24完整版本.1.2-垂径定理-人教版九年级上册数学课件

24.1.2垂直于弦的直径葫芦岛第六初级中学垂径定理及其推论★垂径定理·OABCDE垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.∵

CD是直径，CD⊥AB，∴

AE=BE，⌒⌒AC

=BC，⌒⌒AD=BD.★推导格式注意

垂径定理是圆中一个重要的定理，三种语言要相互转化，形成整体，才能运用自如.想一想：下列图形是否具备垂径定理的条件？如果不是，请说明为什么？是不是，因为没有垂直是不是，因为CD没有过圆心ABOCDEOABCABOEABDCOE垂径定理的几个基本图形ABOCDEABOEDABO

DCABOC

①过圆心；②垂直于弦；③平分弦；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧.上述五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论吗？思考探索如果把垂径定理（垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧）结论与题设交换一条，命题是真命题吗？

DOABEC举例证明其中一种组合方法.已知:求证：①CD是直径②CD⊥AB，垂足为E

③AE=BE④AC=BC⑤AD=BD⌒⌒⌒⌒证明猜想如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD交AB于点E，使AE=BE.（1）CD⊥AB吗？为什么？（2）·OABCDE⌒AC与BC相等吗？AD与BD相等吗？为什么？⌒⌒⌒（2）由垂径定理可得AC=BC，AD=BD.⌒⌒⌒⌒证明举例（1）连结AO，BO，则AO=BO.又AE=BE，∴△AOE≌△BOE（SSS），∴∠AEO=∠BEO=90°，∴CD⊥AB.

平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.★垂径定理的推论⌒⌒CD⊥AB,AC=BC,⌒⌒AD=BDCD是直径，

AE=BE★推导格式ＤＣＡＢＥＯ思考：“不是直径”这个条件能去掉吗？如果不能，请举出反例.·OABCD特别说明：圆的两条直径是互相平分的.·OABE解析：连结OA.∵OE⊥AB，∴AB=2AE=16cm.16∴（cm）.

如图，OE⊥AB于E，若⊙O的半径为10cm,OE=6cm,则AB=

cm.例1·OABECD解：连结OA.

∵

CE⊥AB于D，∴设OC=xcm，则OD=（x-2）cm.根据勾股定理，得解得x=5.即半径OC的长为5cm.x2=42+(x-2)2，.

如图，⊙O的弦AB＝8cm

，直径CE⊥AB于D，DC＝2cm，求半径OC的长.例2.MCDABON证明：作直径MN⊥AB.∵AB∥CD，∴MN⊥CD，∴AM＝BM，CM＝DM（垂直平分弦的直径平分弦所对的弧），∴

AM－CM＝BM－DM，∴AC＝BD.⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒

已知：⊙O中弦AB∥CD，求证：AC＝BD.⌒⌒例3

总结解决有关弦的问题，经常是过圆心作弦的弦心距，或作垂直于弦的直径，连结半径等辅助线，为应用垂径定理创造条件.实际应用

赵州桥（如图）是我国隋代建造的石拱桥，距今约有1400年的历史，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶.它的主桥拱是圆弧形，它的跨度(弧所对的弦的长)为37m，拱高(弧的中点到弦的距离)为7.23m，求赵州桥主桥拱的半径（结果保留小数点后一位）.例4ABOCD解：如图，用AB表示主桥拱，设AB所在圆的圆心为O，半径为Rm.

经过圆心O作弦AB的垂线OC，垂足为点D，与AB交于点C，连结OA，则D是AB的中点，C是AB的中点，CD就是拱高.由题设可知，AB=37m，CD=7.23m，即赵州桥的主桥拱半径约为27.3m.∴AD=AB=18.5m，OD=OC-CD=（R-7.23）m.⌒⌒⌒⌒在Rt△OAD中，由勾股定理，得OA2=AD2+OD2,∴R2=18.52+（R-7.23）2,解得R≈27.3.练一练：如图a、b,一弓形弦长为cm，弓形所在的圆的半径为7cm，则弓形的高为＿＿＿____＿.C

