重庆市2023届高三临门一卷(二) 数学试题（含答案与解析）

绝密★启用前

2023年普通高等学校招生全国统一考试•临门一卷（二）

数学

本试题卷共4页.全卷满分150分，考试用时120分钟.

★祝考试顺利★

注意事项：

1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上.

2.作答时，将答案写在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题

区域均无效.

3.考试结束后，本试题卷和答题卡一并上交.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1,已知集合4=回降2%>1｝，8=｛小钊,则AU/（）

A｛中22｝B.1x|0<x<ljC.1｝D.R

7

2.已知复数z=l—i（i是虚数单位），则=一=（）

ZZ+1

31.11.「13.11.

A.—+—1Bn.-+—1C.------1D.——+—1

55555555

3.命题“V-24x<3,x2一2aW0”是真命题的一个必要不充分条件是（）

9

A.«>1B.a>-C.fl>5D.a<4

2

4.已知向量»满足|£|=1,仍|=2,£+B=（20,1）,则|3“+”=（）

A.272B.V15C.372D.5

5.中华人民共和国国家标准《居室空气中甲醛的卫生标准》规定：居室空气中甲醛的最高容许浓度为：一

类建筑0.08mg/m3,二类建筑O.lmg/n?.二类建筑室内甲醛浓度小于等于O.lmg/n?为安全范围，已知

某学校教学楼（二类建筑）施工过程中使用了甲醛喷剂，处于良好的通风环境下时，竣工2周后室内甲醛浓

度为2.25mg/n?,4周后室内甲醛浓度为0.36mg/m3,且室内甲醛浓度。⑺（单位：mg/m3）与竣工

后保持良好通风的时间f（fwN*）（单位：周）近似满足函数关系式pQ）=e""〃，则该教学楼竣工后的甲醛

浓度若要达到安全开放标准，至少需要放置的时间为（）

A.5周B.6周C.7周D.8周

6.在平面直角坐标系X。)，中，直线/：y=2x-5与双曲线斗一多=1的一条渐近线平行，且双曲线的一个

焦点在直线/上，则双曲线的方程为()

7.水滴型潜艇的线型特点是首部呈圆钝的纺锤形，潜艇的横剖面几乎都为圆截面，艇身从中部开始向后逐

渐变细，尾部呈尖尾状，小刘利用几何作图软件画出了水滴的形状(如图)，由线段和优弧8C围

7

成，其中8c连线竖直、AB,AC与圆弧相切，已知“水滴”的水平宽度与竖直高度之比为一，则cosN84C=

8.如图所示，已知一个球内接圆台，圆台上、下底面的半径分别为3和4,球的体积为一§一，则该圆台的

侧面积为()

A.60兀B.75兀C.35兀D.35缶

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符

合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.已知定义在R上的函数/(x)满足/(x+2)+/(x)=0,且y=/(2-x)为偶函数，则下列说法一定正确

的是()

A.函数/(x)的周期为2

B.函数Ax)的图象关于直线x=2对称

C.函数/（x）为偶函数

D.函数，（x）的图象关于点（3,0）对称

10.已知函数/（xXsiEx+cos,xHeN*）,则下列结论正确的是（）

兀71

A.〃=1时，f（x）在一二，:上单调递增

_24_

B.〃=4时，/（x）的最小正周期为无

C.〃=4时，/（X）在R上的最小值为1

D.对任意的正整数〃，〃x）的图象都关于直线x=2对称

4

11.下列不等关系中正确的是（）

A.Gln2<ln3B.V31n4>41nV3

C.sin3<3sinlcoslD.sin3>3sinlcosl

12.在棱长为4的正方体ABC。—中，点E为棱。，的中点，点尸是正方形A4cA内一动点

（含边界），则下列说法中正确的是（）

A.直线Bq与直线AC夹角为60。

B.平面8GE截正方体所得截面的面积为6五

C.若EP=2迅，则动点尸的轨迹长度为2〃

D.若AF〃平面BQE,则动点F的轨迹长度为2

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.五个数2,2,3,3,。的平均数是3,这五个数的方差是.

14.如图，某中学某班级课外学习兴趣小组为了测量某座山峰的高度，先在山脚A处测得山顶C处的仰角

为60。，又利用无人机在离地面高300m的M处（即=300）,观测到山顶。处的仰角为15。，山脚A

处的俯角为45°,则山高5C=m.

