专题12 二次函数的图像性质和实际应用（5大考点）2022-2024中考数学真题分类汇编（全国用）（解析版）

第第页试卷第=page2424页，共=sectionpages2525页专题12二次函数（5大考点）（解析版）【考点归纳】TOC\o"1-2"\h\z\u一、考点01二次函数的图像和性质 1二、考点02二次函数图像和系数的关系 33三、考点03二次函数的最值 51四、考点04二次函数与方程不等式 71五、考点05实际问题与二次函数 95考点01二次函数的图像和性质一、考点01二次函数的图像和性质1．（2024·广东·中考真题）若点都在二次函数的图象上，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题考查了二次函数的图象和性质、二次函数图象上点的坐标特征等知识点，根据二次函数的解析式得出函数图象的对称轴是y轴（直线），图象的开口向上，在对称轴的右侧，y随x的增大而增大，再比较即可．【详解】解∶二次函数的对称轴为y轴，开口向上，∴当时，y随x的增大而增大，∵点都在二次函数的图象上，且，∴，故选∶A．2．（2023·辽宁沈阳·中考真题）二次函数图象的顶点所在的象限是（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】B【详解】根据抛物线，可以写出该抛物线的顶点坐标，从而可以得到顶点在第几象限．解：，顶点坐标为，顶点在第二象限．故选：．【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键．3．（2023·陕西·中考真题）在平面直角坐标系中，二次函数（为常数）的图像经过点，其对称轴在轴左侧，则该二次函数有（

）A．最大值 B．最大值 C．最小值 D．最小值【答案】D【分析】将代入二次函数解析式，进而得出的值，再利用对称轴在轴左侧，得出，再利用二次函数的顶点式即可求出二次函数最值．【详解】解：将代入二次函数解析式得：，解得：，，∵二次函数，对称轴在轴左侧，即，∴，∴，∴，∴当时，二次函数有最小值，最小值为，故选：．【点睛】此题主要考查了二次函数的性质以及二次函数的最值，正确得出的值是解题关键．4．（2023·甘肃兰州·中考真题）已知二次函数，下列说法正确的是（

）A．对称轴为 B．顶点坐标为 C．函数的最大值是－3 D．函数的最小值是－3【答案】C【分析】根据二次函数的图象及性质进行判断即可．【详解】二次函数的对称轴为，顶点坐标为∵∴二次函数图象开口向下，函数有最大值，为∴A、B、D选项错误，C选项正确故选：C【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数图象和性质是解题的关键．5．（2023·广东·中考真题）如图，抛物线经过正方形的三个顶点A，B，C，点B在轴上，则的值为（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】连接，交y轴于点D，根据正方形的性质可知，然后可得点，进而代入求解即可．【详解】解：连接，交y轴于点D，如图所示：

当时，则，即，∵四边形是正方形，∴，，∴点，∴，解得：，故选B．【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质及正方形的性质，熟练掌握二次函数的图象与性质及正方形的性质是解题的关键．6．（2024·内蒙古·中考真题）下列说法中，正确的个数有（

）①二次函数的图象经过两点，m，n是关于x的元二次方程的两个实数根，且，则恒成立．②在半径为r的中，弦互相垂直于点P，当时，则．③为平面直角坐标系中的等腰直角三角形且，点A的坐标为，点B的坐标为，点C是反比例函数的图象上一点，则．④已知矩形的一组邻边长是关于x的一元二次方程的两个实数根，且矩形的周长值与面积值相等，则矩形的对角线长是．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【分析】利用二次函数与一元二次方程的关系及二次函数的图象和性质即可判断①；过点O作，垂足分别为M，N，连接，先证明四边形是矩形，再利用勾股定理，垂径定理求解即可判断②；先证明，进而得出点C的坐标，即可求解，进而判断③；先由一元二次方程根与系数的关系得出的值，再根据题意得出一元二次方程，求出a的值，进而求解即可判断④．【详解】∵二次函数的图象经过两点，∴当时，，∵m，n是关于x的元二次方程的两个实数根，且，∴，故①正确；如图，过点O作，垂足分别为M，N，连接，∴M、N分别为的中点，，∵弦互相垂直，∴四边形是矩形，∴，∴，∴，∴，同理可得，∴，故②正确；当点C在第一象限时，过点C作于点D，∴，∴，∴，∵，∴，∵点A的坐标为1,0，点B的坐标为，∴，∴，∴∵点C是反比例函数的图象上一点，∴；当点C在第二象限时，同理可得∴；综上，或，故③错误；设矩形两边分别为m，n，∵矩形的一组邻边长是关于x的一元二次方程的两个实数根，且矩形的周长值与面积值相等，∴，∴，解得（负舍），∴，∵矩形对角线，故④正确；综上，正确的个数有3个，故选：C．【点睛】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，二次函数的图象和性质，勾股定理，垂径定理，全等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，反比例函数的解析式，一元二次方程根与系数的关系等，熟练掌握知识点是解题的关键．7．（2024·江苏无锡·中考真题）已知是的函数，若存在实数，当时，的取值范围是．我们将称为这个函数的“级关联范围”．例如：函数，存在，，当时，，即，所以是函数的“2级关联范围”．下列结论：①是函数的“1级关联范围”；②不是函数的“2级关联范围”；③函数总存在“3级关联范围”；④函数不存在“4级关联范围”．其中正确的为（

）A．①③ B．①④ C．②③ D．②④【答案】A【分析】本题考查了新定义，一次函数的性质，反比例函数的性质，二次函数的性质．推出在时，，即，即可判断①；推出在时，，即，即可判断②；③设当，则，当函数存在“3级关联范围”时，整理得，即可判断③；设，则，当函数存在“4级关联范围”时，，求出m和n的值，即可判断④．【详解】解：①当时，，当时，，∵，∴y随x的增大而减小，∴在时，，即，∴是函数的“1级关联范围”；故①正确，符合题意；②当时，，当时，，∵对称轴为y轴，，∴当时，y随x的增大而增大，∴在时，，即，∴是函数的“2级关联范围”，故②不正确，不符合题意；③∵，∴该反比例函数图象位于第一象限，且在第一象限内，y随x的增大而减小．设当，则，当函数存在“3级关联范围”时，整理得：，∵，，∴总存在，∴函数总存在“3级关联范围”；故③正确，符合题意；④函数的对称轴为，∵，∴当时，y随x的增大而增大，设，则，当函数存在“4级关联范围”时，，解得：，∴是函数的“4级关联范围”，∴函数存在“4级关联范围”，故④不正确，不符合题意；综上：正确的有①③，故选：A．8．（2024·山东东营·中考真题）已知抛物线的图像如图所示，则下列结论正确的是（

）A． B．C． D．(为任意实数)【答案】D【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，熟知二次函数的图象和性质及巧用数形结合的思想是解题的关键；由图象可知：，，根据抛物线的与x轴的交点可求对称轴，根据对称轴及a与b的符号关系可得，则可判断选项A、B、C，由当时，函数有最大值，可判断选项D．【详解】解：A、抛物线开口往下，，抛物线与y轴交于正半轴，抛物线的与x轴的交点是：和1,0∴对称轴为，，，，故选项A错误．∵，∴，故选项B错误（否则可得，不合题意）．，，∴，故选项C错误．抛物线的对称轴为直线，且开口向下，当时，函数值最大为，当时，，，，故选项D正确．故选：D．9．（2024·陕西·中考真题）已知一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值如下表，x…035…y…0…则下列关于这个二次函数的结论正确的是（）A．图象的开口向上 B．当时，y的值随x的值增大而增大C．图象经过第二、三、四象限 D．图象的对称轴是直线【答案】D【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质．先利用待定系数法求得二次函数解析式，再根据二次函数的性质逐一判断即可．【详解】解：由题意得，解得，∴二次函数的解析式为，∵，∴图象的开口向下，故选项A不符合题意；图象的对称轴是直线，故选项D符合题意；当时，y的值随x的值增大而增大，当x>1时，y的值随x的值增大而减小，故选项B不符合题意；∵顶点坐标为且经过原点，图象的开口向下，∴图象经过第一、三、四象限，故选项C不符合题意；故选：D．10．（2024·内蒙古包头·中考真题）将抛物线向下平移2个单位后，所得新抛物线的顶点式为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题主要考查了二次函数的平移以及顶点式，根据平移的规律“上加下减．左加右减”可得出平移后的抛物线为，再把化为顶点式即可．【详解】解：抛物线向下平移2个单位后，则抛物线变为，∴化成顶点式则为，故选：A．11．（2024·四川广元·中考真题）如图，已知抛物线过点与x轴交点的横坐标分别为，，且，，则下列结论：①；②方程有两个不相等的实数根；③；④；⑤．其中正确的结论有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【分析】本题考查的是二次函数的图象与性质，熟练的利用数形结合的方法解题是关键；由当时，，可判断①，由函数的最小值，可判断②，由抛物线的对称轴为直线，且，可判断③，由时，，当时，，可判断④，由根与系数的关系可判断⑤；【详解】解：①抛物线开口向上，，，∴当时，，故①不符合题意；②∵抛物线过点，∴函数的最小值，∴有两个不相等的实数根；∴方程有两个不相等的实数根；故②符合题意；③∵，，∴抛物线的对称轴为直线，且，∴，而，∴，∴，故③不符合题意；④∵抛物线过点，∴，∵时，，即，当时，，∴，∴，∴，故④符合题意；⑤∵，，∴，由根与系数的关系可得：，，∴∴，∴，故⑤符合题意；故选：C．12．（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如图，二次函数的图象与轴交于，，其中．结合图象给出下列结论：

