重庆市西北狼教育联盟2024-2025学年高一上学期开学学业调研数学试题

西北狼教育联盟2024年秋季开学学业调研高一数学试题（全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟）注意事项：1.试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答：2.作答前认真阅读答题卡上的注意事项；3.作图（包括作辅助线）请一律用黑色2B铅笔完成；4.考试结束，由监考人员将试题卷和答题卡一并收回.参考公式：抛物线的顶点坐标为，对称轴为.一､选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A､B､C､D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑.1.下列四个数中，最小的数是（）A.5 B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据有理数比较大小，正数大于0，0大于负数，可得答案．【详解】解：，故选：B．2.下列图形中属于轴对称图形的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据题意，由轴对称图形的定义，逐一判断，即可得到结果.【详解】A，B，C选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；D选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形.故选：D3.若反比例函数的图象经过点，则的值是（）A.2 B.4 C. D.【答案】D【解析】【分析】把点代入反比例函数中，可求得的值．【详解】反比例函数的图象经过点，，解得，故选：D．4.如图，两条平行线被第三条直线所截，若，则的度数为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据两条平行线被第三条直线所截同位角相等，对顶角相等即可判断【详解】根据两条平行线被第三条直线所截同位角相等，所以，再根据对等角相等可知，所以.故选：A5.如图，与关于点位似，位似比为3：4，已知，则的长等于（）A.3 B. C. D.4【答案】D【解析】【分析】直接利用位似比计算即可；【详解】因为与关于点位似，位似比为3：4，所以，又，所以，故选：D.6.如图是用◆摆放而成的图案，其中第①个图中有2个◆，第②个图中有个◆，第③个图中有10个◆，第④个图中有个◆，……按此规律排列下去，则第⑦个图案中◆的个数为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】设第个图中有个◆，利用题设所给条件，找出后项与前项的规律，即可求出结果.【详解】设第个图中有个◆，由题有，，，，按此规律有，所以，，，故选：C.7.估计的值在（）A.9和10之间 B.10和11之间C.11和12之间 D.12和13之间【答案】B【解析】【分析】根据二次根式的运算方法，以及估算无理数的大小的方法解答即可得.【详解】，∵，∴，∴，即，∴的值在和之间．故选：B．8.如图，在中，，以点为圆心，为半径画弧与交于点，以点为圆心，以为半径画弧与交于点.若，则图中阴影部分面积为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】连接，证明出为等边三角形，再利用扇形面积公式和三角形面积公式计算即可.【详解】如图，连接，在中，，，，，是等边三角形，，.故选：C.9.如图，在正方形中，点分别是和边的中点，连接交于点，连接和，若，则的度数为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】延长交于，证明，可得，再证，可知为斜边上的中线，可得，结合运算求解即可.详解】延长交于，如图：因为四边形是正方形，则，又因为是中点，则，可得，则，因为，即，可得，且，可得，则，即，可知为斜边上的中线，则，可得，因为，则，所以.故选：A．10.已知两个整式，用整式与整式求和后得到整式，称为第一次操作；将第一次操作的结果加上结果记为，称为第二次操作；将第二次操作的结果加上，结果记为，称为第三次操作；将第三次操作的结果，加上，结果记为，称为第四次操作，…，以此类推.