第三单元角的度量 （讲义）-2024-2025学年四年级上册数学人教版

角的度量角的度量【思维导图+知识精讲+典型例题+高频真题+答案解析】编者的话：同学们，恭喜你已经开启了本单元的求知之旅，相信你已经正确规划了自己的学习任务，本套资料为课前预习，课中巩固，课后提升而设计，对单元知识点进行全面精讲，易错点逐个分解，强化练习常考易错真题，答案解析非常通俗易懂，可助你轻松掌握、理解、运用单元知识点解决问题！编者的话：同学们，恭喜你已经开启了本单元的求知之旅，相信你已经正确规划了自己的学习任务，本套资料为课前预习，课中巩固，课后提升而设计，对单元知识点进行全面精讲，易错点逐个分解，强化练习常考易错真题，答案解析非常通俗易懂，可助你轻松掌握、理解、运用单元知识点解决问题！目录导航资料说明第一部分：思维导图：单元知识简单且高效的发散性思维呈现，是一种实用性的知识小结。第二部分：知识精讲：把握知识要点，掌握方法技巧，理解数学本质，提升数学思维。第三部分：典型例题：选题典型、高频易错、考试母题，具有理解一题，掌握一类的优势。第四部分：高频真题：精选近两年统考真题，助您学习有方向，做好题，达到事半功倍的效果。第五部分：答案解析：重点、难点题精细化解析，犹如名师讲解，可以轻松理解。第一部分第一部分思维导图第二部分第二部分知识精讲知识清单方法技巧知识清单方法技巧1．直线、线段和射线的认识【知识点归纳】1．概念：直线：一根拉得很紧的线，就给我们以直线的形象，直线是直的，并且是向两方无限延伸的．一条直线可以用一个小写字母表示．线段：直线上两个点和它们之间的部分叫做线段，这两个点叫做线段的端点．一条线段可用它的端点的两个大写字母来表示．射线：直线上一点和它一旁的部分叫做射线．这个点叫做射线的端点．一条射线可以用端点和射线上另一点来表示．注意：（1）线和射线无长度，线段有长度．（2）直线无端点，射线有一个端点，线段有两个端点．2．直线、射线、线段区别：直线没有端点，两边可无限延长；射线有一端有端点，另一端可无限延长；线段，有两个端点，而两个端点间的距离就是这条线段的长度．2．角的概念和表示【知识点归纳】定义1：有公共端点的两条射线组成的图形叫角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边.角的大小只与开口的大小有关，而与角的边画出部分的长短无关．这是因为角的边是射线而不是线段．定义2：角由一条射线绕着它的端点旋转到另一个位置所成的图形，处于初始位置的那条射线叫做角的始边，终止位置的那条射线叫做角的终边.（1）如果角的终边是由角的始边旋转半周而得到，这样的角叫平角.（2）如果角的终边是由角的始边旋转一周而得到，这样的角叫周角.注意：由角的定义可知：（1）角的组成部分为：两条边和一个顶点；（2）顶点是这两条边的交点；（3）角的两条边是射线，是无限延伸的.（4）射线旋转时经过的平面部分称为角的内部，平面的其余部分称为角的外部.角的表示方法：（1）用三个字母表示，如∠AOB；（2）用数字表示角，如∠1；（3）用一个大写字母表示，如∠A3．角的分类（锐角直角钝角）【知识点归纳】根据角的度数，可以把角分为周角、平角、钝角、直角、锐角。（1）如果角的终边是由角的始边旋转半周而得到，这样的角叫平角.规定平角为180°（2）如果角的终边是由角的始边旋转一周而得到，这样的角叫周角.规定周角为360°（3）规定平角的一半是90°，直角的两边互相垂直。规定大于90°的角为钝角，小于90°的角为锐角。4．角的度量【知识点归纳】1．角的度量：角度的测量是最基本的测量，最常用的工具是量角器．2．角的度量单位通常有两种，一种是角度制，另一种就是弧度制．角度制，就是用角的大小来度量角的大小的方法．在角度制中，我们把周角的看作1度，那么，半周就是180度，一周就是360度．