北京市石景山区高三下学期一模考试数学（理）试题

2018年石景山区高三统一测试数学（理）试卷一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.设集合，集合，则（）A.B.C.D.【答案】A【解析】，选A.考点：集合的基本运算.2.下列函数中既是奇函数，又在区间上单调递减的函数为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】由题意得，对于函数和函数都是非奇非偶函数，排除A、C．又函数在区间上单调递减，在区间单调递增，排除D，故选A．3.执行如图所示的程序框图，则输出的的值是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】当时，满足进行循环的条件，执行循环体后，，；当时，满足进行循环的条件，执行循环体后，，；当时，满足进行循环的条件，执行循环体后，，；不满足进行循环的条件，故输出结果为4，故选C.4.在中，，，，则的面积为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】∵中，，，，由正弦定理得：，∴，解得，∴，，∴的面积，故选C.5.若某多面体的三视图（单位：）如图所示，则此多面体的体积是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】由三视图可知该几何体为上部是一个平放的五棱柱，其高为，侧视图为其底面，底面多边形可看作是边长为的正方形截去一个直角边为的等腰直角三角形而得到，其面积为，所以几何体的体积为，故选A．点睛：在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，要从三个视图综合考虑，根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线在三视图中为虚线．在还原空间几何体实际形状时，一般是以正视图和俯视图为主，结合侧视图进行综合考虑．求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解．6.现有种不同颜色对如图所示的四个部分进行涂色，要求有公共边界的两块不能用同一种颜色，则不同的涂色方法共有（）A.种B.种C.种D.种【答案】D【解析】分两种情况：一种情况是用三种颜色有；二种情况是用四种颜色有.所以不同的着色方法共有48人7.设，则“”是“”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件【答案】C【解析】试题分析：当时，，当一正一负时，，当时，，所以，故选C．考点：充分必要条件．8.如图，已知线段上有一动点（异于）,线段,且满足（是大于且不等于的常数），则点的运动轨迹为（）A.圆的一部分B.椭圆的一部分C.双曲线的一部分D.抛物线的一部分【答案】B【解析】以线段所在的直线为轴，以线段的垂直平分线为轴，建立直角坐标系，设是运动轨迹上任一点，且，则，所以，，所以，即，即且，所以点的运动轨迹为椭圆的一部分，故选B．点睛：本题考查轨迹方程的求解问题，对于求轨迹方程的常用方法有：(1)直接法：直接利用条件建立之间的关系；(2)待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线方程．(3)定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程．(4)代入(相关点)法：动点依赖于另一动点的变化而运动，常利用代入法求动点的轨迹方程．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9.双曲线的焦距是________,渐近线方程是________.【答案】(1).(2).【解析】由题意得：，，，∴焦距为，渐近线方程为.考点：双曲线的标准方程及其性质10.若变量满足则的最大值是____________.【答案】10【解析】由约束条件作出可行域如图，∵，，∴，联立，解得，∵，∴的最大值是10，故答案为10.点睛：本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法和数学转化思想方法，是中档题；由约束条件作出可行域，然后结合的几何意义，即可行域内的动点与原点距离的平方求得的最大值.【答案】【解析】圆的参数方程化为平面直角坐标方程为，直线的极坐标方程化为平面直角坐标方程为，如右图所示，圆心到直线的距离，故圆截直线所得的弦长为12.已知函数，若关于的方程有两个不同零点，则的取值范围是_____________．【答案】【解析】作出的函数图象如图所示：方程有两个不同零点，即和的图象有两个交点，由图可得的取值范围是，故答案为.13.如图所示：正方形上连接着等腰直角三角形，等腰直角三角形腰上再连接正方形，…，如此继续下去得到一个树形图形，称为“勾股树”．若某勾股树含有个正方形，且其最大的正方形的边长为，则其最小正方形的边长为________．【答案】【解析】由题意，正方形的边长构成以为首项，以为公比的等比数列，现已知共得到个正方形，则有，∴，∴最小正方形的边长为，故答案为.14.设是由一平面内的个向量组成的集合．若，且的模不小于中除外的所有向量和的模．则称是的极大向量.有下列命题：①若中每个向量的方向都相同，则中必存在一个极大向量；②给定平面内两个不共线向量，在该平面内总存在唯一的平面向量，使得中的每个元素都是极大向量；③若中的每个元素都是极大向量，且中无公共元素，则中的每一个元素也都是极大向量．其中真命题的序号是_______________．