3.2.2双曲线的简单几何性质（知识解题达标测试）

3.2.2双曲线的简单几何性质【考点1：双曲线的方程、图形及性质】【考点2：离心率的值及取值范围】【考点3：根据顶点坐标、实轴、虚轴求双曲线的标准方程】

【考点4：求共焦点的双曲线方程】【考点5：双曲线的渐近线】【考点6：等轴双曲线】【考点7：双曲线的实际应用】知识点1双曲线的标准方程和几何性质标准方程eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)图形性质范围x≥a或x≤－a，y∈Ry≤－a或y≥a，x∈R对称性对称轴：坐标轴，对称中心：原点顶点A1(－a,0)，A2(a,0)A1(0，－a)，A2(0，a)渐近线y＝±eq\f(b,a)xy＝±eq\f(a,b)x离心率e＝eq\f(c,a)，e∈(1，＋∞)实、虚轴线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长a，b，c的关系c2＝a2＋b2(c>a>0，c>b>0)知识点2双曲线中的几个常用结论（1）双曲线的焦点到其渐近线的距离为b.（2）若P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|min＝a＋c，|PF2|min＝c－a.（3）同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于长轴的弦)，其长为eq\f(2b2,a)，异支的弦中最短的为实轴，其长为2a.（4）设P，A，B是双曲线上的三个不同的点，其中A，B关于原点对称，直线PA，PB斜率存在且不为0，则直线PA与PB的斜率之积为eq\f(b2,a2).（5）P是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则，其中θ为∠F1PF2.（6）等轴双曲线①定义：中心在原点，以坐标轴为对称轴，实半轴长与虚半轴长相等的双曲线叫做等轴双曲线．②性质：a＝b;e＝eq\r(2)；渐近线互相垂直；等轴双曲线上任意一点到中心的距离是它到两焦点距离的等比中项．（7）共轭双曲线①定义：若一条双曲线的实轴和虚轴分别是另一条双曲线的虚轴和实轴，那么这两条双曲线互为共轭双曲线．②性质：它们有共同的渐近线；它们的四个焦点共圆；它们的离心率的倒数的平方和等于1.【考点1：双曲线的方程、图形及性质】【典例1】双曲线9x2−4A．13,0 B．0,13 C．5,0【答案】A【分析】根据标准方程即可求解.【详解】双曲线9x2−4故a2故焦点为13,0和−故选：A【变式11】已知双曲线C:x25−y2bA．3 B．2 C．4 D．31【答案】B【分析】由题意可得，c=3，由5+b2=9，解得b=2【详解】由题意可得，c=3，焦点为−3,0,则5+b2=9，解得b=2则双曲线的渐近线方程为y=±2则焦点到渐近线的距离为65故选：B．【变式12】若双曲线x2m2+1−y2A．3 B．2 C．94 D．【答案】A【分析】依题意可得2m【详解】由双曲线实轴长为4，有2m2+1∴m=3故选：A.【考点2：离心率的值及取值范围】【典例2】已知双曲线x2−yA．2 B．2 C．3 D．5【答案】B【分析】根据等轴双曲线的性质即可求解.【详解】x2−y所以离心率为2.故选：B【变式21】已知双曲线的两个焦点分别为(0,4),(0,−4)，点(−6,4)在该双曲线上，则该双曲线的离心率为（

）A．4 B．3 C．2 D．2【答案】C【分析】由焦点坐标可得焦距2c，结合双曲线定义计算可得2a，即可得离心率.【详解】由题意，设F10,−4、F2则F1F2=2c=8，则2a=PF1故选：C.【变式22】已知双曲线x2a2−yA．2 B．233 C．2或233【答案】A【分析】根据双曲线的焦点在x轴上，渐近线斜率为ba=tanπ3【详解】由题意，双曲线的焦点在x轴上，且一条渐近线的倾斜角为π3，所以ba=又a2+b2=c2，所以a2+3a2=c故选：A【变式23】若双曲线x2a2−y2=1(a>0)A．2 B．2 C．1 D．2【答案】C【分析】根据双曲线的离心率与a、b、c关系求解即可.【详解】由题意b=1，双曲线的离心率e=ca=故选：C.