15.某城市休闲公园管理人员拟对一块圆环区域进行改造封闭式种植鲜花，该圆环区域被等分为5个部分,

每个部分从红、黄、紫三种颜色的鲜花中选取一种进行栽植.要求相邻区域不能用同种颜色的鲜花，总的栽

植方案有种.

2

16.已知函数/（幻=廿一2融—1在区间（T,D内存在极值点，且/（x）<0在R上恰好有唯一整数解，则实

数。的取值范围是.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.3月14日为国际数学日，也称为万节，为庆祝该节日，某中学举办了数学文化节活动，其中一项活动

是“数学知识竞赛”，初赛采用“两轮制”方式进行，要求每个班级派出两个小组，且每个小组都要参加两轮

比赛，两轮比赛都通过的小组才具备参与决赛的资格.高三（7）班派出甲、乙两个小组参赛，在初赛中，若

3342

甲、乙两组通过第一轮比赛的概率分别是二,二，通过第二轮比赛的概率分别是一,一，且各个小组所有轮次

4553

比赛的结果互不影响.

（1）若三（7）获得决赛资格小组个数为X,求X的数学期望；

（2）已知甲、乙两个小组在决赛中相遇.决赛以三道抢答题形式进行，抢到并答对一题得10分，答错一题

扣10分，得分高的获胜：假设这两组在决赛中对每个问题回答正确的概率恰好是各自获得决赛资格的概

12

率，且甲、乙两个小组抢到该题的可能性分别是一,一,假设每道题抢与答的结果均互不影响，求乙已在第

33

一道题中得10分的情况下甲获胜的概率.

18.记的内角的对边分别为已知》+c=2asin.

（1）求A；

（2）设AB的中点为O,若CD=a,且Z?—c=l,求的的面积.

19.已知等差数列｛4｝的前〃项和为S,,,且§6=60,%+3a5=48.当〃eN*时，

H

2"^+2"-'^++2bn=3-1.

（1）求数列｛《,｝、｛d｝的通项公式；

（2）若q,=（2%T）（2%二2）,求数列前”项和北.

20.如图所示，六面体A3CO-AAGA的底面四边形ABCO是正方形，AA,//BB,//CC,//DDf,且

BB]±平面ABCD,A4,=CCl,AE=^AAi,CF=^CCi,DDl=2BB-平面跳F与平面ABCD的交线

(1)求证：直线/I平面48。"；

(2)已知麻=2,44=3,84=2,若。口与平面8乃。2所成角为。，求sin8的值.

21.已知椭圆C：+y2=1(a>1)的右焦点为尸(c,0),点A,8在椭圆C上，点。

7到直线E4的

距离为£,且△ABf'的内心恰好是点D.

2

(1)求椭圆C标准方程；

(2)已知。为坐标原点，M,N为椭圆上不重合两点，且M,N中点，在直线丁=3%上，求_MNO

面积的最大值.

22.已知函数/(x)=alnx—尤(。。0).

(1)讨论函数/(x)的极值；

(2)当x>0时，不等式Nsin[/(x)]+l恒成立，求a的取值范围.

参考答案

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1,已知集合A={Mog2X>l}，8={x|x<l},则4相=()

A.{小之2}B.{x[0<x〈l}C.{小>1}D.R

【答案】C

【解析】

【分析】根据对数函数的单调性求集合4,进而结合集合的运算求解.

【详解】由题意可得：A=(x|log2%>1}=>21,46={x|x>l},

所以A48={巾>1}.

故选：C.

7

2.已知复数z=l—i（i是虚数单位），则=一=（）

ZZ+1

【答案】c

【解析】

【分析】根据复数代数形式的除法运算法则计算可得.

【详解】因为z=l—i，所以』=i+i，所以zl=(l—i)(l+i)=2,

z_1-i_(l-i)(2-i)2-i-2i+i2_13

Illi-------------------------------------------------1

zz+i2+i(2+i)(2-i)555'

故选：C

3.命题，V—2WxK3,x2-2aW0”是真命题一个必要不充分条件是()

9

A.a>\B.a>-C.a>5D.a<4

2

【答案】A

【解析】

a

［分析］根据恒成立问题分析可得命题“V-2<x<3,x2-2a<0”是真命题等价于“a2—”，结合充分、

2

必要条件分析判断.