①；②；③当x>1时，随的增大而减小；④关于的一元二次方程的另一个根是；⑤的取值范围为．其中正确结论的个数是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据二次函数的图象与性质判断结论①②③正误；由二次函数与一元二次方程的关系判断结论④；利用结论④及题中条件可求得的取值范围，再由结论②可得取值范围，判断⑤是否正确．【详解】解：由图可得：，对称轴，，，①错误；由图得，图象经过点，将代入y=ax2+bx+c可得，，②正确；该函数图象与轴的另一个交点为，且，对称轴，该图象中，当时，随着的增大而减小，当时，随着的增大而增大，当x>1时，随着的增大而减小，③正确；，，关于的一元二次方程的根为，，，，④正确；，即，解得，即，，，⑤正确．综上，②③④⑤正确，共个．故选：．【点睛】本题考查的知识点是二次函数的图象与性质、抛物线与轴的交点问题、一元二次方程的根与系数的关系、二次函数与不等式的关系等知识，解题关键是熟练掌握二次函数的图象与性质．13．（2024·贵州·中考真题）如图，二次函数的部分图象与x轴的一个交点的横坐标是，顶点坐标为，则下列说法正确的是（

）

A．二次函数图象的对称轴是直线B．二次函数图象与x轴的另一个交点的横坐标是2C．当时，y随x的增大而减小D．二次函数图象与y轴的交点的纵坐标是3【答案】D【分析】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求二次函数解析式，利用二次函数的性质，对称性，增减性判断选项A、B、C，利用待定系数法求出二次函数的解析式，再求出与y轴的交点坐标即可判定选项D．【详解】解∶∵二次函数的顶点坐标为，∴二次函数图象的对称轴是直线，故选项A错误；∵二次函数的图象与x轴的一个交点的横坐标是，对称轴是直线，∴二次函数图象与x轴的另一个交点的横坐标是1，故选项B错误；∵抛物线开口向下，对称轴是直线，∴当时，y随x的增大而增大，故选项C错误；设二次函数解析式为，把代入，得，解得，∴，当时，，∴二次函数图象与y轴的交点的纵坐标是3，故选项D正确，故选D．14．（2024·湖北·中考真题）抛物线的顶点为，抛物线与轴的交点位于轴上方．以下结论正确的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查了二次函数的性质以及二次函数图像与系数的关系．根据二次函数的解析式结合二次函数的性质，画出草图，逐一分析即可得出结论．【详解】解：根据题意画出函数的图像，如图所示：∵开口向上，与轴的交点位于轴上方，∴，，∵抛物线与轴有两个交点，∴，∵抛物线的顶点为，∴，观察四个选项，选项C符合题意，故选：C．15．（2024·福建·中考真题）已知二次函数的图象经过，两点，则下列判断正确的是（

