2025年高考数学总复习 78 第九章 第四节 列联表与独立性检验_第1页
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文档简介

第四节列联表与独立性检验考试要求:1.通过实例,理解2×2列联表的统计意义.2.通过实例,了解独立性检验及其应用.自查自测知识点列联表与独立性检验1.判断下列说法的正误,正确的画“√”,错误的画“×”.(1)2×2列联表中的数据是两个分类变量的频数.(√)(2)分类变量A和B的独立性检验无关,即两个分类变量互不影响.(√)(3)χ2的大小是判断事件A和B是否相关的统计量.(√)(4)在2×2列联表中,若|ad-bc|越小,则说明两个分类变量之间关系越强.(√)2.(教材改编题)如下2×2列联表中a,b的值分别为()xy合计y1y2x1a835x2113445合计b4280A.27,38 B.28,38C.27,37 D.28,37A解析:a=35-8=27,b=a+11=27+11=38.3.已知P(χ2≥6.635)=0.01,P(χ2≥10.828)=0.001.在检验喜欢某项体育运动与性别是否有关的过程中,某研究员搜集数据并计算得到χ2=7.235,则根据小概率值α=________的χ2独立性检验,推断喜欢该项体育运动与性别有关.0.01解析:因为6.635<7.235<10.828,所以由检验规则可知,根据小概率值α=0.01的χ2独立性检验,推断喜欢该项体育运动与性别有关.核心回扣1.分类变量为了表述方便,我们经常会使用一种特殊的随机变量,以区别不同的现象或性质,这类随机变量称为分类变量.分类变量的取值可以用实数表示.2.列联表与独立性检验(1)关于分类变量X和Y的抽样数据的2×2列联表:XY合计Y=0Y=1X=0aba+bX=1cdc+d合计a+cb+dn=a+b+c+d(2)计算随机变量χ2=nad-bc2a+bc+da+下表为5个常用的小概率值和相应的临界值.α0.10.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.8283.应用独立性检验解决实际问题的几个步骤(1)提出零假设H0:X和Y相互独立,并给出在问题中的解释.(2)根据抽样数据整理出2×2列联表,计算χ2的值,并与临界值xα比较.(3)根据检验规则得出推断结论.(4)在X和Y不独立的情况下,根据需要通过比较相应的频率,分析X和Y间的影响规律.列联表与χ2的计算1.为了研究某地动物受核辐射后对身体健康的影响,专家随机选取了110只羊进行了检测,并将有关数据整理为2×2列联表.单位:只身体辐射程度合计高度辐射轻微辐射健康30A50不健康B1060合计CDE则A,B,C,D的值依次为()A.20,80,30,50 B.20,50,80,30C.20,50,80,110 D.20,80,110,50B解析:30+A=50,所以A=20,B+10=60,所以B=50,所以C=30+B=30+50=80,D=A+10=20+10=30.2.两个分类变量X和Y,其2×2列联表如表所示,对同一样本,以下数据能说明X与Y有关联的可能性最大的一组为()XY合计y1y2x1369x2m8m+8合计m+314m+17A.m=3 B.m=4C.m=5 D.m=6D解析:由给定的2×2列联表,对于A,m=3,χ2的预测值k1=20×对于B,m=4,χ2的预测值k2=21×3×对于C,m=5,χ2的预测值k3=22×对于D,m=6,χ2的预测值k4=23×显然k4>k1>k3>k2,因此选项D中数据求得χ2的值最大,说明X与Y有关联的可能性最大.关于列联表及χ2的计算(1)2×2列联表在计算数据时要准确无误,关键是对涉及的变量分清类别.(2)计算χ2时遵循先化简后计算的原则,充分的约分可以简化数据的运算.列联表与独立性检验【例1】某公司为了拓展业务,对该公司某款手机的潜在客户进行调查,随机抽取国内外潜在用户代表各100名,调查用户对是否使用该手机的态度,得到如图所示的等高堆积条形图.由等高堆积条形图得到的数据,根据小概率值α=0.005的χ2独立性检验,能否认为持乐观态度和国内外差异有关?解:由题意得2×2列联表如下:单位:名代表态度合计乐观不乐观国内6040100国外4060100合计100100200零假设为H0:持乐观态度和国内外差异无关.依表中数据计算得χ2=200×60×60-40×40根据小概率值α=0.005的独立性检验,推断H0不成立,即认为持乐观态度和国内外差异有关,此推断犯错误的概率不大于0.005.独立性检验的一般步骤(1)根据样本数据列出2×2列联表.