第08讲直线的点斜式方程直线的两点式方程

第08讲直线的点斜式方程、直线的两点式方程【知识梳理】考点一：直线方程的点斜式考点二：直线的两点式方程考点三：直线的截距式方程考点四：直线和坐标轴围成的面积问题考点五：直线方程的综合问题【知识梳理】知识点一：直线的点斜式方程和斜截式方程类别点斜式斜截式适用范围斜率存在已知条件点P(x0，y0)和斜率k斜率k和在y轴上的截距b图示方程y－y0＝k(x－x0)y＝kx＋b截距直线l与y轴交点(0，b)的纵坐标b叫做直线l在y轴上的截距知识点二：直线的两点式方程和截距式方程名称两点式截距式条件两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2，y1≠y2)在x，y轴上的截距分别为a，b(a≠0，b≠0)示意图方程eq\f(y－y1,y2－y1)＝eq\f(x－x1,x2－x1)eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1适用范围斜率存在且不为0斜率存在且不为0，不过原点【例题详解】题型一：直线方程的点斜式1．（2324高二上·四川达州·期末）经过点且倾斜角为的直线方程是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】求出直线斜率，利用点斜式求出直线方程，得到答案.【详解】直线斜率，故直线方程为，即.故选：A2．（2324高二上·河南·期中）过点且与直线垂直的直线l的方程为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由直线的垂直关系,结合已知直线的斜率可得所求直线的斜率，由直线的点斜式方程结合已知条件即可求解.【详解】因为直线的斜率为1，由题意，所求直线l的斜率为1，又直线l过点，所以由点斜式方程可知直线l的方程为：，即，故选：C3．（2122高三上·内蒙古巴彦淖尔·期末）已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(1，0)，B(5，2),，则AB边上的高CD所在的直线方程为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先求出的斜率，根据两直线垂直的性质，得出直线的斜率，从而得出直线的方程.【详解】解：因为，所以，所以直线为：，即.故选：C.题型二：直线的两点式方程4．（2122高二·全国）经过两点的直线方程都可以表示为（

）A．＝ B．＝C． D．＝【答案】C【分析】利用直线方程的两点式即可得出.【详解】当时，由两点式可得直线方程为：＝，化为：，对于或时上述方程也成立，因此直线方程为：.故选：C.5．（2223高二上·安徽阜阳·期末）过点和点的直线在上的截距为（

）A．1 B．2 C． D．【答案】A【分析】求出直线AB的方程，解出直线在上的截距【详解】过点和点的直线方程为即，故直线在上的截距为1，故选：A6．（2223高二上·全国·课后作业）已知的三个顶点分别为，M为AB的中点，则中线CM所在直线的方程为()A． B．C． D．【答案】D【分析】求得点M的坐标，由直线的两点式方程求解.【详解】点M的坐标为(2,1)，由直线的两点式方程得，即.故选：D题型三：直线的截距式方程7．（2324高二上·安徽滁州·期末）在平面直角坐标系中，直线在轴上的截距为（

）A． B．8 C． D．【答案】A【分析】对直线方程，令，即可求得结果.【详解】对方程，令，解得；故直线在轴上的截距为.故选：A.8．（2324高二上·天津南开·阶段练习）过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为（

）A． B．C．或 D．或【答案】C【分析】分直线过原点和不过原点两种情况讨论，结合直线的截距式即可得解.【详解】当直线过原点时在两坐标轴上的截距都为，满足题意，又因为直线过点，所以直线的斜率为，所以直线方程为，即，当直线不过原点时，设直线方程为，因为点在直线上，所以，解得，所以直线方程为，故所求直线方程为或.故C项正确.故选：C.9．（2324高二上·天津武清·期中）已知直线过点(2,1)，且横截距、纵截距满足，则该直线的方程为（