以下四个说法正确的个数是（）①当时，则第5次操作的结果；②当时，则有；③；④当时，.A.1 B.2 C.3 D.4【答案】D【解析】【分析】根据题意，分别求得，得到第次操作为，结合选项，逐项判定，即可求解.【详解】对于①中，由，，，，当时，可得，所以①正确；对于②中，由①归纳可得，第次操作的结果为，所以，当时，可得，所以，所以②正确；对于③中，由，可得，所以③正确；对于④中，当时，可得，所以，则，所以，所以④正确.故选：D.二､填空题：（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上11.计算：______.【答案】【解析】【分析】利用完全平方公式和一个数的次幂即为该数字的倒数，即可求解.【详解】原式==.故答案为：12.如果一个多边形的每一个外角都是，那么这个多边形的边数为__________.【答案】8【解析】【分析】边形外角和，已知外角度数相等，则多边形为正多边形，外角度数和除以每一个角度数即可得到边的数量.【详解】故答案为：813.重庆是一座魔幻都市，有着丰富的旅游资源.甲、乙两人相约来到重庆旅游，两人分别从四个景点中随机选择一个景点游览，甲、乙两人恰好选择同一景点的概率为______.【答案】##【解析】【分析】利用古典概型的概率公式进行求解即可.【详解】甲、乙选择的景点可能为：共16种可能；甲、乙两人恰好选择同一景点的可能为共4种可能；因此甲、乙两人恰好选择同一景点的概率为.故答案为：.14.重庆在低空经济领域实现了新的突破，某低空飞行航线今年第一季度安全运行了100架次，预计第三季度安全运行将达到400架次.该低空飞行航线这两季度安全运行架次的平均增长率是______.【答案】##1【解析】【分析】设第二、第三两个季度安全运行架次的平均增长率为，则第二季度低空飞行航线安全运行了架次，第三季度低空飞行航线安全运行了架次，据此列出方程运算即可．【详解】设第二、第三两个季度安全运行架次的平均增长率为，由题意得，，解得x=1（舍负），所以第二、第三两个季度安全运行架次的平均增长率为.故答案为：．15.如图，在中，点分别是的中点，与相交于点，若，则的长是__________.【答案】【解析】【分析】根据中位线、平行线的知识求得正确答案.【详解】由于点分别是的中点，所以,所以，所以.故答案为：16.若关于的一元一次不等式组至少有3个整数解，且关于的分式方程有非负整数解，则所有满足条件的整数的值的和是______.【答案】【解析】【分析】先化简一元一次不等式组和分式方程，根据题中限制条件求出参数的值即得结果.【详解】化简不等式组可得：，即，由于至少有3个整数解，可得：，解得：.化简分式方程可得：，由于分式方程有非负整数解，可得：，解得：且.综上，且.故满足条件整数的值有：，，，，，0，1，2，3，4共10个，和为.共答案为：.17.如图，已知，角的一边与相切于点，另一边交于两点，于，的半径为，则__________，__________.【答案】①.②.【解析】【分析】根据条件，利用垂径定理，即可求出，作交于，连接，作于点，利用几何关系求出，即可求解.【详解】因为的半径为，，所以.如图，作交于，连接，作于点，则，所以为等腰直角三角形，因为为切线，所以，得到，所以，由，知，得到，所以，得到，故答案为：，.18.若一个四位自然数，它的各个数位上的数字均不为0，且前两位数字之和为5，后两位数字之和为8，则称为“启明数”.把启明数的前两位数字和后两位数字整体交换得到新的四位数.规定.例如：是“启明数”.则.若“启明数”，则______.已知四位自然数是“启明数”，（，且均为正整数），若恰好能被7整除，则满足条件的数的最大值是______.【答案】①.12②.3253【解析】【分析】根据题目的对启明数的定义求解第一空.根据题目对启明数的定义，求出具体的表达式，然后根据题目的，结合能被7整除的数字的特点求出数的最大值.【详解】第一空：，则第二空：因为，且均为正整数，所以当恰好能被7整除时，此时为了使取最大值，又当时，不成立，当可以被整除.故为：故答案为：12，3253.三､解答题：（本大题8个小题，第19题8分，其余每小题10分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上.19.计算：（1）；（2）.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据完全平方式的展开式计算即可；（2）根据完全平方式逆运用计算即可.