）A．可以找到一个实数，使得 B．无论实数取什么值，都有C．可以找到一个实数，使得 D．无论实数取什么值，都有【答案】C【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据题意得到二次函数开口向上，且对称轴为，顶点坐标为，再分情况讨论，当时，当时，，的大小情况，即可解题．【详解】解：二次函数解析式为，二次函数开口向上，且对称轴为，顶点坐标为，当时，，当时，，，当时，，，故A、B错误，不符合题意；当时，，由二次函数对称性可知，，当时，，由二次函数对称性可知，，不一定大于，故C正确符合题意；D错误，不符合题意；故选：C．16．（2024·四川泸州·中考真题）已知二次函数（x是自变量）的图象经过第一、二、四象限，则实数a的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】本题考查了二次函数图象与性质．利用二次函数的性质，抛物线与轴有2个交点，开口向上，而且与轴的交点不在负半轴上，然后解不等式组即可．【详解】解：二次函数图象经过第一、二、四象限，设抛物线与轴两个交点的横坐标分别为，由题意可得解得．故选：A．17．（2024·内蒙古通辽·中考真题）关于抛物线（是常数），下列结论正确的是（填写所有正确结论的序号）．①当时，抛物线的对称轴是轴；②若此抛物线与轴只有一个公共点，则；③若点，在抛物线上，则；④无论为何值，抛物线的顶点到直线的距离都等于．【答案】①④/④①【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质．①把代入解析式，即可判断；②利用一元二次方程根的判别式，即可判断；③把抛物线解析式化为顶点式可得抛物线的对称轴为直线，再由二次函数的性质，即可判断；④根据题意可得抛物线的顶点坐标在直线上，即可判断．【详解】解：当时，，此时抛物线的对称轴是轴，故①正确；∵此抛物线与轴只有一个公共点，∴方程的有两个相等的实数根，∴，解得：，故②错误；∵，∴抛物线的对称轴为直线，∵，∴离对称轴距离越远的点的纵坐标越大，∵点，在抛物线上，且，∴，故③错误；∵，∴抛物线的顶点坐标为，∴抛物线的顶点坐标在直线上，如图，过点A作直线于点B，则点，，，∴是等腰直角三角形，∴，即抛物线的顶点到直线的距离都等于，故④正确．故答案为：①④18．（2023·广东广州·中考真题）已知点，在抛物线上，且，则．（填“<”或“>”或“=”）【答案】【分析】先求出抛物线的对称轴，然后根据二次函数的性质解决问题．【详解】解：的对称轴为y轴，∵，∴开口向上，当时，y随x的增大而增大，∵，∴．故答案为：．【点睛】本题主要考查了二次函数的增减性，解题的关键是根据抛物表达式得出函数的开口方向和对称轴，从而分析函数的增减性．19．（2024·江苏镇江·中考真题）对于二次函数（a是常数），下列结论：①将这个函数的图像向下平移3个单位长度后得到的图像经过原点；②当时，这个函数的图像在函数图像的上方；③若，则当时，函数值y随自变量x增大而增大；④这个函数的最小值不大于3．其中正确的是（填写序号）．【答案】①②④【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的最值，一次函数图象上点的坐标特征，掌握二次函数的性质，数形结合是解题的关键．根据平移的规律顶点平移后的函数解析式即可判断①；确定抛物线与直线没有交点，且开口向上即可判断②；利用函数的性质即可判断③；求得顶点坐标即可判断④．【详解】解：将二次函数是常数）的图象向下平移3个单位长度后得到，当时，，平移后的函数的图象经过原点，故①正确；当时，则，令，即，，抛物线与直线没有交点，抛物线开口向上，当时，这个函数的图象在函数图象的上方；故②正确；二次函数是常数），开口向上，对称轴为直线，当时，函数值随自变量增大而增大，故③错误；，顶点为，，故④正确．故答案为：①②④．20．（2024·黑龙江大庆·中考真题）定义：若一个函数图象上存在纵坐标是横坐标2倍的点，则把该函数称为“倍值函数”，该点称为“倍值点”．例如：“倍值函数”，其“倍值点”为．下列说法不正确的序号为．①函数是“倍值函数”；②函数的图象上的“倍值点”是和；③若关于x的函数的图象上有两个“倍值点”，则m的取值范围是；④若关于x的函数的图象上存在唯一的“倍值点”，且当时，n的最小值为k，则k的值为．【答案】①③④【分析】本题考查了新定义问题，二次函数的图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，二次函数的最值问题．根据“倍值函数”的定义，逐一判断即可．【详解】解：①函数中，令，则，无解，故函数不是“倍值函数”，故①说法错误；②函数中，令，则，解得或，经检验或都是原方程的解，故函数的图象上的“倍值点”是和，故②说法正确；③在中，令，则，整理得，∵关于x的函数的图象上有两个“倍值点”，∴且，解得且，故③说法错误；④在中，令，则，整理得，∵该函数的图象上存在唯一的“倍值点”，∴，整理得，∴对称轴为，此时n的最小值为，根据题意分类讨论，，解得；，无解；，解得或（舍去），综上，k的值为0或，故④说法错误；故答案为：①③④．21．（2024·湖北武汉·中考真题）抛物线（a，b，c是常数，）经过，两点，且．下列四个结论：①；②若，则；③若，则关于x的一元二次方程无实数解；④点，在抛物线上，若，，总有，则．其中正确的是（填写序号）．【答案】②③④【分析】本题考查了二次函数的性质，根据题意可得抛物线对称轴，即可判断①，根据−1,1，两点之间的距离大于，即可判断②，根据抛物线经过−1,1得出，代入顶点纵坐标，求得纵坐标的最大值即可判断③，根据④可得抛物线的对称轴，解不等式，即可求解．【详解】解：∵（a，b，c是常数，）经过−1,1，两点，且．∴对称轴为直线，，∵，∴，故①错误，∵∴，即−1,1，两点之间的距离大于又∵∴时，∴若，则，故②正确；③由①可得，∴，即，当时，抛物线解析式为设顶点纵坐标为∵抛物线（a，b，c是常数，）经过−1,1，∴∴∴∵，，对称轴为直线，∴当时，取得最大值为，而，∴关于x的一元二次方程无解，故③正确；④∵，抛物线开口向下，点Ax1,y1，Bx2,又，∴点Ax1,∴对称轴解得：，故④正确．故答案为：②③④．22．（2024·上海·中考真题）对于一个二次函数（）中存在一点，使得，则称为该抛物线的“开口大小”，那么抛物线“开口大小”为．【答案】4【分析】本题考查新定义运算与二次函数综合，涉及二次函数性质、分式化简求值等知识，读懂题意，理解新定义抛物线的“开口大小”，利用二次函数图象与性质将一般式化为顶点式得到，按照定义求解即可得到答案，熟记二次函数图象与性质、理解新定义是解决问题的关键．【详解】解：根据抛物线的“开口大小”的定义可知中存在一点，使得，则，，中存在一点，有，解得，则，抛物线“开口大小”为，故答案为：．23．（2024·安徽·中考真题）已知抛物线（b为常数）的顶点横坐标比抛物线的顶点横坐标大1．(1)求b的值；(2)点在抛物线上，点在抛物线上．（ⅰ）若，且，，求h的值；（ⅱ）若，求h的最大值．【答案】(1)b=4(2)（ⅰ）3；（ⅱ）【分析】题目主要考查二次函数的性质及化为顶点式，解一元二次方程，理解题意，熟练掌握二次函数的性质是解题关键．（1）根据题意求出的顶点为，确定抛物线（b为常数）的顶点横坐标为2，即可求解；（2）根据题意得出，，然后整理化简；（ⅰ）将代入求解即可；（ⅱ）将代入整理为顶点式，即可得出结果．【详解】（1）解：，∴的顶点为，∵抛物线（b为常数）的顶点横坐标比抛物线的顶点横坐标大1，∴抛物线（b为常数）的顶点横坐标为2，∴，∴b=4；（2）由（1）得∵点Ax1,y1在抛物线上，点∴，，整理得：（ⅰ）∵，∴，整理得：，∵，，∴，∴；（ⅱ）将代入，整理得，∵，∴当，即时，h取得最大值为．24．（2024·内蒙古·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线经过点．(1)若，则_________，通过配方可以将其化成顶点式为_________；(2)已知点在抛物线上，其中．若且，比较与的大小关系，并说明理由；(3)若，将抛物线向上平移4个单位得到的新抛物线与直线交于A，B两点，直线与y轴交于点C，点E为中点，过点E作x轴的垂线，垂足为点F，连接，．求证：．【答案】(1)2，(2)，理由见解析(3)证明见解析【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、二次函数图象的平移、两点之间的距离公式等知识，熟练掌握二次函数的性质是解题关键．（1）将点代入二次函数的解析式即可得的值，再利用完全平方公式进行配方，化成顶点式即可得；（2）先求出，从而可得抛物线的对称轴，再求出，得出点到对称轴的距离大于到对称轴的距离，然后根据抛物线的开口向上即可得；（3）先分别求出点的坐标，再利用两点之间的距离公式即可得证．【详解】（1）解：∵抛物线经过点，且，∴将点代入得：，解得，则化成顶点式为，故答案为：2，．（2）解：，理由如下：∵抛物线经过点，∴，∵，∴，即，二次函数的对称轴为直线，，∴，∴，又∵，∴点到对称轴的距离大于到对称轴的距离，又∵抛物线的开口向上，∴．（3）证明：若，则，将向上平移4个单位得到新抛物线，∵抛物线与直线交于点，∴设点的坐标为，将代入得：，∴，∵点为中点，∴，轴于点，，∴，，∴．25．（2024·吉林长春·中考真题）在平面直角坐标系中，点是坐标原点，抛物线（是常数）经过点．点、是该抛物线上不重合的两点，横坐标分别为、，点的横坐标为，点的纵坐标与点的纵坐标相同，连结、．(1)求该抛物线对应的函数表达式；(2)求证：当取不为零的任意实数时，的值始终为2；(3)作的垂直平分线交直线于点，以为边、为对角线作菱形，连结．①当与此抛物线的对称轴重合时，求菱形的面积；②当此抛物线在菱形内部的点的纵坐标随的增大而增大时，直接写出的取值范围．【答案】(1)(2)见详解(3)①；②或或【分析】（1）将代入，解方程即可；（2）过点B作于点H，由题意得，则，，因此；（3）①记交于点M，，而对称轴为直线，则，解得：，则，，由，得，则，因此；②分类讨论，数形结合，记抛物线顶点为点F，则，故菱形中只包含在对称轴右侧的抛物线，当时，符合题意；当m继续变大，直至当直线经过点F时，符合题意，过点F作于点Q，由，得到，解得：或（舍），故，当时，发现此时菱形包含了对称轴左侧的抛物线，不符合题意；当时，符合题意：当m继续变小，直至点A与点F重合，此时，故；当m继续变小，直线经过点F时，也符合题意，过点F作于点Q，同上可得，，解得：或（舍），当m继续变小时，仍符合题意，因此，故m的取值范围为：或或．【详解】（1）解：将代入，得：，解得：，∴抛物线表达式为：；（2）解：过点B作于点H，则，由题意得：，∴，，∴在中，；（3）解：①如图，记交于点M，由题意得，，由，得：对称轴为直线：∵四边形是菱形，∴点A、C关于对称，，∵与此抛物线的对称轴重合，∴，解得：，∴，∴∴，∵，∴，则，∴；②记抛物线顶点为点F，把代入，得：，∴，∵抛物线在菱形内部的点的纵坐标随的增大而增大，∴菱形中只包含在对称轴右侧的抛物线，当时，如图，符合题意，当m继续变大，直至当直线经过点F时，符合题意，如图：过点F作于点Q，∵四边形是菱形，∴，∴，∴，∴，解得：或（舍），∴，当时，如图，发现此时菱形包含了对称轴左侧的抛物线，不符合题意；当时，如图，符合题意：当m继续变小，直至点A与点F重合，此时，符合题意，如图：∴；当m继续变小，直至直线经过点F时，也符合题意，如图：过点F作于点Q，同上可得，，∴，解得：或（舍），当m继续变小时，仍符合题意，如图：∴，综上所述，m的取值范围为：或或．【点睛】本题考查了抛物线与几何的综合，菱形的性质，待定系数法求函数解析式，求锐角的正切值，正确理解题意，利用数形结合的思想，找出临界状态是解决本题的关键．二、考点02二次函数图像和系数的关系26．（2024·内蒙古·中考真题）在同一平面直角坐标系中，函数和的图象大致如图所示，则函数的图象大致为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题考查了一次函数、反比例函数、二次函数的图象，熟练掌握各函数的图象特点是解题关键．先根据一次函数与反比例函数的图象可得，，再根据二次函数的图象特点即可得．【详解】解：∵一次函数的图象经过第一、二、四象限，∴，即，∵反比例函数的图象位于第二、四象限，∴，即，∴函数的开口向下，与轴的交点位于轴的正半轴，对称轴为直线，故选：D．27．（2024·广东广州·中考真题）函数与的图象如图所示，当（