）A．2x+y5=0 B．x+2y4=0C．x2y=0或x+2y4=0 D．x2y=0或2x+y5=0【答案】C【分析】分截距为0和截距不为0时，根据直线过点（2，1）求解.【详解】解：当截距为0时，设直线的方程为：，因为直线过点(2,1)，所以，即，则直线方程为：；当截距不为0时，设直线方程为，因为直线过点（2，1），所以，则，所以直线方程为，即，综上：直线的方程为：x2y=0或x+2y4=0，故选：C题型四：直线和坐标轴围成的面积问题10．（2324高二上·河北邯郸）直线的倾斜角是直线倾斜角的一半，且直线与坐标轴所围成的三角形的面积为，则直线的方程可能是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】由斜率的几何意义结合二倍角公式可以先求出所求直线的斜率，再结合已知条件即可求出直线方程.【详解】由题意不妨设直线与直线的斜率分别为，倾斜角分别为，而，，又由二倍角公式，所以有，整理得，解得或（舍去），所以设直线的方程为，则直线与坐标轴分别交于，所以由题意直线与坐标轴所围成的三角形的面积为，解得，所以设直线的方程为，当时，它可以变形为.故选：C.11．（2024高二上·全国·专题练习）已知直线与两坐标轴围成的三角形的面积为，则（

）A． B．或C． D．或【答案】B【分析】求出直线在坐标轴上的截距，再利用面积公式解方程可得.【详解】令，得；令,得．故与坐标轴围成的三角形的面积为，解得.故选：B12．（2122高二上·全国·课后作业）过点且在两坐标轴上截距之和为0(不过原点)的直线方程为，此直线与两坐标轴围成的三角形面积为.【答案】【分析】设直线的截距式方程，将点坐标代入求解即可；先求出直线与坐标轴的交点，利用三角形面积公式求解即可.【详解】当直线不过原点时，可知直线在两坐标轴上的截距互为相反数，且不为0.可设直线方程为，因为直线过，所以，解得，所以直线方程为.当直线方程为时，与x轴的交点坐标为，与y轴的交点坐标为，故答案为.题型五：直线方程的综合问题13．（2324高二上·上海·期末）已知直线过点．(1)若直线过点，求直线的方程；(2)若直线在轴和轴上的截距相等，求直线的方程．【答案】(1)(2)或【分析】（1）根据直线过两点求出斜率，由点斜式方程求出直线方程；（2）设出直线的点斜式方程，列式运算即可得出直线方程.【详解】（1）由直线过点，，所以直线的斜率为，所以直线的方程为，即.（2）直线过点，在轴和轴上的截距相等，设直线的方程为，，令得，令得，则，解得或，所以直线的方程为或.14．（2324高二上·安徽·期末）已知直线过点．(1)若直线在轴上的截距、在轴上的截距的满足，求直线的方程；(2)若直线与两坐标轴的正半轴分别交于，两点，为坐标原点，当的面积最小时，求直线的方程．【答案】(1)或(2)【分析】（1）分直线过原点和不过原点，利用截距式直线方程解题即可；（2）利用点斜式直线方程以及基本不等式解题即可.【详解】（1）根据题意：直线在轴上的截距是在轴上的截距的3倍，当直线不过原点时，设直线为，将代入可得，所以直线的方程为；当直线过原点时，直线的斜率为，所以直线的方程为即．综上，直线的方程为或；（2）设直线的方程为，所以，，所以，当且仅当时，，（舍），所以直线的方程为即．15．（2324高二上·安徽安庆）已知点，求下列直线的方程：(1)求经过点，且在轴上的截距是轴上截距的2倍的直线的方程；(2)光线自点射到轴的点后被轴反射，求反射光线所在直线的方程．【答案】(1)或.(2)【分析】（1）根据题意，分直线过原点与不过原点讨论，结合直线的截距式代入计算，即可得到结果；（2）根据题意，求得点关于轴的对称点的坐标为，再由直线的点斜式代入计算，即可得到结果.【详解】（1）当直线过原点时，满足在轴上的截距是轴上截距的2倍，此时直线方程为，将代入，可得，化简可得；当直线不过原点时，设直线方程为，且，即，将代入，可得，解得，则直线方程为，化简可得；综上，直线方程为或.（2）点关于轴的对称点的坐标为，由题意可知，反射光线所在的直线经过点与，所以反射光线所在的直线斜率为，则反射光线所在的直线方程为，化简可得.【专项训练】一、单选题16．（2324高二上·河南郑州·期末）过点，且倾斜角为的直线方程为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】倾斜角为的直线斜率不存在，可解.【详解】过点，且倾斜角为的直线垂直于轴，其方程为.故选：B17．（2324高二上·甘肃白银·期末）若直线过点且与斜率为4的直线垂直，则直线的方程为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据直线垂直的斜率关系求出斜率，然后可得直线方程.【详解】因为直线与斜率为4的直线垂直，所以直线的斜率为，又直线过点，所以直线的方程为，即．故选：A18．（2324高二上·北京顺义·期中）过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为（