由于1度的大小不因为圆的大小而改变，所以角度大小是一个与圆的半径无关的量．弧度制，顾名思义，就是用弧的长度来度量角的大小的方法．单位弧度定义为圆周上长度等于半径的圆弧与圆心构成的角．由于圆弧长短与圆半径之比，不因为圆的大小而改变，所以弧度数也是一个与圆的半径无关的量．角度以弧度给出时，通常不写弧度单位，有时记为rad或R．3．度量方法：量角要注意两对齐：量角器的中心和角的顶点对齐．量角器的0刻度线和角的一条边对齐．做到两对齐后看角的另一条边对着刻度线几，这个角就是几度．看刻度要分清内外圈．5．画指定度数的角【知识点归纳】三角板能画出15、30、45、60、75、90、105、120、135、150、165、180度的角，是30°，45°，60°，90度的和差，因为通过三角尺只能作角的和差．其余的度数只能通过量角器画角．第三部分第三部分典型例题例题1：王老师要从家去超市买东西，有几种走法？哪种走法最近？为什么？【答案】见试题解答内容【分析】有3种走法．直接去超市；经过医院去超市；经过邮局去超市．直接去超市的走法最近，因为两点之间线段最短．据此解答即可．【解答】解：有3种走法：直接去超市；经过医院去超市；经过邮局去超市．直接去超市的走法最近，因为两点之间线段最短．【点评】此题主要考查两点之间线段最短的性质的灵活应用．例题2：如图中共有几条线段、几条射线？你发现了什么？【答案】6条，8条，射线的条数是端点个数的2倍。（发现答案不唯一）。【分析】射线有一端有端点，另一端可无限延长；线段，有两个端点，据此解题。【解答】解：线段有线段AB、线段AC、线段AD、线段BC、线段BD、线段CD，一共有6条线段；射线每个端点引出两条射线，因此有4个端点，就有8条射线。我发现射线的条数是端点个数的2倍。【点评】本题考查了射线及线段的特征。例题3：（1）求角的度数．已知∠1＝40°∠2＝140°∠3＝40°∠4＝140°（2）图中有2条直线；4条射线；2个锐角；2个钝角；4个平角；4个周角．【答案】见试题解答内容【分析】（1）由图可知，∠3＝∠1＝40°，∠2＝∠4＝180°﹣40°；据此解答．（2）图中两条直线相交，有一个交点，所以共有4条射线，再根据角的分类解答即可．【解答】解：（1）已知∠1＝40°则∠3＝∠1＝40°，∠2＝∠4＝180°﹣40°＝140°；（2）图中有2条直线；4条射线；2个锐角；2个钝角；4个平角；4个周角；故答案为：140°，40°，140°；2，4，2，2，4，4．【点评】此题考查了对顶角相等和角的分类．例题4：如图中被布遮住的是一个长方体，这个长方体表面被布遮住了几个直角？假如被布遮住的物体是正方体，那么这个正方体表面被遮住了几个直角？【答案】12，12．【分析】根据直角的意义，90度的角叫做直角．长方体和正方体的一个顶点由三条棱互相垂直相交，所以在长方体或正方体的一个顶点有3个直角．这个长方体表面被布遮住了4个顶点，所以被遮住了12个直角．同理：假如被布遮住的物体是正方体，那么这个正方体表面被遮住了12个直角．据此解答．【解答】解：长方体、正方体的一个顶点由三条棱互相垂直相交，所以在长方体或正方体的一个顶点有3个直角，所以这个长方体表面被布遮住了4个顶点，所以被遮住了12个直角．同理：假如被布遮住的物体是正方体，那么这个正方体表面被遮住了12个直角．【点评】此题考查的目的是理解掌握直角的意义，长方体、正方体的特征，关键是明确：长方体和正方体的一个顶点由三条棱互相垂直相交，所以在长方体或正方体的一个顶点有3个直角．第四部分第四部分高频真题一．选择题（共7小题）1．把平角分成两个角，其中一个是锐角，另一个一定是（）A．锐角 B．直角 C．周角 D．钝角2．如图哪一只手比划出来的角是钝角（）A． B． C． D．