/的长.

【分析】(1)设N/CB=尤，ZIBC=y,得：2x+2y+2y=180°,则x+2y=90°,

再证明N/OC+N/CO=2y+x=90°,可得NO/C=90°,则CI是。。的切线；

(2)延长C/交4?于O,先计算NCD4=90°，得8=4,证明△O/CSABOC,

列比例式迎基，设。。的半径为「，得r的值，由匹步，计算。/的值,

BDCBDCBC

根据勾股定理可得结论.

【解答】(1)证明：连接。/,

•.•点/是△ABC的内心，

:.BI、C7分别是NABC、NACB的平分线，

设N/CB=尤，ZIBC=y,

,：AC=BC,

：.ZABC=ZA=2y,ZACB=2x,

，2x+2y+2y=180°,

：.x+2y=90°,

■:OB=OI,

：.ZOIB=ZOBI,

：.ZABI=ZOIB,

，01//AB,

：.ZI0C=ZABC=2y,

：.Z/OC+Z/CO=2y+x=90°,

AZO/C=90°,

.••c/是。。的切线；

(2)解：延长C/交4?于0,

VZACD+ZA=x+2y=90°,

：.ZCDA=90°,

：.CD±AB,

AC=BC=5,AB=6,

：.AD=BD=3,

：.CD=4,

01//AB,

・

••01=----0C,

BDCB

设。。的半径为r,

•r5-r

••—z:---,

35

_15

r---------9

8

OI//BD,

••--D--I-=-O--B-

DCBC

A

D

B\~o_Jc

【点评】本题考查切线的判定、等腰三角形的性质、三角形相似的性质和判定、

勾股定理、三角形内心的性质等知识，解答的关键是学会添加常用辅助线，

灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型.

2.如图，00是△ABC的外接圆，为。。的直径，点E为△ABC的内心，

连接AE并延长交。。于。点，连接8。并延长至F使得8。=。r连接

CF、BE.

(1)求证：DB=DE；

(2)求证：直线CF1为。。的切线.

(3)若tanNAOB=q，BC=10,求A。的长.

3

【分析】(1)欲证明OB=DE,只要证明

(2)欲证明直线CF为。。的切线，只要证明尸即可；

(3)要根据tanNAOB=且，BC=10,求AO的长，只要求得8。的长即可,

3

【解答】(1)证明：•••£是△A3C的内心，

/BAE=ZCAE,NEBA=NEBC,

■:/BED=/BAE+/EBA,NDBE=NEBC+/DBC,NDBC=NEAC,

：.ZDBE=ZDEB,

：.DB=DE.

(2)连接CD.

•.•OA平分NBAC,

：.ZDAB=ZDAC,

：.BD=CD,

又•：BD=DF,

:.CD=DB=DF,

：.ZBCF=90°,

：.BC±CF,

.♦.a7是。。的切线.

(3)如图2

在Rt^ABC中，8c=10,ZACB=ZADB,tanNAOB=2,

3

.,.AB=S,AC=6,

过点E作E"，AC于凡

•.•点E是RtZXABC内心,

...内切圆的半径E"=6+8-10=2,

在RtAAE”中，N040=45。,

：.AE=4oEF=2y[2

由(2)知，△BOC为等腰直角三角形，又有3c=10,

:.BD=10+4^=5日

:.DE=BD=5近,AD=DE+AE=7®

【点评】本题考查三角形的内切圆与内心、切线的判定、等腰三角形的判定、直

角三角形的判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添

加常用辅助线，属于中考常考题型.

3.如图，。。是△ABC的外接圆，是。0的切线，切点为RAf平分连

接Ab交8C于E,连接8凡

(1)求证：FH//BC；

(2)若在AF上存在一点。，使得FB=FD,试说明点。是△ABC的内心.

【分析】(1)过点p作直径KV,连接BN.根据切线的性质得到FALLF",根据

垂径定理得到FNLBC,证明结论；

(2)连接BO,证明8。是/ABC的平分线，根据内心的定义证明.

【解答】解：(1)证明：如图，过点尸作直径FN,连接BN.