）时，，均随着的增大而减小．A． B． C． D．【答案】D【分析】本题考查了二次函数以及反比例函数的图象和性质，利用数形结合的思想解决问题是关键．由函数图象可知，当时，随着的增大而减小；位于在一、三象限内，且均随着的增大而减小，据此即可得到答案．【详解】解：由函数图象可知，当时，随着的增大而减小；位于一、三象限内，且在每一象限内均随着的增大而减小，当时，，均随着的增大而减小，故选：D．28．（2024·山东泰安·中考真题）如图所示是二次函数的部分图象，该函数图象的对称轴是直线，图象与轴交点的纵坐标是2，则下列结论：①；②方程一定有一个根在和之间；③方程一定有两个不相等的实数根；④．其中，正确结论的个数有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【分析】本题主要考查的是图象法求一元二次方程的近似值、抛物线与x轴的交点、二次函数图象与系数的关系、二次函数与方程的关系等知识点，掌握二次函数的性质、二次函数图象与系数的关系是解题的关键．根据抛物线与坐标轴的交点情况、二次函数与方程的关系、二次函数的性质逐个判断即可．【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线，∴，∴,∴，故①正确；∵抛物线的对称轴为直线，与x轴的一个交点在2、3之间，∴与x轴的另一个交点在、0之间，∴方程一定有一个根在和0之间，故②错误；∵抛物线与直线有两个交点，∴方程一定有两个不相等的实数根，故③正确；∵抛物线与x轴的另一个交点在，0之间，∴，∵图象与y轴交点的纵坐标是2，∴，∴，∴．故④错误．综上，①③正确，共2个．故选：B．29．（2024·四川眉山·中考真题）如图，二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，对称轴为直线，下列四个结论：①；②；③；④若，则，其中正确结论的个数为（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4【答案】C【分析】此题考查了二次函数的图象和性质，数形结合是解题的关键，利用开口方向和对称轴的位置即可判断①，利用对称轴和特殊点的函数值即可判断②，利用二次函数的最值即可判断③，求出，进一步得到，又根据得到，即可判断④.【详解】解：①函数图象开口方向向上，；对称轴在轴右侧，、异号，，∵抛物线与轴交点在轴负半轴，，，故①错误；②二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，对称轴为直线，，，时，，，，，故②正确；③对称轴为直线，，最小值，，∴，故③正确；④，∴根据抛物线与相应方程的根与系数的关系可得，，，，，，，故④正确；综上所述，正确的有②③④，故选：C30．（2024·四川遂宁·中考真题）如图，已知抛物线（a、b、c为常数，且）的对称轴为直线，且该抛物线与轴交于点，与轴的交点在，之间（不含端点），则下列结论正确的有多少个（

）①；②；③；④若方程两根为，则．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】本题主要考查二次函数和一次函数的性质，根据题干可得，，，即可判断①错误；根据对称轴和一个交点求得另一个交点为，即可判断②错误；将c和b用a表示，即可得到，即可判断③正确；结合抛物线和直线与轴得交点，即可判断④正确．【详解】解：由图可知，∵抛物线的对称轴为直线，且该抛物线与轴交于点，∴，，则，∵抛物线与轴的交点在，之间，∴，则，故①错误；设抛物线与轴另一个交点，∵对称轴为直线，且该抛物线与轴交于点，∴，解得，则，故②错误；∵，，，∴，解得，故③正确；根据抛物线与轴交于点和，直线过点和0,1，如图，方程两根为满足，故④正确；故选：B．31．（2024·江苏连云港·中考真题）已知抛物线（a、b、c是常数，）的顶点为．小烨同学得出以下结论：①；②当时，随的增大而减小；③若的一个根为3，则；④抛物线是由抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位得到的．其中一定正确的是（

）A．①② B．②③ C．③④ D．②④【答案】B【分析】根据抛物线的顶点公式可得，结合，，由此可判断①；由二次函数的增减性可判断②；用a表示b、c的值，再解方程即可判断③，由平移法则即可判断④．【详解】解：根据题意可得：，，，即，，，的值可正也可负，不能确定的正负；故①错误；，抛物线开口向下，且关于直线对称，当时，随的增大而减小；故②正确；，抛物线为，，，故③正确；抛物线，将向左平移1个单位得：，抛物线是由抛物线向左平移1个单位得到的，故④错误；正确的有②③，故选：B．【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数的平移，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数与一元二次方程，一元二次方程的解的定义，用a表示b、c的值是本题的关键．32．（2023·辽宁丹东·中考真题）抛物线与x轴的一个交点为，与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点，对称轴为直线，其部分图象如图所示，则以下4个结论：①；②，是抛物线上的两个点，若，且，则；③在轴上有一动点P，当的值最小时，则点P的坐标为；④若关于x的方程无实数根，则b的取值范围是．其中正确的结论有（

）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】A【分析】由图可知，即可判断①；易得向上平移个到位长度得到，则的对称轴也为直线，根据，得出，则离对称轴的距离大于离对称轴的距离，即可判断②；作点C关于x轴对称的对应点，连接，交x轴于点P，把代入得到，根据对称轴得到，则，进而得出，把代入得出，用待定系数法求出直线的函数解析式为，即可判断③；由图可知，当时，抛物线与直线没有交点，则原方程无实数根，求出，结合，即可判断④．【详解】解：由图可知，∵该抛物线开口向上，对称轴在y轴左侧，与y轴交于负半轴，∴，∴，故①不正确，不符合题意；∵向上平移个到位长度得到，∴的对称轴也为直线，∵，∴，∵，∴离对称轴的距离大于离对称轴的距离，∵函数开口向上，离对称轴越远函数值越大，∴，故②不正确，不符合题意；作点C关于x轴对称的对应点，连接，交x轴于点P，把代入得：，∵抛物线的对称轴为直线，∴，则，∴，整理得：，∴，则，把代入得：，∴，设直线的函数解析式为，把，代入得：，解得：，∴直线的函数解析式为，把代入得：，解得：，∴，故③正确，符合题意；

方程整理为，∵，由图可知，当时，抛物线与直线没有交点，则原方程无实数根，∵，∴，解得：，∵，∴b的取值范围为，故④不正确，不符合题意；综上：正确的有③，共1个，故选：A．【点睛】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，以及二次函数图象上点的坐标特征，根据所给函数图象，得出a、b、c的符号，利用抛物线的对称性和增减性是解析的关键．33．（2023·湖北黄石·中考真题）已知二次函数的图像经过三点，且对称轴为直线．有以下结论：①；②；③当，时，有；④对于任何实数，关于的方程必有两个不相等的实数根．其中结论正确的有（

）A．个 B．个 C．个 D．个【答案】C【分析】根据二次函数图像的对称轴为，且过，结合抛物线的对称轴即可求解．【详解】解：∵二次函数的对称轴为，且图像经过，∴，即，∴点在抛物线上，∴，故结论①正确；由结论①正确可得，，且，则∴，则，故结论②正确；∵当，时，∴点离对称轴更近，当时，；当时，；故结论③错误；由得，，∵结论①正确可得，，结论②正确可得，，∴，，∴，整理得，，∵，∴，∴该方程有两个不相等的实根，故结论④正确；综上所述，正确的有，个，故选：．【点睛】本题主要考查二次函数图像的性质，根与系数的关系，二次函数图像上点的特征，由对称轴确定系数的关系，掌握以上知识的综合运用是解题的关键．34．（2023·辽宁阜新·中考真题）如图，二次函数的图象与x轴的一个交点为，对称轴是直线，下列结论正确的是（