3．过两点能画（）条直线。A．0 B．1 C．无数4．学具三角板上的直角与长方形黑板上的直角相比（）A．一样大 B．黑板上直角大 C．三角板上的直角大 D．无法比较5．下列语句正确的是（）A．平角就是一条直线。 B．周角就是一条射线。 C．小于平角的角是钝角。 D．一周角等于四个直角。6．9点整的时候，钟面上的时针和分针所成的角是（）A．直角 B．锐角 C．钝角7．把一条5厘米长的线段向两端各延长10厘米，得到一条（）A．直线 B．线段 C．射线 D．不确定二．填空题（共4小题）8．数学课本的封面有个角，并且这些角都是角。9．已知∠1＝42°，∠2＝，∠3＝．10．如图中有个锐角，个直角，个钝角；有个三角形。11．直线没有端点，线段有个端点，射线有个端点。三．判断题（共8小题）12．判断一个角是锐角还是钝角，可以用三角尺上的直角比一比．13．射线只能向一端延长，而直线可以向两端延长，所以射线比直线要短．14．4时整，分针与时针成钝角．．15．用放大10倍的放大镜看一个90度的角，看到的角是100°。16．用放大镜看角，角的度数不变．．17．钟面上分钟走了3圈，时针转动的角度180度．18．一个角的两条边越长，这个角就越大．19．两条直线相交形成的4个角中如果有一个是直角，那么其他的三个角一定也都是直角。四．应用题（共12小题）20．下面钟面上时针和分针所成的角，哪个是锐角，哪个是直角，哪个是钝角？填在括号里．时整，钟面上时针和分针所成的角是直角．21．两个锐角能否拼成一个平角？如图是两位同学的说法。你同意谁的说法？请说明理由。22．如图是体育课上小华跳远的示意图，请在图中画出表示小华跳远的长度的线段．23．为了固定墙上的一个木条，我们最少要用两个以上的钉子才能让它更稳固，这是运用了我们学过的什么数学知识．生活中你还看到哪些数学的影子？举例说一说．24．两条直线相交，得到一个角为25度，请画图并计算出另外三个角的度数．25．如图所示，用量角器测量∠1的度数。∠1＝°，我是这样想的：26．乐乐把两张硬纸条订在一起，组成了一个37°的角，同桌欢欢在乐乐摆的基础上旋转其中一条边，所形成的角的度数比乐乐的4倍还大12°，这个角是多少度？是什么角？27．过A点画出已知直线的平行线，以B为顶点画一个115°的角。28．如图中有几个直角，比直角小的角有多少个？29．如图，一张纸上画了一个角，不过角的顶点处被撕掉了．现在你能想办法量出这个角的度数吗？30．我们已经认识了锐角、直角和钝角，在角的大家族中，是否还有其他的角呢？它们又有哪些特征呢？31．钟表上当时间为8：00时，分针与时针的夹角是多少度？参考答案与试题解析一．选择题（共7小题）1．把平角分成两个角，其中一个是锐角，另一个一定是（）A．锐角 B．直角 C．周角 D．钝角【答案】D【分析】平角是180度，其中锐角是大于0°，小于90°的角，用“180﹣锐角”所得的角的度数大于90度，根据钝角的含义：大于90度，小于180度，叫做钝角；进而得出结论．【解答】解：平角是180度，其中锐角是大于0°，小于90°的角，用“180﹣锐角”所得的角的度数大于90度，所以另一个角是钝角；故选：D．【点评】此题考查了锐角、平角和钝角的含义，应注意知识的灵活运用．2．如图哪一只手比划出来的角是钝角（）A． B． C． D．【答案】B【分析】钝角大于90度的直角，利用三角板的直角测量判断。【解答】解：是一个钝角。故选：B。【点评】本题考查了钝角的特征。3．过两点能画（）条直线。A．0 B．1 C．无数【答案】B【分析】根据直线的性质：过两点可以画一条直线，过一点可以画无数条直线；进行解答即可。【解答】解：过两点能画一条直线。故选：B。【点评】此题考查了直线的性质。4．学具三角板上的直角与长方形黑板上的直角相比（）A．