云南专版人教版八年级数学下册教案 第十八章 平行四边形

第十八章平行四边形

18.1平行四边形

18.1.1平行四边形的性质

第1课时平行四边形的边、角特征

教学目标

1.理解并掌握平行四边形的概念和平行四边形对边、对角相等的性质.

2.会用平行四边形的性质解决简单的平行四边形的计算问题，并会进行有关的论证.

3.培养学生发现问题、解决问题的能力及逻辑推理能力.

预习反馈

阅读教材P41〜43,完成下列问题.

1.两组对边分别壬红的四边形叫做平行四边形.平行四边形用符号?表示，如图，平行四边形ABCD记作nABCD.

D

A匚27

如图，•.•四边形ABCD是平行四边形，；.AB〃英，AD〃区.

反过来，：AB〃CD,AD〃BC,

四边形ABCD是平行四边形.

2.平行四边形的对边壬任且相笺，对角相笠，邻角互补.

DC

二

A7R

如图，・・•四边形ABCD是平行四边形，

.\AB/7CD,AD/7BC,

AB=CD,AD=BC,

ZA=ZC,ZB=ZD,

NA+NB=180°,ZA+ZD=180°.

3.两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离,叫做这两条平行线之间的距离.

如图，已知a〃b,则a与b的距离是图中的线段”的长度.

ACE

名校讲坛

例(教材P42例1)如图，在。ABCD中，DE±AB,BF±CD,垂足分别为E,F.求证:AE=CF.

【思路点拨】要证AE=CF,可以证明△ADEg^CBF.

【解答】，•四边形ABCD是平行四边形，

AZA=ZC,AD=CB.

又,.•NAED=NCFB=90°,

AADE^ACBF(AAS).

Z.AE=CF.

【方法归纳】在平行四边形中证明线段与角的问题通常要用到全等.

【跟踪训练1】(教材P43练习T1变式)在QABCD中，AD=3cm,AB=2cm,则。ABCD的周长等于(A)

A.10cmB.6cm

C.5cmD.4cm

【跟踪训练2】如图，已知四边形ABCD是平行四边形，点E,B,D,F在同一直线上，且BE=DF.求证：AE=CF.

证明：•・•四边形ABCD是平行四边形，

AAB/7CD,AB=CD.

AZABD=ZCDB.

AZABE=ZCDF.

fAB=CD,

在aABE和4CDF中，｛ZABE=ZCDF,

[BE=DF,

.,.△ABE^ACDF(SAS).

.\AE=CF.

巩固训练

1.已知在QABCD中，NA+/C=240°,则/B的度数是(B)

A.100°B.60°C.80°D.160°

2.如图，在。ABCD中，AB=3,BC=5,NABC的平分线交AD于点E,则DE的长为(D)

A.5

B.4

C.3

D.2

3.若平行四边形中两个内角的度数比为1：2,则其中较大的内角是(D)

A.45°B.60°C.90°D.120°

4.在。ABCD中，若AB=3cm,AD=4cm,则可\BCD的周长为基

5.在平面直角坐标系中，若BIBCD的三个顶点坐标为A(l,0),B(0,2),C(一4,2),则另外一个顶点D的坐标为

(一3,0).

6.如图，在。ABCD中，E,F为对角线BD上的两点.

(1)若AE_LBD,CF1BD,证明：BE=DF；

(2)若AE=CF,能否说明BE=DF?

解：(1)证明：；AE_LBD,CF±BD,

.•.NAEB=NCFD=90°.

•.•四边形ABCD是平行四边形，

.*.AB=CD,AB〃CD.

ZABE=ZCDF.

CZAEB=ZCFD,

在aAEB和aCFD中，JNABE=NCDF,

[AB=CD,

AAEB^ACFD(AAS).BE=DF.

(2)不能，举例如图.

课堂小结

1.平行四边形的定义.

’对边平行

对边相等

2.平行四边形的性质〈

对角相等

、邻角互补

3.连接对角线可以帮助解决平行四边形问题.

第2课时平行四边形的对角线性质

教学目标

1.理解平行四边形中心对称的特征，掌握平行四边形对角线互相平分的性质.

2.能综合运用平行四边形的性质解决平行四边形的有关计算问题和简单的证明题.

3.培养学生的推理论证能力和逻辑思维能力.

预习反馈

阅读教材P43〜44,完成下列问题.

1.平行四边形的对角线互相壬分.