）A． B．C．或 D．或【答案】C【分析】分直线过原点和不过原点两种情况讨论，结合直线的截距式即可得解.【详解】当直线过原点时，方程为，即，当直线不过原点时，设直线方程为，则，解得，所以直线方程为，综上所求直线方程为或.故选：C.19．（2324高二上·黑龙江大庆·阶段练习）已知直线经过第一、二、三象限且斜率小于1，那么下列不等式中正确的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据题意首先确定，的范围，然后逐一考查所给命题的真假即可.【详解】已知直线经过第一、二、三象限，则直线在轴上的截距，在轴上的截距，由直线的斜率小于1，可知，结合可得，对于A，由绝对值的性质可知，故选项A错误，对于B，由幂函数的单调性可知，故选项B错误，对于C，由不等式的性质，可得，，则，故选项C错误，对于D，，，则，故选项D正确.故选：D20．（2324高二上·陕西榆林·阶段练习）直线经过点，在轴上的截距为，在轴上的截距为，且满足，则直线的斜率为（

）A．2 B． C． D．或【答案】C【分析】由题意设直线的方程为，列出关于的方程组，求解即可.【详解】由题意设直线的方程为，则①，又，∴②，由①②解得，或，，又由知，则，，则直线的斜率为．故选：C．21．（2023高二·江苏·专题练习）直线l的倾斜角是直线倾斜角的一半，且直线l与坐标轴所围成的三角形的面积为10，则直线l的方程可能是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据正切的二倍角公式，结合三角形面积公式进行求解即可.【详解】，所以直线的斜率为负值，因此直线的倾斜角为钝角，设直线l的倾斜角为，则因为，所以或舍去设直线l的方程为，则直线l与坐标轴的交点分别为，，由，得，故直线l的方程可能是，显然ABD不符合，，或，故选：C22．（2324高二上·湖北·阶段练习）直线过点，则直线与、正半轴围成的三角形的面积最小值为（

）A．6 B．12 C．18 D．24【答案】B【分析】依题意可得且、，利用基本不等式求出的最小值，从而求出三角形面积的最小值.【详解】因为直线过点，所以，令，可得，即直线与轴交于点，令，可得，即直线与轴交于点，依题意可得、，所以，则，当且仅当，即、时取等号，所以直线与、正半轴围成的三角形的面积，当且仅当、时取等号，即直线与、正半轴围成的三角形的面积最小值为.故选：B23．（2324高二上·河南濮阳·阶段练习）瑞士数学家欧拉在《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上．这条直线被称为欧拉线．已知的顶点，，，若直线：与的欧拉线平行，则实数的值为（

）A． B． C． D．3【答案】C【分析】根据三角形顶点坐标得出重心与外心,求出三角形欧拉线,根据直线平行得解.【详解】由的顶点,知,的重心为，即,因为,所以三角形为直角三角形,所以外心为斜边中点,即,所以可得的欧拉线方程,即,因为与平行,所以,解得.故选：C.

