习题 万有引力与宇宙航行（解析版）

清单03万有引力与宇宙航行目录TOC\o"1-1"\h\u一、开普勒行星运动定律 1二、对万有引力定律的理解及应用 1三、天体质量(密度)的估算 2四、卫星运行参量 3五、近地卫星、同步卫星和赤道上物体的区别 4六、卫星变轨与追及问题 5七、双星或多星模型 6开普勒行星运动定律定律内容图示或公式开普勒第一定律(轨道定律)所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆,太阳处在的一个焦点上开普勒第二定律(面积定律)对任意一个行星来说,它与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等开普勒第三定律(周期定律)所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等

a3T注意：①行星绕太阳的运动通常按圆轨道处理；②面积定律是对同一个行星而言的,不同的行星相等时间内扫过的面积不等；③该比值只与中心天体的质量有关,不同的中心天体值不同。对万有引力定律的理解及应用1．万有引力与重力的关系：地球对物体的万有引力F表现为两个效果：一是重力mg，二是提供物体随地球自转的向心力F向，如图所示。(1)在赤道上：Geq\f(Mm,R2)＝mg1＋mω2R。(2)在两极上：Geq\f(Mm,R2)＝mg2。(3)在一般位置：万有引力Geq\f(Mm,R2)等于重力mg与向心力F向的矢量和。越靠近南北两极g值越大。由于物体随地球自转所需的向心力较小，常认为万有引力近似等于重力，即eq\f(GMm,R2)＝mg。2．重力加速度(1)在地球表面附近的重力加速度g(不考虑地球自转)：mg＝Geq\f(Mm,R2)，得g＝eq\f(GM,R2)。(2)在地球上空距离地心r＝R＋h处的重力加速度g′：mg′＝eq\f(GMm,（R＋h）2)，得g′＝eq\f(GM,（R＋h）2)。3．万有引力的“两个推论”推论1：在匀质球壳空腔内的任意位置处，质点受到球壳的万有引力的合力为零，即∑F引＝0。推论2：在匀质球体内部距离球心r处的质点(m)受到的万有引力等于球体内半径为r的同心球体(M′)对其的万有引力，即F＝Geq\f(M′m,r2)。天体质量(密度)的估算1．重力加速度法利用天体表面的重力加速度g和天体半径R求解。(1)由Geq\f(Mm,R2)＝mg得天体质量M＝eq\f(gR2,G)。(2)天体密度ρ＝eq\f(M,V)＝eq\f(M,\f(4,3)πR3)＝eq\f(3g,4πGR)。2．天体环绕法利用卫星绕天体做匀速圆周运动的周期T和半径r求解。(1)由Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(4π2,T2)r得天体的质量M＝eq\f(4π2r3,GT2)。(2)若已知天体的半径R，则天体的密度ρ＝eq\f(M,V)＝eq\f(M,\f(4,3)πR3)＝eq\f(3πr3,GT2R3)。(3)若卫星绕天体表面运行，可认为轨道半径r等于天体半径R，则天体密度ρ＝eq\f(3π,GT2)，可见，只要测出卫星环绕天体表面运动的周期T，就可估算出中心天体的密度。卫星运行参量1．宇宙速度与运动轨迹的关系(1)v发＝7.9km/s时，卫星绕地球做匀速圆周运动。(2)7.9km/s<v发<11．2km/s，卫星绕地球运动的轨迹为椭圆。(3)11．2km/s≤v发<16.7km/s，卫星绕太阳做椭圆运动。(4)v发≥16.7km/s，卫星将挣脱太阳引力的束缚，飞到太阳系以外的空间。2．物理量随轨道半径变化的规律eq\a\vs4\al(规,律)eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al(G\f(Mm,r2)＝,（r＝R地＋h）)\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(m\f(v2,r)→v＝\r(\f(GM,r))→v∝\f(1,\r(r)),mω2r→ω＝\r(\f(GM,r3))→ω∝＝\f(1,\r(r3)),m\f(4π2,T2)r→T＝\r(\f(4π2r3,GM))→T∝\r(r3),ma→a＝\f(GM,r2)→a∝\f(1,r2))),mg＝\f(GMm,R地2)（地球表面）→GM＝gR地2))eq\a\vs4\al(越,高,越,慢)3.