2025年高考数学总复习 31 第四章 第三节 三角恒等变换

第三节三角恒等变换考试要求：1．通过推导两角差的余弦公式的过程，知道两角差的余弦公式的意义．2．会用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式和二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系．3．能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括推导出积化和差、和差化积、半角公式，但不要求记忆)．自查自测知识点一两角和与差的余弦、正弦、正切公式1．判断下列说法的正误，正确的画“√”，错误的画“×”．(1)存在α，β，使等式sin(α＋β)＝sinα＋sinβ.(√)(2)两角和与差的正切公式中的角α，β是任意角．(×)(3)公式tan(α＋β)＝tanα+tanβ1－tanαtanβ可以变形为tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tan(4)存在实数α，使tan2α＝2tanα.(√)2．sin20˚cos10˚－cos160˚sin10˚等于()A．－32 B．C．－12 D．D解析：原式＝sin20˚cos10˚＋cos20˚sin10˚＝sin(20˚＋10˚)＝sin30˚＝123．(教材改编题)已知α∈π2，π，且sinα＝45－17解析：因为α∈π2，π，且sin所以cosα＝－1－452＝所以tanα+π核心回扣自查自测知识点二倍角公式与半角公式1．1－A．sin40˚ B．sin50˚C．cos130˚ D．±cos50˚B解析：1－2．若角α满足sinα＋2cosα＝0，则tan2α等于()A．－43 B．C．－34 D．D解析：由题意知，tanα＝－2，所以tan2α＝2tan3．(教材改编题)若α为第二象限角，sinα＝513，则sin2α等于－120169解析：因为α为第二象限角，sinα＝5所以cosα＝－1－所以sin2α＝2sinαcosα＝2×513核心回扣1．二倍角公式sin2α＝2sinαcosα；cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；tan2α＝2tan2．半角公式sinα2＝±1cosα2＝±1tanα2＝±1【常用结论】1．公式变形(1)降幂公式：cos2α＝1+cos2α2；sin2α＝1－cos2α2；sin(2)升幂公式：cos2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；1＋sinα＝sinα2+cosα22(3)tanα±tanβ＝tan(α±β)(1∓tanαtanβ)；tanαtanβ＝1－tanα+2．半角正切公式的有理形式：tanα23．万能公式：sinα＝2tanα21+tan2α24．辅助角公式：asinx＋bcosx＝a2+b2sin(x＋应用1sin20A．12 B．－C．32 D．－A解析：原式＝12应用2若将sinx－3cosx写成2sin(x－φ)的形式，其中0≤φ<π，则φ＝________.π3解析：因为sinx－3cosx＝2(12sinx－32cosx)＝2sin(x－φ)＝2(sinxcosφ－所以cosφ＝12，sinφ＝3因为0≤φ<π，所以φ＝π3应用3tan10˚tan20˚＋tan20˚tan60˚＋tan60˚tan10˚的值等于________.1解析：原式＝tan10˚tan20˚＋tan60˚(tan20˚＋tan10˚)＝tan10˚tan20˚＋3tan(20˚＋10˚)(1－tan20˚×tan10˚)＝tan10˚tan20˚＋1－tan20˚tan10˚＝1.公式的简单应用1．(2024·济宁模拟)1－A．1 B．3C．33 D．C解析：1－tan15˚12．(2023·新高考全国Ⅱ卷)已知α为锐角，cosα＝1+54A．3－58 C．3－54 D解析：因为cosα＝1－2sin2α2＝1+53．(2021·全国甲卷)若α∈0，π2，tan2α＝cosA．1515 B．