【详解】若命题“V-2Wx43,x2-2aW0”是真命题，Rij（x2-2a）<0,

\/max

9

可知当x=3时，/一2。取到最大值9一2。<0,解得

2

,9

所以命题“7-24%43,/一2。40”是真命题等价于—.

2

因为］{a\a>\},故"”是“aNq”的必要不充分条件，故A正确;

99

,故不”是不”的充要条件，故B错误；

22

9）9

因为{a|a25}hi\a>-\,故“a?5”是“。之立”的充分不必要条件，故C错误;

919

因为与,|aW4｝不存在包含关系，故“aW4”是“a2^”的即不充分也不必要条件，故

D错误；

故选：A.

4.已知向量出匕满足|a|==,则|3〃+。|=（）

A.272B.V15C.3>/2D.5

【答案】D

【解析】

【分析】根据模长的坐标运算可得卜+叶=3,分析可得a*同向，进而可求结果.

［详解］因为,+j=J（2夜=3,即卜+.=忖+忖，

rrrr

则a,b同向，所以|3a+b|=34+忖=5.

故选：D.

5.中华人民共和国国家标准《居室空气中甲醛的卫生标准》规定：居室空气中甲醛的最高容许浓度为：一

类建筑0.08mg/m3,二类建筑O.lmg/n?.二类建筑室内甲醛浓度小于等于O.lmg/n?为安全范围，己知

某学校教学楼（二类建筑）施工过程中使用了甲醛喷剂，处于良好的通风环境下时.，竣工2周后室内甲醛浓

度为2.25mg/m3,4周后室内甲醛浓度为0.36mg/m3,且室内甲醛浓度「⑺（单位：mg/m3）与竣工

后保持良好通风的时间f（feN*）（单位：周）近似满足函数关系式P⑺=e"+3则该教学楼竣工后的甲醛

浓度若要达到安全开放标准，至少需要放置的时间为（）

A.5周B.6周C.7周D.8周

【答案】B

【解析】

ea=04

【分析】根据题意列式求解可得〈，,，即⑺=14.0625x04,令。⑺<0」运算求解即可.

e"=14.0625

42白+方2ab

=e-e=2.25e"=0.4

解得〈人

【详解】由题意可得:4a+fr2a2z)

e=(e).e=0.36e=14.0625

所以0⑺=”=卜")'•eh=14.0625x04,

令/?(z)=14.0625x04<0.1,整理得0.4'<—°J-®0.0071,

14.0625

因为0.45=().01024>0.0071,0.46=0.004096<0.0071,

故04<0.0071，则d6,所以至少需要放置6周.

故选：B.

22

6.在平面直角坐标系X。），中，直线/：y=2x-5与双曲线多一餐=1的一条渐近线平行，且双曲线的一个

a~b~

焦点在直线/上，则双曲线的方程为（）

2222

A,工-匕=1B,工-匕=1

205520

2222

C.匕v——二1D,工工=1

205520

【答案】C

【解析】

【分析】根据直线与双曲线得一条渐近线平行可得。力的关系，求出双曲线的一个焦点的坐标,再根据a,h,c

的关系求出a,。，即可得解.

2

vX2

【详解】因为直线/：y=2x-5与双曲线二=1的一条渐近线平行,

所以q=2,即a=2〃,

b

由直线/：y=2x-5,令X=(),得y=-5,

则双曲线的一个焦点为（0,-5）,即半焦距c=5,

由c2=a2+加=5必=25,得。2=5,所以/=20,

22

所以双曲线的方程为二-二=1.

205

故选：C.

7.水滴型潜艇的线型特点是首部呈圆钝的纺锤形，潜艇的横剖面几乎都为圆截面，艇身从中部开始向后逐

渐变细，尾部呈尖尾状，小刘利用几何作图软件画出了水滴的形状（如图），由线段AB,AC和优弧8c围

7

成，其中连线竖直、A8,AC与圆弧相切，已知“水滴”的水平宽度与竖直高度之比为一，则cos/BAC

4

4731745

A.BD.—C.一D.-

72557

【答案】B

【解析】

【分析】根据题意可得A。=3/?,再结合倍角公式运算求解.