/是。。的切线，

:.FN1FH,

•.•Ab平分N84C,

NBAF=ZFAC,

•*-FB=FC»

由垂径定理得，FN上BC,

：.FH//BC；

(2)连接

,:FB=FD,

：.ZFBD=ZFDB,

又,：/FBD=/FBC+/DBC,ZFDB=ZFAB+ZABD,ZFAB=ZFBC,

：./DBC=ZABD,

.•.B。平分NABC,又AF平分N8AC,

...点。是aABC的内心.

【点评】本题考查的是切线的性质、三角形的内心的概念、平行线的判定，掌握

切线的性质定理、内心是三角形的角平分线的交点是解题的关键.

4.在△ABC中，边AC上有一点。满足OC=2A。，。是△8OC的内心，E、F

分别为。。与边B。、。。的切点，设BD=BC.

(1)求证：®AELEF,@AE//DO-,

(2)若AC=6,。0的半径为1,求AE的长.

B

ADFC

【分析】(1)①连接80、0F,由点。是的内心，所以8。是的

平分线，又因为。。是。。的切线，所以OFLOC,又因为BD=BC,由三线

合一可知，B、。、F三点共线，所以可得4。=。凡然后利用切线长定理可

知AO=OE=O凡从而可知NAEF=90°；

②点。是△8DC的内心可知，。。是△8DC的平分线，所以NEDO=NOEA,

从而可得AE〃OO；

(2)由(1)可知。0LER设。。与EF相交于点G,由勾股定理求出。。的

长度，再由等面积可求得G尸的长度，利用垂径定理可得Eb的长度，最后用

勾股定理即可求出AE的长度.

【解答】解（1）①连接。8、OF,

•.•点。是的内心，

0B平分NDBC,

•••CD与。。相切，

：.OF±CD,

"：BD=BC,

：.B,0、/三点共线，

：.DF=CF,

\'DC=2AD,

：.AD=DF,

•.•8。与O。相切，

，由切线长定理可知：DE=DF,

：.AD=DE=DF,

E、F三点共圆，且圆心为。

••.A/是0。的直径，

AZAEF=90°,

：.AE±EF,

②是的内心，

.••。0平分/8。。，

：.ZEDF=2ZEDO,

*/ZEDF=ZDAE+ZDEA,

：.2ZEDO=2ZDEA,

：.ZEDO=ZDEA,

：.AE//DO,

（2）设。。与EE相交于点G,

由（1）可知：DE=DF,DO平分NEDF,

：.DO±EF,

"：AD=DF=CF,AC=6,

：.DF=2,

•:0F=1,

由勾股定理可求得：0D=8

'：LDF*OF=^OD*FG,

22

：.FG=2^-,

5_

由垂径定理可知：EF=2FG=^-,

5

,：AF=2DF=4,

VZAEF=90°,

由勾股定理可求得：AE=^.

5

【点评】本题考查三角形的内心性质，涉及切线长定理，等腰三角形的三线合一，

勾股定理，垂径定理等知识，内容较为综合，需要学生灵活运用所学知识进

行解答.

5.△A3C的内切圆。。与BC,CA,A3分别相切于点。、E、F,且AB=9cv%,

BC=14an,CA=13cm,求A从BD、CE的长.

E

Ay?i\

RDC

【分析】根据切线长定理，BJiSAE=AF=xcm,BF=BD=ycm,CE=CD=zc〃z.再

根据题意列方程组，即可求解.

【解答】解：根据切线长定理，设8/=8。=/加，CE=CD=zcm.

根据题意，得

'x+y=9

*y+z=14>

x+z=13

解得：

'x=4

-y=5-

z=9

即AF=4cm>BD=5cm、CE=9cm.

【点评】此题要熟练运用切线长定理.

注意解方程组的简便方法：三个方程相加，得到x+y+z的值，再进一步用减法求

得x,y,z的值.

6.如图，△ABC的周长为24,面积为24,求它的内切圆的半径.

【分析】连结04、OB、0C,作ODLAB于。，OELBC于E,0F1ACTF,

根据切线的性质得OD=OE=OF=r,则利用SAABCUSAAOB+SAOBC+SAOAC得到

1・LA8+LTBC+LTAC=24,变形得到上一^AB+BC+AC)=24,然后把

2222

周长为24代入计算即可得到r的值.

