2025年高考数学总复习 78 第九章 第四节 列联表与独立性检验

第四节列联表与独立性检验考试要求：1．通过实例，理解2×2列联表的统计意义．2．通过实例，了解独立性检验及其应用．自查自测知识点列联表与独立性检验1．判断下列说法的正误，正确的画“√”，错误的画“×”．(1)2×2列联表中的数据是两个分类变量的频数．(√)(2)分类变量A和B的独立性检验无关，即两个分类变量互不影响．(√)(3)χ2的大小是判断事件A和B是否相关的统计量．(√)(4)在2×2列联表中，若|ad－bc|越小，则说明两个分类变量之间关系越强．(√)2．(教材改编题)如下2×2列联表中a，b的值分别为()xy合计y1y2x1a835x2113445合计b4280A．27，38 B．28，38C．27，37 D．28，37A解析：a＝35－8＝27，b＝a＋11＝27＋11＝38.3.已知P(χ2≥6.635)＝0.01，P(χ2≥10.828)＝0.001.在检验喜欢某项体育运动与性别是否有关的过程中，某研究员搜集数据并计算得到χ2＝7.235，则根据小概率值α＝________的χ2独立性检验，推断喜欢该项体育运动与性别有关．0.01解析：因为6.635<7.235<10.828，所以由检验规则可知，根据小概率值α＝0.01的χ2独立性检验，推断喜欢该项体育运动与性别有关．核心回扣1.分类变量为了表述方便，我们经常会使用一种特殊的随机变量，以区别不同的现象或性质，这类随机变量称为分类变量．分类变量的取值可以用实数表示．2.列联表与独立性检验(1)关于分类变量X和Y的抽样数据的2×2列联表：XY合计Y＝0Y＝1X＝0aba＋bX＝1cdc＋d合计a＋cb＋dn＝a＋b＋c＋d(2)计算随机变量χ2＝nad－bc2a+bc+da+下表为5个常用的小概率值和相应的临界值．α0.10.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.8283.应用独立性检验解决实际问题的几个步骤(1)提出零假设H0：X和Y相互独立，并给出在问题中的解释．(2)根据抽样数据整理出2×2列联表，计算χ2的值，并与临界值xα比较．(3)根据检验规则得出推断结论．(4)在X和Y不独立的情况下，根据需要通过比较相应的频率，分析X和Y间的影响规律．列联表与χ2的计算1．为了研究某地动物受核辐射后对身体健康的影响，专家随机选取了110只羊进行了检测，并将有关数据整理为2×2列联表．单位：只身体辐射程度合计高度辐射轻微辐射健康30A50不健康B1060合计CDE则A，B，C，D的值依次为()A．20，80，30，50 B．20，50，80，30C．20，50，80，110 D．20，80，110，50B解析：30＋A＝50，所以A＝20，B＋10＝60，所以B＝50，所以C＝30＋B＝30＋50＝80，D＝A＋10＝20＋10＝30.2．两个分类变量X和Y，其2×2列联表如表所示，对同一样本，以下数据能说明X与Y有关联的可能性最大的一组为()XY合计y1y2x1369x2m8m＋8合计m＋314m＋17A．m＝3 B．m＝4C．m＝5 D．m＝6D解析：由给定的2×2列联表，对于A，m＝3，χ2的预测值k1＝20×对于B，m＝4，χ2的预测值k2＝21×3×对于C，m＝5，χ2的预测值k3＝22×对于D，m＝6，χ2的预测值k4＝23×显然k4＞k1＞k3＞k2，因此选项D中数据求得χ2的值最大，说明X与Y有关联的可能性最大．关于列联表及χ2的计算(1)2×2列联表在计算数据时要准确无误，关键是对涉及的变量分清类别．(2)计算χ2时遵循先化简后计算的原则，充分的约分可以简化数据的运算．列联表与独立性检验【例1】某公司为了拓展业务，对该公司某款手机的潜在客户进行调查，随机抽取国内外潜在用户代表各100名，调查用户对是否使用该手机的态度，得到如图所示的等高堆积条形图．由等高堆积条形图得到的数据，根据小概率值α＝0.005的χ2独立性检验，能否认为持乐观态度和国内外差异有关？解：由题意得2×2列联表如下：单位：名代表态度合计乐观不乐观国内6040100国外4060100合计100100200零假设为H0：持乐观态度和国内外差异无关．依表中数据计算得χ2＝200×60×60－40×40根据小概率值α＝0.005的独立性检验，推断H0不成立，即认为持乐观态度和国内外差异有关，此推断犯错误的概率不大于0.005.独立性检验的一般步骤(1)根据样本数据列出2×2列联表．(2)根据公式χ2＝nad(3)比较χ2与临界值的大小关系，作统计推断．