2

【详解】设优弧BC的圆心为。，半径为A,“水滴”的水平宽度、竖直高度分别为A。、MN，连接

OB,OC,

由题意可得AC+R=2,解得AO=2R,

2H42

因为则sin/6A0=^=匚=g,

—K

2

根据对称可得ABAC=2ZBAO,

17

所以cosABAC=cos2ZBA0=1—2sin?ZBAO=1-2x

25

故选：B.

8.如图所示，已知一个球内接圆台，圆台上、下底面的半径分别为3和4,球的体积为第箸，则该圆台的

侧面积为（）

A.6071B.75兀C.35兀D.35瓶戈

【答案】D

【解析】

【分析】作出图形，计算出圆台的母线长，再利用圆台的侧面积公式可求得该圆台的侧面积.

【详解】设球的半径为R,则士竺=迎"，所以，R=5,

33

取圆台的轴截面ABC。，如下图所示:

设圆台的上、下底面圆心分别为£、F,则E、尸分别为A3、CQ的中点，

连接。E、OF、OA,OB、OC、0D,则O4=OB=OC=OD=5，

由垂径定理可知，OE±AB,OFLCD,

所以，OE=TO代-3=02-42=3,OF70bl-DF?=若-3?=4，

因为=OA^DO,AE=OF,所以，RtACME^RtADOF，

所以，NOAE=NDOF,所以，Z.DOF+ZAOE=ZDOF+ZODF=90.

所以，Z4Q£>=90，则仞=&^+m=5叵，

因此，圆台的侧面积为兀(3+4)x50=35正兀，

故选：D.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符

合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.已知定义在R上的函数/*)满足/(x+2)+/(x)=0,且y=/(2-x)为偶函数，则下列说法一定正确

的是()

A.函数/(x)的周期为2

B.函数/(x)的图象关于直线x=2对称

C.函数/(x)为偶函数

D.函数/⑴的图象关于点(3,0)对称

【答案】BCD

【解析】

【分析】根据题意推理论证周期性、对称性判断A、B；借助变量替换的方法，结合偶函数的定义及对称性

意义判断C、D.

【详解】对于选项A：因为/(x+2)+/(x)=0,则/(x+4)+/(x+2)=0,

可得/(x+4)=/(x),所以函数f(x)的周期为4,故A错误；

对于选项B：因为y=/(2—x)为偶函数，则/(2—x)=/(2+x),

所以函数f(x)的图象关于直线x=2对称，故B正确；

对于选项C：因为函数Ax)的图象关于直线x=2对称，则/(-%)=/(4+x),

由函数〃x)的周期为4,可得/(-%)=/(4+x)=/(X),

所以函数"X)为偶函数，故C正确；

对于选项D：因为/(-x)=/(x),且/(x+2)+/(x)=0,可得/(x+2)+/(-x)=0,

又因为函数〃x)的周期为4,则/(x+6)+/(-x)=0,

所以函数•/■(》)的图象关于点(3,0)对称，D正确；

故选：BCD.

10.已知函数/(x)=sin"x+cos"x(〃eN*),则下列结论正确的是()

7t兀

A.〃=1时，/(x)在一二上单调递增

_24_

B.〃=4时，〃x)的最小正周期为兀

C.〃=4时，/(X)在R上的最小值为1

D.对任意的正整数〃，Ax)的图象都关于直线x对称

【答案】AD

【解析】

【分析】根据辅助角公式、降累公式，结合正弦型函数的最值、最小正周期公式、对称性逐一判断即可.

【详解】对于选项A：〃=1时，则/(x)=sinx+cosx=0sin(x+：),

7T兀兀兀兀7L7T

因为XG——,则x+—•y=sinx上单调递增，

24j4L42J[42_

It71

所以/(x)在上单调递增，故A正确；

124」

对于选项B、C：〃=4时，则

//、.44(-22、2c-22,1•2ci11-COS©3+COS4%

f(x)=sinx+cosx=(sin-x+cos-x)-2sinxcosx=l--sin2x=1-—x-------=--------

27rjr

所以/⑶的最小正周期为T=—=一,故B错误;

42

KTT7T44-ccq4ri

当4x=2E+7tMeZ,即彳=一+一/eZ时，则/(x)=：取到最小值；,故C错误;

2442

7T

所以对任意的正整数小/a)的图象都关于直线x=—对称，故D正确;

4

故选：AD.

