高中数学 第3章综合能力检测课时练习 新人教A版必修3

第三章综合能力检测时间120分钟，满分150分。一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1．老师为研究男女同学数学学习的差异情况，对某班50名同学(其中男同学30名，女同学20名)采取分层抽样的方法，抽取一个样本容量为10的样本进行研究，求女同学甲被抽到的概率为()A.eq\f(1,50) B.eq\f(1,10)C.eq\f(1,5) D.eq\f(1,4)[答案]C[解析]因为在分层抽样中，任何个体被抽取的概率均相等，所以某女同学甲被抽到的概率为P＝eq\f(10,50)＝eq\f(1,5)，故应选C.2．有分别写着数字1到120的120张卡片，从中取出1张，这张卡片上的数字是2的倍数或是3的倍数的概率是()A.eq\f(1,2) B.eq\f(3,4)C.eq\f(4,7) D.eq\f(2,3)[答案]D[解析]2的倍数有60个，3的倍数有40个，6的倍数有20个，∴P＝eq\f(60＋40－20,120)＝eq\f(2,3).3．在区间(10,20]内的所有实数中随机取一个实数a，则这个实数a<13的概率是()A.eq\f(1,3) B.eq\f(1,7)C.eq\f(3,10) D.eq\f(7,10)[答案]C[解析]长度型几何概型，概率为eq\f(3,10).4．在200个产品中，一等品有60个，二等品有120个，三等品有20个，用分层抽样的方法抽取一个容量20的样本，则二等品中A被抽取到的概率()A．等于eq\f(1,5) B．等于eq\f(1,10)C．等于eq\f(2,3) D．不确定[答案]B[解析]每一个个体被抽到的概率都相等，等于eq\f(20,200)＝eq\f(1,10).5．一个正四面体的玩具，各面分别标有1,2,3,4中的一个数字，甲、乙两同学玩游戏，每人抛掷一次，朝下一面的数字和为奇数甲胜，否则乙胜，则甲胜的概率为()A.eq\f(1,3) B.eq\f(1,2)C.eq\f(2,3) D.eq\f(3,4)[答案]B[解析]用(x，y)表示第一次抛掷朝下面的数字为x，第二次抛掷朝下一面的数字为y，则x，y的所有可能结果如表第二次第一次12341(1,1)(1,2)(1,3)(1,4)2(2,1)(2,2)(2,3)(2,4)3(3,1)(3,2)(3,3)(3,4)4(4,1)(4,2)(4,3)(4,4)共有基本事件16个，其中和为奇数的基本事件有(1,2)，(1,4)，(2,1)，(2,3)，(3,2)，(3,4)，(4,1)，(4,3)，∴所求概率P＝eq\f(8,16)＝eq\f(1,2).6．如右图所示，在一个边长为a、b(a>b>0)的矩形内画一个梯形，梯形上、下底分别为eq\f(1,3)a与eq\f(1,2)a，高为b.向该矩形内随机投一点，则所投的点落在梯形内部的概率是()A.eq\f(7,10) B.eq\f(5,7)C.eq\f(5,12) D.eq\f(5,8)[答案]C[解析]由几何概型知P＝eq\f(\f(1,2)(\f(1,3)a＋\f(1,2)a)b,ab)＝eq\f(5,12).7．掷两颗骰子，事件“点数之和为6”的概率是()A.eq\f(1,11) B.eq\f(1,9)C.eq\f(5,36) D.eq\f(1,6)[答案]C[解析]掷两颗骰子，每颗骰子有6种可能结果，所以共有6×6＝36个基本事件，这些事件出现的可能性是相同的；事件“点数之和为6”包括的基本事件有(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)，共有5个．∴P＝eq\f(5,36).故选C.8．设A为圆周上一点，在圆周上等可能的任取一点与A连接，则弦长超过半径eq\r(2)倍的概率是()A.eq\f(3,4) B.eq\f(1,2)C.eq\f(1,3) D.eq\f(3,5)[答案]B[解析]作等腰直角三角形AOC和AMC，B为圆上任一点，则当点B在上运动时，弦长|AB|>eq\r(2)R，∴P＝eq\f(1,2).9．已知正方体ABCD－A1B1C1D1内有一个内切球O，则在正方体ABCD－A1B1C1D1内任取点M，点M在球A.eq\f(π,4) B.eq\f(π,8)C.eq\f(π,6) D.eq\f(π,12)[答案]C[解析]设正方体棱长为a，则正方体的体积为a3，内切球的体积为eq\f(4,3)πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)))3＝eq\f(1,6)πa3，故点M在球O内的概率为eq\f(\f(1,6)πa3,a3)＝eq\f(π,6).10．