【答案】②③【解析】①若有几个方向相同，模相等的向量，则无极大向量，故不正确；②由于成立，故围成闭合三角形，则任意向量的模等于除它本身外所有向量和的模，故正确；（3）3个向量都是极大向量，等价于3个向量之和为，故、中的中的每个元素都是极大向量时，中的每一个元素也都是极大向量，故正确，故答案为②③.三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15.已知函数.（1）求函数的最小正周期;（2）求函数在区间上的最小值和最大值.【答案】（1）；（2），【解析】试题分析：（Ⅰ）根据三角函数的恒等变换，化简得，即可求解函数的最小正周期；（Ⅱ）由，得，利用正弦型函数的图象与性质，即可求解函数的最大值与最小值．试题解析：（1）所以周期为.（2）因为，所以.所以当时，即时.当时,即时.16.抢“微信红包”已经成为中国百姓欢度春节时非常喜爱的一项活动．小明收集班内20名同学今年春节期间抢到红包金额（元）如下（四舍五入取整数）：1025241121721625022158464313695192599922689879对这20个数据进行分组，各组的频数如下：组别红包金额分组频数A0≤x＜402B40≤x＜809C80≤x＜120mD120≤x＜1603E160≤x＜200n（1）写出m，n的值，并回答这20名同学抢到的红包金额的中位数落在哪个组别；（2）记C组红包金额的平均数与方差分别为、，E组红包金额的平均数与方差分别为、，试分别比较与、与的大小；（只需写出结论）（3）从A，E两组的所有数据中任取2个数据，记这2个数据差的绝对值为，求的分布列和数学期望．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析【解析】试题分析：（Ⅰ）由题设数据表，即可求解得知，作出判断；（Ⅱ）根据平均数和方程的公式，分别计算的值，即作出比较；（Ⅲ）由题意组两个数据为，组两个数据为，列出基本事件的总数，找到满足条件的基本事件的个数，利用古典概型的概率计算公式，即可求解．试题解析：（1）m=4，n=2，B；（2）<，<；（3）A组两个数据为22，22，E组两个数据为162，192任取两个数据，可能的组合为(22，22)，(22，162)，(22，192)，(22，162)，(22，192)，(162，192)，共6种结果记数据差的绝对值大于100为事件A，事件A包括4种结果所以.17.如图，四边形是正方形，平面，//，，，为的中点．（1）求证：；（2）求证：//平面；（3）求二面角的大小．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）【解析】试题分析：（1）以为原点，分别以、、的方向为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系．求出相关点的坐标，通过计算，证明；（2）取的中点，连接，证明，然后证明平面；（3）求出平面的一个法向量，平面的法向量，利用空间向量的数量积求解二面角的余弦值.试题解析：（1）证明：依题意，平面，如图，以为原点，分别以、、的方向为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系．依题意，可得，，，，，，，因为，，所以．所以.（2）证明：取的中点，连接．因为，，，所以，所以．又因为平面，平面，所以平面．（3）解：因为，，，所以平面，故为平面的一个法向量．设平面的法向量为，因为，，所以即令，得，，故．所以，所以二面角的大小为．点睛：本题主要考查了线线垂直的证明，空间向量解决面面角问题，属于基础题，线线垂直即等价于直线的方向向量垂直即向量的数量积为0，面面角与两平面的法向量所成的角之间相等或互补，主要通过图形确定.18.在平面直角坐标系中，动点到定点的距离与它到直线的距离相等．（1）求动点的轨迹的方程；（2）设动直线与曲线相切于点，与直线相交于点．证明：以为直径的圆恒过轴上某定点．【答案】（1）；（2）【解析】试题分析：（1）设出动点的坐标为，然后直接利用抛物线的定义求得抛物线方程；（2）设出直线的方程为：（），联立直线方程和抛物线方程化为关于的一元二次方程后由判别式等于得到与的关系，求出的坐标，求出切点坐标，再设出的坐标，然后由向量的数量积为0证得答案，并求得的坐标．试题解析：（1）解：设动点E的坐标为，由抛物线定义知，动点E的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线，所以动点E的轨迹C的方程为．（2）证明：由，消去得：．因为直线l与抛物线相切，所以，即．所以直线l的方程为．令，得．所以Q．设切点坐标，则，解得：，设，所以当，即，所以所以以PQ为直径的圆恒过轴上定点．19.已知，曲线在处的切线方程为.（1）求的值；（2）求在上的最大值；（3）当时，判断与交点的个数.（只需写出结论，不要求证明）【答案】（1）；（2）；（3）见解析【解析】试题分析：（1）求出的导数，计算，，求出，的值即可；（2）求出的导数，得到导函数的单调性，得到在递增，从而求出的最大值；（3）根据函数图象的大致形状可得与有两个交点.试题解析：（1），由已知可得，，解之得．（2）令．则,故当时，，在单调递减；当时，，在单调递增；所以，故在单调递增，所以．（3）当时，与有两个交点.20.对于项数为（）的有穷正整数数列,记（），即为中的最大值，称数列为数列的“创新数列”.比如的“创新数列”为.（1）若数列的“创新数列”为1,2,3,4,4，写出所有可能的数列；（2）设数列为数列的“创新数列”，满足（），求证：（）；（3）设数列为数列的“创新数列”，数列中的项互不相等且所有项的和等于所有项的积，求出所有的数列.【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）【解析】试题分析：（1）创新数列为1,2,3,4,4的所有数列，可知其首