）A． B． C． D．点在函数图象上【答案】B【分析】利用二次函数的图象与系数的关系可得出，a、b、c的正负，进而得出的正负；利用对称轴为直线，可得出与0的关系；由抛物线与x轴的交点情况，可得出与的大小关系；由抛物线与x轴的一个交点坐标为，再结合对称轴为直线，可得出另一个交点坐标．【详解】解：A、由二次函数的图形可知：，所以．故本选项不符合题意；B、因为二次函数的对称轴是直线，则，即．故本选项符合题意；C、因为抛物线与x轴有两个交点，所以，即．故本选项不符合题意；D、因为抛物线与x轴的一个交点坐标为，且对称轴为直线，所以它与x轴的另一个交点的坐标为．故本选项不符合题意；故选：B．【点睛】本题考查二次函数图象与各项系数的关系，正确求得a，b，c的正负以及巧妙利用抛物线的对称轴是解决问题的关键．35．（2023·湖北恩施·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线的对称轴为，与x轴的一个交点位于，两点之间．下列结论：①；

②；③；

④若，为方程的两个根，则．其中正确的有（）个．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】由图象得，，由对称轴得，，；抛物线与x轴的一个交点位于，两点之间，由对称性知另一个交点在，之间，得，于是，进一步推知，由根与系数关系知；【详解】解：开口向下，得，与y轴交于正半轴，，对称轴，，，故①错误；故②错误；抛物线与x轴的一个交点位于，两点之间，对称轴为，故知另一个交点在，之间，故时，∴，得，故③正确；由，，知，∵，为方程的两个根，∴∴，故④正确；故选：B【点睛】本题考查二次函数图象性质，一元二次方程根与系数关系，不等式变形，掌握函数图象性质，注意利用特殊点是解题的关键．36．（2023·贵州·中考真题）已知，二次函数的图象如图所示，则点所在的象限是（

）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【分析】首先根据二次函数的图象及性质判断a和b的符号，从而得出点所在象限．【详解】解：由图可知二次函数的图象开口向上，对称轴在y轴右侧，，，，在第四象限，故选D．【点睛】本题考查二次函数的图象与系数的关系，以及判断点所在象限，解题的关键是根据二次函数的图象判断出a和b的符号．37．（2023·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如图，二次函数图像的一部分与x轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，结合图像给出下列结论：①；②；③；④关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根；⑤若点，均在该二次函数图像上，则．其中正确结论的个数是（

）

A．4 B．3 C．2 D．1【答案】B【分析】根据抛物线的对称轴、开口方向、与y轴的交点确定a、b、c的正负，即可判定①和②；将点代入抛物线解析式并结合即可判定③；运用根的判别式并结合a、c的正负，判定判别式是否大于零即可判定④；判定点，的对称轴为，然后根据抛物线的对称性即可判定⑤．【详解】解：抛物线开口向上，与y轴交于负半轴，，∵抛物线的对称轴为直线，∴，即，即②错误；∴，即①正确，二次函数图像的一部分与x轴的一个交点坐标为，即，故③正确；∵关于x的一元二次方程，，，∴，，∴无法判断的正负，即无法确定关于x的一元二次方程的根的情况，故④错误；∵∴点，关于直线对称∵点，均在该二次函数图像上，∴，即⑤正确；综上，正确的为①③⑤，共3个故选：B．【点睛】本题考查了二次函数的的性质及图像与系数的关系，能够从图像中准确的获取信息是解题的关键．38．（2023·湖北·中考真题）拋物线与轴相交于点．下列结论：①；②；③；④若点在抛物线上，且，则．其中正确的结论有(

)A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【分析】二次函数整理得，推出，可判断①错误；根据二次函数的的图象与x轴的交点个数可判断②正确；由，代入可判断③正确；根据二次函数的性质及数形结合思想可判断④错误．【详解】解：①由题意得：，∴，∵，∴，∴，故①错误；②∵抛物线与x轴相交于点．∴有两个不相等的实数根，∴，故②正确；③∵，∴，故③正确；④∵抛物线与x轴相交于点．∴抛物线的对称轴为：，当点在抛物线上，且，∴或，解得：，故④错误，综上，②③正确，共2个，故选：B．【点睛】本题考查了二次函数与系数的关系，掌握二次函数的性质及数形结合思想是解题的关键．39．（2023·山东青岛·中考真题）如图，二次函数的图象与正比例函数的图象相交于A，B两点，已知点A的横坐标为，点B的横坐标为2，二次函数图象的对称轴是直线．下列结论：①；②；③关于x的方程的两根为，；④．其中正确的是．（只填写序号）【答案】①③【分析】依据题意，根据所给图象可以得出，，再结合对称轴，同时令，从而由根与系数的关系，逐个判断可以得解．【详解】解：由图象可得，，，又，．．①正确．由题意，令，．又二次函数的图象与正比例函数的图象相交于，两点，已知点的横坐标为，点的横坐标为2，的两根之和为，两根之积为．，．．又，．．②错误，③正确．，，．④错误．故答案为：①③．【点睛】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键．40．（2022·湖北武汉·中考真题）已知抛物线（，，是常数）开口向下，过，两点，且．下列四个结论：①；②若，则；③若点，在抛物线上，，且，则；④当时，关于的一元二次方程必有两个不相等的实数根．其中正确的是（填写序号）．【答案】①③④【分析】首先判断对称轴，再由抛物线的开口方向判断①；由抛物线经过A（-1，0），，当时，，求出，再代入判断②，抛物线，由点，在抛物线上，得，，把两个等式相减，整理得，通过判断，的符号判断③；将方程写成a（x-m）（x+1）-1=0，整理，得，再利用判别式即可判断④．【详解】解：抛物线过，两点，且，，

，，即，抛物线开口向下，，，故①正确；若，则，，，故②不正确；抛物线，点，在抛物线上，∴，，把两个等式相减，整理得，，，，，，，故③正确；依题意，将方程写成a（x-m）（x+1）-1=0，整理，得，，，，，，，