如图，•••四边形ABCD是平行四边形，对角线AC,BD相交于点0,

11

.,.A0=0C=-AC,B0=D0=-BD.

2.(1)平行四边形的面积=底义高.

如图1,在口ABCD中，AE_LBC于E,AFJ_CD于F,则S°ABCI>=BC•AE=CD•AF.

===

(2)如图2,0ABCD的对角线AC,BD相父于点0,则SZSAOB—SABW——SACO<)—SADOAT4SaABci).

名校讲坛

例(教材P44例2)如图，在。ABCD中，AB=10,AD=8,AC1BC,求BC,CD,AC,OA的长，以及口ABCD的面积.

【思路点拨】根据平行四边形的性质即可得到BC和CD的长，根据AC1BC,在RtAABC中运用勾股定理即可得出

AC的长，又0A等于AC的一半即可求出0A,口ABCD的面积=BC•AC.

【解答】•••四边形ABCD是平行四边形，

；.BC=AD=8,CD=AB=10.

VAC±BC,

.'.△ABC是直角三角形.

根据勾股定理，得

AC=^/AB2-BC2=^/102-82=6.

XV0A=0C,

.,.0A=1AC=3,

SOABCD=BC•AC=8X6=48.

【跟踪训练1】（教材P44练习Tl）如图，在DABCD中，BC=10,AC=8,BD=14.AAOD的周长是多少？^ABC与4

DBC的周长哪个长？长多少？

解：・・•四边形ABCD为平行四边形，

八“11

・・・A0=0C=5AC,BO=OD=,BD,BC=AD.

ACAAOD=AO+OD+AD=|AC+1BD+BC=4+10+7=21.

・・,四边形ABCD为平行四边形，

AAB=CD.

VCAABC=AB+BC+AC=AB+BC+8,C△厢C=BC+CD+BD=BC+AB+14,

CADBC-CAABC=6.

C△DBC>CAAIJC,长6.

【跟踪训练2】（《名校课堂》18.L1第2课时习题）如图所示，在口ABCD中，对角线AC与BD相交于点0,点M,

N在对角线AC上，且AM=CN,求证：BM〃DN.

证明：・・•四边形ABCD是平行四边形，

/.0A=0C,0B=0D.

VAM=CN,

A0M=0N.

f0B=0D,

在△BOM和△DON中，iZB0M=ZD0N,

[()M=ON,

.'.△BOM^ADON(SAS).

AZ0BM=Z0DN.

・・・BM〃DN.

巩固训练

1.如图，口ABCD的对角线AC,BD相交于点0,则下列说法一定正确的是(C)

A.AO=ODB.AO±OD

C.AO=OCD.AO±AB

2.如图，口ABCD的对角线AC和BD相交于点0,与aOBC面积相等的三角形（不包括自身）的个数是（B）

A.4B.3C.2D.1

3.如图，在口ABCD中，对角线AC与BD交于点0,ZDAC=42°,ZCBD=23°,则NC0D=(C)

A.61°B.63°C.65°D.67°

B

4.如图，在口ABCD中，Z0DA=90°,AC=10cm,BD=6cm,则AD的长为(A)

A.4cmB.5cmC.6cmD.8cm

5.已知在口ABCD中，AC,BD交于点0,4AOB的面积为2,那么。ABCD的面积为当

6.如图，己知口1BCD的对角线AC,BD相交于点0,AELBD于点E,CF_LBD于点F,求证:△ADE^ACBF.

证明：・・•四边形ABCD为平行四边形,

AAD=BC,AD//BC.

AZADE=ZCBF.

VAE1BD,CF1BD,

.\ZAED=ZCFB=90°.

.,.△ADE^ACBF(AAS).

7.如图，在口ABCD中，对角线AC,BD交于点0,过点0作直线EF,交AD,BC于点E,F.

(1)求证:OE=OF；

⑵四边形ABFE的面积与四边形FCDE的面积间有何关系？

解：(1)证明：・・•四边形ABCD是平行四边形,

/.AO=OC,AD//BC.

AZEA0=ZFC0.

ZA0E=ZC0F,

在aAOE和△COF中,AO=CO,

ZEA0=ZFC0,

/.△AOE^ACOF(ASA).A0E=0F.

(2)S四边形ABFE=S四边形H,俄.理由如下:

•・,四边形ABCD是平行四边形,

.\AB=CD,BC=AD,ZABC=ZCDA.

AABC^ACDA(SAS).，S△祝=5△..

由(1)可知AAOEg△COF,

SAAOE==SACOF.