24．（2223高二上·湖北·阶段练习）在等腰直角三角形中，，点是边上异于的一点，光线从点出发，经反射后又回到点，如图，若光线经过的重心，则（

）A． B． C．1 D．2【答案】C【分析】根据题意，建立坐标系，设点的坐标，可得关于直线的对称点的坐标，和关于轴的对称点的坐标，由，，四点共线可得直线的方程，由于过的重心，代入可得关于的方程，解之可得的坐标，进而可得的值，即可得答案．【详解】根据题意，建立如图所示的坐标系，可得，，故直线的方程为，又由，，，则的重心为，设，其中，点关于直线的对称点，则有，解得，即，易得关于轴的对称点，由光的反射原理可知，，，四点共成直线的斜率，故直线的方程为，由于直线过的重心，代入化简可得，解得：或舍，即，故，故选：C．二、多选题25．（2324高二上·浙江舟山·期末）下列说法正确的是（

）A．直线的倾斜角为B．直线与两坐标轴围成的三角形的面积是2C．过点的直线在两坐标轴上的截距之和为，则该直线方程为D．过两点的直线方程为【答案】AB【分析】求出直线的斜率判断A；求出直线的横纵截距计算判断B；举例说明判断CD.【详解】对于A，直线的斜率为，其倾斜角为，A正确；对于B，直线交轴分别于点，该直线与坐标轴围成三角形面积为，B正确；对于C，过点与原点的直线在两坐标轴上的截距都为0，符合题意，即过点且在两坐标轴上的截距之和为的直线可以是直线，C错误；对于D，当时的直线或当时的直线方程不能用表示出，D错误.故选：AB26．（2324高二上·安徽安庆·阶段练习）下列说法正确的是（

）A．直线的倾斜角的取值范围是B．“”是“直线与直线互相垂直”的充要条件C．过点且在轴，轴截距相等的直线方程为D．经过平面内任意相异两点的直线都可以用方程表示．【答案】AD【分析】对于A：根据可求倾斜角的取值范围；对于B：根据两直线垂直的条件求出的值即可判断；对于C：分截距是否为0两种情况求解可判断；对于D：对斜率为0、斜率不存在特殊情况讨论可以确定所求直线均可用表示.【详解】对于A：直线的倾斜角为，则，因为，所以，故A正确.对于B：当时，直线与直线斜率分别为，斜率之积为，故两直线相互垂直，所以充分性成立，若“直线与直线互相垂直”，则，故或，所以得不到，故必要性不成立，故B错误.对于C：截距为0时，设直线方程为，又直线过点，所以可得，所以直线方程为，当截距不为0时，调直线方程为，又直线过点，所以可得，所以直线方程为，所以过点且在轴，轴截距相等的直线方程为或，故C错误；.对于D：经过平面内任意相异两点的直线：当斜率等于0时，，方程为，能用方程表示；当斜率不存在时，，方程为，能用方程表示；当斜率不为0且斜率存在时，直线方程为，也能用方程表示，故D正确.故选：AD.27．（2324高二上·四川眉山·阶段练习）直线和直线，下列说法正确的是（

）A．当时，或；B．当时，；C．当时，过直线与的交点且平行于的直线方程为：D．当时，直线关于对称的直线方程为：【答案】BD【分析】对于A、B选项，根据两条直线互相平行和垂直的充要条件即可判断；对于C选项，求出直线的点斜式方程即可判断；对于D选项，先求出两条直线的交点，再求出直线关于的对称点，根据直线上的两点即可求出直线方程，进一步判断即可.【详解】对于A：当时，有，此方程无解，故A错误；对于B：令，解得，此时，，，故B正确；对于C：当时，，，联立，得直线与的交点为，平行于的直线斜率为1，故过直线与的交点且平行于的直线方程为：，故C错误；对于D：当时，直线与的交点为,易知点在直线上，设该点关于直线的对称点为，则，解得，所以，因为，所以，所以所求直线方程为，即，故D正确.故选：BD.28．（2324高二上·江苏连云港·阶段练习）已知的三个顶点为，则下列说法正确的是（

）A．直线的斜率为B．直线的倾斜角为钝角C．边上的中线所在的直线方程为D．边所在的直线方程为【答案】BCD【分析】利用斜率公式可判断A选项；利用斜率与倾斜角的关系可判断B选项；利用直线的点斜式方程可判断CD选项.【详解】对于A选项，，A错；对于B选项，，所以，直线的倾斜角为钝角，B对；对于C选项，线段的中点为，则，所以，边上的中线所在的直线方程为，即，C对；对于D选项，边所在的直线方程为，即，D对.故选：BCD.29．（2324高二上·辽宁·期中）下列说法不正确的是（

