数学高二 高二上学期9月月考数学试题（解析版）

第一学期高二年级第一次月考数学试卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页.考试结束后，将答题卡交回.注意事项：1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区.2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚.3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效.4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑.5.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀.第Ⅰ卷(选择题)一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若直线l的方向向量为，平面的法向量为，且，则实数x的值是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据直线与平面垂直时直线的方向量与平面的法向量共线，利用共线时对应的坐标关系即可计算出的值.【详解】因为直线平面，直线l的方向向量为，平面的法向量为，所以，又，所以，所以.故选：C.2.已知直线，若，则实数（）A.或 B. C.或 D.【答案】C【解析】【分析】根据及线线垂直公式，即可求的值【详解】因为且所以解得：或故选：C3.在空间四点O，A，B，C中，若是空间的一个基底，则下列命题不正确的是（）A.O，A，B，C四点不共线B.O，A，B，C四点共面，但不共线C.O，A，B，C四点不共面D.O，A，B，C四点中任意三点不共线【答案】B【解析】【分析】根据基底的含义，非零向量不在同一平面内，即O，A，B，C四点不共面，即可判断【详解】因为为基底，所以非零向量不在同一平面内，即O，A，B，C四点不共面，所以A、C、D选项说法正确，B错误．故选：B4.若直线5x＋4y＝2m＋1与直线2x＋3y＝m的交点在第四象限，则实数m的取值范围是（）A.(－∞，2) B.C.(－∞，－3) D.【答案】D【解析】【分析】联立两直线方程，求得交点坐标，根据交点在第四象限，可得坐标的正负，即可得答案.【详解】联立，解得，因为交点在第四象限，所以，解得，故选：D5.已知，，则下列直线的方程不可能是的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根据直线斜率与轴上的截距的关系判断选项即可得解.【详解】，直线的方程在轴上的截距不小于2，且当时，轴上的截距为2，故D正确，当时，,故B不正确，当时，或，由图象知AC正确.故选：B6.如图，长方体中，，，、、分别是、、的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（）A.0 B. C. D.【答案】A【解析】【分析】建立空间直角坐标系，表示，然后利用空间向量的夹角公式计算即可.【详解】如图所以所以异面直线与所成角的余弦值故选：A【点睛】本题考查异面直线所成角的余弦值，利用向量的方法，便于计算，将几何问题代数化，属基础题.7.2023年暑期档动画电影《长安三万里》重新点燃了人们对唐诗的热情，唐诗中边塞诗又称出塞诗，是唐代汉族诗歌的主要题材，是唐诗当中思想性最深刻，想象力最丰富，艺术性最强的一部分，唐代诗人李颀的边塞诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”.诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设将军的出发点是，军营所在位置为，河岸线所在直线的方程为，若将军从出发点到河边饮马，再回到军营（“将军饮马”）的总路程最短，则（

）A.将军从出发点到河边的路线所在直线的方程是B.将军在河边饮马的地点的坐标为C.将军从河边回军营的路线所在直线的方程是D.“将军饮马”走过的总路程为5【答案】B【解析】【分析】由题意画出图形，则由三角形三边关系可知点为使得总路程最短“最佳饮水点”，三点共线满足题意，其中点为点关于直线的对称点，对于A，由根据被垂直平分求出的坐标进一步可求得方程对比即可；对于B，联立直线方程求解即可；对于C，由两点求出斜率，写出直线的点斜式方程，化简对比即可；对于D，根据两点间距离公式求解即可.【详解】如图所示：由题意可知在的同侧，设点关于直线的对称点为，三点共线满足题意，点为使得总路程最短的“最佳饮水点”，则，解得，即，对于A，直线的斜率为，所以将军从出发点到河边的路线所在直线的方程是，即，故A正确；对于B，联立，解得，即将军在河边饮马的地点的坐标为，故B正确；对于C，由C选项分析可知点，直线的斜率为，所以直线的方程为，即，故C错误；对于D，，即“将军饮马”走过的总路程为，故D错误.故选：B.8.如图，在正方体中，为棱上的一个动点，为棱上的一个动点，则平面与底面所成角的余弦值的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】建立合适的空间直角坐标系，求出所需点的坐标和向量的坐标，然后利用待定系数法求出平面EFB的法向量，由向量的夹角公式求解二面角的余弦值的取值范围，由此判断求解即可．【详解】设平面与底面所成的二面角的平面角为θ，由图可得θ不为钝角.以点D为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，则，所以，设平面的法向量为，则，即，令，则，故，又底面的一个法向量为，所以，因为，则，当时，，当时，，当，，则，，则，则当时，分母取到最小值，此时，当，时，则，此时，综上，故选：A.二、多项选择题：本题共3题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.直线过，两点，那么直线的倾斜角有可能是（）A. B. C. D.【答案】AD【解析】【分析】根据斜率的取值范围求得倾斜角的取值范围，进而选择正确答案.【详解】设的倾斜角分别为，直线的斜率，，又，直线的倾斜角的取值范围是.故选：AD.10.如图，在平行六面体中，设，若为与的交点，则下列等式正确的是（）A. B.C. D.【答案】BD【解析】【分析】利用向量加法的三角形法则，平行四边形法则即可求答案.【详解】，故A错误；，故B正确；，故C错误；，故D正确；故选：BD11.已知和两条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线，公垂线与两条直线相交的点所形成的线段，叫做这两条异面直线的公垂线段.两条异面直线的公垂线段的长度，叫做这两条异面直线的距离.如图，在棱长为1的正方体中，点在上，且；点在上，且.则下列结论正确的是（）A.线段是异面直线与的公垂线段B.异面直线与距离为C.点到直线的距离为D.点到平面的距离为【答案】ACD【解析】【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法依次求解判断.【详解】以为坐标原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系.，A1,0,0，，，，，，，，，.对于A，，，，，，即，，所以线段是异面直线与的公垂线段，故A正确；对于B，由正方体可得异面直线与的公垂线的方向向量为，又，所以异面直线与的距离为.故B错误；对于C，，，所以在方向的投影向量的模为，所以点到直线的距离为.故C正确；对于D，设平面的一个法向量为，则，即，令，得，，，又，所以点到平面的距离为.故D正确.故选：ACD.【点睛】思路点睛：本题考查空间中的距离问题.解题思路是建立空间直角坐标系，求出点坐标，根据点到直线距离公式，异面直线距离公式，点到面的距离公式，利用向量的坐标运算求解.第Ⅱ卷（非选择题）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知点M(0，－1)，点N在直线x－y＋1＝0上，若直线MN垂直于直线x＋2y－3＝0，则N点的坐标是________．【答案】(2,3)【解析】【分析】由于点N在直线x－y＋1＝0上可设点N的坐标为，然后根据直线MN垂直于直线x＋2y－3＝0可求出，进而得到点N的坐标．【详解】由点N在直线x－y＋1＝0上可设点N的坐标为，∴．又直线MN垂直于直线x＋2y－3＝0，∴，解得，∴点N的坐标为．故答案为【点睛】本题考查两直线垂直的条件及有关计算，解题时注意把两直线的位置关系转化为数的计算问题处理，属于基础题．13.已知两条平行直线：，：，则与间的距离为______.【答案】【解析】【分析】先根据两直线平行求出直线方程，然后根据平行直线的距离公式直接求解.【详解】由，得，得，所以：，即，又：，所以与间的距离.故答案为：14.在棱长为1的正方体中，，，分别在棱，，上，且满足，，，是平面，平面与平面的一个公共点，设，则_________.【答案】##1.2【解析】【分析】根据共面定理列方程组可解.【详解】如图所示，