X***S四边形ABFE=SZXABC+SAAOE—SACOF,

S四边形ECDE=SACDA+SACOF-SAAOE，

s四边形ABFE=S四边形FCDE.

课堂小结

,对边平行且相等

平行四边形的性质上寸角相等

、对角线互相平分

18.1.2平行四边形的判定

第1课时平行四边形的判定

教学目标

1.掌握平行四边形的判定定理.

2.灵活运用平行四边形的判定定理.

3.灵活运用平行四边形性质和判定解决实际问题.

预习反馈

阅读教材P45〜47,完成下列问题.

1.两组对边分别壬丘的四边形是平行四边形.

图1

如图1,在四边形ABCD中，

VAB/7CD,BC/7AD,

四边形ABCD是平行四边形.

2.两组对边分别相笠的四边形是平行四边形.

如图1,在四边形ABCD中,

VAB=CD,BC=DA,

四边形ABCD是平行四边形.

3.两组对角分别相笠的四边形是平行四边形.

如图1,在四边形ABCD中,

VZA^ZC,/B=ND,

四边形ABCD是平行四边形.

图2

4.对角线互相平分的四边形是平行四边形.

如图2,在四边形ABCD中，AC,BD相交于点0,

VA0=C0,B0=D0,

...四边形ABCD是平行四边形.

5.一组对边平行且相笠的四边形是平行四边形.

如图1,在四边形ABCD中，

VAB//CD,AB=CD,

...四边形ABCD是平行四边形.

名校讲坛

例1（教材P46例3）如图，QABCD的对角线AC,BD相交于点0,E,F是AC上的两点，并且AE=CF.求证：四边形

BFDE是平行四边形.

【思路点拨】根据平行四边形的性质可以得出0A=0C,0B=0D,再结合AE=CF,得出四边形BFDE的对角线互相

平分，即可得出四边形BFDE是平行四边形.

【解答】证明：\•四边形ABCD是平行四边形，

.•.B0=D0,A0=C0.

又：AE=CF,

；.E0=F0.

四边形BFDE是平行四边形.

【跟踪训练1】如图，在四边形ABCD中，AB〃CD,对角线AC,BD相交于点0,且A0=C0.求证：四边形ABCD是平

行四边形.

.1

证明：VAB/7CD,

；./ABO=/CDO,

ZBAO=ZDCO.

又,..△()=CO,

...△ABO丝△CDO(AAS).

.*.BO=DO.

四边形ABCD是平行四边形.

例2(教材P47例4)如图，在。ABCD中，E,F分别是AB,CD的中点，求证：四边形EBFD是平行四边形.

【思路点拨】根据E,F分别是AB,CD的中点，四边形ABCD是平行四边形，可得BE平行且等于DF.

【解答】•••四边形ABCD是平行四边形，

；.AB=CD,EB〃FD.

又EB=%B,FD=|cD,

AEB=FD.

...四边形EBFD是平行四边形.

【方法归纳】判定平行四边形的基本思路：

(1)若已知一组对边平行，可以证这一组对边相等或另一组对边平行；

(2)若己知一组对边相等，可以证这一组对边平行或另一组对边相等；

(3)若已知一组对角相等，可以证另一组对角相等；

(4)若已知条件与对角线有关，可以证明对角线互相平分.

【跟踪训练2】如图，在。ABCD中，点E,F分别在AD,BC上，且AE=CF,EF,BD相交于点0,求证：0E=

证明：连接BE,DF.

:四边形ABCD是平行四边形,

，AD〃BC,AD=BC.

VAE=CF,，DE=BF.

又・.・DE〃BF,

・・・四边形BEDF是平行四边形.

AOE=OF.

巩固训练

1.如图所示，AD/7BC,要使四边形ABCD成为平行四边形还需要条件(D)

/D

HC

A.AB=DC

B.Z1=Z2

C.AB=AD

D.AD=BC

2.下面给出的是四边形ABCD中NA,ZB,ZC,ND的度数比，其中能判断出四边形是平行四边形的是(B)

A.4：3：2：1B.3：2：3：：2

C.3：3：2：2D.3：2：2：1

,4D

/?C

3.如图，四边形ABCD的对角线相交于点0,A0=C0,请添加一个条件B0=D0(答案不唯一)(只添一个即可),使四

边形ABCD是平行四边形.

BE=；BC,FD=；AD,连接BF,DE.求证：四边形BEDF是平行四边形.

