2025年高考数学总复习 29 第四章 第一节 任意角和弧度制及任意角的三角函数

第一节任意角和弧度制及任意角的三角函数考试要求：1．了解任意角的概念和弧度制．2．能进行弧度与角度的互化．3．理解三角函数(正弦、余弦、正切)的定义．自查自测知识点一角的概念的推广1．判断下列说法的正误，正确的画“√”，错误的画“×”.(1)小于90˚的角是锐角．()×提示：－30˚角不是锐角．(2)第四象限的角一定是负角．()×提示：280˚角是第四象限角，但它不是负角．(3)60˚角与600˚角是终边相同的角．()×提示：600˚－60˚＝540˚不是360˚的倍数．(4)将表的分针拨慢10分钟，则分针转过的角为60˚.()√提示：分针转一周为60分钟，转过的角度为－360˚，将分针拨慢是逆时针旋转，拨慢10分钟转过的角为360˚×16＝2．(教材改编题)已知0˚≤α＜360˚，且α与600˚角终边相同，则α＝________，它是第________象限角．240˚三解析：因为600˚＝360˚＋240˚，所以240˚角与600˚角终边相同，且0˚≤240˚＜360˚，故α＝240˚，它是第三象限角．核心回扣1．角的定义：角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所成的图形．2．分类：3．终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360˚，k∈Z}或{β|β＝α＋2kπ，k∈Z}．自查自测知识点二弧度制1．判断下列说法的正误，正确的画“√”，错误的画“×”．(1)一个角的度数对应唯一一个弧度数．(√)(2)1弧度的角大于1度的角．(√)(3)角α弧度数的大小与所取圆的半径大小有关．(×)(4)把72˚化成弧度为3π7.(×2.下列与9π4的终边相同的角的表达式中正确的是(A．2kπ＋45˚(k∈Z) B．k·360˚＋9π4(k∈ZC．k·360˚－315˚(k∈Z) D．kπ＋5π4(k∈ZC解析：终边相同的角的表达式中不能同时出现角度和弧度，故应为π4＋2kπ或k·360˚＋45˚(k∈Z)，因此C3．半径为2，圆心角为π6的扇形的面积是π3解析：由已知得S扇＝12×π6×核心回扣1.定义：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，记作1rad.2．α的弧度数公式：|α|＝lr(弧长用l表示，半径用r表示)3．角度与弧度的换算：(1)1˚＝π180rad(2)1rad＝(180π)˚≈4．弧长公式：弧长l＝|α|r．5．扇形面积公式：S＝12lr＝12|α|r注意点：(1)把弧度作为单位表示角时，“弧度”两字可以省略不写，但把度(˚)作为单位表示角时，度(˚)就一定不能省略．(2)角度制与弧度制可利用180˚＝πrad进行互化，在同一个式子中，采用的度量制必须一致，不可混用．自查自测知识点三任意角的三角函数1．已知角α的终边过点P(－1，2)，则sinα＝()A．5C．－55 D．－B解析：因为|OP|＝－12+22＝5(O为坐标原点)，所以sinα2．(教材改编题)若sinα＜0，且tanα＞0，则α是()A．第一象限角 B．第二象限角C．第三象限角 D．第四象限角C解析：由sinα＜0知α的终边在第三、第四象限或y轴的非正半轴上；由tanα＞0知α的终边在第一或第三象限，故α是第三象限角．故选C．3．在平面直角坐标系中，角α与角β的始边均与x轴的非负半轴重合，它们的终边关于x轴对称．若sinα＝15，则sinβ＝－15解析：设角α的终边与单位圆相交于点P(x，y)，则角β的终边与单位圆相交于点Q(x，－y)．由题意知y＝sinα＝15，所以sinβ＝－y＝－核心回扣1．定义：任意角α的终边与单位圆交于点P(x，y)，则y＝sinα，x＝cosα，yx＝tanα(x≠0)2．