2025年高考数学总复习 48 第六章 第五节 空间向量及其运算

第五节空间向量及其运算考试要求：1．了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示．2．掌握空间向量的线性运算及其坐标表示．3．掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能用向量的数量积判断向量的共线和垂直．自查自测知识点一空间向量的有关概念、定理1．判断下列说法的正误，正确的画“√”，错误的画“×”．(1)空间中模相等的两个向量方向相同或相反．(×)(2)空间中所有的单位向量的模都相等．(√)(3)空间任意三个向量都可构成空间的一个基底．(×)(4)空间向量a，b，c，若a∥b，b∥c，则a∥c.(×)(5)空间中任意两个非零向量都共面．(√)2．(教材改编题)如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AC与BD的交点为点M.设AB＝a，AD＝b，AAA．－12a+12b＋cC．－12a－12b－c C解析：C1M＝C13．在空间四点O，A，B，C中，若{OA，OB，OC}是空间的一个基底，则O，A，B，C四点________.(填“共面”或不共面解析：若四点共面，则OA，核心回扣1．空间向量的有关概念名称概念零向量长度(模)为0的向量单位向量长度(模)为1的向量相等向量方向相同且模相等的向量相反向量方向相反且模相等的向量共线向量表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量共面向量平行于同一个的向量2．空间向量的有关定理及推论名称语言描述共线向量定理对任意两个空间向量a，b(b≠0)，a∥b⇔存在λ∈R，使a＝λb共面向量定理如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面⇔存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb空间向量基本定理如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使p＝xa＋yb＋zc推论设O，A，B，C是不共面的四点，则对平面ABC内任一点P，都存在唯一的三个有序实数x，y，z，使OP＝，且x＋y＋z＝1自查自测知识点二两个非零空间向量的数量积如图，若四面体ABCD的每条棱长都等于2，E，F分别为棱AB，AD的中点，则BC－EF＝______，EF与AC390˚解析：因为EF＝12BD，BD·BC＝所以BC－EF2＝BC－12BD2＝BC2－BC所以BC－EF＝因为EF＝所以AC·EF＝12所以〈EF，AC核心回扣数量积及其性质(1)a·b＝|a||b|cos〈a，b〉；(2)a⊥b⇔a·b＝0；(3)|a|2＝a2，|a|＝a·(4)cos〈a，b〉＝a·注意点：(1)a·b＝b·c⇏a＝c；(2)(a·b)·c不一定等于a·(b·c)．自查自测知识点三空间向量运算的坐标表示1．(多选题)已知空间向量a＝(－2，－1，1)，b＝(3，4，5)，则下列结论正确的是()A．(2a＋b)∥a B．5|a|＝3C．a⊥(5a＋6b) D．a与b夹角的余弦值为3BC解析：因为2a＋b＝(－1，2，7)，a＝(－2，－1，1)，而－1－2≠2－1≠71，故A不正确；因为a＝6，b＝52，所以5|a|＝3b，故B正确；因为a·(5a＋6b)＝5a2＋6a·b＝5×(4＋1＋1)＋6×(－6－4＋5)＝0，故C正确；又因为a·b＝－5，所以cos2．如图，PD垂直于正方形ABCD所在的平面，AB＝2，E为PB的中点，cos〈DP，AE〉＝33.若以DA，DC，DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则点(1，1，1)解析：由已知得D(0，0，0)，A(2，0，0)，B(2，2，0)．设P(0，0，a)(a＞0)，则E1，所以DP＝(0，0，a)，AE＝－1，1，a因为cos〈DP，AE〉＝33解得a＝2(负值舍去)，所以E(1，1，1)．核心回扣设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)．名称向量表示坐标表示数量积a·ba1b1＋a2b2＋a3b3共线a＝λb(b≠0，λ∈R)a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3垂直a·b＝0(a≠0，b≠0)a1b1＋a2b2＋a3b3＝0模aa夹角〈a，b〉(a≠0，b≠0)cos〈a，b〉＝a【常用结论】1．