【解答】解：连结04、OB、0C,作OOLA8于O,0E上BC于E,Ob_LAC于

F,

设它的内切圆的半径为r,则。。=。石=。尸=厂,

SAABC=SAAOS+SAOBC+SAOAC，

,r*AB+—*r*BC+—•，•AC=24,

222

Z.lr(AB+BC+AC)=24,

2

.•.0•24=24,

2

：.r=2.

即它的内切圆的半径为2.

【点评】本题考查了三角形的内切圆与内心：与三角形各边都相切的圆叫三角形

的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的

外切三角形.三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点，三角形的

内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个

内角.

7.如图，/是△ABC的内心，NBAC的平分线与△ABC的外接圆相交于点。，

与8C相交于点E.

(1)写出图中与△CAE相似的所有三角形；

(2)求证：DI=DB-,

(3)求证：D?=DE・DA.

I

B'C

D

【分析】（1）根据同弧所对的圆周角相等，得NC=ND,NCAE=NDBE,再

由角平分线定义，则ADAB^^ABC；

（2）连接B/,CI,CD,求证△BCO为等腰三角形，再利用8/为NABC平分线，

求证△08/为等腰三角形，利用等量代换即可证明；

（3）证得DB2=DE・DA,再由（2）得D?=DE*DA.

【解答】（1）解：与△C4E相似的所有三角形：ADBE,ADAB；

'：ZC=ZD,NCAE=NDBE,

：./\DBE^/\CAE；

VZC=ZD,AO是NBAC的平分线，

：.ZBAD=ZEAC,

.•.△/MBs△CAE；

（2）证明：连接B/,CI,CD,

为内心，

为N3AC角平分线，

B/为NABC平分线，

:.ZABI=ZCBI,NBAD=ZDAC,

,/ZBID=ZABI+ZBAI,

ZCBD=ZDAC=ZBAI,

：.NBID=/CBI+NCBD=NOB/,

.•.△。以为等腰三角形，

：.DB=DI；

(3)证明：':NDBE=NCAD,NBAE=NCAE,

，ZBAE=/EBD,

:.ADBESADAB,

•DB=DE

**DADB，

：.DB2=DE*DA,

又•：DB=DI（已证）,

:.DF=DE、DA.

【点评】本题考查了三角形的相似和性质以及三角形的内切圆与内心，证明此题

的关键是连接8/,CI,CD,求证△3C。为等腰三角形，再利用8/为NABC

平分线，求证△DB/为等腰三角形..

8.如图，在△ABC中，ZC=90°,O。为它的内切圆，切点分别为E、F、D,

斜边A3=10,/XABC的内切圆半径为1,求△ABC的周长.

【分析】根据切线长定理可以求得AE+3O的值，根据切线长定理和正方形的判

定以及性质可以求得8和CE都等于直角三角形内切圆的半径，从而求得直

角三角形的周长.

【解答】解：连接。。、0E.

;。。为它的内切圆，切点分别为E、F、D,

：.AE=AF,BD=BF,CD=CE,0D1BC,OELAC,

...四边形ODCE是正方形，

：.CD=CE=1,AB=BF+AF=BD+AE,

：.AABC^^^z=AB+BC+AC=AF+BF+BD+AE+DC+CE=2(AF+BF)+2CD=2

CAB+DC)=2(10+1)=22.

【点评】此题考查了切线长定理、切线的性质以及正方形的判定和性质.

9.如图，。。是△ABC的内切圆，与AB、BC、CA分别相切于点。、E、F,Z

。石尸=45度.连接8。并延长交AC于点G,AB=4,AG=2.

（1）求NA的度数；

（2）求的半径.

【分析】（1）由于已知了NOE尸的度数，那么可连接OD,OF,那么NOO尸=2

ZDEF=90°,根据AD,AF是圆的切线，那么OOLAB,OFLAC,由此可

得出NA的度数.

（2）根据（1）的结论我们不难得出四边形A。。尸是个正方形，那么OD=AD

=A尸=0/就都等于圆的半径长，那么可用半径表示出8。的长，根据0。〃

AC,我们可以得出关于BD,AB,OD,AG的比例关系式.已知了AG,AB

的长就能求出半径的长了.

【解答】解：（1）连接。。，OF,

•••。。是△ABC的内切圆，

A0D1AB,0F1AC,又NDOF=2NDEF=2X45°=90°,

AZODA=ZOFA=ZDOF=90°,

四边形A。。尸是矩形，

/.ZA=90°；

(2)设。。的半径为r,

由(1)知四边形AOOR是矩形，又OD=OF,

二四边形AOO尸是正方形.