正方体中，，，，A，，四点共面，，，，四点共面，，解得，；．故答案为：四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.根据下列各条件分别写出直线的方程，并化成一般式.（1）斜率是，且经过点；（2）在轴和轴上的截距分别是和；（3）经过点，且一个方向向量.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）根据直线方程的点斜式即可得解；（2）根据直线方程的截距式即可得解；（3）首先根据方向方程可得直线斜率，再根据点斜式即可得解.【小问1详解】解：根据点斜式可得直线方程为，化简可得；【小问2详解】解：根据截距式可得：，化简可得；【小问3详解】解：由直线的方向向量为可得直线的斜率，所以所求直线方程即.16.如图所示，在几何体中，四边形和均为边长为2的正方形，，底面，M、N分别为、的中点，.（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，求得直线的方向向量，求得平面的法向量，然后利用，证明，从而得出平面；（2）求得直线的方向向量，由（1）知平面的法向量，结合线面角的向量公式即可得解.【小问1详解】因为四边形为正方形，底面，所以，，两两相互垂直，如图，以A为原点，分别以，，方向为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系，由题意可得A0,0,0，，，，，，，，，则，，设平面的一个法向量为n1=x1故，即，则，令，得，所以，所以，又平面，所以平面.【小问2详解】由（1）得直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，设直线与平面所成角为，则，所以直线与平面所成角的正弦值为.17.已知直线方程为．（1）若直线的倾斜角为，求的值；（2）若直线分别与轴、轴的负半轴交于、两点，为坐标原点，求面积的最小值及此时直线的方程．【答案】（1）；（2）面积的最小值为，此时直线的方程为.【解析】【分析】（1）由直线斜率和倾斜角的关系可求得的值；（2）求出点、的坐标，根据已知条件求出的取值范围，求出的面积关于的表达式，利用基本不等式可求得面积的最小值，利用等号成立的条件可求得的值，即可得出直线的方程.【小问1详解】解：由题意可得.【小问2详解】解：在直线的方程中，令可得，即点，令可得，即点，由已知可得，解得，所以，，当且仅当时，等号成立，此时直线的方程为，即.18.已知直线：，.（1）证明直线过定点，并求出点的坐标；（2）在（1）的条件下，若直线过点，且在轴上的截距是在轴上的截距的，求直线的方程；（3）若直线不经过第四象限，求的取值范围.【答案】（1）证明见解析，点的坐标为（2）或（3）【解析】【分析】（1）化简方程为直线系方程的形式，组成方程组解出直线过的点；（2）根据题意分直线过原点、不过原点讨论，分析解决即可；（3）分①，②，③，且三种情况进行讨论分析解决.【小问1详解】证明：整理直线的方程，得，所以直线过直线与的交点，联立方程组，解得，所以直线过定点，点的坐标为.【小问2详解】当截距为0时，直线的方程为，即，当截距不为0时，设直线的方程为，则，解得，直线的方程为，即，故直线的方程为或.【小问3详解】当时，直线的方程为，符合题意；当时，直线的方程为，不符合题意；当，且时，，所以解得或，综上所述，当直线不经过第四象限时，的取值范围是：.19.如图，在四棱锥中，底面是边长为6的正方形，是正三角形，平面，为的中点，，，分别是，，上的点，且满足．（1）求平面与平面所成锐二面角的大小;（2）在线段上是否存在点，使得直线与平面所成角为?若存在，求线段的长度；若不存在，请说明理由.【答案】（1）（2）不存在，理由见解析【解析】【分析】（1）先证明平面，然后建立空间直角坐标系，分别求出平面与平面的两个法向量，借助向量法计算二面角所成角的公式即可得解.（2）令，然后求出，利用向量法的计算线面角的公式，建