三点共线：在平面中A，B，C三点共线⇔OA＝xOB+yOC(其中x＋2．四点共面：在空间中P，A，B，C四点共面⇔OP＝xOA+yOB+zOC(其中x＋y＋z＝1)，O为空间中任意一点．若x＝y＝应用在下列条件中，一定能使空间中的四点M，A，B，C共面的是()A．OMB．OMC．MA+2D．OM+OAC解析：根据共面向量定理，对于OM＝xOA+yOB+zOC，若A，B，C，M共面，则x＋y＋z选项C可化为MA＝－2MB－MC，所以M，空间向量的线性运算1．在空间四边形ABCD中，AB＝(－3，5，2)，CD＝(－7，－1，－4)，点E，F分别为线段BC，AD的中点，则EF的坐标为()A．(2，3，3) B．(－2，－3，－3)C．(5，－2，1) D．(－5，2，－1)B解析：因为点E，F分别为线段BC，AD的中点，设O为坐标原点，所以EF＝OF－所以EF＝12OA+OD－12OB+OC＝12BA+CD＝12×(－4，－2．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点F是侧面CDD1C1的中心．若AF＝xAD+yAB+zAA1A．12 B．C．32 D．B解析：AF＝AD+DF＝AD+12DD1+DC＝AD+12AA1+3．(2024·滨州模拟)已知空间向量a＝(1，2，3)，b＝(3，－1，2)，c＝(－1，0，1)，则a－b＋2c＝________.(－4，3，3)解析：因为a＝(1，2，3)，b＝(3，－1，2)，c＝(－1，0，1)，所以a－b＋2c＝(1，2，3)－(3，－1，2)＋2(－1，0，1)＝(－4，3，3)．空间向量线性运算的解题策略(1)用已知向量来表示未知向量，结合图形，以图形为指导是解题的关键．(2)将已知向量与所求向量转化到三角形或平行四边形中，利用三角形法则、平行四边形法则、多边形法则把所求向量用已知向量表示出来．(3)空间向量的坐标运算类似平面向量的坐标运算．共线向量定理、共面向量定理及其应用【例1】(1)空间向量a＝(2，2，－1)的一个单位向量的坐标是________.23，23，所以a的一个单位向量的坐标是aa＝13(2，2，－(2)已知A，B，C三点不共线，对平面ABC外的任一点O，若点M满足OM＝①判断MA，②判断点M是否在平面ABC内．解：①由题意知OA+OB+OC＝3OM，即MA＝BM+CM②因为OM＝13OA+OB+OC所以M，A，B，C四点共面，从而点M在平面ABC内．[变式]本例(1)若改为：“与空间向量a＝(2，2，－1)共线的单位向量的坐标”，结果如何？解：|a|＝4+4+所以与a共线的单位向量的坐标为±aa＝±13(2，2，－1)＝231．共线、共面向量定理的应用(1)向量共线可以用来判断直线平行、三点共线．(2)向量共面可以用来判断直线与平面平行、四点共面．(3)根据向量共线和向量共面求参数取值．2．证明四点P，M，A，B共面的方法(1)MP＝(2)对空间内任意一点O，OP＝(3)对空间内任意一点O，OP＝xOM+yOA+z(4)PM∥AB或PA∥MB或PB∥AM.1．(2024·湛江模拟)已知a＝(1，2，－y)，b＝(x，1，2)，且(a＋2b)∥(2a－b)，则()A．x＝13，y＝1 B．x＝12，y＝C．x＝2，y＝－14 D．x＝1，y＝－B解析：a＋2b＝(1＋2x，4，4－y)，2a－b＝(2－x，3，－2y－2)．由题意得1+2x2－x＝43＝4－y－2y－22．如图，已知四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面A1B1C1D1为平行四边形，E为棱AB的中点，AF＝13AD，AG＝2GA1，213解析：由题可设AM＝λAC因为AC1＝AB因为M，E，F，G四点共面，所以2λ＋3λ＋32λ＝1，解得λ＝2空间向量的数量积及其应用考向1空间向量数量积的运算【例2】(1)已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于1，点E，F分别是BC，AD的中点，则AE·AF的值为(A．1 B．1C．14 D．C解析：此空间四边形及其对角线构成的几何体为正四面体，棱长为1，如图．