袋中有红、黄、绿色球各一个，每次任取一个，有放回地抽取三次，球的颜色全相同的概率是()A.eq\f(1,27) B.eq\f(1,9)C.eq\f(2,9) D.eq\f(2,27)[答案]B[解析]有放回地取球三次，共有不同结果33＝27种，其中球的颜色全相同的取法有3种，∴所求概率P＝eq\f(3,27)＝eq\f(1,9).11．设l是过点A(1,2)斜率为k的直线，其中k等可能的从集合{－1，－eq\f(1,2)，0，eq\f(1,2)，eq\f(2,3)，eq\f(4,3)，2,3}中取值，则原点到直线l的距离大于1的概率为()A.eq\f(3,8) B.eq\f(5,8)C.eq\f(1,2) D.eq\f(3,4)[答案]B[解析]l：y－2＝k(x－1)，即kx－y－k＋2＝0，由题意eq\f(|－k＋2|,\r(1＋k2))>1，∴k2－4k＋4>1＋k2，∴k<eq\f(3,4)，故当k<eq\f(3,4)时，事件A＝“原点到直线l的距离大于1”发生，∴P(A)＝eq\f(5,8).12．为了了解某地区高三学生的身体发育情况，抽查了该地区100名年龄为17.5岁～18岁的男生体重(kg)，得到频率分布直方图如下：根据上图可得这100名学生中体重在[56.5,64.5]的学生人数是()A．20 B．30C．40 D．50[答案]C[解析]∵体重在[56.5,64.5]间的频率为：2(0.03＋2×0.05＋0.07)＝0.4.∴学生人数为0.4×100＝40人．二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上)13．口袋内装有一些大小相同的红球、黄球、白球，从中摸出一个球，摸出红球或白球的概率为0.65，摸出黄球或白球的概率是0.6，那么摸出白球的概率是______．[答案]0.25[解析]设摸出红球、白球、黄球的事件分别为A、B、C，由条件P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.65，P(B∪C)＝P(B)＋P(C)＝0.6，又P(A∪B)＝1－P(C)，∴P(C)＝0.35，∴P(B)＝0.25.14．在边长为2的正△ABC所在平面内，以A为圆心，eq\r(3)为半径画一弧，分别交AB、AC于D、E.若在△ABC这一平面区域内任丢一粒豆子，则豆子落在扇形ADE内的概率是________．[答案]eq\f(\r(3)π,6)[解析]由题意知，△ABC中BC边上的高AO正好为eq\r(3)，∴弧与AB相切，如图．S扇形＝eq\f(1,2)·eq\f(π,3)·eq\r(3)·eq\r(3)＝eq\f(π,2)，S△ABC＝eq\f(1,2)×2×2×eq\f(\r(3),2)＝eq\r(3)，∴P＝eq\f(S扇形,S△ABC)＝eq\f(\r(3)π,6).15．随意安排甲、乙、丙三人在3天节日中值班，每人值班1天，甲排在乙之前的概率是________．[答案]eq\f(1,2)[解析]甲、乙、丙三人排在三天中值班，每人1天，故甲在乙前和乙在甲前的机会相等，∴概率为eq\f(1,2).16．某汽车站每天均有3辆开往省城济南的分为上、中、下等级的客车，某天袁先生准备在该汽车站乘车前往济南办事，但他不知道客车的车况，也不知道发车顺序．为了尽可能乘上上等车，他采取如下策略：先放过第一辆，如果第二辆比第一辆好则上第二辆，否则上第三辆．那么他乘上上等车的概率为________．[答案]eq\f(1,2)[解析]共有6种发车顺序①上、中、下②上、下、中③中、上、下④中、下、上⑤下、中、上⑥下、上、中(其中画横线的表示袁先生所乘的车)，所以他乘坐上等车的概率为eq\f(3,6)＝eq\f(1,2).三、解答题(本大题共6个大题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本题满分12分)指出下列事件是必然事件，不可能事件，还是随机事件？(1)每天早晨，太阳从东方升起；(2)在标准大气压下，水的温度达到80°C(3)某地3月4日出现沙尘暴天气；(4)某寻呼机在一分钟内接到8次寻呼．