4.如图，点E,F在口ABCD的边BC,AD上，

,4卜D

R/­：C

证明：・・•四边形ABCD为平行四边形，

AAD平行且等于BC.

11

VBE=-BC,FD=-AD,

OO

ABE=FD.

又：BE〃FD,

四边形BEDF是平行四边形.

5.如图，在四边形ABCD中，AB〃CD,点E,F为对角线AC上两点，且AF=CE,DF〃BE.求证：四边形ABCD为平行

四边形.

证明：VAB^CD,

ZDCA=ZBAC.

；DF〃BE,.,.ZDFA=ZBEC.

；./CFD=/AEB.

VAF=CE,

.\AF-EF=CE-EF,即AE=CF.

fZBAE=ZDCF,

在aAEB和aCFD中，，AE=CF,

|,ZAEB=ZCFD,

.,.△AEB^ACFD(ASA).

AAB=CD.

：AB〃CD,

四边形ABCD为平行四边形.

课堂小结

1.平行四边形判定定理：

(1)定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形;

(2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形；

(3)对角线互相平分的四边形是平行四边形；

(4)两组对角分别相等的四边形是平行四边形；

(5)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.

2.平行四边形性质和判定的运用.

第2课时三角形的中位线

教学目标

1.理解三角形中位线的概念，掌握它的性质.

2.能较熟练地应用三角形中位线性质进行有关的证明和计算.

预习反馈

阅读教材P47〜49,完成下列问题.

1.三角形的中位线的定义：连接三角形两边史在的线段叫做三角形的中位线.

2.三角形的中位线定理：三角形的中位线壬立于三角形的第三边，并且等于第三边的一半.

A

RC

如图，：DE是aABC的中位线，

-1

ADE//BC,且DE=]/.

3.一个三角形有三条中位线.

名校讲坛

例1（教材P48探究）如图，D,E分别为AABC边AB,AC的中点，求证：DE〃BC,且DE=；BC.

【思路点拨】本题既要证明两条线段所在的直线平行，又要证明其中一条线段的长等于另一条线段长的一半.将

DE延长一倍后，可以将证明DE=；BC转化为证明延长后的线段与BC相等.又由于E是AC的中点，根据对角线互相

平分的四边形是平行四边形构造一个平行四边形，利用平行四边形的性质进行证明.

占

HC

【解答】证明：如图，延长DE到点F,使EF=DE,连接FC,DC,AF.

VAE=EC,DE=EF.

四边形ADCF是平行四边形，CF平行且等于DA.

；.CF平行且等于BD.

四边形DBCF是平行四边形，DF平行且等于BC.

XVDE=|DF,

；.DE〃BC,且DE=；BC.

A

【跟踪训练1】如图，在口ABCD中，对角线AC,BD相交于点0,点E是AB的中点，0E=5cm,则AD的长为12cm.

例2(教材P49练习T1)如图，在aABC中，D,E,F分别是AB,BC,CA的中点，以这些点为顶点，在图中，你能

画出多少个平行四边形？为什么？

【解答】能画出三个平行四边形，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得四边形BEFD、四边形DECF、

四边形ADEF为平行四边形.

【跟踪训练2】如图，在AABC中，D,E,F分别为边AB,BC,CA的中点.求证：四边形DECF是平行四边形.

证明：：D,E,F分别为AB,BC,CA的中点,

；.DF,DE为△ABC的中位线.

；.DF〃BC,DE/7AC.

四边形DECF是平行四边形.

巩固训练

1.如图，在等边aABC中，点D,E分别为AB,AC的中点，则NDEC的度数为(B)

A.150°B.120°C.60°D.30°

2.如图，AABC中，D,E,F,G分别是AB,AC,AD,AE的中点，若BC=8,则DE+FG=(B)

A.4.5

%-\G

3.已知aABC的各边长度分别为3cm,4cm,5cm,则连接各边中点的三角形周长为(D)

A.2cmB.7cmC.5cmD.6cm

A

4.如图，在AABC中，D,E分别是AB和AC的中点，F是BC延长线上一点，CF=1,DF交CE于点G,且EG=CG,

则BC=2.

5.如图，在△ABC中，CF平分/ACB,CA=CD,AE=EB,求证：EF=|BD.

证明：VCA=CD,CF平分NACB,

；.CF为AD边上的中线.

・・・F为AD的中点.

VAE=EB,

・・・E为AB中点.

Z.EF^AABD的中位线.

1

AEF=-BD.