DCBOADOAB图a图b2cm或12cm

在圆中有关弦长a，半径r，弦心距d（圆心到弦的距离），弓形高h的计算题时，常常通过连半径或作弦心距构造直角三角形，利用垂径定理和勾股定理求解.★涉及垂径定理时辅助线的添加方法弦a，弦心距d，弓形高h，半径r之间有以下关系：★弓形中重要数量关系ABCDOhrd

d+h=r

OABC·1.已知⊙O中，弦AB=8cm，圆心到AB的距离为3cm，则此圆的半径为

.5cm2.⊙O的直径AB=20cm,∠BAC=30°，则弦AC=___.

103cm3.（分类讨论题）已知⊙O的半径为10cm，弦MN∥EF，且MN=12cm，EF=16cm，则弦MN和EF之间的距离为

____

.14cm或2cm4.如图，在⊙O中，AB，AC为互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E.求证：四边形ADOE是正方形．D·OABCE证明：∵AB⊥AC，OD⊥AB，OE⊥AC，∴四边形ADOE为矩形.又∵AC=AB，∴AE=AD，∴四边形ADOE为正方形.∴∠EAD=∠ODA=∠OEA=90°，

5.已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点.你认为AC和BD有什么关系？为什么？.ACDBOE注意

解决有关弦的问题，常过圆心作弦的弦心距，或作垂直于弦的直径，它是一种常用辅助线的添法．解：AC＝BD.理由如下：过点O作OE⊥AB，垂足为点E，则AE＝BE，CE＝DE.∴AE－CE＝BE－DE，即AC＝BD.如图，⊙O的直径为10，弦AB=8，P为AB上的一个动点，那么OP长的取值范围

.3cm≤OP≤5cmBAOP垂径定理内容推论辅助线一条直线满足:①过圆心;②垂直于弦;③平分弦（不是直径）;④平分弦所对的优弧;⑤平分弦所对的劣弧.满足其中两个条件就可以推出其他三个结论（“知二推三”）垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧两条辅助线：连半径，作弦心距构造Rt△利用勾股定理计算或建立方程基本图形及变式图形课堂总结24.1.2垂直于弦的直径一、教学目标1．探索并了解圆的对称性和垂径定理．2．能运用垂径定理解决几何证明、计算问题，并会解决一些实际问题．重点难点二、教学重难点垂径定理、推论及其应用．发现并证明垂径定理．活动1

新课导入三、教学设计1．请同学们把手中的圆对折，你会发现圆是一个什么样的图形？答：圆是轴对称图形，每一条直径所在的直线都是圆的对称轴．2．请同学们再把手中的圆沿直径向上折，折痕是圆的一条什么呢？通过观察，你能发现直径与这条折痕的关系吗？答：折痕是圆的一条弦，直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．活动2

探究新知1、探究剪一个圆形纸片，沿着它的任意一条直径对折，重复做几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？你能证明你的结论吗？通过探究可以发现，圆是对称轴图形，任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴，下面我们来证明这个结论.要证明圆是轴对称图形，只需证明圆上任意一点关于直径所在直线（对称轴）的对称点也在圆上。如图6，设CD是⊙O的任意一条直径，A为⊙O上点C，D以外的任意一点，过点A作AA’⊥CD，交⊙O于点A’，垂足为M，连接OA，

OA’.在△OAA’中，∵

OA=OA’，∴△OAA’是等腰三角形.又∵

AA’⊥CD，∴

AM=MA’即CD是AA’的垂直平分线.提出问题：(1)通过上面的折纸，圆是轴对称图形吗？有几条对称轴？(2)“圆的任意一条直径都是它的对称轴”这种说法对吗？若不对，应该怎样说？2．教材P82例2以上内容．提出问题：(1)证明了圆是轴对称图形后，观察图24.1－6，对应线段、对应弧之间有什么关系？由此可得到什么结论？(2)若把P81的条件“直径CD⊥AA′于点M”改为“直径CD平分弦AA′(不是直径)于点M”，还能证明出图形是轴对称图形吗？此时对应线段、对应弧之间有什么关系？(3)当第(2)问中的弦AA′为直径时，相关结论还成立吗？为什么？活动3