(2)根据公式χ2=nad(3)比较χ2与临界值的大小关系,作统计推断.甲、乙两城市之间的长途客车均由A和B两家公司运营.为了解这两家公司长途客车的运行情况,随机调查了甲、乙两城市之间的500个班次的长途客车准点情况,得到下面列联表:单位:个公司准点情况准点班未准点班A24020B21030根据小概率值α=0.1的独立性检验,能否认为甲、乙两城市之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关?解:列联表如下:单位:个公司准点情况合计准点班次未准点班次A24020260B21030240合计45050500零假设为H0:甲、乙两城市之间的长途客车是否准点与客车所属公司无关.根据表中数据,计算得到χ2=500×240×30-210根据小概率值α=0.1的独立性检验,推断H0不成立,即认为甲、乙两城市之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关,此推断犯错误的概率不大于0.1.独立性检验的综合应用【例2】某人工智能公司想要了解其开发的语言模型准确率的达标(准确率不低于80%则认为达标)情况与使用的训练数据集大小是否有关联,该公司随机选取了大型数据集和小型数据集各50个,并记录了使用这些数据集训练的语言模型在测试数据集上的准确率,根据小型数据集的准确率数据绘制成如图所示的频率分布直方图(各组区间分别为[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]).(1)求a的值,并完成下面的2×2列联表;单位:个准确率数据集合计大型数据集小型数据集达标30不达标合计(2)根据小概率值α=0.005的独立性检验,能否认为语言模型准确率是否达标与使用的训练数据集大小有关联?解:(1)由10×(0.010+0.025+a+0.020+0.010)=1,解得a=0.035.准确率不低于80%的小型数据集有50×(0.2+0.1)=15(个),由此可得2×2列联表如下:单位:个准确率数据集合计大型数据集小型数据集达标301545不达标203555合计5050100(2)零假设为H0:语言模型准确率是否达标与使用的训练数据集大小无关联.根据列联表中的数据,计算得到χ2=100×30×35-20×15根据小概率值α=0.005的独立性检验,推断H0不成立,即认为语言模型准确率是否达标与使用的训练数据集大小有关联,此推断犯错误的概率不大于0.005.关于独立性检验的综合应用独立性检验的考查,往往与概率和抽样统计图等一起考查,这类问题的求解可以按各小题及提问的顺序,一步步进行下去,是比较容易解答的.单纯考查独立性检验往往用小题的形式,而且χ2的公式一般会在原题中给出.以“智联世界,生成未来”为主题的2023世界人工智能大会在中国上海举行,人工智能的发展为许多领域带来了巨大的便利,但同时也伴随着一些潜在的安全隐患.为了调查不同年龄阶段的人对人工智能所持的态度,某机构从所在地区随机调查了100人,所得结果统计如下:年龄/岁[20,30)[30,40)[40,50)[50,60)[60,70]频数2416152520支持2013121510完成下列2×2列联表,并判断是否有99%的把握认为所持态度与年龄有关.单位:人态度年龄合计50岁以上(含50岁)50岁以下支持不支持合计解:根据题意,可得2×2列联表如下:单位:人态度年龄合计50岁以上(含50岁)50岁以下支持254570不支持201030合计4555100χ2=100×25因为8.129>6.635,所以有99%的把握认为对人工智能所持态度与年龄有关.课时质量评价(六十)1.某机构为调查网游爱好者是否有性别差异,通过调研数据统计得知在500名男生中有200名网游爱好者,在400名女生中有50名网游爱好者.若要确定爱好网游是否与性别有关时,用下列最适合的统计方法是()A.均值 B.方差C.独立性检验 D.回归分析C解析:由题意可知,“爱好网游”与“性别”是两类变量,其是否有关,应用独立性检验判断.2.为了解某大学的学生喜欢体育锻炼是否与性别有关,某机构用简单随机抽样方法在校园内调查了120名学生,得到如下2×2列联表:单位:名体育锻炼性别合计男女喜欢ab73不喜欢c25合计74则a-b-c等于()A.7 B.8C.9 D.10C解析:根据题意,可得c=120-73-25=22,a=74-22=52,b=73-52=21,补充完整2×2列联表为:单位:名体育锻炼性别合计男女喜欢522173不喜欢222547合计7446120所以a-b-c=52-21-22=9.3.根据分类变量X与Y的抽样数据,计算得到χ2=7.505,依据α=0.01的独立性检验(x0.01=6.635),结论为()A.