OD//AC.

:.△BODsABGA.

•DOBD

••----ZZ-------•

AGBA

即二

2-4

解得r=且.

3

【点评】本题考查了切线的性质，圆周角定理，相似三角形等知识点综合应用.根

据圆周角定理和切线的性质得出四边形AOO尸是正方形是解题的关键.

10.如图，在△A3C中，。是内心，点£,尸都在大边上，已知BF=8A,

CE=CA.

(1)求证：O是AAE尸的外心；

(2)若NB=40°,ZC=30°,求/EOF的大小.

【分析】(1)连接OA、OB、OC,OE、OF,证AAB。之△FBO,推出OA^OF,

OA=OF即可;

(2)根据三角形的内角和定理求出/”E=90°-1ZB,ZAEF=90°-

22

C,再根据三角形的内角和定理求出即可.

【解答】解：(1)证明：连接。4、OB、OC、OE、OF,

是△ABC的内心，

：./OBA=NFBO,

在AABO和△bBO中

rBA=BF

<ZAB0=ZFB0

BO=BO

A(SAS),

：.OA=OF,

同理。4=OE,

：.OA=OE=OF,

是△ABC的外心.

(2)•.•。是△AEF的外心，

：.ZEOF=2ZEAF,

在等腰三角形BOJLAH

/.ZAFE=90°-1ZB,

2

同理NAEF=90°-1ZC,

2

：.ZEOF=2ZEAF=2(180°-ZAEF-NAFE),

=[180°-(90°-1ZC)-(90°=2(1ZB+^ZC)=70°,

2222

答：NEOF的度数是70°.

【点评】本题主要考查对三角形的内切圆与内心，三角形的外接圆与外心，全等

三角形的性质和判定，三角形的内角和定理等知识点的理解和掌握，能综合

运用性质进行推理是解此题的关键.

11.如图，在△ABC中，AB=AC,内切圆。与边BC、AC、A3分别切于。、E、

F.

(1)求证：BF=CE；

(2)若NC=30°，CE=2yf3,求AC.

【分析】（1）根据切线长定理得到AF=AE,再结合AB=AC,得到8/=CE；

（2）结合（1）的结论和切线长定理，得到。是的中点，从而得到4。，

。三点共线.根据等腰三角形的三线合一得到直角三角形ACD根据切线长

定理得到CD=CE,则根据锐角三角函数即可求得AC的长.

【解答】（1）证明：•••AE,A/是的切线；

：.AE=AF,

y.-：AC=AB,

：.AC-AE=AB-AF,

：.CE=BF,BPBF=CE.

（2）解：连接AO、OD；

•.•O是△ABC的内心，

：.OA平分NBAC,

是△ABC的内切圆，。是切点，

:.ODLBC；

又•.•AC=AB,

，A、0、。三点共线，即AOL8C,

•:CD、CE是。。的切线，

：.CD=CE=2y[3,

在RtZ\AC。中，由NC=30°,CD=243>得

【点评】此题主要是运用了切线长定理和等腰三角形的三线合一的性质.

12.如图，。是AABC的外心，/是△ABC的内心，连A/并延长交和。0于

D、E两点.

（1）求证：EB=Eh

（2）若AB=4,AC=3,BE=2,求A/的长.

【分析】（1）欲证明只要证明NEB/=NE/B；

（2）连接EC.由可得地=坦=旭=a=2,设。E=m,CD

DEDCEC2

=n,则3D=2〃?，AD=2n,同法可证：AADC^ABDE,推出世=至，推

BDBE

出处=a_,推出n.m=3：2,设n=3k,m=2k,由AECDsABAC,可得

2m2

EC2=ED*EA,推出4=机•（机+2”），即4=2左（2%+6女）解得女=工或-工（舍

22

弃），由此即可解决问题；

【解答】（1）证明：•••/是△ABC的内心，

平分NCAB,3/平分NA3C,

，/BAE=/CAE,ZABI=ZCBI,

/BIE=NBAE+NABI,NIBE=ZIBD+Z.EBD,

'：ZCBE=ZCAE,

：.ZBIE=ZEBI,

：.EB=Eh

（2）解：连接EC.