同步静止卫星的6个“一定”近地卫星、同步卫星和赤道上物体的区别1．近地卫星、同步卫星及赤道上物体的比较如图所示，a为近地卫星，半径为r1；b为地球同步卫星，半径为r2；c为赤道上随地球自转的物体，半径为r3。比较项目近地卫星(r1、ω1、v1、a1)同步卫星(r2、ω2、v2、a2)赤道上随地球自转的物体(r3、ω3、v3、a3)向心力万有引力万有引力万有引力的一个分力轨道半径r2>r1＝r3角速度由Geq\f(Mm,r2)＝mω2r得ω＝eq\r(\f(GM,r3))，故ω1>ω2同步卫星的角速度与地球自转角速度相同，故ω2＝ω3ω1>ω2＝ω3线速度由Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)得v＝eq\r(\f(GM,r))，故v1>v2由v＝rω得v2>v3v1>v2>v3向心加速度由Geq\f(Mm,r2)＝ma得a＝eq\f(GM,r2)，故a1>a2由a＝ω2r得a2>a3a1>a2>a32．重要条件(1)地球的公转周期为1年，其自转周期为1天(24小时)，地球半径约为6.4×103km，地球表面重力加速度g约为9.8m/s2。(2)人造地球卫星的运行半径最小为r＝6.4×103km，运行周期最小为T＝84.8min，运行速度最大v＝7.9km/s。卫星变轨与追及问题1．变轨原理及过程(1)为了节省能量，在赤道上顺着地球自转方向发射卫星到圆轨道Ⅰ上，如图所示。(2)在A点(近地点)点火加速，由于速度变大，万有引力不足以提供卫星在轨道Ⅰ上做圆周运动的向心力，卫星做离心运动进入椭圆轨道Ⅱ。(3)在B点(远地点)再次点火加速进入圆形轨道Ⅲ。2．常见变轨过程“四分析”(1)速度：设卫星在圆轨道Ⅰ和Ⅲ上运行时的速率分别为v1、v3，在轨道Ⅱ上过A点和B点时速率分别为vA、vB。在A点加速，则vA>v1，在B点加速，则v3>vB，又因v1>v3，故有vA>v1>v3>vB。(2)加速度：因为在A点，卫星只受到万有引力作用，故不论从轨道Ⅰ还是轨道Ⅱ上经过A点，卫星的加速度都相同，同理，经过B点时加速度也相同。(3)周期：设卫星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道上的运行周期分别为T1、T2、T3，轨道半径分别为r1、r2(半长轴)、r3，由开普勒第三定律eq\f(r3,T2)＝k可知T1<T2<T3。(4)机械能：在一个确定的圆(椭圆)轨道上机械能守恒。若卫星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道的机械能分别为E1、E2、E3，则E1<E2<E3。3.绕同一中心天体，在同一轨道平面内不同高度上同向运行的卫星，因运行周期的不同，两颗卫星有时相距最近，有时又相距最远，这就是天体中的“追及相遇”问题。相距最远当两卫星位于和中心天体连线的半径上两侧时，两卫星相距最远，从运动关系上，两卫星运动关系应满足(ωA－ωB)t′＝(2n－1)π(n＝1,2,3，…)相距最近两卫星的运转方向相同，且位于和中心天体连线的半径上同侧时，两卫星相距最近，从运动关系上，两卫星运动关系应满足(ωA－ωB)t＝2nπ(n＝1,2,3，…)双星或多星模型1．双星模型(1)模型构建：绕公共圆心转动的两个星体组成的系统，我们称之为双星系统，如图所示。(2)特点：①各自所需的向心力由彼此间的万有引力提供，即eq\f(Gm1m2,L2)＝m1ω12r1，eq\f(Gm1m2,L2)＝m2ω22r2②两颗星的周期及角速度都相同，即T1＝T2，ω1＝ω2。③两颗星的轨道半径与它们之间的距离关系为：r1＋r2＝L。2．多星模型(1)模型构建：所研究星体的万有引力的合力提供做圆周运动的向心力，除中央星体外，各星体的角速度或周期相同。(2)三星模型：①三颗星体位于同一直线上，两颗质量相等的环绕星围绕中央星在同一半径为R的圆形轨道上运行(如图甲所示)。②三颗质量均为m的星体位于等边三角形的三个顶点上(如图乙所示)。