知识归纳1．圆是__对称图形，任何一条______________都是它的对称轴，它也是中心对称图形，对称中心为____．2．垂直于弦的直径____弦，并且____弦所对的两条弧，即一条直线如果满足：①_______________________________；②__________________；那么可以推出：③________；④CB＝DB；⑤CA＝DA.轴直径所在的直线圆心平分平分AB经过圆心O且与圆交于A，B两点AB⊥CD交CD于点ECE＝DE((((3．_______________的直径垂直于弦，并且____弦所对的两条弧．提出问题：“推论”里的被平分的弦为什么不能是直径？平分平分弦(不是直径)活动4

例题与练习例1赵州桥是我国隋代建造的石拱桥，距今约有1400年的历史，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶.它的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为37m，拱高（弧的中点到弦的距离）为7.23m，求赵州桥主桥拱的半径（结果保留小数点后一位）.分析：解决此问题的关键是根据赵州桥的实物图画出几何图形。解：如图8，用AB表示主桥拱，设AB所在圆的圆心为O，半径为R。经过圆心O作弦AB的垂线OC，D为垂足，OC与AB相交于点C，连接OA，根据垂径定理，D是AB的中点，C是AB的中点，CD就是拱高。由题设可知：AB=37，CD=7.23.所以AD=AB=×37=18.5.OD=OC-CD=R-7.23.在Rt△OAD中，由勾股定理，得OA²=AD²+OD²即R²=18.5²+(R-7.23)².解得R≈27.3.因此，赵州桥的主桥拱半径约为27.3m。((((例2如图，D，E分别为AB，AC的中点，DE交AB，AC于点M，N.求证：AM＝AN.证明：连接OD，OE分别交AB，AC于点F，G.∵D，E分别为AB，AC的中点，∴∠DFM＝∠EGN＝90°.∵OD＝OE，∴∠D＝∠E，∴∠DMB＝∠ENC.∵∠DMB＝∠AMN，∠ENC＝∠ANM，∴∠AMN＝∠ANM，∴AM＝AN.((((练习1．教材P83练习第1，2题．2．已知弓形的弦长为6cm，弓形的高为2cm，则这个弓形所在的圆的半径为______．

3．如图，AB为⊙O的直径，E是BC的中点，OE交BC于点D，BD＝3，AB＝10，则AC＝____．cm84．如图，⊙O中弦CD交半径OE于点A，交半径OF于点B，若OA＝OB，求证：AC＝BD.证明：过点O作OG⊥CD于点G.∵OG过圆心，∴CG＝DG.∵OA＝OB.∴AG＝BG，∴CG－AG＝DG－BG，∴AC＝BD.24.1.2垂直于弦的直径复习提问：1、什么是轴对称图形？我们在直线形中学过哪些轴对称图形？如果一个图形沿某一条直线对折，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形。常见的轴对称图形有：角、线段、等腰三角形、矩形等.2、圆是不是轴对称图形呢？圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它们的对称轴.合作探究剪一个圆形图片，沿着它的任意一条直径对折，重复做几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？你能证明你的结论吗？结论：

圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴.学生分组活动叠合法理由如下：连结AO,BO.把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆重合，点A与点B重合，AE与BE重合，AE和BE,AC和BC，AD与BD重合．⌒⌒⌒⌒验证结论可以发现：

圆是轴对称图形。任何一条直径所在直线都是它的对称轴同时，我们可以得到一条重要定理----垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.推论：

平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧问题：你知道赵州桥吗?它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m,拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m，你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？

赵州桥主桥拱的半径是多少？问题情境37.4m7.2mABOCE分析：解决此问题的关键是根据赵州桥的实物图画出几何图形解：如图，用弧AB表示主桥拱，设其坐在圆的圆心为O，半径为R经过点O作弦AB的垂线OC，D为垂足，OC与弧AB相交于点C，连接OA。根据垂径定理，D是AB的重点，C是弧AB的重点，CD就是拱高由题设可知 AB=37cmCD=7.23cm所以 AD=