'：ZBAE=ZCAE,

•'.BE=EC»

：.BE=EC=2,

■:ZADB=ZCDE,NBAD=NDCE,

：.△A0BMCDE,

/.—=—=—=A=2,设CD=n,则B£)=2〃2,AZ5—

DEDCEC2

同法可证：AADC^ABD£,

.AD=AC

"BDBE，

•.•2n_3-,

2m2

・•〃：阳=3：2,设72=3攵，J77=2Z,

・：/CED=/AEC,NECD=NBAE=NCAE,

•MECDsABAC,

:.EC2=ED*EA,

：A=2k(2k+6k)

!或--(舍弃)，

22

/.DE=1,AD=3,

：.AE=4,，：EI=BE=2,

.AI=AE-EI=2.

【点评】本题考查的是三角形的内切圆与内心，相似三角形的判定和性质等知识,

解题的关键是学会利用参数构建方程组解决问题，属于中考压轴题.

13.如图，已知点/是△ABC的内心，A/交3C于。，交外接圆。于£,求证:

IE=EC.

【分析】由内心的性质可知；ZACI=ZBCI,ZBAE=ZCAE,由圆周角定理可

知NBCE=NBAE,从而得至i」NCAE+NAC/=N/C8+NBCE,从而得至【J/E/C

=ZICE,于是得到/E=EC；

【解答】证明：如图所示；连接/C

•.•点/是△ABC的内心，

，ZACI=/BCI,NBAE=NCAE.

又,：NBAE=NBCE,

：.ZCAE=ZBCE.

：.ZCAE+ZACI=NICB+/BCE.

：./EIC=/ICE.

：.IE=EC.

【点评】本题主要考查的是三角形的内切圆，明确三角形的内心是三角形内角平

分线的交点是解题的关键.

14.如图，0。是△ABC的外接圆，点E为△ABC内切圆的圆心，连接AE的延

长线交BC于点交0。于点。；连接8。，过点。作直线OM,使NBOM

=ADAC.

(1)求证：直线。M是。。的切线；

(2)若DF=2,且AF=4,求8。和。E的长.

【分析】⑴根据垂径定理的推论即可得到OO_LBC,再根据N8DM=NO8C,

即可判定3C〃OM，进而得到据此可得直线。M是。。的切线;

(2)根据三角形内心的定义以及圆周角定理，得到NBED=NEBD,即可得出

DB=DE,再判定△DB/即可得到。京=。尸。4,据此解答即可.

【解答】(I)证明：如图所示，连接O。，

•.•点E是△ABC的内心，

：.ZBAD=ZCAD,

•e•BD二CD，

:.ODLBC,

又,?ZBDM=ZDAC,ZDAC=ZDBC,

：.ZBDM=NDBC,

：.BC//DM,

ODLDM,

又「。。为。。半径，

...直线。M是。0的切线；

(2)VBD=CD»

：.NDBF=/DAB,

又,：NBDF=NADB（公共角）,

:ADBFS^DAB,

...此口，gpDB2=DF*DA,

DBDA

，：DF=2,AF=4,

：.DA=DF+AF=6

：.DB2=DF*DA=n

:.DB=DE=2炳

【点评】本题主要考查了三角形的内心与外心，圆周角定理以及垂径定理的综合

应用，解题时注意：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所

对的另一条弧；三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三

角形顶点的连线平分这个内角.

15.如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线交3C于点R交△ABC的外接

圆于点。，连接80,过点。作直线。M,使

（1）求证：直线。M是。。的切线；

（2）若DF=2,AF=5,求BO长.

【分析】（1）根据垂径定理的推论即可得到0O_L8C,再根据

即可判定BC//DM,进而得到。。，。加，据此可得直线0M是O。的切线;

（2）根据三角形内心的定义以及圆周角定理，得到NBED=NEBD,即可得出

DB=DE,再判定△08/即可得至lj。序=。"据此解答即可.