[解析](1)每天早晨，太阳从东方升起是必然现象，所以是必然事件；(2)因为在标准大气压下，水的温度达到100°C(3)某地出现沙尘暴天气是偶然的，因而在3月4日可能出现沙尘暴天气，也可能是晴天，故该事件是随机事件；(4)某寻呼机在一分钟内接到的寻呼次数也可能低于8次，还可能高于8次，故该事件亦是随机事件．[点评]本例的求解关键在于准确理解几种事件各自的概念，注意判断的前提是在一定条件之下．例如(2)，若没有“标准大气压”这一条件，水在80°C时也可能会沸腾．18．(本题满分12分)某城市有甲、乙两种报纸供居民们订阅，记事件A为“只订甲报”，事件B为“至少订一种报”，事件C为“至多订一种报”，事件D为“不订甲报”，事件E为“一种报也不订”．判断下列每对事件是不是互斥事件；如果是，再判断它们是不是对立事件．(1)A与C(2)B与E(3)B与D(4)B与C(5)C与E[解析](1)由于事件C“至多订一种报”中有可能只订甲报，即事件A与事件C有可能同时发生，故A与C不是互斥事件．(2)事件B“至少订一种报”与事件E“一种报也不订”是不可能同时发生的，故B与E是互斥事件．由于事件B发生可导致事件E一定不发生，且事件E发生会导致事件B一定不发生，故B与E还是对立事件．(3)事件B“至少订一种报”中有可能只订乙报，即有可能不订甲报，即事件B发生，事件D也可能发生，故B与D不互斥．(4)事件B“至少订一种报”中有这些可能：“只订甲报”、“只订乙报”、“订甲、乙两种报”，事件C“至多订一种报”中有这些可能：“什么也不订”、“只订甲报”、“只订乙报”，由于这两个事件可能同时发生，故B与C不是互斥事件．(5)由(4)的分析，事件E“一种报也不订”只是事件C的一种可能，故事件C与事件E有可能同时发生，故C与E不互斥．[点评]由对立事件的定义可知，对立事件首先是互斥事件，并且其中一个一定要发生，因此两个对立事件一定是互斥事件，但两个互斥事件却不一定是对立事件．解题时一定要搞清两种事件的关系．19．(本题满分12分)任选一个三位数，求恰好是100的倍数的概率．[解析]三位数共有900个，其中是100的倍数的三位数有9个，∴所求概率为P＝eq\f(9,900)＝0.01.20．(本题满分12分)5张奖券中有2张是中奖的，首先由甲抽一张，然后由乙抽一张，求：(1)甲中奖的概率P(A)．(2)甲、乙都中奖的概率P(B)．(3)只有乙中奖的概率P(C)．(4)乙中奖的概率P(D)．[解析]将5张奖券编号为1,2,3,4,5，其中4、5为中奖奖券，用(x，y)表示甲抽到号码x，乙抽到号码y，则所有可能抽法构成集合Ω＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,1)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,1)，(3,2)，(3,4)，(3,5)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,5)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)}．(1)甲中奖包含8个基本事件，∴P(A)＝eq\f(8,20)＝eq\f(2,5).(2)甲、乙都中奖包含2个基本事件，∴P(B)＝eq\f(2,20)＝eq\f(1,10).(3)只有乙中奖包含6个基本事件，∴P(C)＝eq\f(6,20)＝eq\f(3,10).(4)乙中奖包含8个基本事件，∴P(D)＝eq\f(8,20)＝eq\f(2,5).21．(本题满分12分)一个口袋里有2个红球和4个黄球，从中随机地连取3个球，每次取一个，记事件A＝“恰有一个红球”，事件B＝“第3个是红球”．求(1)不放回时，事件A，B的概率．(2)每次抽后放回时，A，B的概率．[解析](1)由不放回抽样可知，第一次从6个球中抽一个，第二次只能从5个球中取一个，第三次从4个球中取一个，基本事件共6×5×4＝120个，又事件A中含有基本事件3×2×4×3＝72个，(第一个是红球，则第2、3个是黄球，取法有2×4×3种，第2个是红球和第3个是红球取法一样多)∴P(A)＝eq\f(72,120)＝eq\f(3,5).第3次抽到红球对前两次没有什么要求，因为红球数占总球数的eq\f(1,3)，在每一次抽到都是随机地等可能事件，∴P(B)＝eq\f(1,3).(2)由放回抽样知，每次都是从6个球中取一个，有取法63＝216种，事件A包含基本事件3×2×4×4＝96种．∴P