因为点E，F分别是BC，AD的中点，所以AE＝所以AE＝12|AB(2)在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P在正方体的12条棱上(包括顶点)运动，则AC·BP[－4，4]解析：以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(2，0，0)，C(0，2，0)，B(2，2，0)，AC＝(－2，2，0)，点P在正方体的12条棱上运动，设P(x，y，z)，则BP＝(x－2，y－2，z)，所以AC·BP＝4－2x＋2y－4＝2y－2因为0≤x≤2，0≤y≤2，当x＝2，y＝0时，AC·BP取得最小值－当x＝0，y＝2时，AC·BP取得最大值所以AC·BP的取值范围是[－4空间向量的数量积运算有两条途径，一是根据数量积的定义，利用模与夹角直接计算；二是利用坐标运算．考向2空间向量数量积的应用【例3】(1)已知a＝(5，3，1)，b＝－2，t，－25，若5215，+∞解析：由题意得a·b>0且a解得t>5215，且t≠－65.故实数t的取值范围为(2)已知A(－1，2，1)，B(－1，5，4)，C(1，3，4)．①求〈AB，②求AC在AB上的投影向量．解：①因为A(－1，2，1)，B(－1，5，4)，C(1，3，4)，所以AB＝(0，3，3)，BC＝(2，－2，0)．因为AB·BC＝0×2＋3×(－2)＋3×0＝－6，AB＝32，BC所以cos〈AB，BC〉＝AB·BCAB②因为AC＝(2，1，3)，AB＝(0，3，3)，所以AC·AB＝2×0＋1×3＋3×3因为AB＝32，AC＝所以cos〈AC，AB〉＝所以AC在AB上的投影向量为ACcos〈AC，AB〉ABAB＝14×2[变式]若将本例(1)中“锐角”改为“钝角”，求实数t的取值范围．解：由题意得a·b<0且a，b不共线，所以－解得t<5215，且t≠－6故实数t的取值范围为－∞空间向量数量积的应用求夹角设向量a，b所成的角为θ，则cosθ＝a·求长度距离运用公式|a|2＝a·a，可使线段长度的计算问题转化为向量数量积的计算问题1．(2024·青岛模拟)已知向量a＝(1，1，x)，b＝(－2，2，3)．若(2a－b)·b＝1，则x＝()A．－3 B．3C．－1 D．6B解析：2a－b＝(2，2，2x)－(－2，2，3)＝(4，0，2x－3)．因为(2a－b)·b＝1，所以－8＋3(2x－3)＝1，解得x＝3.2．如图，已知在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为1的正方形，AA1＝2，∠A1AB＝∠A1AD＝120˚.(1)求线段AC1的长；(2)求异面直线AC1与A1D所成角的余弦值；(3)求证：AA1⊥BD.(1)解：设AB＝a，则|a|＝|b|＝1，|c|＝2，a·b＝0，c·a＝c·b＝2×1×cos120˚＝－1.因为AC1＝AB+AD+AA所以AC12＝|a＋b＋c|2＝|a|2＋|b|2＋|c|2＋2a·b＋2b·c＋2a·c＝1＋1＋4＋0－2－2＝2所以AC1＝2，即线段AC1的长为2(2)解：由(1)可得AC1＝a+b所以AC1·A1D＝(a＋b＋c)·(b－c)＝a·b－a·c＋|b|2－|c|2＝0＋1＋1－A1D＝|b－c|＝b－c2设异面直线AC1与A1D所成的角为θ，则cosθ＝|cos〈AC1〉即异面直线AC1与A1D所成角的余弦值为147(3)证明：由(1)可得AA1＝c，BD＝b－a，所以AA1·BD＝c·(b－a)＝c·b－c·a即AA1·BD＝0，所以AA1课时质量评价(三十六)1．已知点O，A，B，C为空间不共面的四点，且向量a＝OA+OB+OC，向量b＝OA+OB－OC，A．OA B．OBC．OC D．OA或OBC解析：因为OC＝12OA+OB+OC－1所以OC与a，b不能构成空间的一个基底．2．(2024·台州模拟)若向量a＝(1，1，2)，b＝(2，x，y)，且a∥b，则|b|＝()A．2 B．22C．6 D．26D解析：由题意，得21＝x1＝y2，解得x＝2，y＝4，故b＝(2，2，4)3．(多选题)已知点P是平行四边形ABCD所在平面外的一点，AB＝(2，－1，－4)，AD＝(4，2，0)，AP＝(－1，2，－1)．下列结论正确的有()A．AP⊥ABB．AP⊥ADC．AP是平面ABCD的一个法向量D．AP∥BDABC解析：对于A，AB·AP＝2×(－1)＋(－1)×2＋(－4)×(－1)＝0，所以AP⊥AB，即AP⊥AB，故A对于B，AP·AD＝(－1)×4＋2×2＋(－1)×0＝0，所以AP⊥AD，即AP⊥AD，故B对于C，由AP⊥AB，且AP⊥AD，得出AP是平面ABCD的一个法向量，故C正确；对于D，由AP是平面ABCD的法向量，得出AP⊥BD，故D错误．