定义的推广：P(x，y)是角α的终边上异于顶点的任意一点，设点P到原点O的距离为r，则sinα＝yr，cosα＝xr，tanα＝yx(x3．三角函数值在各个象限内的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦，如图．4．若角α，β的终边关于x轴对称，则sinα＝－sinβ，cosα＝cosβ；若角α，β的终边关于y轴对称，则sinα＝sinβ，cosα＝－cosβ.【常用结论】1．象限角2．轴线角应用1若α是第二象限角，则－α是()A．第一象限角 B．第二象限角C．第三象限角 D．第四象限角C解析：因为α是第二象限角，可得π2＋2kπ<α<π＋2kπ，k∈Z，所以－π－2kπ<－α<－π2－2kπ，k∈Z，此时－应用2在平面直角坐标系中，如果角α与角β的终边互相垂直，那么角α与角β的关系式为()A．β＝α＋90˚ B．β＝α±90˚C．β＝α＋90˚＋k·360˚(k∈Z) D．β＝α±90˚＋k·360˚(k∈Z)D解析：因为角α与角β的终边互相垂直，所以β＝α±90˚＋k·360˚(k∈Z)．象限角及终边相同的角1．与240˚角终边相同的角的集合是()A．αα=kπC．αα=kD解析：因为240˚＝4π3，所以与240˚角终边相同的角的集合是α2．(多选题)下列说法正确的是()A．时钟经过两个小时，时针转过的角是60˚B．钝角大于锐角C．三角形的内角必是第一或第二象限角D．若α是第二象限角，则α2BD解析：对于A，时钟经过两个小时，时针转过的角是－60˚，故错误．对于B，钝角一定大于锐角，显然正确．对于C，若三角形的内角为90˚，则是终边在y轴正半轴上的角，故错误．对于D，因为角α的终边在第二象限，所以2kπ＋π2＜α＜2kπ＋π，k∈Z，所以kπ＋π4＜α2＜kπ＋π2，k∈Z，当k＝2n，n∈Z时，2nπ＋π4＜α2＜2nπ＋π2，n∈Z，得α2是第一象限角；当k＝2n＋1，n∈Z时，(2n＋1)π＋π4＜α2＜(2n＋3．若角α的顶点为坐标原点，始边在x轴的非负半轴上，终边在直线y＝－3x上，则角α的取值集合是()A．αα=2kC．αα=kπD解析：因为直线y＝－3x的倾斜角是2π3，tanα＝－3，所以终边落在直线y＝－3x上的角α的取值集合为αα=kπ－4．若α＝45˚＋k·180˚(k∈Z)，则α的终边在()A．第二或第三象限 B．第一或第三象限C．第二或第四象限 D．第三或第四象限B解析：当k为奇数时，记k＝2n＋1(n∈Z)，则α＝225˚＋n·360˚(n∈Z)，此时α为第三象限角；当k为偶数时，记k＝2n(n∈Z)，则α＝45˚＋n·360˚(n∈Z)，此时α为第一象限角．故α的终边在第一或第三象限．1．判断象限角的方法作出已知角并根据象限角的定义判断该角是第几象限角或将已知角化为k·360˚＋α(0˚≤α<360˚，k∈Z)的形式，由角α终边所在的象限判断已知角是第几象限角．2．确定kα，αk(k∈N*)(方法一)先写出kα或αk的范围，然后根据k的可能取值确定kα或α(方法二)数形结合求αk的终边位置：将各象限角平均分成k等份，从x轴正半轴开始，逆时针循环写出1，2，3，4，…，k，α为αk3．求终边在某直线上的角的方法在平面直角坐标系中画出该直线，按逆时针方向写出[0，2π)内的角，再由终边相同角的表示方法写出满足条件的角的集合并化简．提醒：确定角的终边位置时易忽视角的终边与坐标轴重合的情况．扇形的弧长、面积公式【例1】(1)(2024·日照模拟)我国北宋时期科技史上的杰作《梦溪笔谈》收录了计算扇形弧长的近似计算公式：＝弦＋2×矢2径，公式中“弦”是指扇形中圆弧所对弦的长，“矢”是指圆弧所在圆的半径与圆心到弦的距离之差，“径”是指圆弧所在圆的直径．如图，已知扇形的面积为4π3，扇形中圆弧所在圆O的半径为2A．3＋2 B．