变量X与Y不独立B.变量X与Y不独立,这个结论犯错误的概率超过0.01C.变量X与Y独立D.变量X与Y独立,这个结论犯错误的概率不超过0.01A解析:依据α=0.01的独立性检验(x0.01=6.635),χ2=7.505>6.635=x0.01,所以变量X与Y不独立,这个结论犯错误的概率不超过0.01,故A正确.4.观察下列各图,其中两个分类变量X,Y之间关系最强的是()D解析:观察等高堆积条形图易知D选项的两个分类变量之间关系最强.5.已知两个分类变量X,Y的可能取值分别为{x1,x2}和{y1,y2},通过随机调查得到样本数据,再整理成如下的2×2列联表:XYy1y2x110mx2n30若样本容量为75,且m<n,则当判断X与Y有关系的把握最小时,a的值为()A.5 B.10C.15 D.17C解析:在两个分类变量的列联表中,当|ad-bc|的值越小时,认为两个分类变量有关的可能性越小.令|10×30-mn|=0,得mn=10×30=300.又因为样本容量为75,所以m+n+40=75,则n=35-m,所以mn=m(35-m)=300,化简得m2-35m+300=0,解得m1=15,m2=20.又因为m<n,所以m=15.6.(多选题)(数学与文化)千百年来,我国劳动人民在生产实践中根据云的形状、走向、速度、厚度、颜色等的变化,总结了丰富的“看云识天气”的经验,并将这些经验编成谚语,如“天上钩钩云,地上雨淋淋”“日落云里走,雨在半夜后”……小波同学为了验证“日落云里走,雨在半夜后”,观察了某地区100天的日落和夜晚天气,得到如下2×2列联表,并计算得到χ2≈19.05,则下列小波对该地区天气的判断正确的是()日落云里走夜晚天气下雨未下雨出现255未出现2545A.夜晚下雨的概率约为1B.未出现“日落云里走”,夜晚下雨的概率约为5C.依据α=0.005的独立性检验,认为“日落云里走”是否出现与夜晚天气有关D.依据α=0.005的独立性检验,若出现“日落云里走”,则认为夜晚一定会下雨ABC解析:对于A,根据列联表可知,100天中有50天夜晚下雨,50天夜晚未下雨,因此夜晚下雨的概率约为50100=12对于B,未出现“日落云里走”,夜晚下雨的概率约为2525+45=对于C,χ2≈19.05>7.879=x0.005,因此依据α=0.005的独立性检验,认为“日落云里走”是否出现与夜晚天气有关,C正确;对于D,依据α=0.005的独立性检验,可判断“日落云里走,雨在半夜后”的说法犯错误的概率不超过0.005,但不代表出现“日落云里走”就一定会下雨,D错误.7.(多选题)有甲、乙两个班级共计105人进行数学考试,按照大于等于85分为优秀,85分以下为非优秀统计成绩,得到如下所示的列联表.分类优秀非优秀合计甲班10b乙班c30已知从105人中随机抽取1人,成绩优秀的概率为27,则下列说法中正确的是(A.列联表中c的值为30,b的值为35B.列联表中c的值为20,b的值为45C.根据列联表中的数据,若按95%的可靠性要求,能认为“成绩与班级有关系”D.根据列联表中的数据,若按95%的可靠性要求,不能认为“成绩与班级有关系”BC解析:由题意,从105人中随机抽取1人,成绩优秀的概率为27所以成绩优秀的人数为105×27=30,非优秀的人数为105-30=75所以c=30-10=20,b=75-30=45,则χ2=105×10×30若按95%的可靠性要求,能认为“成绩与班级有关系”.8.有两个分类变量X和Y,根据其中一组观测数据得到如下的2×2列联表:XY合计y1y2x1a15-a15x220-a30+a50合计204565其中a,15-a均为大于5的整数,则a=________时,在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“X和Y之间有关系”.9解析:由题意可知χ2≥6.635,则65×a又由a>5且15-a>5,a∈N,得5<a<10.综上得a=9.9.(能力创新)为了解不同年龄段居民的主要阅读方式,某校兴趣小组在全市随机调查了200名居民,经统计这200人中通过电子阅读与纸质阅读的人数之比为3∶1,将这200人按年龄分组,其中统计通过电子阅读的居民得到的频率分布直方图如图所示.(1)求a的值及通过电子阅读的居民的平均年龄;(同一组中数据用该组区间的中点值作代表)(2)把年龄在[15,45)的居民称为青年组,年龄在[45,65]的居民称为中老年组,若选出的200人中通过纸质阅读的中老年有3

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