11.下列不等关系中正确的是()

A.V31n2<ln3B.百ln4>41n百

C.sin3<3sinlcoslD.sin3>3sinlcosl

【答案】BC

【解析】

Inv

【分析】根据函数值的特征，构造函数/(x)=——，求出其导数，判断函数的单调性，可判断AB；同理构

造函数g(x)=史竺，判断CD.

【详解】令〃月=则，则/(%)=匕学，

XX

当0〈无<e时，力")>0，当％>e时，r(x)<0

所以函数在(o,e)上单调递增，在(e,+8)上单调递减，

所以/(2)>/(6)，即电2>电"，即Gln2>21nji=ln3,故A错误，

2

又In4=21n2,所以见±=皿>@即由In4>41n0，故B正确；

42V3

./、sinx“、、*、xcosx-sinx

令g(x)=——,xe(0,7r),则/(尤)=------.-----,

XX

令M(X)=xcosx-sinx,

则u'(x)=cosx-xsinX-cosx=-xsinx<0在(0,兀)上恒成立,

所以U(X)在(0,71)上单调递减，所以“(X)<"(0)=0,

所以g'(x)<0在(0,兀)上恒成立，

所以g(x)在(0,无)上单调递减，所以g(2)>g(3),g|J—>—,

23

即sin3V3simn2=3sinlcosl,故C正确，D错误，

2

故选：BC.

【点睛】关键点点睛：构造函数/(x)=」竺和g(x)=2］竺，xeCO.n),是解决本题的关键.

XX

12.在棱长为4的正方体ABC。—A4GR中，点E为棱。。的中点，点尸是正方形A圈GR内一动点

(含边界)，则下列说法中正确的是()

A.直线8G与直线AC夹角为60。

B.平面BGE截正方体所得截面的面积为6夜

C.若EF=2底则动点F轨迹长度为2»

D.若AF〃平面BQE，则动点尸的轨迹长度为2石

【答案】ACD

【解析】

【分析】对A,根据AC的平行线确定直线BG与直线AC夹角即可；

对B,根据面面平行的性质，作出平面BCE截正方体所得截面并求其面积即可；

对C,由题意RE=4,动点尸的轨迹为以A为圆心的四分之一圆弧AG，再根据弧长公式求解即可；

对D,先判断过A且平行于平面BQE的平面截正方体的面，再分析f的轨迹即可

【详解】对A,连接AG，4B,BG，AC,可得正VA8J,根据正方体的性质，AC〃AC,故直线BG

与直线AC夹角为直线8cl与直线4G的夹角为60,故A正确；

对B,因为面ADD/〃面BCC4,平面8GEC面BCG片=80,根据面面平行的性质可得平面

80£截4。。必的交线反〃86,故平面BQE截AO的交点P为A。的中点，故

22

PB=>]AB+AP=1DC；+RE。=EC,=2亚，故截面为等腰梯形EPBC,,在等腰梯形EPBCX中

BC]=4O.,PE=2&,高力=3底，故截面的面积为逑产旦x3垃=18,故B错误；

对C,若EF=2#，则RF=QEF?-DF=4,故动点尸的轨迹为以2为圆心的四分之一圆弧

jr

AG，其长度为5、4=2无，故C正确:

对D,取中点Q,连接如图，由B知截面为等腰梯形EPBG,由四边形ABG2为平行四边形得

ADJ/BC、,又面8。1瓦3。1<=面BGE,所以AD"面BCg,由四边形为平行四边形得

DQIPB,RQ①面BGE,BPu面BQE,所以RQ〃面由A"。。="得平面AQ4〃

平面8EG，又Abu平面2QA,所以AR〃平面8EG，故尸的轨迹为线段RQ，其长度为

V42+22=2A/5-故D正确；

故选：ACD

【点睛】方法点睛：立体几何中与动点轨迹有关的题目归根到底还是对点线面关系的认知，其中更多涉及了

平行和垂直的一些证明方法，在此类问题中要么很容易的看出动点符合什么样的轨迹（定义），要么通过计算

（建系）求出具体的轨迹表达式，和解析几何中的轨迹问题并没有太大区别，所求的轨迹一般有四利h即线段

型，平面型，二次曲线型，球型.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.五个数2,2,3,3,。的平均数是3,这五个数的方差是.