一样大 B．黑板上直角大 C．三角板上的直角大 D．无法比较【答案】A【分析】所有的直角都是90度，大小一样，据此解答。【解答】解：学具三角板上的直角与长方形黑板上的直角相比一样大。故选：A。【点评】本题考查了直角的特征。5．下列语句正确的是（）A．平角就是一条直线。 B．周角就是一条射线。 C．小于平角的角是钝角。 D．一周角等于四个直角。【答案】D【分析】平角的两边在同一条直线上，周角的两条边互相重合；钝角是大于90度小于180度的角；周角等于360度，直角等于90度，所以1周角＝4个直角。【解答】解：A.平角的两边在同一条直线上，原题说法错误；B.周角的两条边互相重合，原题说法错误；C.小于平角的角可能是钝角、直角或锐角，原题说法错误；D.1周角＝4个直角，说法正确。故选：D。【点评】本题考查了平角、周角、钝角及直角的特征。6．9点整的时候，钟面上的时针和分针所成的角是（）A．直角 B．锐角 C．钝角【答案】A【分析】钟面上有12个数字，以表芯为旋转点，表针转一圈是360°，被12个数字平均分成12份，每一份也就是两数之间夹角是30°，当钟面上9时整，时针指着9，分针指12，两数之间有3个大格是30°×3＝90°，此时时针和分针所成的角是直角；据此判断即可。【解答】解：9时整的时候，时针指着9，分针指12，两数之间有3个大格是30°×3＝90°，此时时针和分针所成的角是直角。故选：A。【点评】明确钟表12个数字，每相邻两个数字之间的夹角为30°，是解答此题的关键。7．把一条5厘米长的线段向两端各延长10厘米，得到一条（）A．直线 B．线段 C．射线 D．不确定【答案】B【分析】直线、射线、线段都是直的，线段有两个端点，长度有限；射线有一个端点，长度无限；直线没有端点，长度无限；线段向两端延长一定的长度，还是线段。【解答】解：将一条线段的两端各延长10厘米，得到一条线段。故选：B。【点评】此题主要考查直线、射线和线段的特征。二．填空题（共4小题）8．数学课本的封面有4个角，并且这些角都是直角。【答案】4，直。【分析】数学课本的封面上有4个直角，据此解答。【解答】解：数学课本的封面有4个角，并且这些角都是直角。故答案为：4，直。【点评】本题考查了直角的特征及生活应用。9．已知∠1＝42°，∠2＝48°，∠3＝132°．【答案】见试题解答内容【分析】根据直角的定义可求∠2的度数，根据平角的定义可求∠3的度数．【解答】解：∠2＝90°﹣42°＝48°；∠3＝180°﹣48°＝132°．故答案为：48°；132°．【点评】本题关键是熟悉直角等于90°，平角等于180°的知识点．10．如图中有5个锐角，1个直角，2个钝角；有2个三角形。【答案】5；1；2；2。【分析】根据锐角、直角、钝角的意义分类计数，然后数出三角形的个数即可。【解答】解：如图中有5个锐角，1个直角，2个钝角；有2个三角形。故答案为：5；1；2；2。【点评】本题主要考查角的概念及分类以及三角形的认识，掌握锐角、直角及钝角的定义是解题的关键。11．直线没有端点，线段有2个端点，射线有1个端点。【答案】2，1。【分析】根据直线、线段和射线的含义：直线没有端点，可以向两端无限延伸，不能量出长度；线段有2个端点，不能向两端延伸，可以量出长度；射线只有1个端点，只能向一端无限延伸，不能量出长度；进行解答即可。【解答】解：如图：直线没有端点，线段有2个端点，射线有1个端点。【点评】本题考查了直线和射线的特征。三．判断题（共8小题）12．判断一个角是锐角还是钝角，可以用三角尺上的直角比一比．√【答案】√【分析】可根据口令判断一个角是锐角还是钝角，直角是个好裁判，锐角钝角一眼辨，嘴巴尖尖小于己，便是锐角小兄弟；嘴巴宽宽大于己，定是钝角无疑，由此判断即可．【解答】解：判断一个角是锐角还是钝角，可以用三角尺上的直角比一比，说法正确．