C．53 D．A解析：(方法一)因为tan2α＝sin2αcos2α所以2sinαcosα1因为α∈0，π2，所以cosα＝154，tan(方法二)因为tan2α＝2tanα1－tan所以2sinαcosα1因为α∈0，π2，所以cosα＝154，tan4．tan10˚＋tan50˚＋3tan10˚tan50˚＝________.3解析：因为tan60˚＝tan(10˚＋50˚)＝tan10所以tan10˚＋tan50˚＝tan60˚(1－tan10˚tan50˚)＝3－故原式＝3－3tan10˚tan50˚＋3tan10˚tan50˚＝三角函数公式的应用策略(1)熟悉各个公式的结构特征，明确待求目标能与哪个公式联系．(2)使用公式求值，应先求出相关角的函数值，再代入公式求值．三角函数的化简求值问题考向1给值求值问题【例1】(1)(2024·南宁模拟)已知cosα＝−35，α是第三象限角，则cosA．210 B．－C．7210 D．A解析：因为cosα＝－35，α是第三象限角，所以sinα＝－1所以cosπ4+α＝cosπ4cosα－sinπ4(2)已知sinθ＋sinθ+π3A．12 B．C．23 D．B解析：因为sinθ＋sinθ+π3＝32sinθ＋32cosθ“给值求值”关键在于“变角”，使待求角与已知角相同或具有某种关系．考向2给值求角问题【例2】(1)已知α，β∈(0，π)且tanα＝12，cosβ＝－1010，则αA．π4 B．C．5π6 D．B解析：由题可知α∈0，π2，β∈π2，π，故sinβ＞0，sinβ＝1－cos2β＝31010，tanβ＝sinβcosβ＝－3.又α＋β∈(2)(2024·济南模拟)已知sinα＝55，sin(α－β)＝－1010，α，β均为锐角，则A．5π12 B．C．π4 D．C解析：因为α，β均为锐角，即0<α<π2，0<β<π2，所以－π2<α－β因为sin(α－β)＝－1010，所以cos(α－β)＝3又sinα＝55，所以cosα＝2所以sinβ＝sin[α－(α－β)]＝sinαcos(α－β)－cosαsin(α－β)＝55所以β＝π4给值求角的方法依条件求出所求角的范围，选择一个在角的范围内严格单调的三角函数求值．已知sin(α－β)＝13，cosαsinβ＝16，则cos(2α＋2A．79 B．C．－19 D．－B解析：由题意，得sinαcosβ－cosαsinβ＝13，cosαsinβ＝16，所以sinαcosβ＝12，所以sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosα·sinβ三角函数角的变换与式的变换考向1三角函数角的变换【例3】(1)已知sinα+π4＝45，A．210 B．C．22 D．A解析：由α∈π4，π2，得α＋π4∈π22－33又因为π因为α因为cos因为π因为sin所以cos＝12变式43则所以cosα－π12＝常见的配角技巧(1)2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β，β＝α+(2)当“已知角”有一个时，此时寻找“所求角”与“已知角及特殊角”的和或差的关系，再应用诱导公式将“所求角”用“已知角、特殊角”表示．考向2三角函数式的变换【例4】(1)已知cosα+π6－sinα＝4A．－235 C．235 DB解析：因为cosα+π6－sinα＝435，所以32cosα－则12cosα－32sinα＝cosα+所以sinα+11π6＝sin3π2+α+π(2)已知sinπ5－α＝14，则cos－78解析：由题意得cos2π5－2α＝cos2π5－α＝1－2sin2π5－α＝1－1三角函数式的变换问题的关注点(1)关键：明确各个三角函数名称之间的联系，进行恰当的弦切互化．(2)常用公式：诱导公式、同角三角函数的基本关系．1．已知cosθ－π12＝3A．－29 B．－C．29 D．B解析：因为2θ＋π3＝2θ所以sin2θ+＝cos2θ－π12＝2cos2＝2×332－1＝－2．