【答案】1##1.2

【解析】

【分析】首先根据平均数求出“，再根据方差公式计算可得;

2+2+3+3+Q

【详解】解:依题意=3,解得a=5,

5

22

所以方差为［［（2—3）2+（2—3）2+（3—3）2+（3-3）+（5-3）］=1；

故答案为：~

14.如图，某中学某班级课外学习兴趣小组为了测量某座山峰的高度，先在山脚A处测得山顶C处的仰角

为60。，又利用无人机在离地面高300m的M处（即=300）,观测到山顶。处的仰角为15。，山脚A

处的俯角为45°,则山高5C=m.

【解析】

【分析】确定AM=300及，ZACM=45°,NM4c=75°,在△M4C中，利用正弦定理求出AC,

再由锐角三角函数计算得到答案.

【详解】依题意ZAMD=45°,则AM=8MD=3OO0，ZCMA=45°+15°=60°,ZC4B=60°,

故ZMAC=180°-60°-45°=75°,ZACM=180°-75°-60°=45°,

在4c中，由正弦定理得———=———,即二^=迎也，

sinZAMCsinZACMsin60°sin45°

解得AC=300g，则BC=ACsin60°=450.

故答案为：450

15.某城市休闲公园管理人员拟对一块圆环区域进行改造封闭式种植鲜花，该圆环区域被等分为5个部分,

每个部分从红、黄、紫三种颜色的鲜花中选取一种进行栽植.要求相邻区域不能用同种颜色的鲜花，总的栽

植方案有种.

2

【答案】30

【解析】

【分析】依颜色为出发点，分析可得必用3种颜色的鲜花，先安排1,2位置，再讨论第三种颜色的可能位

置，分析运算即可.

【详解】若只用两种颜色的鲜花，则1,3位置的颜色相同，2,4位置的颜色相同，

即可得1,4位置的颜色不同，则5位置无颜色可选，不合题意；

故必用3种颜色的鲜花，则1,2的栽植方案有A：=6种，已用两种颜色，第三种颜色可能在3,4,5,

可得：

(i)若第三种颜色在3或5,有如下两种可能：

①3,5的颜色相同，则4的颜色有两种可能，栽植方案有C；=2种；

②3,5的颜色不相同，则4的颜色必和1的颜色相同，栽植方案有C；=2种：

栽植方案共有2+2=4种；

(ii)若第三种颜色在4,则3的颜色必和1的颜色相同，5的颜色必和2的颜色相同，栽植方案共有1

种；

综上所述：总的栽植方案有6x(4+l)=30利L

故答案为：30.

16.已知函数/(盼=/一2℃-1在区间内存在极值点，且/(x)＜0在R上恰好有唯一整数解，则实

数。的取值范围是.

一，r1111Y/e-1e)

［答案］U——

|_44e-22e)\22)

【解析】

1e

【分析】根据极值点分析可得一＜。＜一，分类讨论，结合/(X)的单调性处理/(幻＜0的整数解问题，列

2e2

式运算求解.

【详解】若aVO时，f(x)在R上单调递增，不合题意，则a＞0,

由题意可得：f'(x)=e-2a,

令r（x）>0,解得x>>2a；令r（x）<0,解得X<ln2a；

则/⑴在（In2a,物）上单调递增，在（-«Un2a）上单调递减，可得/⑶有唯一极值点ln2a,

若函数f（x）在区间（-1,1）内存在极值点，则一解得」-<•<£,

2e2

又因为/（x）〈。在R上恰好有唯一整数解，且/（。）=0,则有：

①当即一l<ln2a<0时，则当xNO时，则/⑺在［0,+。）上单调递增，可得

/（尤）"0）=0,

所以f（x）<0在R上恰好有唯一整数解为-1,

/(-1)=1+2«-1<0

“1111

则，；，解得:一［f<a<大一二一

/(-2)=-V+4a-l>044e~22e

6

②当a=l,即ln2a=（）时，则/&）在［0,+“）上单调递增，/5）在（—8,0）上单调递减，可得

/(x)>/(0)=0,不合题意;