）A．“”是“直线与直线互相垂直”的充要条件B．经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为C．过，两点的所有直线的方程为D．直线与直线互相平行，则【答案】ABC【分析】根据直线一般式中平行和垂直满足的关系即可判断AD，根据截距式方程的定义即可判断B,根据两点式的适用条件即可判断C.【详解】对于A,直线与直线互相垂直,则需要满足：，解得或，故“”是“直线与直线互相垂直”的充分不必要条件，对于B,经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为和，对于C，当或时，不能用表示两点的直线，对于D，若直线与直线互相平行，则满足，解得，D说法正确，故选：ABC三、填空题30．（2324高二上·湖南长沙·期末）已知直线在两坐标轴上的截距相等，则.【答案】或【分析】利用截距的概念分类讨论计算即可.【详解】当时，直线方程为，不符合题意，当时，令时，令时，依题意有：，解得：或，综上：或，故答案为：或.31．（2324高二上·江西萍乡·期末）已知过点的直线在轴上的截距是其在轴上截距的3倍，则满足条件的一条直线的方程为．【答案】（答案不唯一：或）【分析】分截距是否为0分类讨论即可求解.【详解】由题意若过点的直线在坐标轴上的截距均为0，则显然满足题意，即，否则设满足题意的直线方程为，将代入得，即也满足题意.故答案为：（答案不唯一：或）.32．（2324高二上·四川眉山·阶段练习）已知直线l过点，且分别与x轴的负半轴、y轴的正半轴交于A，B两点，O为原点，则面积最小值为．【答案】24【分析】根据题意，设直线的方程为，分别表示出坐标，结合三角形的面积公式代入计算，再由基本不等式即可得到结果.【详解】

由题意可知，直线的斜率存在且不为0，设直线的斜率为，则直线的方程为，因为直线分别与x轴的负半轴、y轴的正半轴交于A，B两点，所以，令，则，即，令，则，即，所以其中，当且仅当时，即时，等号成立，所以，即面积最小值为.故答案为：33．（2024高二上·全国·专题练习）直线l过点且与x轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点，O为坐标原点，则面积的最小值为，当的面积取最小值时直线l的一般式方程是.【答案】8【分析】设直线截距式方程，由题意得，利用基本不等式求出面积的最小值，得解.【详解】设直线l的方程为，因为直线l过点，所以.又，所以，即，当且仅当，即时取等号，所以，此时直线l的方程为，即.故答案为：8；.四、解答题34．（2024高二上·全国·专题练习）已知直线l经过点和点．(1)求直线l的两点式方程，并化为截距式方程；(2)求直线l与两坐标轴围成的图形面积．【答案】(1)，；(2)16【分析】（1）根据两点式直线写出直线方程，再转化为截距式；（2）由（1）得出直线在两坐标轴上的截距，然后直接计算三角形面积．【详解】（1）由已知得直线l的两点式方程为，即，整理得．所以截距式方程为．（2）由（1）知直线l在两坐标轴上的截距分别为4和8，所以围成的图形的面积为．35．（2324高二上·江苏徐州·阶段练习）根据条件写出下列直线的方程：(1)斜率为，在轴上的截距是；(2)倾斜角为，在轴上的截距是；(3)倾斜角是直线的倾斜角的一半，且过点．【答案】(1)或；(2)或；(3)或．【分析】（1）利用斜截式方程求解即可；（2）先由倾斜角求出斜率，再设直线方程为，将代入求解即可；（3）根据倾斜角的关系求出直线斜率，再将代入即可求解.【详解】（1）因为直线斜率为，在轴上的截距是，所以由斜截式可得直线方程为或.（2）因为直线倾斜角为，所以该直线斜率为，设直线方程为，又因为在轴上的截距是，所以将代入解得直线方程为或.（3）因为直线的斜率为，所以直线的倾斜角为，所以由题意得所求直线的倾斜角为，斜率为，设所求直线为，将代入可得，所以所求直线方程为或．36．（2023高二上·全国·专题练习）如图，在平行四