3C．43+12 D．C解析：设扇形的圆心角为α，由扇形面积公式可知12×22×α＝4π3，所以α＝如图，取AB的中点C，连接OC，交AB于点D，则OC⊥AB.易知∠OAD＝π6，则OD＝2sinπ6＝所以CD＝2－1＝1，AD＝2cosπ6＝3，AB＝2AD＝23所以扇形弧长的近似值为＝弦＋2×矢2径＝AB＋2(2)一扇形的圆心角为α，半径为R，弧长为l.已知α＝π3，R＝10cm解：由已知得α＝π3，R＝10cm所以S扇形＝12α·R2＝12×π3×102＝[变式1]若本例(2)条件不变，求扇形的弧长及该弧所在弓形的面积．解：l＝αR＝π3×10＝10π3S弓形＝S扇形－S三角形＝12lR－12R2sinπ3＝12×10π3×10－12×102[变式2]若本例(2)已知条件改为“扇形周长为20cm”，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？解：由已知得l＋2R＝20，则l＝20－2R(0＜R＜10)，所以S扇形＝12lR＝12(20－2R)R＝10R－R2＝－(R－5)2＋所以当R＝5cm时，S扇形取得最大值，最大值为25cm2，此时l＝10cm，α＝2rad.应用弧度制解决问题的方法(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度．(2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题，利用配方法使问题得到解决，有时也利用基本不等式及导数求最值．(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形．1．已知扇形的弧长是4cm，面积是2cm2，则扇形的圆心角的弧度数是()A．1 B．2C．4 D．1或4C解析：因为扇形的弧长为4cm，面积为2cm2，设扇形所在圆的半径为r，所以扇形的面积为12×4×r＝2，解得r＝1，则扇形的圆心角的弧度数为41＝4.故选2．玉雕在我国历史悠久，拥有深厚的文化底蕴，数千年来始终以其独特的内涵与魅力深深吸引着世人．某扇形玉雕壁画尺寸(单位：cm)如图所示，则该玉雕壁画的扇面面积约为()A．1600cm2 B．3200cm2C．3350cm2 D．4800cm2D解析：易知该扇形玉雕壁画可看作由一个大扇形剪去一个小扇形得到．设大、小扇形所在圆的半径分别为r1，r2，相同的圆心角为θ，则θ＝160r1＝80r2，得r1＝又因为r1－r2＝40，所以r1＝80，r2＝40，该扇形玉雕壁画面积S＝12×160×r1－12×80×r2＝12×160×80－12×80×40＝3．已知扇形AOB的周长为8.(1)若这个扇形的面积为3，求圆心角的大小；(2)求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦长AB.解：(1)设扇形AOB的半径为r，弧长为l，圆心角为α.由题意可得2r+l=所以α＝lr＝23或α＝l(2)因为2r＋l＝8，所以S扇形＝12lr＝14l·2r≤14l+当且仅当2r＝l，即α＝lr＝2时，扇形面积取得最大值4所以r＝2，所以弦长AB＝2sin1×2＝4sin1.三角函数的定义及应用考向1三角函数的定义【例2】(1)已知角α的终边经过点P(－2，4)，则sinα－cosα的值为()A．355 B．C．15 D．－A解析：因为角α的终边经过点P(－2，4)，所以sinα＝4－22+42＝255，cosα＝－2－22(2)已知角α的终边经过点P(－8m，－6sin30˚)，且cosα＝－45，则m的值为(A．－12 B．－C．1C解析：由题意得点P(－8m，－3)，|OP|＝64m所以cosα＝－8m64m2+9＝[变式]本例(1)中条件改为“终边落在直线3x＋y＝0上”，求sinα，cosα，tanα的值．