e

③当1<。<一，即0<ln2a<1时，则当xMO时，则/（x）（—,0］上单调递减，可得

2

/(x)>/(0)=0,

所以/。）<0在R上恰好有唯一整数解为1,

/（l）=e-2a-l<0解得上」e

Bt（2）=e2-4a-l>0,<a<一；

2

i__Lq

综上所述：实数”的取值范围是44e2*22eJI2引

/长田、-1111l/e—1e）

故答案为：---T，---u-

L44e222eJ122）

【点睛】方法点睛：对于函数不等式的相关问题，利用导数和数形结合的数学思想来求解.这类问题求解的

通法是：

（1）构造函数，这是解决此类题的关键点和难点，并求其定义域；

（2）求导数，得单调区间和极值点；

（3）数形结合，挖掘隐含条件，确定函数图象与x轴的交点情况进而求解.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.3月14日为国际数学日，也称为万节，为庆祝该节日，某中学举办了数学文化节活动，其中一项活动

是“数学知识竞赛”，初赛采用“两轮制”方式进行，要求每个班级派出两个小组，且每个小组都要参加两轮

比赛，两轮比赛都通过的小组才具备参与决赛的资格.高三（7）班派出甲、乙两个小组参赛，在初赛中，若

3342

甲、乙两组通过第一轮比赛的概率分别是一，二，通过第二轮比赛的概率分别是一,一，且各个小组所有轮次

4553

比赛的结果互不影响.

（1）若三（7）获得决赛资格的小组个数为X,求X的数学期望；

（2）已知甲、乙两个小组在决赛中相遇.决赛以三道抢答题形式进行，抢到并答对一题得10分，答错一题

扣10分，得分高的获胜：假设这两组在决赛中对每个问题回答正确的概率恰好是各自获得决赛资格的概

17

率，且甲、乙两个小组抢到该题的可能性分别是一,一，假设每道题抢与答的结果均互不影响，求乙已在第

33

一道题中得10分的情况下甲获胜的概率.

9

【答案】（1）1（2）—

【解析】

【分析】（1）先算出甲乙通过两轮制的初赛的概率，X的取值有01,2分三种情况解决.

（2）先分别算出甲，乙抢到并答对一题的概率，然后再算出乙已得10分，甲若想获胜的3种情况，最后由

分类加法计数原理求解即可.

【小问1详解】

设甲乙通过两轮制的初赛分别为事件4,A?，则

P⑷1*|,P（&）=|x鸿,

由题意可得，X的取值有0,1,2,

13

p(x=o)

25

326

p(X=2)=—x—=

5525

所以E(X)=0x9+lx巨+2x色=1

v,252525

【小问2详解】

131?24

依题意甲，乙抢到并答对一题的概率为=--=—,

3553515

乙己得10分，甲若想获胜情况有:

111

①甲得2。分：其概率为丁分五

②甲得10分，乙再得-10分,其概率为C；

③甲得0分，乙再得-20分，其概率为=&.

V35)25

1449

故乙先得10分后甲获胜的概率为一+—+——=——.

25252525

18.记./止。的内角ARC的对边分别为a,人c,已知6+c=2asin(c+E

(1)求A;

(2)设A8的中点为。，若CO=a,且b—c=l,求JLBC的的面积.

兀

【答案】(1)A=-

3

(2)地

2

【解析】

【分析】⑴由A+c=2asin(c+t)可得/；+c=6asinC+acosC，由正弦定理及辅助公式得

sin(A-?=g,即可求得答案；

川hr

22222

(2)在，ACD中，由余弦定理得，a=b+--——；在_ABC中，由余弦定理得，a=b+c-bc，从

42

而得力=主，再由方一c=l,可得/?=3,c=2,由三角形面积公式求解即可.

2

【小问1详解】

解：由已知得，/?+c=GasinC+acosC，

由正弦定理可得，sin8+sinC=百sinAsinC+sinAcosC,

因为A+3+C=7T,

所以sin3=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC,

代入上式，整理得cosAsinC+sinC=GsinAsinC，

又因为CG(0,7i),sinCw0,

所以班sinA-cosA=1，

即"A用力，

又因为Ae((U),

ll..7T47T57r

所以——<A——<一,

666

所以A—F=

66

IT

解得A=—；

3

【小问2详解】

2

在」.ACD中，由余弦定理得，—2/?-cosA.

42

而4=四，CD=a,所以/=〃+£!—",①

3