(3)四星模型：①其中一种是四颗质量相等的星体位于正方形的四个顶点上，沿着外接于正方形的圆形轨道做匀速圆周运动(如图丙所示)。②另一种是三颗质量相等的星体始终位于正三角形的三个顶点上，另一颗位于中心O，外围三颗星绕O做匀速圆周运动(如图丁所示)。1．开普勒研究火星轨道时，多次按行星绕太阳做匀速圆周运动的观点来计算的结果都与第谷的观测数据有所误差，据此推理出行星的运动并非匀速圆周运动，最终推理出了行星运动的三个定律。下列关于开普勒行星运动定律的说法正确的是（）A．所有行星绕太阳运动的轨迹都是椭圆，且太阳处于椭圆的中心处B．同一行星与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等C．开普勒行星运动定律只适用于做椭圆运动的行星D．开普勒行星运动定律的基础是地心说【答案】B【详解】A．根据开普勒第一定律有，所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上，故A错误；B．根据开普勒第二定律可知，同一行星与太阳连线在相等的时间内扫过相等的面积，故B正确；C．开普勒行星运动定律即适用于做椭圆运动的行星也适用与绕天体做圆周运动的其他物体或行星，例如卫星绕行星的圆周运动，故C错误；D．开普勒行星运动定律是建立在哥白尼的日心说上的，故D错误。故选B。2．2024年4月中下旬，太阳系中被称为“恶魔彗星”的庞士-布鲁克斯彗星即将到达近日点，届时在视野良好的情况下可以通过肉眼观测到该彗星。如图所示，已知地球的公转轨道半径为1AU（AU为天文单位），该彗星的运行轨道近似为椭圆，其近日点与远日点之间的距离约为34AU，则这颗彗星绕太阳公转的周期约为（

）A．17年 B．年 C．34年 D．年【答案】B【详解】设地球的轨道半径为,公转周期为，彗星的轨道半径为，公转周期为，根据开普勒第三定律可知其中解得年B正确。故选B。3．山东威海是我国位于北纬37°的城市之一，若威海市某相对地球静止的飞机（可视为质点）随地球自转的速度大小为v，地球北极表面的重力加速度大小为g0，地球半径为R，该飞机的质量为m，将地球视为质量均匀分布的球体，sin37°=0.6，cos37°=0.8，则该飞机静止在赤道上时受到的重力大小为（）A． B．C． D．【答案】A【详解】设地球的自转周期为T，则解得在北极，由万有引力等于重力得在赤道，由牛顿第二定律得该飞机静止在赤道上时受到的重力大小为故选A。4．中国科学院沈阳自动化研究所主持研制的“海斗一号”在无缆自主模式下刷新了中国下潜深度纪录，最大下潜深度超过了10000米，若把地球看成质量分布均匀的球体，且球壳对球内任一质点的万有引力为零，忽略地球的自转，则下列关于“海斗一号”下潜所在处的重力加速度大小g和下潜深度h的关系图像可能正确的是（

）A． B．C． D．【答案】D【详解】设地球的质量为M，地球的半径为R，“海斗一号”下潜h深度后，以地心为球心、以R-h为半径的地球的质量为M'，则根据密度相等有由于球壳对球内任一质点的万有引力为零，根据万有引力定律有联立以上两式并整理可得故D正确，ABC错误。故选D。5．我国计划在2030年前实现载人登陆月球开展科学探索，其后将探索建造月球科研试验站，开展系统、连续的月球探测和相关技术试验验证。若航天员在月球表面附近高h处以初速度水平抛出一个小球，测出小球运动的水平位移大小为L。若月球可视为均匀的天体球，已知月球半径为R，引力常量为G，则下列说法正确的是（）A．月球表面的重力加速度 B．月球的质量C．月球的第一宇宙速度 D．月球的平均密度【答案】D【详解】A．由平抛运动特点可得由以上两式得月球表面的重力加速度故A错误；B．由万有引力等于重力得将代入上式得月球的质量故B错误；C．由牛顿第二定律得将代入上式得月球的第一宇宙速度故C错误；D．月球的平均密度故D正确。故选D。6．中国天宫号空间站正常绕地运行的轨道可视为圆形，轨道平面与赤道平面夹角为，轨道离地高约400km，每天绕地球约转16圈，绕行方向自西向东。地球半径约为6400km，下列说法正确的是（）A．空间站中的宇航员受地球的引力约为其在地面时的B．空间站绕地运行的角速度比地面上物体随地球自转的角速度小C．空间站连续两次经过我国某城市上方的时间间隔约为1.5hD．