【小问1详解】.【小问2详解】.20.随着新能源电动汽车的推广，人们对电动汽车的电池续航能力非常关注.某店为了解车主对甲､乙两款电动汽车电池续航能力的满意程度，从该店销售的甲､乙两款车中各随机抽取10名车主对其所使用车辆的电池续航能力进行评分（单位：分），并对数据进行整理､描述和分析（评分用表示，共分为三组：），下面给出了部分信息：甲款电动汽车10名车主的评分是：.乙款电动汽车10名车主的评分在组的数据是：.抽取的甲､乙两款电动汽车车主的评分统计表车型平均数中位数众数甲8380乙8385抽取的乙款电动汽车车主的评分扇形统计图根据以上信息，解答下列问题：（1）上述图表中__________，__________，__________；（2）根据以上数据，你认为哪款电动汽车的电池续航能力的满意度更好？请说明理由（写出一条理由即可）；（3）该店甲款电动汽车的车主有600人，乙款电动汽车的车主有400人.若评分不低于90分为“非常满意”，估计这些车主中对其所使用车辆的电池续航能力“非常满意”的总共有多少人？【答案】（1）80，，30（2）乙款电动汽车的电池续航能力的满意度更好，理由见解析（3）200人【解析】【分析】（1）从甲款电动汽车10名车主的评分数据中，得出众数；乙款电动汽车车主的评分扇形统计图中A组占，所以A组有两个最大的数据，同时B组的数据有5个是：85，85，85，80，80，所以最中间的数为85，80，C组数据有3个；（2）从平均数、中位数、众数的角度去分析即可；（3）甲款电动汽车的车主“非常满意”的占比为，乙款电动汽车的车主“非常满意”的占比为，求出对甲、乙“非常满意”的人数即可．【小问1详解】从甲款电动汽车10名车主的评分数据中，80出现的次数最多，故众数为80，即，乙款电动汽车车主的评分扇形统计图中A组占，B组占，C组占，所以，所以A组有两个最大的数据，同时B组的数据有5个是：85，85，85，80，80，所以最中间的数为85，80，所以中位数为，即，故答案为：80，，30;【小问2详解】乙款电动汽车的电池续航能力的满意度更好，理由如下：甲款和乙款的平均数相等，但乙款的众数和中位数都比甲款的大，所以乙款的满意度更好；【小问3详解】甲款电动汽车的车主“非常满意”的有两人，占比为，乙款电动汽车的车主“非常满意”的占比为，所以满足题意的总人数为：（人）．21.小南在学习矩形的判定之后，想继续研究判定一个平行四边形是矩形的方法，他的想法是作平行四边形两相邻内角的角平分线，与两内角公共边的对边相交，如果这相邻内角的顶点到对应交点的距离相等，则可论证该平行四边形是矩形.（1）用直尺和圆规，作射线平分交于点；（2）已知：如图，在平行四边形中，平分交于点平分交于点，且.求证：平行四边形是矩形.证明：分别平分，四边形为平行四边形，__________①，，__________②，，，在和中__________③.平行四边形是矩形.小南再进一步研究发现，若这组邻角的角平分线与公共边的对边延长线相交，结论仍然成立.因此，小南得出结论：作平行四边形两相邻内角的角平分线，与两内角公共边的对边（或对边延长线）相交，若这相邻内角的顶点到对应交点的距离相等，则__________④.【答案】（1）答案见解析（2）①；②；③；④平行四边形是矩形【解析】【分析】（1）为圆心，为半径，通过正方形对角线即可求解；（2）通过证明.得到再结合即可求证.【小问1详解】以为圆心，为半径画圆，交于，连接即可.【小问2详解】证明：分别平分，四边形为平行四边形，，，，，，在和中.平行四边形是矩形.小南再进一步研究发现，若这组邻角的角平分线与公共边的对边延长线相交，结论仍然成立.因此，小南得出结论：作平行四边形两相邻内角的角平分线，与两内角公共边的对边（或对边延长线）相交，若这相邻内角的顶点到对应交点的距离相等，则平行四边形是矩形.22.某汽车工厂现有一批汽车配件订单需交付，若全部由1个工人生产需要150天才能完成.为了快速完成生产任务，现计划由一部分工人先生产3天，然后增加6名工人与他们一起再生产5天就能完成这批订单的生产任务.假设每名工人的工作效率相同.（1）前3天应先安排多少名工人生产？（2）增加6名工人一起工作后，若每人每天使用机器可以生产600个A型配件或650个B型配件，如果3个A型配件和2个B型配件配套组成一个零件系统，要使每天生产的A型和B型配件刚好配套，应安排生产A型配件和B型配件的工人各多少名？