甲、乙两城市之间的长途客车均由A和B两家公司运营．为了解这两家公司长途客车的运行情况，随机调查了甲、乙两城市之间的500个班次的长途客车准点情况，得到下面列联表：单位：个公司准点情况准点班未准点班A24020B21030根据小概率值α＝0.1的独立性检验，能否认为甲、乙两城市之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关？解：列联表如下：单位：个公司准点情况合计准点班次未准点班次A24020260B21030240合计45050500零假设为H0：甲、乙两城市之间的长途客车是否准点与客车所属公司无关．根据表中数据，计算得到χ2＝500×240×30－210根据小概率值α＝0.1的独立性检验，推断H0不成立，即认为甲、乙两城市之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关，此推断犯错误的概率不大于0.1.独立性检验的综合应用【例2】某人工智能公司想要了解其开发的语言模型准确率的达标(准确率不低于80%则认为达标)情况与使用的训练数据集大小是否有关联，该公司随机选取了大型数据集和小型数据集各50个，并记录了使用这些数据集训练的语言模型在测试数据集上的准确率，根据小型数据集的准确率数据绘制成如图所示的频率分布直方图(各组区间分别为[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100])．(1)求a的值，并完成下面的2×2列联表；单位：个准确率数据集合计大型数据集小型数据集达标30不达标合计(2)根据小概率值α＝0.005的独立性检验，能否认为语言模型准确率是否达标与使用的训练数据集大小有关联？解：(1)由10×(0.010＋0.025＋a＋0.020＋0.010)＝1，解得a＝0.035.准确率不低于80%的小型数据集有50×(0.2＋0.1)＝15(个)，由此可得2×2列联表如下：单位：个准确率数据集合计大型数据集小型数据集达标301545不达标203555合计5050100(2)零假设为H0：语言模型准确率是否达标与使用的训练数据集大小无关联．根据列联表中的数据，计算得到χ2＝100×30×35－20×15根据小概率值α＝0.005的独立性检验，推断H0不成立，即认为语言模型准确率是否达标与使用的训练数据集大小有关联，此推断犯错误的概率不大于0.005.关于独立性检验的综合应用独立性检验的考查，往往与概率和抽样统计图等一起考查，这类问题的求解可以按各小题及提问的顺序，一步步进行下去，是比较容易解答的．单纯考查独立性检验往往用小题的形式，而且χ2的公式一般会在原题中给出．以“智联世界，生成未来”为主题的2023世界人工智能大会在中国上海举行，人工智能的发展为许多领域带来了巨大的便利，但同时也伴随着一些潜在的安全隐患．为了调查不同年龄阶段的人对人工智能所持的态度，某机构从所在地区随机调查了100人，所得结果统计如下：年龄/岁[20，30)[30，40)[40，50)[50，60)[60，70]频数2416152520支持2013121510完成下列2×2列联表，并判断是否有99%的把握认为所持态度与年龄有关．单位：人态度年龄合计50岁以上(含50岁)50岁以下支持不支持合计解：根据题意，可得2×2列联表如下：单位：人态度年龄合计50岁以上(含50岁)50岁以下支持254570不支持201030合计4555100χ2＝100×25因为8.129>6.635，所以有99%的把握认为对人工智能所持态度与年龄有关．课时质量评价(六十)1．某机构为调查网游爱好者是否有性别差异，通过调研数据统计得知在500名男生中有200名网游爱好者，在400名女生中有50名网游爱好者．若要确定爱好网游是否与性别有关时，用下列最适合的统计方法是()A．均值 B．方差C．独立性检验 D．回归分析C解析：由题意可知，“爱好网游”与“性别”是两类变量，其是否有关，应用独立性检验判断．2．为了解某大学的学生喜欢体育锻炼是否与性别有关，某机构用简单随机抽样方法在校园内调查了120名学生，得到如下2×2列联表：单位：名体育锻炼性别合计男女喜欢ab73不喜欢c25合计74则a－b－c等于()A．7 B．8C．9 D．10C解析：根据题意，可得c＝120－73－25＝22，a＝74－22＝52，b＝73－52＝21，补充完整2×2列联表为：单位：名体育锻炼性别合计男女喜欢522173不喜欢222547合计7446120所以a－b－c＝52－21－22＝9.3．