乙

6.如图，在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，E,F分别是AB,CD的中点，AD=BC,NPEF=18°.求NPFE

的度数.

解：：P,E,F分别是DB,AB,DC的中点,

；.PF是△[)0?的中位线，PE是aDAB的中位线,

；.PF=*C,PE=|AD.

VBC=AD,APF=PE.

,."ZPEF=18",.\ZPFE=ZPEF=18".

课堂小结

1.三角形的中位线定理.

2.三角形的中位线定理不仅给出了中位线与第三边的位置关系，而且给出了他们的数量关系，在三角形中给出一

边的中点时，要转化为中位线.

18.2特殊的平行四边形

18.2.1矩形

第1课时矩形的性质

教学目标

1.掌握矩形的概念和性质，理解矩形与平行四边形的区别与联系.

2.会初步运用矩形的概念和性质来解决有关问题.

预习反馈

阅读教材P52〜53,完成下列问题.

1.矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.

如图1,：四边形ABCD是平行四边形，ZA=90°,

四边形ABCD是矩形.

2.矩形的性质：矩形的对边平行且相等;矩形的四个角都是直角;矩形的对角线互相平分且相等.

如图2,•.•四边形ABCD是矩形,

；.AB平行且等于④，AD平行且等于区,

NBAD=NABC=NBCD=NADC=90°,

11

AO=OC=-AC,BO=DO=-BD,AC=BD.

3.直角三角形斜边上的中线等于斜边的二生.

如图,在RSABC中,NACB=9。。，D为AB的中点，则CD/胆

名校讲坛

例1（教材P53例1）如图，矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点0,ZA0B=60°,AB=4,求矩形对角线的长.

【思路点拨】因为矩形是特殊的平行四边形，所以它具有对角线相等且互相平分的特殊性质，根据矩形的这个性

质和已知条件，可得AOAB是等边三角形，因此对角线的长度可求.

【解答】1•四边形ABCD是矩形,

...AC与BD相等且互相平分.

AOA=OB.

又NA0B=60°,

.♦.△OAB是等边三角形.；.0A=AB=4.

.,.AC=BD=20A=2X4=8.

【方法归纳】应用矩形性质计算的一般思路:

①根据矩形的四个角都是直角，一条对角线将矩形分成两个全等的直角三角形，用勾股定理求线段的长度是常

用的思路;

②根据矩形对角线相等且互相平分，故可借助对角线的关系得到全等三角形，矩形的两条对角线把矩形分成四

个等腰三角形，在矩形性质相关的计算和证明中要注意这个结论的运用，建立能够得到线段或角度的等量关系.

【跟踪训练1】（《名校课堂》18.2第1课时习题）如图，在矩形ABCD中，对角线AC,BD相交于点0,ZACB=30°,

则NAOB的大小为（B）

A.30°

B.60°

C.90°

D.120°

【跟踪训练2】如图，矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点0,点E,F在BD上，OE=OF.求证：AE=CF.

??C

证明：・・•四边形ABCD是矩形，

AOA=OC.

在AAOE和△COF中，

[OA=OC,

<ZA0E=ZC0F,

[OE=OF,

.,.△AOE^ACOF(SAS).

・・・AE=CF.

例2如图，D,E,F分别是aABC各边的中点，AH是高，如果ED=5cm,求HF的长.

【思路点拨】由中位线定理可知DE=%C,即可求出AC的长度，又因为IIF是RtaAHC斜边上的中线，即可求出HF

的长度.

【解答】由题意，得DE是aABC的中位线，

1

.\DE=-AC.

VHF是RtAAHC的斜边AC上的中线，

；.HF=%C.

AHF=DE=5cm.

【跟踪训练3】如图，在aABC中，D为AB的中点，BE±AC,垂足为E.若DE=4,AE=6,则BE的长度是(D)

A

B

A.10

B.2乖

C.8

I).2小

巩固训练

1.在下面性质中，矩形不一定具有的是(D)

A.对角线相等B.四个角都相等

C.是轴对称图形D.对角线互相垂直

2.直角三角形中，斜边长为12,则斜边上的中线长是(A)

A.6B.4C.8D.12

3.如图，在矩形ABCD中，对角线AC,BD相交于点0,点E,F分别是AO,AD的中点，若AB=6cm,BC=8cm,

则AAEF的周长为(C)

A.7cmB.8cm

C.9cmD.12cm

4.如图，已知矩形ABCD中，对角线AC,BD相交于0,AEJ_BD于E,若NDAE：/BAE=3：1,则/ABD为(D)

5.如图，矩形ABCD的对角线AC和BD相交于点0,过点0的直线分别交AD和BC于点E,F,AB=2,BC=4,则图

中阴影部分的面积为生

6.如图，己知四边形ABCD是矩形(AD>AB),点E在BC上，且AE=AD,DF1AE,垂足为点F,求证：DF=AB.