解：直线3x＋y＝0，即y＝－3x，经过第二、四象限，在第二象限取直线上的点Q(－1，3)，则|OQ|＝－12+32＝2，所以sinα＝32，cosα＝－12在第四象限取直线上的点G(1，－3)，则|OG|＝12+－所以sinα＝－32，cosα＝12，tanα＝－三角函数的定义主要应用于两方面利用三角函数的定义，已知角α终边上一点P的坐标，可以求出角α的三角函数值；已知角α的三角函数值，也可以求出点P的坐标．考向2判断三角函数值的符号【例3】(1)若sinαcosα＞0，cosαtanα＜0，则α的终边落在()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限C解析：由sinαcosα＞0，得α的终边落在第一或第三象限，由cosαtanα＝cosα·sinαcosα＝sinα＜0，得α的终边落在第三或第四象限．综上所述，α(2)(2024·东营模拟)若θ为第二象限角，则下列结论一定成立的是()A．sinθ2＞0 B．cosθ2C．tanθ2＞0 D．sinθ2cosθC解析：因为θ为第二象限角，所以π2＋2kπ＜θ＜π＋2kπ，k∈Z则π4＋kπ＜θ2＜π2＋kπ，k∈Z，所以θ2为第一或第三象限角，则利用角所在的象限判定角的三角函数值的符号时，特别要注意不要忽略角的终边在坐标轴上的情况．1．(多选题)在平面直角坐标系中，角α的顶点在原点O，以x轴的非负半轴为始边，终边经过点P(1，m)(m<0)，则下列各式的值恒大于0的是()A．sinαtanα B．C．sinαcosα D．sinα＋cosαAB解析：由题意知sinα<0，cosα>0，tanα<0，则sinαtanα>0，故A正确；cosα－sinα>0，故B正确；sinαcosα<0，故C错误；sinα＋cosα的符号不确定，故D错误2．已知α是第二象限角，P(x，5)为其终边上一点，且cosα＝2x4，则x等于(A．3 B．±3C．－2 D．－3D解析：由三角函数的定义得cosα＝xx2+5＝2x4，解得x＝±3.又点P(x，5)课时质量评价(二十一)1．把－1125˚化成α＋2kπ(0≤α<2π，k∈Z)的形式是()A．－π4－6π B．7π4C．－π4－8π D．7π4D解析：－1125˚＝－1440˚＋315˚＝－8π＋7π42．已知角θ的终边经过点(2a＋1，a－2)，且cosθ＝35，则实数a的值是(A．－2 B．2C．－2或211 D．B解析：由题设可知2a+12a+12+a－22所以4a2+4a+15a2+5＝925，则11a2＋20a－4＝0，解得a＝－2或a3．点P从(1，0)出发，沿单位圆逆时针方向运动2π3弧长到达Q点，则点Q的坐标为(A．－12，3C．－12，－A解析：由三角函数的定义可知点Q的坐标(x，y)满足x＝cos2π3＝－12，y＝sin2π3所以点Q的坐标为－14．(2024·惠州模拟)如果点P(2sinθ，sinθ·cosθ)位于第四象限，那么角θ所在的象限为()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限B解析：因为点P(2sinθ，sinθcosθ)位于第四象限，所以2sinθ>05．(多选题)已知扇形的周长是6cm，面积是2cm2，则下列说法中正确的有A．扇形的半径为2cmB．扇形的半径为1cmC．圆心角的弧度数是1D．圆心角的弧度数是2ABC解析：设扇形的半径为rcm，圆心角的弧度数为α，则由题意得2r+αr=所以圆心角的弧度数是4或1，扇形的半径是1cm或2cm.6．已知角α的始边与x轴的正半轴重合，顶点在坐标原点，角α终边上的一点P到原点的距离为2.若α＝π4，则点P的坐标为(1，1)解析：设点P的坐标为(x，y)，则由三角函数的定义得sinπ故点P的坐标为(1，1)．7．