【解答】（1）证明：如图所示，连接。。，

•.•点E是aABC的内心，

A

：.ZBAD=ZCAD,

.*.BD=CD»

:.0D1BC,

又•:ZBDM=NDAC,ZDAC=/DBC,

：.ZBDM=ZDBC,

J.BC//DM,

：.ODA.DM,

又丁。。为。O半径，

，直线0M是。。的切线；

(2)VBD=CD，

:.ZDBF=ZDAB,

又,：NBDF=/ADB(公共角)，

.•.△DBFSADAB,

...如口，即DB2=DF・DA,

DBDA

VDF=2,AF=5：.DA=DF+AF=7

：.DB2=DF*DA=14

•*.DB=y/14•

【点评】本题主要考查了三角形的内心与外心，圆周角定理以及垂径定理的综合

应用，解题时注意：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所

对的另一条弧；三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三

角形顶点的连线平分这个内角.

16.如图，△ABC中，ZC=90°,。。是△ABC的内切圆，D、E、尸是切点.

(1)求证：四边形OOCE是正方形；

(2)如果AC=6,BC=8,求内切圆。。的半径.

【分析】(1)根据正方形的判定定理证明；

(2)根据勾股定理求出A3,根据切线长定理得到AE=AE,BD=BF,CD=CE,

结合图形列式计算即可.

【解答】解：(1);。。是△ABC的内切圆，

AOD^BC,OELAC,又NC=90°,

二四边形OOCE是矩形，

\'OD=OE,

四边形OOCE是正方形；

(2)VZC=90°,AC=6,BC=8,

.,.A5=^AC2+BC2=10,

由切线长定理得，AF=AE,BD=BF,CD=CE,

：.CD+CE=BC+AC-BD-AE=BC+AC-AB=4,

则CE=2,即。O的半径为2.

【点评】本题考查的是三角形的内切圆和内心的概念和性质、正方形的判定和性

质，掌握切线长定理、正方形的判定定理和性质定理是解题的关键.

17.如图，点/是aABC的内心，A/的延长线和△ABC的外接圆相交于点。，

与BC相交于点E.

(1)求证：DI=DB；

(2)^AE=6cm,ED=4cm,求线段的长.

【分析】(1)要证明/。=8。，只要求得NB0=N/8D即可;

(2)根据相似三角形的判定得出进而利用相似三角形的性质

解答即可.

【解答】(1)证明：连接B/.

•.•点/是△ABC的内心，

，NBAI=ZCAI,ZABI=ZCBI.

又,?ZDB1=ZCBI+ZDBC,ZDIB=ZABI+ZBAI,

/DBC=ZDAC=NBAI,

:./DBI=NDIB,

：.DI=DB.

(2)VZDBC=ZDAC=ABAI,ZADB=ZBDA,

:.ABDEsAABD,

•BDDE

"AD=BD，

即BD2=DE*AD=DE<AE+DE)=4X(6+4)=40,

D7=BD=A/4O=2VTO(cm).

【点评】本题考查了三角形的内切圆和内心，三角形的外接圆和外心，垂径定理，

圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解此题的关键，有一定的难度.

18.如图，为©0的直径，点A为OO上一点，点E为△ABC的内心，OE

1EC.

(1)若BC=10,求OE的长；

(2)求sinNEBO的值.

【分析】（1）连接8。、CD,根据圆周角定理和三角形的内心即可证得NBAO=

NBCD=NCAD=NCBD=45；得出△3DC是等腰直角三角形，解直角三

角形得出BD=5®由NO3E=NC3D+NCBE,ZDEB=ZBAD+ZABE,

得出NDEB,即可证得DE=BD=5五.

(2)延长CE交A3于M,延长OE交AC于N,作EFLBC于REGJ_A8于

G,E"_LAC于.•.首先证明BEO之同法可证△CEN且△CEO,推

出BM=B。，OC=CN,EN=EO=EN,设△ABC的外接圆半径为R,内切圆

半径为一•想办法用r表示BE、E/即可解决问题；

【解答】解：(1)连接80、CD.

•••8C为。0的直径，

AZBAC=ZBDC=90°.

•.•点E为△ABC的内心，

.•.AO平分N8AC,BE平分NABC.

:.NBAD=/BCD=/CAD=NCBD=45°.

...△BDC是等腰直角三角形，

：.BC=yf2BD=lO.

:.BD=5®

/DBE=NCBD+/CBE,NDEB=NBAD+NABE,

:.NDBE=/DEB,

:.DE=BD=55

(2)延长CE交AB于M,延长OE交AC于N,作EFLBC于凡EGLAB于

G,E/LLAC于H.