4．设向量a＝(3，5，2)，b＝(－2，1，3)，向量ma＋nb与x轴垂直时，实数m与n满足()A．3m＝2n B．3m＝nC．m＝2n D．m＝nA解析：ma＋nb＝(3m－2n，5m＋n，2m＋3n)，取x轴的方向向量为e＝(1，0，0)．因为向量ma＋nb与x轴垂直，所以3m－2n＝0，解得3m＝2n.5．如图，在一个120˚的二面角的棱上有A，B两点，线段AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，且均与棱AB垂直．若AB＝2，AC＝1，BD＝2，则CD的长为()A．2 B．3C．23 D．4B解析：因为CA⊥AB，BD⊥AB，二面角大小为所以CA·AB＝0，BD·AB＝0，CA·BD因为CD＝所以CD2＝CA2+AB2+BD2+2CA·AB+2所以CD＝3.6．已知a＝(1，0，1)，b＝(x，1，2)，且a·b＝3，则向量a与b的夹角为________.π6解析：因为a·b＝x＋2＝3，所以x＝1，所以b＝(1，1，2)所以cos〈a，b〉＝a·又因为〈a，b〉∈[0，π]，所以向量a与b的夹角为π67．(2024·西安模拟)在空间四边形ABCD中，AC与BD是四边形的两条对角线，M，N分别为线段AB，CD上的点，且满足AM＝23AB，DN＝34DC，点G在线段MN上，且满足MG＝3GN1112解析：如图，连接MN，AN，AG由于MG＝3GN，故AG－整理得4AG＝3所以AG＝故x＝16所以x＋y＋z＝11128．已知空间向量a＝(1，0，1)，b＝(2，－1，2)，则向量a在向量b上的投影向量的坐标是________.89，－49，89解析：因为空间向量a＝(1，0，1)，b＝(2，－1，2)，所以a·b＝4，b＝4+1+4＝3，所以向量a9．在棱长为2的正方体中，E，F分别是DD1，DB的中点，G在棱CD上，且CG＝13CD，H是C1G的中点．(1)求证：EF⊥B1C；(2)求cos〈EF，C(3)求FH的长．(1)证明：如图，以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，则D(0，0，0)，E(0，0，1)，F(1，1，0)，C(0，2，0)，C1所以EF＝(1，1，－1)，B1C＝(－2，0，－所以EF·B1C＝1×(－2)＋1×0＋(－1)×(－2)＝0，所以EF⊥B1C，故(2)解：因为C1G＝0，因为EF＝(1，1，－1)，所以EF＝3，EF·C1G＝1×0+所以cos〈EF，C1(3)解：因为H是C1G的中点，所以H0，又因为F(1，1，0)，所以HF＝所以HF＝12+－2310．(多选题)(2024·沈阳模拟)已知空间中三点A(0，1，0)，B(2，2，0)，C(－1，3，1)，则()A．AB与AC是共线向量B．与向量AB方向相同的单位向量的坐标是2C．AB与BC夹角的余弦值是55D．BC在AB上的投影向量的模为5BD解析：由已知得AB＝(2，1，0)，AC＝(－1，2，1)，BC＝(－3，1，1)，且－12≠因此AB与AC不共线，故A错误；AB＝5，所以与向量AB方向相同的单位向量坐标是15(2，1，0)＝255，AB·BC＝－5，BC＝11，cos〈AB，BC〉＝ABBC在AB上的投影向量的模是BC·ABAB＝11．已知在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ABC＝120˚，AB＝2，BC＝CC1＝1，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为()A．32 B．C．105 D．C解析：如图，由题意知，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，BB1⊥平面ABC，CC1⊥平面ABC.因为BC⊂平面ABC，AB⊂平面ABC，所以BB1⊥BC，CC1⊥AB.因为AB1所以AB1·BC1因为AB1＝5所以cos〈AB1，BC1〉＝AB1·BC1AB12．如图，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1＝2，AB＝BC＝1，动点P，Q分别在线段C1D，AC上，则线段PQ长度的最小值是()A．23 B．C．23 D．C解析：以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系(图略)，则D(0，0，0)，C1(0