根据分类变量X与Y的抽样数据，计算得到χ2＝7.505，依据α＝0.01的独立性检验(x0.01＝6.635)，结论为()A．变量X与Y不独立B．变量X与Y不独立，这个结论犯错误的概率超过0.01C．变量X与Y独立D．变量X与Y独立，这个结论犯错误的概率不超过0.01A解析：依据α＝0.01的独立性检验(x0.01＝6.635)，χ2＝7.505＞6.635＝x0.01，所以变量X与Y不独立，这个结论犯错误的概率不超过0.01，故A正确．4．观察下列各图，其中两个分类变量X，Y之间关系最强的是()D解析：观察等高堆积条形图易知D选项的两个分类变量之间关系最强．5．已知两个分类变量X，Y的可能取值分别为{x1，x2}和{y1，y2}，通过随机调查得到样本数据，再整理成如下的2×2列联表：XYy1y2x110mx2n30若样本容量为75，且m＜n，则当判断X与Y有关系的把握最小时，a的值为()A．5 B．10C．15 D．17C解析：在两个分类变量的列联表中，当|ad－bc|的值越小时，认为两个分类变量有关的可能性越小．令|10×30－mn|＝0，得mn＝10×30＝300.又因为样本容量为75，所以m＋n＋40＝75，则n＝35－m，所以mn＝m(35－m)＝300，化简得m2－35m＋300＝0，解得m1＝15，m2＝20.又因为m＜n，所以m＝15.6．(多选题)(数学与文化)千百年来，我国劳动人民在生产实践中根据云的形状、走向、速度、厚度、颜色等的变化，总结了丰富的“看云识天气”的经验，并将这些经验编成谚语，如“天上钩钩云，地上雨淋淋”“日落云里走，雨在半夜后”……小波同学为了验证“日落云里走，雨在半夜后”，观察了某地区100天的日落和夜晚天气，得到如下2×2列联表，并计算得到χ2≈19.05，则下列小波对该地区天气的判断正确的是()日落云里走夜晚天气下雨未下雨出现255未出现2545A．夜晚下雨的概率约为1B．未出现“日落云里走”，夜晚下雨的概率约为5C．依据α＝0.005的独立性检验，认为“日落云里走”是否出现与夜晚天气有关D．依据α＝0.005的独立性检验，若出现“日落云里走”，则认为夜晚一定会下雨ABC解析：对于A，根据列联表可知，100天中有50天夜晚下雨，50天夜晚未下雨，因此夜晚下雨的概率约为50100＝12对于B，未出现“日落云里走”，夜晚下雨的概率约为2525+45＝对于C，χ2≈19.05＞7.879＝x0.005，因此依据α＝0.005的独立性检验，认为“日落云里走”是否出现与夜晚天气有关，C正确；对于D，依据α＝0.005的独立性检验，可判断“日落云里走，雨在半夜后”的说法犯错误的概率不超过0.005，但不代表出现“日落云里走”就一定会下雨，D错误．7．(多选题)有甲、乙两个班级共计105人进行数学考试，按照大于等于85分为优秀，85分以下为非优秀统计成绩，得到如下所示的列联表．分类优秀非优秀合计甲班10b乙班c30已知从105人中随机抽取1人，成绩优秀的概率为27，则下列说法中正确的是(A．列联表中c的值为30，b的值为35B．列联表中c的值为20，b的值为45C．根据列联表中的数据，若按95%的可靠性要求，能认为“成绩与班级有关系”D．根据列联表中的数据，若按95%的可靠性要求，不能认为“成绩与班级有关系”BC解析：由题意，从105人中随机抽取1人，成绩优秀的概率为27所以成绩优秀的人数为105×27＝30，非优秀的人数为105－30＝75所以c＝30－10＝20，b＝75－30＝45，则χ2＝105×10×30若按95%的可靠性要求，能认为“成绩与班级有关系”．8．有两个分类变量X和Y，根据其中一组观测数据得到如下的2×2列联表：XY合计y1y2x1a15－a15x220－a30＋a50合计204565其中a，15－a均为大于5的整数，则a＝________时，在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“X和Y之间有关系”．9解析：由题意可知χ2≥6.635，则65×a又由a＞5且15－a＞5，a∈N，得5＜a＜10.综上得a＝9.9．(能力创新)为了解不同年龄段居民的主要阅读方式，某校兴趣小组在全市随机调查了200名居民，经统计这200人中通过电子阅读与纸质阅读的人数之比为3∶1，将这200人按年龄分组，其中统计通过电子阅读的居民得到的频率分布直方图如图所示．(1)求a的值及通过电子阅读的居民的平均年龄；(同一组中数据用该组区间的中点值作代表)(2)把年龄在[15，45)的居民称为青年组，年龄在[45，65]的居民称为中老年组，若选出的200人中通过纸质阅读的中老年有3