故答案为：√【点评】解答此题应明确锐角小于直角，钝角大于直角，由此进行判断即可．13．射线只能向一端延长，而直线可以向两端延长，所以射线比直线要短．×【答案】见试题解答内容【分析】根据线段、射线和线段的含义：线段有限长，有两个端点；射线有一个端点，无限长；直线无端点，无限长；进而进行判断即可．【解答】解：根据直线和射线的含义可知：直线能向两个方向无限延长，而射线只能向一个方向无限延长，但直线和射线都无限长，所以无法比较其长短，所以本题说法错误；故答案为：×．【点评】此题考查了直线、射线和线段的含义和特点．14．4时整，分针与时针成钝角．√．【答案】见试题解答内容【分析】钟面上的12个时刻将钟面分成了12份，每份是360°÷12＝30°，4时整，则占了4份，即30°×4＝12°，据此解答判断即可．【解答】解：时钟在4时整，时针与分针的夹角为：（360÷12）°×4＝120°，120°是钝角．所用“4时整，分针与时针成钝角”是正确的．故答案为：√．【点评】此题考查了角的概念及生活中有关钟面知识的应用．15．用放大10倍的放大镜看一个90度的角，看到的角是100°。×【答案】×【分析】用放大镜看角时，放大的是角的边，不改变角的形状，根据角的大小与边长无关可知角的度数不会改变。【解答】解：用放大镜看角时，放大的是角的边，不改变角的形状，根据角的大小与边长无关可知角的度数不会改变。所以用放大10倍的放大镜看一个90度的角，看到的度数仍是90度，原题说法错误。故答案为：×。【点评】用放大镜看角，很容易错误认为角的度数会被放大相同倍数，关键要学生理解角的大小与边的长短无关。也要认识到一个普遍规律：放大镜只改变物体大小，不改变物体形状，对角而言只是一种图形，既然形状不变，角度也不会改变。16．用放大镜看角，角的度数不变．√．【答案】√【分析】角的度数的大小，只与两边叉开的大小有关，与边的长短无关，所以用一个放大镜看一个角，这个角的度数不变；据此解答．【解答】解：用放大镜看角，角的度数不变，说法正确；故答案为：√．【点评】此题主要考查角的概念；放大镜放大的只是两边的长短．17．钟面上分钟走了3圈，时针转动的角度180度．×【答案】见试题解答内容【分析】首先判断出钟面上分钟走了3圈，经过了3个小时；然后根据每经过1个小时，时针转动的角度是30度，判断出钟面上分钟走了3圈，时针转动的角度是多少度即可．【解答】解：钟面上分钟走了3圈，经过了3个小时，3×（360÷12）＝3×30＝90（度）答：钟面上分钟走了3圈，时针转动的角度是90度．故答案为：×．【点评】此题主要考查了角的概念和应用，以及钟面的认识，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：每经过1个小时，时针转动的角度是30度．18．一个角的两条边越长，这个角就越大．×【答案】×【分析】依据角的定义就可填出正确答案．【解答】解：角的大小和边长无关．故答案为：×．【点评】此题主要考查角的定义．19．两条直线相交形成的4个角中如果有一个是直角，那么其他的三个角一定也都是直角。√【答案】√【分析】根据垂线的定义可知，如果两条直线相交，所成的夹角如果其中一个角是直角，那么就说这两条直线互相垂直，所有的夹角都是直角，据此判断。【解答】解：两条直线相交形成的4个角中如果有一个是直角，说明这两条直线互相垂直，那么其他的三个角一定也都是直角。原题说法正确。故答案为：√。【点评】本题考查了直角的特征。四．应用题（共12小题）20．下面钟面上时针和分针所成的角，哪个是锐角，哪个是直角，哪个是钝角？填在括号里．3时整，钟面上时针和分针所成的角是直角．【答案】见试题解答内容【分析】大于0°小于90°的角叫做锐角；等于90°的角叫做直角；大于90°，小于180°的角叫做钝角；据此即可判断．