证明：•.•四边形ABCD是矩形，DF1AE,

.*.ZEBA=ZDFA=90o，AD//BC.

ZDAF=ZAEB.

]NDAF=/AEB,

在4AFD和aEBA中，｛/AFD=NEBA,

|,AD=AE,

.,.△AFD^AEBA(AAS).

；.DF=AB.

课堂小结

1.矩形的定义及性质.

2.矩形是特殊的平行四边形，矩形的四个角都是直角，对角线互相平分且相等.

第2课时矩形的判定

教学目标

1.能应用矩形定义、判定定理，解决简单的证明题和计算题，进一步培养分析能力.

2.培养综合应用知识分析解决问题的能力.

预习反馈

阅读教材P54〜55,完成下列问题.

1.如图1,；四边形ABCD是平行四边形，/A=90°,

四边形ABCD是矩形.

2.如图2,：四边形ABCD是平行四边形，AC-BD,

四边形ABCD是矩形.

3.如图，•.•在四边形ABCD中，ZA=ZB=ZC=90°,，四边形ABCD是矩形.

名校讲坛

例（教材P54例2）如图，在。ABCD中，对角线AC,BD相交于点0,且0A=0D,N0AD=50°.求N0AB的度数.

【思路点拨】先证明口ABCD是矩形，再根据矩形的四个内角均为90°,即可求出N0AB的度数.

【解答】♦.•四边形ABCD是平行四边形，

AB

/.OA=OC=~AC,OB=OD=；BD.

又・・・OA=OD,

・・・AC=BD.

・・・四边形ABCD是矩形.

・・・NDAB=90°.

又N0AD=50°,

AZ0AB=40°.

【方法归纳】判定矩形的基本思路：

①若已知一个直角，则可以证该四边形是平行四边形或其他角中有两个是直角；

②若对角线相等，则可以证该四边形是平行四边形；

③若已知四边形是平行四边形，则需要证明一个内角是直角或对角线相等.

【跟踪训练1】如图所示，在aABC中，D是BC边上一点，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交CE的延长线

于点F,且AF=BD,连接BF.

(1)求证：D是BC的中点；

(2)若AB=AC,试判断四边形AFBD的形状，并证明你的结论.

证明:(1)VAF/7BC,

；./AFC=NFCB.

XVZAEF=ZDEC,AE=DE,

.,.△AEF^ADEC(AAS).

.,.AF=DC.

又：AF=BD,.\BD=DC,即D是BC的中点.

(2)四边形AFBD是矩形.

VAFZ/BC,AF=BD,

...四边形AFBD是平行四边形.

；AB=AC,D是BC的中点,

AADIBC,BPZADB=90°.

四边形AFBD是矩形.

【跟踪训练2】(《名校课堂》18.2.1第2课时习题)已知：如图，在口ABCD中，AF,BH,CH,DF分别是/BAD,

/ABC,ZBCD,NADC的平分线.求证：四边形EFGH为矩形.

证明：•.•四边形ABCD是平行四边形，

.•.ZDAB+ZADC=180°.

VAF,DF分别平分NDAB,ZADC,

1

.•.ZFAD=ZBAF=-ZDAB,

1

ZADF=ZCDF=-ZADC.

.•./FAD+/ADF=90°.AZAFD=90°.

同理可得，ZBHC=ZHEF=90°.

四边形EFGH是矩形.

巩固训练

1.在nABCD中，增加一个条件四边形ABCD就成为矩形，这个条件是(B)

A.AB=CDB.ZA+ZC=180°

C.BD=2ABD.ACXBD

2.如图，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它成为矩形，那么需要添加的条件是(D)

A.AB=CDB.AD=BC

C.AB=BCD.AC=BD

一

BC

3.如图，在四边形ABCD中，对角线AC±BD,E,F,G,H分别是各边的中点.若AC=8,BD=6,则四边形EFGH

的面积是12.

D

y力c

R

4.如图，在nABCD中，E是DC边的中点，且EA=EB.求证：MBCD是矩形.

DEC

证明：•••四边形ABCD是平行四边形，...AD=BC,AD〃BC.