故④正确．综上所述，①③④正确．故答案为；①③④．【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数与方程及不等式的关系．三、考点03二次函数的最值41．（2024·四川乐山·中考真题）已知二次函数，当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值，则t的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数的最值等知识．熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．由，可知图象开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，当时，，即关于对称轴对称的点坐标为，由当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值，可得，计算求解，然后作答即可．【详解】解：∵，∴图象开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，当时，，∴关于对称轴对称的点坐标为，∵当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值，∴，解得，，故选：C．42．（2023·山东济南·中考真题）定义：在平面直角坐标系中，对于点，当点满足时，称点是点的“倍增点”，已知点，有下列结论：①点，都是点的“倍增点”；②若直线上的点A是点的“倍增点”，则点的坐标为；③抛物线上存在两个点是点的“倍增点”；④若点是点的“倍增点”，则的最小值是．其中，正确结论的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】①根据题目所给“倍增点”定义，分别验证即可；②点，根据“倍增点”定义，列出方程，求出a的值，即可判断；③设抛物线上点是点的“倍增点”，根据“倍增点”定义列出方程，再根据判别式得出该方程根的情况，即可判断；④设点，根据“倍增点”定义可得，根据两点间距离公式可得，把代入化简并配方，即可得出的最小值为，即可判断．【详解】解：①∵，，∴，∴，则是点的“倍增点”；∵，，∴，∴，则是点的“倍增点”；故①正确，符合题意；②设点，∵点A是点的“倍增点”，∴，解得：，∴，故②不正确，不符合题意；③设抛物线上点是点的“倍增点”，∴，整理得：，∵，∴方程有两个不相等实根，即抛物线上存在两个点是点的“倍增点”；故③正确，符合题意；④设点，∵点是点的“倍增点”，∴，∵，，∴，∵，∴的最小值为，∴的最小值是，故④正确，符合题意；综上：正确的有①③④，共3个．故选：C．【点睛】本题主要考查了新定义，解一元一次方程，一元二次方程根的判别式，两点间的距离公式，解题的关键是正确理解题目所给“倍增点”定义，根据定义列出方程求解．43．（2024·四川眉山·中考真题）定义运算：，例如，则函数的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查二次函数求最值，根据新定义，得到二次函数关系式，进而利用二次函数的性质，求最值即可．【详解】解：由题意得，，即，当时，函数的最小值为．故选：B．44．（2024·四川巴中·中考真题）若二次函数的图象向右平移1个单位长度后关于轴对称．则下列说法正确的序号为．（少选得1分，错选得0分，选全得满分）①②当时，代数式的最小值为3③对于任意实数，不等式一定成立④Px1,y1，Qx【答案】①③④【分析】本题考查的是二次函数的图象与性质，抛物线的平移，抛物线的增减性的应用，利用的应用二次函数的性质是解本题的关键．由二次函数的图象向右平移1个单位长度后关于轴对称．可得，可得①符合题意；由，可得，结合，可得②不符合题意；由对称轴为直线，结合，可得③符合题意；分三种情况分析④当时，当时，满足，当时，不满足，不符合题意，舍去，可得④符合题意；【详解】解：∵二次函数的图象的对称轴为直线，而二次函数的图象向右平移1个单位长度后关于轴对称．∴，∴，故①符合题意；∴，∴，，∵，∴当时，取最小值，故②不符合题意；∵，∴对称轴为直线，∵，当时，函数取最小值，当时，函数值为，∴，∴对于任意实数，不等式一定成立，故③符合题意；当时，∵，∴，∴，当时，满足，∴，∴，当时，不满足，不符合题意，舍去，故④符合题意；综上：符合题意的有①③④；故答案为：①③④．45．（2024·江苏常州·中考真题）将边长均为的等边三角形纸片叠放在一起，使点E、B分别在边上（端点除外），边相交于点G，边相交于点H．(1)如图1，当E是边的中点时，两张纸片重叠部分的形状是________；(2)如图2，若，求两张纸片重叠部分的面积的最大值；(3)如图3，当，时，与有怎样的数量关系？试说明理由．【答案】(1)菱形(2)(3)，理由见解析【分析】（1）连接，由等边三角形的性质可得，则四点共圆，由三线合一定理得到，则为过的圆的直径，再由，得到为过的圆的直径，则点H为圆心，据此可证明，推出四边形是平行四边形，进而可证明四边形是菱形，即两张纸片重叠部分的形状是菱形；（2）由等边三角形的性质得到，，则由平行线的性质可推出，进而可证明四边形是平行四边形，再证明是等边三角形，则可设，则，，由勾股定理得到，可得，则当时，有最大值，最大值为；（3）过点B作于M，过点E作于N，连接，则，，，证明，进而可证明，得到，则，即．【详解】（1）解：如图所示，连接∵都是等边三角形，∴，∴四点共圆，∵点E是的中点，∴，∴为过的圆的直径，又∵，∴为过的圆的直径，∴点H为圆心，∴，∴，∴，∴，∴四边形是平行四边形，又∵，∴四边形是菱形，∴两张纸片重叠部分的形状是菱形；（2）解：∵都是等边三角形，∴，，∵，∴，∴，∴，∴四边形是平行四边形，∵，∴是等边三角形，过点E作，∴设，则，，∴，∴，∵，∴当时，有最大值，最大值为；（3）解：，理由如下：如图所示，过点B作于M，过点E作于N，连接，∵都是边长为的等边三角形，∴，，∴由勾股定理可得，，∴，又∵，∴，∴，∴，即．【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，等边三角形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，勾股定理，四点共圆，正确作出辅助线是解题的关键．46．（2024·广西·中考真题）课堂上，数学老师组织同学们围绕关于x的二次函数的最值问题展开探究．【经典回顾】二次函数求最值的方法．（1）老师给出，求二次函数的最小值．①请你写出对应的函数解析式；②求当x取何值时，函数y有最小值，并写出此时的y值；【举一反三】老师给出更多a的值，同学们即求出对应的函数在x取何值时，y的最小值．记录结果，并整理成下表：a…024…x…*20…y的最小值…*…注：*为②的计算结果．【探究发现】老师：“请同学们结合学过的函数知识，观察表格，谈谈你的发现．”甲同学：“我发现，老师给了a值后，我们只要取，就能得到y的最小值．”乙同学：“我发现，y的最小值随a值的变化而变化，当a由小变大时，y的最小值先增大后减小，所以我猜想y的最小值中存在最大值．”（2）请结合函数解析式，解释甲同学的说法是否合理？（3）你认为乙同学的猜想是否正确？若正确，请求出此最大值；若不正确，说明理由．【答案】（1）①；②当时，有最小值为（2）见解析（3）正确，【分析】本题考查二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解题的关键：（1）①把代入解析式，写出函数解析式即可；②将一般式转化为顶点式，进行求解即可；（2）将一般式转化为顶点式，根据二次函数的性质进行解释即可；（3）将一般式转化为顶点式，表示出的最大值，再利用二次函数求最值即可．【详解】解：（1）①把代入，得：；∴；②∵，∴当时，有最小值为；（2）∵，∵抛物线的开口向上，∴当时，有最小值；∴甲的说法合理；（3）正确；∵，∴当时，有最小值为，即：，∴当时，有最大值，为．47．（2024·山东威海·中考真题）已知抛物线与x轴交点的坐标分别为，，且．(1)若抛物线与x轴交点的坐标分别为，，且．试判断下列每组数据的大小（填写、或）：①________；②________；③________．(2)若，，求b的取值范围；(3)当时，最大值与最小值的差为，求b的值．【答案】(1)；；；(2)(3)b的值为或．【分析】本题考查根与系数的关系，二次函数图像与性质，不等式性质，二次函数最值情况，解题的关键在于熟练掌握二次函数图像与性质．（1）根据根与系数的关系得到，以及，即可判断①，利用二次函数的图像与性质得到，进而得到，利用不等式性质变形，即可判断②③．（2）根据题意得到，结合进行求解，即可解题；（3）根据题意得到抛物线顶点坐标为，对称轴为；当时，，当时，，由最大值与最小值的差为，分以下情况①当在取得最大值，在取得最小值时，②当在取得最大值，在顶点取得最小值时，③当在取得最大值，在顶点取得最小值时，建立等式求解，即可解题．【详解】（1）解：与x轴交点的坐标分别为，，且，，且抛物线开口向上，与x轴交点的坐标分别为，，且．即向上平移1个单位，，且，①；，，即②；，即③．故答案为；；；；（2）解：，，，，；（3）解：抛物线顶点坐标为，对称轴为；当时，，当时，，①当在取得最大值，在取得最小值时，有，解得（舍去）；②当在取得最大值，在顶点取得最小值时，有，解得（舍去）或，③当在取得最大值，在顶点取得最小值时，有，解得（舍去）或；综上所述，b的值为或．48．（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像经过原点和点．经过点的直线与该二次函数图象交于点，与轴交于点．(1)求二次函数的解析式及点的坐标；(2)点是二次函数图象上的一个动点，当点在直线上方时，过点作轴于点，与直线交于点，设点的横坐标为．①为何值时线段的长度最大，并求出最大值；②是否存在点，使得与相似．若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)，(2)①当时，有最大值为；②当P的坐标为或时，与相似【分析】（1）把，，代入求解即可，利用待定系数法求出直线解析式，然后令，求出y，即可求出C的坐标；（2）①根据P、D的坐标求出，然后根据二次函数的性质求解即可；②先利用等边对等角，平行线的判定与性质等求出，然后分，两种情况讨论过，利用相似三角形的性质、等腰三角形的判定与性质等求解即可．【详解】（1）解：把，，代入，得，解得，∴二次函数的解析式为，设直线解析式为，则，解得，∴直线解析式为，当时，，∴；（2）解：①设，则，∴，∴当时，有最大值为；②∵，，∴，又，∴，又轴，∴轴，∴，当时，如图，∴，∴轴，∴P的纵坐标为3，把代入，得，解得，，∴，∴，∴P的坐标为；当时，如图，过B作于F，则，，又，∴，∴，∴，∴，∴，解得，（舍去），∴，∴P的坐标为综上，当P的坐标为或时，与相似．【点睛】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求二次函数、一次函数解析式，二次函数的性质，相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质等知识，明确题意，添加合适辅助线，合理分类讨论是解题的关键．49．（2024·江苏扬州·中考真题）如图，点依次在直线上，点固定不动，且，分别以为边在直线同侧作正方形、正方形，，直角边恒过点，直角边恒过点．(1)如图，若，，求点与点之间的距离；(2)如图，若，当点在点之间运动时，求的最大值；(3)如图，若，当点在点之间运动时，点随之运动，连接，点是的中点，连接，则的最小值为_______．【答案】(1)或；(2)；(3)．【分析】（）设，则，证明，然后根据相似三角形的性质得出，则，转化为，解方程即可；（）设，则，证明，然后根据相似三角形的性质得出，则，转化为然后由二次函数的性质求解即可；（）连接，由四边形是正方形，得，即点对角线所在直线上运动，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得，当三点共线时，有最小值，利用勾股定理即可求解．【详解】（1）解：设，则，∵四边形、是正方形，∴，，，∴，，∵，∴，∴,∴，∴，即，则，解得：或，∴或；（2）设，则，∵四边形、是正方形，∴，，，∴，，∵，∴，∴，∴，∴，即，∴，当时，有最大，最大值为；（3）连接，∵四边形是正方形，∴，即点在对角线所在直线上运动，如图，作关于的对称点，连接，过作于点，∴，四边形为矩形，则点三点共线，，∴，∴，∵，点是的中点，∴，∴，∴当三点共线时，有最小值，∴在中，由勾股定理得：，∴的最小值为，故答案为：．【点睛】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，解一元二次方程，二次函数的最值，两点之间线段最短等知识，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．50．（2023·江苏·中考真题）已知二次函数（为常数）．(1)该函数图像与轴交于两点，若点坐标为，①则的值是_________，点的坐标是_________；②当时，借助图像，求自变量的取值范围；(2)对于一切实数，若函数值总成立，求的取值范围（用含的式子表示）；(3)当时（其中为实数，），自变量的取值范围是，求和的值以及的取值范围．【答案】(1)①②或(2)(3)【分析】（1）①待定系数法求出函数解析式，令，求出点的坐标即可；②画出函数图像，图像法求出的取值范围即可；（2）求出二次函数的最小值，即可得解；（3）根据当时（其中为实数，），自变量的取值范围是，得到和关于对称轴对称，进而求出的值，得到为的函数值，求出，推出直线过抛物线顶点或在抛物线的下方，即可得出结论．【详解】（1）解：①∵函数图像与轴交于两点，点坐标为，∴，∴，∴，∴当时，，∴，∴点的坐标是；故答案为：；②，列表如下：1345005画出函数图像如下：