若圆弧长度等于该圆内接正方形的边长，则其圆心角的弧度数是________.2解析：设圆的半径为r，则圆内接正方形的对角线长为2r，所以正方形边长为2r，所以该圆弧的圆心角的弧度数是2rr＝8．设角α的终边为射线OP，射线OP1与OP关于y轴对称，射线OP2与OP1关于直线y＝－x对称，则以射线OP2为终边的角的集合是____________________.{β|β＝k·360˚＋90˚＋α，k∈Z}解析：依题意，以射线OP1为终边的角γ＝k1·360˚＋180˚－α，k1∈Z，从而以射线OP2为终边的角β＝－(k1·360˚＋180˚－α)＋k2·360˚－90˚＝(k2－k1)·360˚＋90˚＋α＝k·360˚＋90˚＋α(k1，k2，k∈Z)．9．“数摺聚清风，一捻生秋意”是宋朝朱翌描写折扇的诗句，折扇出入怀袖，扇面书画，扇骨雕琢，是文人雅士的宠物，所以有“怀袖雅物”的别号．如图，当折扇所在扇形的圆心角为2π3时，折扇的外观看上去是比较美观的，则此时折扇所在扇形的弦长AB与弧长AB之比为332π解析：设扇形的弧长为l，半径为r，如图，取AB的中点D，连接由题意知圆心角α为2π3，则∠BOD＝π所以弦长AB＝2AD＝2rsinπ3＝3r又弧长AB＝2π3r，所以弦长AB与弧长AB之比为3r2π10．已知1sinα＝－1sinα，且(1)试判断角α所在的象限；(2)若角α的终边上一点M35，m，且|OM|＝1(O为坐标原点)，求m的值及解：(1)由1sinα＝－1sin由lg(cosα)有意义，可知cosα>0，所以角α在第四象限．(2)因为|OM|＝1，所以352＋m2＝1，解得m＝±又角α为第四象限角，故m<0，从而m＝－45，sinα＝mOM＝－4511．(数学与文化)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，卷一《方田》中有如下两个问题：[三三]今有宛田，下周三十步，径十六步．问为田几何？[三四]又有宛田，下周九十九步，径五十一步．问为田几何？翻译为：[三三]现有扇形田，弧长30步，直径长16步．问这块田面积是多少？[三四]又有一扇形田，弧长99步，直径长51步．问这块田面积是多少？则下列说法正确的是()A．问题[三三]中扇形的面积为240平方步B．问题[三四]中扇形的面积为5049C．问题[三三]中扇形的面积为60平方步D．问题[三四]中扇形的面积为5049B解析：依题意，问题[三三]中扇形的面积为12lr＝12×30×162＝120(平方步)，问题[三四]中扇形的面积为12lr＝12×99×51212．已知角α的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上一点M的坐标为sin3π4，cosA．π4 B．C．5π4 D．D解析：角α的终边上一点M的坐标为sin3π4，cos3π4，即M22，－22，故点M在第四象限，且13．(数学与文化)(2024·常州模拟)赵爽是我国古代数学家、天文学家，约公元222年，赵爽在注解《周髀算经》一书时介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的大正方形．如图所示的是一张弦图，已知大正方形的面积为100，小正方形的面积为20，若直角三角形中较小的锐角为α，则sinαcosα的值为________.25解析：设直角三角形的短直角边长为x，一个直角三角形的面积为100－20因为小正方形的面积为20，则边长为25，大正方形的面积为100，则边长为10.所以直角三角形的面积为12·x(x＋25)＝20，解得x＝25(x＝－45舍去)所以直角三角形的长直角边为45.故sinα＝55，cosα＝255，即sinαcosα14．若角α的终边落在直线y＝3x上，角β的终边与单位圆交于点12，m，且sinαcosβ＜0，则cosα·si