已知tan(α＋β)＝3，tanβ＝2，则sin5π2－－7解析：因为tan(α＋β)＝3，tanβ＝2，tan(α＋β)＝tanα+tanβ解得tanα＝17，所以sin5π2－αsinπ+α＝sinπ2－三角函数恒等变换的综合应用【例5】已知函数f(x)＝23sinxcosx－2cos2x＋1(x∈R)．若f(x0)＝65，x0∈0，π3解：f(x)＝23sinxcosx－2cos2x＋1＝3(2sinxcosx)－(2cos2x－1)＝3sin2x－cos2x＝2sin2x由题意知f(x0)＝2sin2x0－π6＝6又x0∈0，π3，所以2x0－π所以cos2x0－所以cos2x0＝cos2＝cos2x0－π6cosπ＝45×3三角恒等变换的应用形如af2(x)＋bsinxcosx＋k(ab≠0)(其中f(x)是正弦函数或余弦函数)型的化简问题，主要是逆用二倍角公式及辅助角公式，将所给函数化为只含一个角的正弦型或余弦型三角函数的形式．已知函数f(x)＝12sinxcosx－12cos2x＋若fα2＝25，求sin2解：f(x)＝14sin2x－12×1+cos2x2+14＝因为fα2＝25，所以24sinα－π4＝2sin2α＝sin2α－π4+π2＝cos2α－π4＝1－2sin2勾股关系视角下的恒等变换同角三角函数基本关系主要研究平方关系与商数关系，平方关系是核心，而平方关系反映出来的就是勾股关系．在高考中出现频率较高的勾股数有12组，其中全为整数的有(3，4，5)，(5，12，13)，(6，8，10)，(7，24，25)，(8，15，17)，含根式的有(1，1，2)，(1，3，2)，(1，2，5)，(1，3，10)，(1，7，52)，(1，43，7)，(53，11，14)，三角恒等变换本质上是研究这些勾股数之间的关系．熟记常用的勾股数，能起到事半功倍的效果．[典题展示]已知θ是第四象限角，且sinθ+π4＝35，则tanθ思路展示(方法一)cosθ－π4＝sinπ2+因为θ是第四象限角，所以－π2＋2kπ＜θ＜2kπ(k∈Z所以－3π4＋2kπ＜θ－π4<－π4＋2kπ(k所以sinθ－π4＝－1－所以tanθ－π4＝sinθ(方法二)由sinθ+π4＝35及θ是第四象限角，可得cos故sinθ＝sinθ+π4－π4＝sinθ+＝35×22故cosθ＝7210，tanθ＝－17，所以tanθ－π4勾股关系视角下的恒等变换主要是已知sinα或cosα中的一个，利用sin2α＋cos2α＝1来求另一个．课时质量评价(二十三)1．(2024·海口模拟)若tanα·tanβ＝2，则cosαA．－3 B．－1C．13 A解析：由题意，得cosα－βcosα+β＝cos2．在单位圆中，已知角α的终边与单位圆交于点P12，32，现将角α的终边按逆时针方向旋转π3，记此时角αA．－32，C．(1，0) D．(0，1)B解析：由三角函数的定义知，sinα＝32，cosα＝12，将角α的终边按逆时针方向旋转π3所得的角为α＋π3，故点Q的横坐标为cosα+π3＝cosαcosπ3－点Q的纵坐标为sinα+π3＝sinαcosπ3＋cosα·sinπ3＝33．(数学与文化)公元前六世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派在研究正五边形和正十边形的作图时，发现了黄金分割约为0.618，这一数值也可以表示为m＝2sin18˚.若4m2＋n＝16，则mnA．1 B．2C．4 D．8C解析：因为m＝2sin18˚，由4m2＋n＝16，可得n＝16－4(2sin18˚)2＝16cos218˚，所以mn2cos227˚－4．已知α，β∈π3，5π6，若sinα+π6＝45，cosA．1665 B．C．5665 D．A解析：由题意可得α＋π6∈π2，π，β－所以cosα+π6＝－35，sinβ所以sin(α－β)＝－sinα+π6－β－5．(多选题)(2024·合肥模拟)下列计算结果正确的是()A．cos(－15˚)＝6B．sin15˚sin30˚sin75˚＝1C．cos(α－35˚)cos(25˚＋α)＋sin(α－35˚)·sin(25˚＋α)＝－1D．