由图可知：当时，或；（2）∵，∴当时，有最小值为；∵对于一切实数，若函数值总成立，∴；（3）∵，∴抛物线的开口向上，对称轴为，又当时（其中为实数，），自变量的取值范围是，∴直线与抛物线的两个交点为，直线在抛物线的下方，∴关于对称轴对称，∴，∴，∴，∴，当时，有最小值，∴．

【点睛】本题考查二次函数的图像和性质，熟练掌握二次函数的图像和性质，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键．本题的综合性较强，属于中考压轴题．四、考点04二次函数与方程不等式51．（2024·四川·中考真题）二次函数的图象如图所示，给出下列结论：①；②；③当时，．其中所有正确结论的序号是（

）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③【答案】D【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，图象与系数的关系，熟练掌握二次函数图象和性质是解题的关键．根据图象与轴交点在轴负半轴，可得，故①正确；根据图象可得二次函数的对称轴为，由于对称轴为，可得，故②正确；当时，二次函数图象位于轴下方，即当，所对应的，故③正确．【详解】解：①当时，，根据图象可知，二次函数的图象与轴交点在轴负半轴，即，故①正确，符合题意；②根据图象可知，二次函数的对称轴是直线，即，故②正确，符合题意；③根据图象可知，当时，图象位于轴下方，即当，所对应的，故③正确，符合题意；综上所述，①②③结论正确，符合题意．故选：D．52．（2023·青海西宁·中考真题）直线和抛物线（a，b是常数，且）在同一平面直角坐标系中，直线经过点．下列结论：①抛物线的对称轴是直线②抛物线与x轴一定有两个交点③关于x的方程有两个根，④若，当或时，其中正确的结论是（

）A．①②③④ B．①②③ C．②③ D．①④【答案】B【分析】①可得，从而可求，即可求解；②可得，由，可得，即可求解；③可判断抛物线也过，从而可得方程的一个根为，可求抛物线的对称轴为直线，从而可得抛物线与轴的另一个交点为，即可求解；④当，当时，，即可求解．【详解】解：①直线经过点，，，抛物线的对称轴为直线，故①正确；②，由①得，，，，抛物线与x轴一定有两个交点，故②正确；③当时，，抛物线也过，由得方程，方程的一个根为，抛物线，，抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点为，，解得：，抛物线与轴的另一个交点为，关于x的方程有两个根，，故③正确；④当，当时，，故④错误；故选：B．【点睛】本题考查了二次函数的基本性质，二次函数与一次函数交点，二次函数与不等式等，理解性质，掌握解法是解题的关键．53．（2024·山东济宁·中考真题）将抛物线向下平移k个单位长度．若平移后得到的抛物线与x轴有公共点，则k的取值范围是．【答案】【分析】先根据平移的规律写出抛物线向下平移k个单位长度后的抛物线的表达式，再根据平移后得到的抛物线与x轴有公共点可得，由此列不等式即可求出k的取值范围．此题考查了二次函数图像的平移与几何变换，以及抛物线与x轴的交点问题，利用抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减是解题关键．【详解】解：将抛物线向下平移k个单位长度得，∵与x轴有公共点，∴，即，解得，故答案为：．54．（2024·辽宁·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与与相交于点，，点的坐标为，若点在抛物线上，则的长为．

【答案】【分析】本题主要考查了待定系数求二次函数的解析式，二次函数的性质，熟练求解二次函数的解析式是解题的关键．先利用待定系数法求得抛物线，再令，得，解得x=−1或，从而即可得解．【详解】解：把点，点代入抛物线得，，解得，∴抛物线，令，得，解得x=−1或，∴，∴；故答案为：．55．（2024·吉林长春·中考真题）若抛物线（是常数）与轴没有交点，则的取值范围是．【答案】【分析】本题主要考查了抛物线与x轴的交点问题，掌握抛物线与x轴没有交点与没有实数根是解题的关键．由抛物线与x轴没有交点，运用根的判别式列出关于c的一元一次不等式求解即可．【详解】解：∵抛物线与x轴没有交点，∴没有实数根，∴，．故答案为：．56．（2023·湖南郴州·中考真题）抛物线与轴只有一个交点，则．【答案】【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点问题，令，计算，即可求解．【详解】解：令，则依题意，解得：．故答案为：．57．（2024·山东烟台·中考真题）已知二次函数的与的部分对应值如下表：下列结论：；关于的一元二次方程有两个相等的实数根；当时，的取值范围为；若点，均在二次函数图象上，则；满足的的取值范围是或．其中正确结论的序号为．【答案】【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，利用待定系数法求出的值即可判断；利用根的判别式即可判断；利用二次函数的性质可判断；利用对称性可判断；画出函数图形可判断；掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．【详解】解：把，，代入得，，解得，∴，故正确；∵，，，∴，当时，，∴，∵，∴关于的一元二次方程有两个相等的实数根，故正确；∵抛物线的对称轴为直线，∴抛物线的顶点坐标为，又∵，∴当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，当时，函数取最大值，∵与时函数值相等，等于，∴当时，的取值范围为，故错误；∵，∴点，关于对称轴对称，∴，故正确；由得，即，画函数和图象如下：由，解得，，∴，，由图形可得，当或时，，即，故错误；综上，正确的结论为，故答案为：．58．（2023·上海·中考真题）在中，点D在边上，点E在延长线上，且，如果过点A，过点D，若与有公共点，那么半径r的取值范围是．【答案】【分析】先画出图形，连接，利用勾股定理可得，，从而可得，再根据与有公共点可得一个关于的不等式组，然后利用二次函数的性质求解即可得．【详解】解：由题意画出图形如下：连接，