.•.ZD+ZC=180°.

VE是DC边的中点，，DE=EC.在aADE和4BCE中，

(DE=CE,

JAD=BC,

[AE=BE,

AADE^ABCE(SSS).ND=ZC.

VZD+ZC=180°,，/D=/C=90°.

♦.•四边形ABCD是平行四边形，

.•.平行四边形ABCD是矩形.

5.已知：如图，D是AABC的边AB上一点，CN〃AB,DN交AC于点M,MA=MC.

(1)求证：AD=CN；

(2)若NBAN=90°,求证：四边形ADCN是矩形.

证明：(1)TCN〃AB,

ZDAM=ZNCM.

在aAMD和ACMN中，

(/DAM=NNCM,

hlA=MC,

|.ZAMD=ZCMN,

.,.△AMD^ACMN(ASA)..，.AD=CN.

(2)VAD/7CN,AD=CN,

四边形ADCN是平行四边形.

XVZBAN=90°,即NDAN=90°,

四边形ADCN是矩形.

课堂小结

矩形的判定方法:

1.定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形.

2.对角线相等的平行四边形是矩形.

3.有三个角是直角的四边形是平行四边形.

18.2.2菱形

第1课时菱形的性质

教学目标

1.理解并掌握菱形的定义及性质定理；会用这些定理进行有关的论证和计算.

2.根据平行四边形与矩形、菱形的从属关系，通过画图向学生渗透集合思想.

预习反馈

阅读教材P55〜56,完成下列问题.

1.菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫菱形.

如图1,•.•四边形ABCD是平行四边形，且AB=AD,

四边形ABCD是菱形.

B13

图1图2

2.菱形的性质：菱形的四条边都相等;菱形的两条对角线互相垂直平分,且每条对角线平分一组对角;菱形是轴

对称图形，它的对角线所在的直线就是它的对称轴.

如图2,•.•四边形ABCD是菱形，

；.AB=BC=CD=DA,

AC±BD,AO=OC=-AC,

BO=DO=-BD,

AC平分/BAD和/BCD,BD平分NABC和NADC.

3.菱形的面积等于底乘以直；菱形的面积等于两对角线乘积的一半.如图，S-AE=|AC-BD.

名校讲坛

例（教材P56例3）如图，菱形花坛ABCD的边长为20m,/ABC=60°,沿着菱形的对角线修建了两条小路AC和

BD,求两条小路的长（结果保留小数点后两位）和花坛的面积（结果保留小数点后一位）.

【思路点拨】本题要求两条小路的长和花坛的面积，可以在RtZXABO中，应用直角三角形的性质和勾股定理求出

0A,0B的长.

【解答】；花坛ABCD的形状是菱形，

.'.AC1BD,ZAB0=1zABC=1x60°=30°.

在RtZXOAB中，

A0=1AB=1X20=10.

BO=^AB2-A02=^/20--102=1073.

花坛的两条小路长AC=2AO=20（m）.

BD=2B0=20^Q34.64（m）.

花坛的面积S菱形幽＞=4XSAOAB=3C-BD=200小心346.4底）.

【方法归纳】（1）菱形的一条对角线将菱形分成两个全等的等腰三角形；

（2）菱形的两条对角线将菱形分成四个全等的小直角三角形；

（3）应用菱形性质计算的一般思路：

①菱形对边平行、对角相等、四边相等，所以在做题时，可利用等量代换来转换为其他边的长；

②菱形的对角线互相垂直，故常借助对角线垂直和勾股定理来求线段的长.

【跟踪训练1】菱形的周长为4,两个相邻内角度数为1：2,则该菱形的面积为（A）

A.坐B.小C.2D.24

【跟踪训练2】（《名校课堂》18.2.2第1课时习题）如图，在菱形ABCD中，E,F分别是BC,CD的中点，连接

AE,AF.AE和AF有什么样的数量关系？说明理由.

解：AE=AF.

理由：•••四边形ABCD是菱形,

，AB=AD,ZB=ZD,BC=CD.

又yE,F分别为BC,CD的中点,

11

/.BE=~BC,DF=>).

・・・BE=DF.

.二△ABE丝△ADF(SAS).

AAE=AF.

巩固训练

1.菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是(D)

A.对边相等B.对角相等

C.对角线互相平分D.对角线互相垂直

2.如图，在菱形ABCD中，下列结论错误的是(D)

B.ZDAC=ZBAC

C.AC1BD

D.AO=DO

3.如图，在菱形ABCD中，E,F分别是AB,AC的中点，若EF=3,则菱形ABCD的周长是(D)

4.已知菱形ABCD的面积为24cm2,若对角线AC=6cm,则这个菱形的边长为立cm.