2sin18˚cos36˚＝1BD解析：对于A，cos(－15˚)＝cos15˚＝cos(45˚－30˚)＝cos45˚cos30˚＋sin45˚sin30˚＝6+对于B，sin15˚sin30˚sin75˚＝sin15˚sin30˚cos15˚＝12sin15˚cos15˚＝14sin30˚＝对于C，cos(α－35˚)cos(25˚＋α)＋sin(α－35˚)·sin(25˚＋α)＝cos[(α－35˚)－(25˚＋α)]＝cos(－60˚)＝cos60˚＝12对于D，2sin18˚cos36˚＝2cos72˚cos36˚＝2×sin144˚2sin6．sin12°218解析：因为sin12°2cos2127．(2024·威海模拟)已知α∈π，3π2，若tanα+π3－1010解析：因为α∈π，3π2，则α＋π又tanα+π3＝－2<0，故α＋π3∈3π2，11π6，则cos故cosα+π12＝cosα+π3－π＝55×22+8．已知sinα＝210，cosβ＝31010，且α，β为锐角，则α＋2βπ4解析：因为sinα＝210，且α为锐角，所以cosα＝1－sin2因为cosβ＝31010，且β为锐角，所以sinβ＝1－cos2那么sin2β＝2sinβcosβ＝2×1010×31010＝35，cos2β＝1－2sin2β＝1－所以cos(α＋2β)＝cosα·cos2β－sinαsin2β＝7210×因为α∈0，π2，β∈0，π2，所以2β∈(0，π)，所以α＋2β∈0，9．已知2sinα＝2sin2α2(1)求sinαcosα＋cos2α的值；(2)已知α∈(0，π)，β∈0，π2，且tan2β－6tanβ＝1，求α解：(1)由已知得2sinα＝－cosα，所以tanα＝－12则sinαcosα＋cos2α＝sinαcosα+cos(2)由tan2β－6tanβ＝1，可得tan2β＝2tanβ1－则tan(α＋2β)＝tanα+tan2β因为β∈0，π2，所以2又tan2β＝－13＞－33，则2β∈因为α∈(0，π)，tanα＝－12＞－33，则α∈5π6，π，则α＋2β∈5π3，10．(数学与生活)所谓人脸识别，就是利用计算机检测样本之间的相似度，余弦距离是检测相似度的常用方法．假设二维空间中有两个点A(x1，y1)，B(x2，y2)，O为坐标原点，余弦相似度为向量OA，OB夹角的余弦值，记作cos(A，B)，余弦距离为1－cos(A，B).已知P(cosα，sinα)，Q(cosβ，sinβ)，R(cosα，－sinα)，若P，Q的余弦距离为13，Q，R的余弦距离为12，则tanA．17 B．C．4 D．7A解析：由OP＝(cosα，sinα)，OQ＝(cosβ，sinβ)，OR＝(cosα，－sinα)，得cos(P，Q)＝OP·OQOPOQ＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝cos(cos(Q，R)＝OQ·OROQOR＝cosαcosβ－sinαsinβ＝cos(所以1－cos则cosα－βcosα+β＝cosαcos11．(2024·1月·九省适应性测试)已知θ∈3π4，π，tan2θ＝－4tanθA．14 B．C．1 D．3A解析：由tan2θ＝－4tanθ+得2tanθ1－tan2θ＝－4tan即(2tanθ＋1)(tanθ＋2)＝0，解得tanθ＝－2或tanθ＝－12因为θ∈3π4，π，所以tanθ∈(－1，0)，所以tanθ＝故1+sin2θ2cos2θ+故选A．12．(多选题)(2024·武汉模拟)下列结论正确的是()A．sin(α－β)sin(β－γ)－cos(α－β)cos(γ－β)＝cos(α－γ)B．315sinx＋35cosx＝35sinxC．f(x)＝sinx2＋cosx2D．sin50˚(1＋3tan10˚)＝1CD解析：对于A，左边＝－[cos(α－β)·cos(β－γ)－sin(α－β)sin(β－γ)]＝－cos[(α－β)＋(β－γ)]＝－cos(α－γ)，故A错误；对于B，315sinx＋35cosx＝6532sinx对于C，f(x)＝sinx2＋cosx2＝2sin所以f(x)的最大值为2，故C正确；对于D，由sin50˚(1＋3tan10˚)＝sin50˚·1＝sin50˚·cos10˚+3sin1013．如图，在平面直角坐标系Oxy中，顶点在坐标原点，