过点，且，的半径为7，过点，它的半径为，且，，，，，在边上，点在延长线上，，即，，与有公共点，，即，不等式①可化为，解方程得：或，画出函数的大致图象如下：

由函数图象可知，当时，，即不等式①的解集为，同理可得：不等式②的解集为或，则不等式组的解集为，又，半径r的取值范围是，故答案为：．【点睛】本题考查了勾股定理、圆与圆的位置关系、二次函数与不等式，根据圆与圆的位置关系正确建立不等式组是解题关键．59．（2024·四川南充·中考真题）已知抛物线与轴交于两点，（在的左侧），抛物线与轴交于两点，（在的左侧），且．下列四个结论：与交点为；；；，两点关于对称．其中正确的结论是．（填写序号）【答案】【分析】由题意得，根据可以判断；令求出，，由可以判断；抛物线与轴交于两点，（在的左侧），抛物线与轴交于两点，（在的左侧），根据根的判别式得出或，或，可以判断，利用两点间的距离可以判断．【详解】解：由题意得，∴，∵，∴，当时，，∴与交点为，故正确，当时，，解得，∴，当时，，解得，∴，∵，∴，即，∴，则有：，∵，∴，故正确；∵抛物线与轴交于两点，（在的左侧），抛物线与轴交于两点，（在的左侧），∴，，解得：或，或，由得，∴，当时，，或当时，，∴，故错误；由得：，解得，∵在的左侧，在的左侧，∴，，，，∵，∴，整理得：，∴，∴由对称性可知：，两点关于对称，故正确；综上可知：正确，故答案为：．【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程的关系，解一元二次方程，根的判别式，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．60．（2024·江苏镇江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，二次函数的图像与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），顶点为C．(1)求A、B、C三点的坐标；(2)一个二次函数的图像经过B、C、三点，其中，该函数图像与x轴交于另一点D，点D在线段上（与点O、B不重合）．①若D点的坐标为，则_________；②求t的取值范围：③求的最大值．【答案】(1)，，(2)①6；②且；③4【分析】本题主要考查待定系数法求函数解析式，二次函数的对称性，二次函数的最值问题等相关知识，熟练掌握相关知识是解题基础．（1）根据顶点式可直接得出点的坐标；令，解方程，可得出点，的坐标；（2）①根据函数的对称性，可得出对称轴为直线，再根据点，的坐标可得出，关于对称轴对称，由此可得出的值；②由对称轴的性质可知，二次函数图象的对称轴与轴的交点坐标为，，再由对称性可知，，由点在线段上，且与端点不重合，可得，即，而当时，过点，，三点的二次函数不存在，由此可得且；③，根据二次函数的性质可得结论．【详解】（1）解：二次函数的图象的顶点为，；令，解得或，，；（2）解：①由题知，该函数过点，，，函数的解析式为：，函数的对称轴为直线，，，点，关于对称轴对称，，，故答案为：6；②设二次函数的解析式为：，将，，两点代入，得，，，，二次函数图象的对称轴与轴的交点坐标为，，，两点关于对称轴对称，点，，点在线段上，且与端点不重合，，即，时，过点，，三点的二次函数不存在，且；③，，．，且，时，有最大值，最大值为4．61．（2024·江苏扬州·中考真题）如图，已知二次函数的图像与轴交于，两点．(1)求的值；(2)若点在该二次函数的图像上，且的面积为，求点的坐标．【答案】(1)(2)【分析】本题主要考查二次函数与几何图形的综合，掌握待定系数法求解析式，解一元二次方程的方法是解题的关键．（1）运用待定系数法即可求解；（2）根据题意设，结合几何图形面积计算方法可得点的纵坐标，代入后解一元二次方程即可求解．【详解】（1）解：二次函数的图像与轴交于，两点，∴，解得，，∴；（2）解：由（1）可知二次函数解析式为：，，，∴，设，∴，∴，∴，∴当时，，无解，不符合题意，舍去；当时，，；∴．62．（2024·云南·中考真题）已知抛物线的对称轴是直线．设是抛物线与轴交点的横坐标，记．(1)求的值；(2)比较与的大小．【答案】(1)(2)当时，；当时，．【分析】（1）由对称轴为直线直接求解；（2）当时，；当时，．【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴是直线，∴，∴；（2）解：∵是抛物线与轴交点的横坐标，∴，∴，∴，∴，而代入得：，∴，∴，∵，解得：，当时，∴；当时，，∴．【点睛】本题考查了二次函数的对称轴公式，与x轴交点问题，解一元二次方程，无理数的大小比较，解题的关键是对进行降次处理．63．（2024·四川·中考真题）【定义与性质】如图，记二次函数和的图象分别为抛物线C和．定义：若抛物线的顶点在抛物线C上，则称是C的伴随抛物线．性质：①一条抛物线有无数条伴随抛物线；②若是C的伴随抛物线，则C也是的伴随抛物线，即C的顶点在上．【理解与运用】（1）若二次函数和的图象都是抛物线的伴随抛物线，则______，______．【思考与探究】（2）设函数的图象为抛物线．①若函数的图象为抛物线，且始终是的伴随抛物线，求d，e的值；②若抛物线与x轴有两个不同的交点，，请直接写出的取值范围．

【答案】（1）2；；（2）①；②或【分析】题目主要考查二次函数的综合应用及新定义理解，熟练掌握二次函数的性质结合图象求解是解题关键．（1）根据题意确定点在的伴随抛物线上，代入求解即可；（2）①根据题意确定顶点坐标为：，然后代入解析式得出，即可求解；②根据题意得出顶点坐标在图像上滑动，然后分情况分析即可得出结果．【详解】解：（1）二次函数和的图象都是抛物线的伴随抛物线，∴点在的伴随抛物线上，代入得：，，解得：，，故答案为：2；；（2）①，∴顶点坐标为：，∵函数的图象为抛物线，且始终是的伴随抛物线，∴，整理得：，∴；②∵与x轴有两个不同的交点，，由①得：函数的图象为抛物线，且始终是的伴随抛物线，∴顶点坐标在图像上滑动，顶点为，当时，解得：或，抛物线与x轴交两个点，当顶点在下方时，抛物线有两个交点，，∵若是C的伴随抛物线，则C也是的伴随抛物线，即C的顶点在上．∴在上，当顶点在下方时，；综上可得：或．64．（2024·吉林·中考真题）小明利用一次函数和二次函数知识，设计了一个计算程序，其程序框图如图（1）所示，输入x的值为时，输出y的值为1；输入x的值为2时，输出y的值为3；输入x的值为3时，输出y的值为6．(1)直接写出k，a，b的值．(2)小明在平面直角坐标系中画出了关于x的函数图像，如图（2）．Ⅰ．当y随x的增大而增大时，求x的取值范围．Ⅱ．若关于x的方程（t为实数），在时无解，求t的取值范围．Ⅲ．若在函数图像上有点P，Q（P与Q不重合）．P的横坐标为m，Q的横坐标为．小明对P，Q之间（含P，Q两点）的图像进行研究，当图像对应函数的最大值与最小值均不随m的变化而变化，直接写出m的取值范围．【答案】(1)(2)Ⅰ：或；Ⅱ：或；Ⅲ：或【分析】本题考查了二次函数与一次函数的图像与性质，待定系数法求函数解析式，一元二次方程的解，正确理解题意，利用数形结合的思想是解决本题的额关键．（1）先确定输入x值的范围，确定好之后将x，y的值代入所给的y关于x的函数解析式种解方程或方程组即可；（2）Ⅰ：可知一次函数解析式为：，二次函数解析式为：，当时，，对称为直线，开口向上，故时，y随着x的增大而增大；当时，，，故时，y随着x的增大而增大；Ⅱ：问题转化为抛物线与直线在时无交点，考虑两个临界状态，当时，抛物线与直线在时正好一个交点，因此当时，抛物线与直线在时没有交点；