【答案】（1）15（2）安排生产A型配件的工人13名，生产B型配件的工人8名【解析】【分析】（1）设前3天应先安排x名工人生产，每名工人的工作效率为a，根据这批订单的生产任务量列出关于x的一元一次方程求解即可；（2）设安排y名工人生产A型配件，安排名工人生产B型配件，根据每天生产A型配件和B型配件刚好配套，列一元一次方程，求解即可.【小问1详解】设前3天应先安排x名工人生产，每名工人的工作效率为a，根据题意得，即，解得，故前3天应先安排15名工人生产；【小问2详解】设应安排y名工人生产A型配件，则安排名工人生产B型配件，由题意得，解得，则，所以应安排生产A型配件的工人13名，生产B型配件的工人8名.23.如图1，中，在线段上，且.动点从点出发，以每秒2.5个单位长度的速度沿折线运动.动点从点出发，以每秒1.5个单位长度的速度沿折线运动，点同时从点出发，当点运动到点时，两点同时停止运动.设点的运动时间为秒，点的距离为.（1）请直接写出关于的函数表达式并注明自变量的取值范围；（2）若函数，请在图2的平面直角坐标系中分别画出函数的图象，并根据图象写出函数的一条性质；（3）根据函数图象，直接估计当时取值（结果保留1位小数，误差不超过0.2）.【答案】（1）（2）答案见解析（3）或【解析】【分析】（1）根据题意，分两种情况分析当时，当时，写出分段函数解析式即可；（2）描点画出两个函数图象即可；（3）根据两个函数图象的交点，直接估计当时的取值即可．【小问1详解】∵中，，，，∴，∵，则，∴，即当点运动到点时，点运动到点，当时，，当时，，，，，∴，

∵，∴，∴，即，整理得：，综上分析，关于的函数表达式为；【小问2详解】函数的性质：当时，随增大而增大，当时，随的增大而减小；【小问3详解】由图象可知，当时，或.24.六一儿童节快到了，阳光大草坪举行露营活动，如图为草坪的平面示意图.入口在点，露营基地在点.经勘测，入口在点的正北方向，点在入口的南偏东方向处，且在点的正东方向，点在点的东北方向，点在点的北偏东方向处，且在点的正南方向.（参考数据）（1）求的长度（结果保留根号）；（2）小聪从入口A处进入前往露营基地点.小聪可以选择鹅卵石步道①，步行速度为50米/分，也可以选择塑胶步道②，步行速度为60米/分，请通过计算说明他选择哪一条步道所用时间较少？请通过计算说明.【答案】（1）（2）塑胶步道②用时较少【解析】【分析】（1）根据题意，分别求得，即可得到，从而得到，再由，即可得到结果；（2）根据题意，分别求得步道①，步道②的长度，然后求得所用时间，比较大小，即可得到结果.【小问1详解】在中，因为，，所以，在中，因为，所以，，所以，因为，，所以，.【小问2详解】因为，，则选择鹅卵石步道①的长度为，所以选择鹅卵石步道①的时间为分，选择塑胶步道②的长度为，所以选择塑胶步道②的时间为分，，所以选择塑胶步道②所用的时间较少.25.在平面直角坐标系中，抛物线交轴于点，交轴于点.（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，在直线下方的抛物线上有一点，作轴交于点，作于，求的最大值及此时点的坐标；（3）如图2，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，在轴的正半轴上有一点，在新抛物线上是否存在点，使得？若存在，直接写出点的横坐标；若不存在，说明理由.【答案】（1）（2）（3）存在，理由见解析；点的横坐标为或【解析】【分析】（1）利用待定系数法计算即可求解；（2）如图，根据直角三角形的三角函数得，设，则，结合二次函数的性质即可求解；（3）根据函数图象的平移变换可得，如图，则，设，则，解出m即可.【小问1详解】将点代入，得，解得，所以抛物线的解析式为；【小问2详解】延长交于点，由轴，得，当时，，即，，因为，所以，则，由，得，即.设直线的解析式为，则，解得，所以直线的解析式为；设直线的解析式为，则，解得，所以直线的解析式为.设，则，所以，，所以，当时，有最大值，此时；【小问3详解】存在点，使得.理由如下：因为抛物线沿射线方向平移个单位长度，所以抛物线向右平移1个单位长度，向上平移1个单位长度，则，在上取一点，使得，过作于，过作轴于，所以，又，所以为等腰三角形，故，则，在中，由等面积可得，得，所以，则，由题设，所以.设且m>0，则，解得或（舍）点关于轴对称的点，则，此时的横坐标为.综上，点的横坐标为或.【点睛】关键