•.•E是△ABC内心，

平分N3AC,EB平分NABC,EC平分NACB,

'：ZBAC=90°,

NABC+NACB=90°,

:.NEBC+NECB=45°,

：.ZBEC=135°,

：.ZBEM=45°,

'：OELEC,

.•.NOEC=90°,

：.ZBEM=ZBEO=45°,

'：ZEBM=ZEBO,BE=BE,

:.ABEO咨ABEM,同法可证△CEN之△CEO,

:.BM=BO,OC=CN,EN=EO=EN,设△ABC的外接圆半径为R,内切圆半

径为r.

:NEBA=NEBC,EGLAB,EFLBC,

：.EG=EF,同法可证七尸=£”,

Q9MB•EG

S

••ABEM=2______=MB=EM=j_5

SABECy-BC-EFBCEC2

'：EG//AC,

：.ZMEG=ZECH,NEGM=NCHE=90°,

:.XEGMsXCHE,

.EH=CE=CH=2

••而EMEG，

：.GM=^r,CH=2r,

2

易证△EGM丝△EHN丝△EFO,

OF=HN=GM=—r,

2

,:OC=CN,

'.R=2r+—r=—r,

22

：.BF=B0+0F=3r,

.".sinZ£BO=—

BE10

【点评】本题考查了三角形的内切圆和内心，垂径定理以及勾股定理，圆周角定

理和解直角三角形等，作出辅助性构建直角三角形是解题的关键.

19.如图，O。是△ABC的外接圆，BC为O。的直径，点E为△ABC的内心,

连接AE并延长交©0于。点，连接B。并延长至凡使得8。=。凡连接

CF、BE.

(1)求证：DB=DE；

(2)求证：直线C尸为。。的切线.

【分析】(1)欲证明只要证明

(2)欲证明直线CF为。。的切线，只要证明即可；

【解答】(1)证明：•••£是△A3C的内心，

NBAE=ZCAE,NEBA=NEBC,

•：NBED=NBAE+/EBA,/DBE=NEBC+/DBC,NDBC=/EAC,

：.ZDBE=NDEB,

：.DB=DE.

(2)连接CD

•.3平分N8AC,

：.ZDAB=ZDAC,

，前=而，

:.BD=CD,

•；BD=DF,

：.CD=DB=DF,

/.ZBCF=90°,

:.BCLCF,

是。。的切线.

【点评】本题考查三角形的内切圆与内心、切线的判定、等腰三角形的判定、直

角三角形的判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添

加常用辅助线，属于中考常考题型.

20.如图，△4BC中,BC=5,sinA=W

5

(1)求△ABC的外接圆的直径；

(2)如果A8=8C,求△ABC内切圆的半径.

【分析】(1)作直径80,连接CO,根据圆周角定理和正弦的概念计算即可；

(2)根据垂径定理、正弦的概念求出BE、AE、AC,根据三角形的面积公式计

算即可.

【解答】解：(1)作直径3D,连接C。，

由圆周角定理得，ZD=ZA,NBCD=90：

.•.3。=&_=空，即△ABC的外接圆的直径为丝;

sinD33

(2)'：AB=BC,

：.BELAC,

：.BE=ABXsinA=3,

.*.A£=^AB2_BE2=4,

.*.AC=8,

设△ABC内切圆的半径为r,

则!X5Xr+Lx5Xr+Lx8Xr=Lx8X3,

2222

解得，r=l,

3

则△ABC内切圆的半径为&.

3

【点评】本题考查的是三角形的外接圆和外心、内切圆和内心以及解直角三角形

的知识，掌握圆周角定理、勾股定理、正弦的概念是解题的关键.

21.如图，点E是△ABC的内心，线段AE的延长线交△ABC的外接圆于点D.

(1)求证：ED=BD；

(2)若N84C=90°,ZVIBC的外接圆的直径是6,求3。的长.

【分析】(1)根据点E是△ABC的内心得出NBAD=NCAO,/ABE=/CBE,

求出NBED=NEBD,即可得出答案；

(2)求出3C为△A3C的直径，求出3。=。。，解直角三角形求出即可.

【解答】(1)证明：•••点E是△A3C的内心，

/BAD=ZCAD,/ABE=/CBE,

■:/CBD=N