空间站绕地运行的速度比月球绕地运行的速度小【答案】A【详解】A．在地球表面有在空间站有整理有故A项正确；B．由于空间站每天绕地球约转16圈，所以其周期约为而地球上的物体转一圈的周期为24h，由周期与角速度的关系有由于空间站的周期小，所以空间的角速度大于在地球上物体的角速度，故B项错误；C．由于空间站的周期为1.5h，地球的周期为24h，但是又由于空间站轨道平面与赤道所在平面不共面，所以每次空间站转16圈，中国某城市相对于空间站回到了出发位置，即空间站连续两次经过我国某城市上方的时间间隔约为24h，故C项错误；D．由于整理有由于空间站距离地心的距离比月球小，故其绕行速度比月球的大，故D项错误。故选A。7．我国是第三个同时拥有静止气象卫星和极轨气象卫星的国家。静止气象卫星是一种同步卫星；极轨气象卫星轨道为圆形，其轨道平面与地球赤道平面垂直，则（）A．极轨气象卫星和静止气象卫星的线速度都小于B．极轨气象卫星受地球的万有引力一定大于静止气象卫星受地球的万有引力C．极轨气象卫星和静止气象卫星轨道中心不在同一点D．极轨气象卫星和静止气象卫星与地心的连线单位时间扫过的面积相等【答案】A【详解】A．是地球第一宇宙速度，指物体在地面附近绕地球做匀速圆周运动的速度。由卫星运行速度公式知由于极轨气象卫星和静止气象卫星离地面有一定高度，做圆周运动半径大于，则可知线速度越小，如果大于第一宇宙速度卫星轨道会变成椭圆，A正确；B．由于卫星质量关系不知，则无法比较极轨气象卫星受地球的万有引力与静止气象卫星受地球的万有引力的大小关系，B错误；C．极轨气象卫星和静止气象卫星轨道中心都在地球的地心上，C错误；D．由开普勒第二定律可知，极轨气象卫星与地心的连线在每秒内扫过的面积相等；静止气象卫星与地心的连线在每秒内扫过的面积相等，但前后两者不相等，D错误；故选A。8．有a、b、c、d四颗地球卫星，a还未发射，在地球赤道上随地球表面一起转动，b处于地面附近近地轨道上正常运动，c是地球同步卫星，d是高空探测卫星，各卫星排列位置如图，则有（）A．a的向心加速度等于重力加速度g B．b在相同时间内转过的弧长最长C．a的线速度大于b的线速度 D．d的运动周期有可能是22h【答案】B【详解】A．同步卫星的周期与地球自转周期相同，角速度相同，则知a与c的角速度相同，根据可知c的向心加速度大于a的向心加速度。卫星绕地球做匀速圆周运动时，由得卫星的轨道半径越大，向心加速度越小，则同步卫星c的向心加速度小于b的向心加速度，而b的向心加速度约为g，故可知a的向心加速度小于重力加速度g，故A错误；BC．a与c的角速度相同，根据可知c的线速度大于a的线速度；卫星绕地球做匀速圆周运动时，由可得卫星的半径越大，速度越小，所以a、b、c、d四颗卫星中，b的线速度最大，在相同时间内转过的弧长最长，故B正确，C错误；D．由开普勒第三定律可知卫星的半径越大，周期越大，所以d的运动周期大于c的周期24h，不可能为22h，故D错误。故选B。9．木星有众多卫星，木卫三是其中最大的一颗，其直径大于行星中的水星。假设木卫三绕木星做匀速圆周运动的轨道半径为r1，运行周期为T1，木星半径为R。已知行星与卫星间引力势能的表达式为

，r为行星与卫星的中心距离，则木星的第二宇宙速度为（）A． B． C． D．【答案】D【详解】设木星的质量为M,木卫三的质量为m，卫星在运动的时候万有引力提供向心力，有得设木星的第二宇宙速度为v，卫星在木星表面上的势能为Ep，该卫星的质量为，则设木星的第二宇宙速度为v，该卫星在木星表面以第二宇宙速度运动可以运动到离木星无穷远的位置。根据能量守恒有联立方程计算得故选D。10．2019年1月15日，嫦娥四号生物科普试验载荷项目团队发布消息称停留在月球上的“嫦娥四号”探测器上的一颗棉花种子已经发芽，这是人类首次在月球上进行生物生长实验。如图所示，“嫦娥四号”先在环月圆轨道Ⅰ上运动，接着在Ⅰ上的A点实施变轨进入近月的椭圆轨道Ⅱ，再由近月点B实施近月制动，最后成功登陆月球，下列说法正确的是（）A．“嫦娥四号”绕轨道Ⅱ运行的周期小于绕轨道Ⅰ运行的周期B．“嫦娥四号”沿轨道Ⅰ运动至A时，需加速才能进入轨道ⅡC．“嫦娥四号”沿轨道Ⅱ运行时，在A点的加速度大小大于在B点的加速度大小D．“嫦娥四号”在轨道Ⅱ上由A点运行到B点的过程，速度逐渐减小【答案】A【详解】A．根