【解答】解：3时整，钟面上时针和分针所成的角是直角．故答案为：锐，直，钝，3．【点评】熟练掌握锐角、直角、钝角的概念，是解答本题的关键．21．两个锐角能否拼成一个平角？如图是两位同学的说法。你同意谁的说法？请说明理由。【答案】小刚，两个锐角都小于90度，不可能拼成180度的平角。【分析】平角等于180度，锐角小于90度，据此解答。【解答】解：两个锐角都小于90度，不可能拼成180度的平角，小刚的说法正确。【点评】本题考查了锐角和平角的特征及认识。22．如图是体育课上小华跳远的示意图，请在图中画出表示小华跳远的长度的线段．【答案】【分析】我画起跑线与脚印所在直线的垂线段，由此解答即可．【解答】解：【点评】解答此题的关键是熟练掌握由点到直线的距离的定义及跳远比赛的规则．23．为了固定墙上的一个木条，我们最少要用两个以上的钉子才能让它更稳固，这是运用了我们学过的什么数学知识．生活中你还看到哪些数学的影子？举例说一说．【答案】见试题解答内容【分析】根据直线的性质：两点确定一条直线”来解答即可；生活中数学的影子很多，比如大家在走路的时候不喜欢拐弯，喜欢抄近路，原因是线段的性质：两点之间，线段最短．如此举例即可．【解答】解：为了固定墙上的一个木条，我们最少要用两个以上的钉子才能让它更稳固，这是运用了直线的性质：两点确定一条直线”．生活中数学的影子很多，比如大家在走路的时候不喜欢拐弯，喜欢抄近路，原因是线段的性质：两点之间，线段最短．【点评】本题考查了直线的性质：两点确定一条直线．解答此题不仅要根据直线的性质，更要联系生活实际，以培养同学们学以致用的思维习惯．24．两条直线相交，得到一个角为25度，请画图并计算出另外三个角的度数．【答案】见试题解答内容【分析】如图，直线AB与直线CD相交于点O，如果∠BOD＝25°，则∠AOD＝180°﹣25°＝155°，同理即可分别求出∠AOC、∠COB的度数．【解答】解：如图∠AOD＝180°﹣25°＝155°∠AOC＝180°﹣155°＝25°∠COB＝180°﹣25°＝155°【点评】两条直线相交组成4个角，其中相对的两个角的度数相同，这两个角叫对顶角．对顶角相等．25．如图所示，用量角器测量∠1的度数。∠1＝100°，我是这样想的：量角器上每一个大格表示10度，∠1之间有10个大格，就是100度。【答案】100；量角器上每一个大格表示10度，∠1之间有10个大格，就是100度。【分析】量角器上每一个大格表示10度，据此数一下∠1之间有10个大格，就是100度。【解答】解：10°×10＝100°答：∠1＝100°，我是这样想的：量角器上每一个大格表示10度，∠1之间有10个大格，就是100度。故答案为：100；量角器上每一个大格表示10度，∠1之间有10个大格，就是100度。【点评】本题考查了角的度量与计算，结合图示分析解答即可。26．乐乐把两张硬纸条订在一起，组成了一个37°的角，同桌欢欢在乐乐摆的基础上旋转其中一条边，所形成的角的度数比乐乐的4倍还大12°，这个角是多少度？是什么角？【答案】160°；钝角。【分析】根据题意可知，用乐乐组成角的度数乘4后，再加12°，即可得到欢欢组成角的度数，依此计算并根据角的分类标准解答即可。【解答】解：37°×4+12°＝148°+12°＝160°160°是一个钝角。答：这个角是160°，是钝角。故答案为：160°；钝角。【点评】本题考查了角的分类及计算。27．过A点画出已知直线的平行线，以B为顶点画一个115°的角。【答案】【分析】（1）直线没有端点，两边无限延长，据此利用直尺和三角板画平行线图；（2）画一个115°的角可据以下步骤进行：用量角器的中心和射线的端点B重合，零刻度线和射线重合；在量角器115°角刻度线的