5.如图，在平面直角坐标系中，四边形AOBC是菱形.若点A的坐标是(3,4),则点C的坐标是(8,4).

6.如图，已知四边形ABCD是菱形，/ACD=30°,AB=6.

(1)求NABC的度数；

⑵求AC的长.

D

解:⑴；四边形ABCD是菱形,ZACD=30°,

.•.ZBCD=2ZACD=60°.

.,.ZABC=180°-60°=120°.

(2)连接BD交AC于点0,则NAOB=90°,A0=C0.

VZACD=ZBAC=30°,

.,.在RtAAOB中，0B=1AB=3.

OA=^AB2-0B2=373.

AAC=6-\/3.

7.如图，在菱形ABCD中，AC,BD相交于点0,E为AB的中点，DE±AB.

(1)求/ABC的度数；

(2)如果AC=44，求DE的长.

解：⑴为AB的中点,DE±AB,/.AD=DB.

•.•四边形ABCD是菱形，

；.AB=AD,AD〃BC.

.,.AD=DB=AB.

/.△ABD为等边三角形.

AZDAB=60°.

；AD〃BC,

.•.ZABC=180°-ZDAB=180°-60°=120°,

KPZABC=120°.

⑵•.•四边形ABCD是菱形,

ABDIAC,AO=1AC=|X4^/3=2^/3.

由（1）可知,DE和AO都是等边aABD的高，

；.DE=A0=24.

课堂小结

1.菱形的定义.

2.菱形的性质.

3.菱形与平行四边形、矩形的关系.

第2课时菱形的判定

教学目标

1.理解并掌握菱形的定义及其他两个判定方法.

2.会用这些判定方法进行有关的论证和计算.

预习反馈

阅读教材P57〜58,完成下列问题.

1.有一组邻边相等的平行四边形是菱形.

如图，•.•四边形ABCD是平行四边形，AB=AD,

四边形ABCD是菱形.

2.对角线互相垂直的平行四边形是菱形.

如图，♦.•四边形ABCD是平行四边形，AC1BD,

四边形ABCD是菱形.

3.四条边都相等的四边形是菱形.

如图，在四边形ABCD中，

VAB=BC=CD=DA,

四边形ABCD是菱形.

名校讲坛

例（教材P57例4）如图，/BCD的对角线AC,BD相交于点0,AB=5,AC=8,DB=6.求证：四边形ABCD是菱形.

【思路点拨】在aAOB中，根据勾股定理的逆定理可以得出NA0B=90°,再结合四边形ABCD是平行四边形即可得

证.

I)

A

【解答】证明：•••四边形ABCD是平行四边形，

，0A=0C=4,0B=0D=3.

又AB=5,则3"2=52,BP0A2+0B2=AB2.

AZAOB=90°,即AC_LBD.

四边形ABCD是菱形.

【方法归纳】判定菱形的基本思路：

①若已知一组邻边相等，则需要证该四边形是平行四边形或四条边都相等：

②若对角线互相垂直，则需要证明该四边形是平行四边形；

③若已知四边形是平行四边形，则需要证明一组邻边相等或对角线互相垂直.

【跟踪训练】(《名校课堂》18.2.2第2课时习题)在aABC中，M是AC边上的一点，连接BM.将△ABC沿AC翻折,

使点B落在点D处，当DM〃AB时，求证：四边形ABMD是菱形

L

S

A

c

证明：VABZ/DM,

/.ZBAM=ZAMD.

由折叠性质，得NCAB=NCAD,AB=AD,BM=DM.

JZDAM=ZAMD.

，DA=DM=AB=BM.

・•・四边形ABMD是菱形.

巩固训练

1.如图，已知四边形ABCD是平行四边形，要使它成为菱形，那么需要添加的条件可以是(A)

A.AD=CDB.AB=AC

C.ZABC=90°D.AC=BD

D

韭

/?c

2.如图,在口ABCD中，AC平分NDAB,AB=2,则口ABCD的周长为(C)

A.4B.6C.8D.12

£)

3.如图，小明在作线段AB的垂直平分线时，是这样操作的：分别以点A,B为圆心，大于线段AB长度一半的长为

半径画弧，相交于点C,D,则直线CD即为所求，连接AC,