【考点3：根据顶点坐标、实轴、虚轴求双曲线的标准方程】【典例3】已知双曲线C经过点0,1，离心率为2，则C的标准方程为（

）A．x2−y2=1 B．x2【答案】C【分析】先根据题意得出双曲线的焦点在y轴上，设出双曲线的标准方程；再根据双曲线C经过点0,1及离心率公式即可求解.【详解】因为双曲线C经过点0,1，所以双曲线的焦点在y轴上，设双曲线的方程为y2因为双曲线C经过点(0,1)，所以12a2又因为e=c所以c=2则b2所以双曲线的标准方程为y2故选：C.【变式31】双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率e=2，且点P(6,3)在双曲线C上，则双曲线C的标准方程为（A．x24−y212=1 B．【答案】C【分析】由题意设双曲线方程为x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)【详解】由题意设双曲线方程为x2因为点P(6,3)在双曲线C上，所以因为离心率e=2，所以ca=2，得所以c2=4a2，则所以6a2−93所以双曲线方程为x2故选：C【变式32】已知双曲线x2a2−yA．x2−y24=1 B．x【答案】C【分析】根据题意，得到b=2,e=ca=2，结合【详解】由题意，双曲线x2a2−y可得b=2,e=ca=因为c2=a2+所以曲线的方程为x2故选：C.【变式33】以椭圆x28+A．x24−y24=1 B．【答案】A【分析】确定双曲线的焦点和顶点，进而可得双曲线方程.【详解】椭圆x28+椭圆焦点为−2,0,即双曲线的焦点为−22,0,所以双曲线方程为x2故选：A.【考点4：双曲线的渐近线】【典例4】已知双曲线C:y2a2−x2A．y=±5x B．y=±6x C．【答案】C【分析】双曲线的渐近线方程为y=±abx，离心率e=【详解】曲线的渐近线方程为y=±abx，因为双曲线C的离心率为6两边平方，即e2=c2a解得ba=5故双曲线C的渐近线方程为y=±5故选：C.【变式41】双曲线x23m−A．y=±2x C．y=±2x D．y=±【答案】A【分析】根据双曲线方程直接求解即可【详解】由x23m−所以y=±2即双曲线的渐近线方程为y=±2故选：A【变式42】双曲线y24m−A．y=±22x B．y=±2x 【答案】B【分析】把双曲线方程中的1换为0，可得渐近线方程.【详解】由题可知双曲线y24m−x2故选：B.【变式43】已知双曲线C1:x2+y2A．x±y=0 B．2x±y=0 C．x±3y=0【答案】D【分析】利用双曲线的性质计算即可.【详解】易知C2:x对于双曲线C1:x2+故1−m=4⇒m=−3，此时C1:x故选：D【变式44】双曲线x24−【答案】y=±【分析】代入双曲线的渐近线方程公式，即可求解.【详解】由题意可知，a2=4，则双曲线的渐近线方程为y=±b故答案为：y=±【考点5：等轴双曲线】【典例5】已知等轴双曲线C的对称轴为坐标轴，且经过点A42,2，则双曲线CA．x236−y236=1 B．【答案】C【分析】设出等轴双曲线的标准方程，将A4【详解】设等轴双曲线C的方程为x2将点A42,2代入得32所以双曲线C的标准方程为x2故选:C.【变式51】等轴双曲线的渐近线方程为（

）A．y=±2x B．y=±3x C．【答案】C【分析】写出等轴双曲线方程，根据方程即可求出其渐近线方程.【详解】由题意，若等轴双曲线方程为x2则a=b，则其渐近线方程为y=±b若等轴双曲线方程为y2则a=b，则其渐近线方程为y=±a综上，等轴双曲线的渐近线方程为y=±x.故选：C【变式52】若双曲线C：x2m+y2m2A．1 B．−1 C．2 D．−2【答案】D【分析】根据题意写出焦点在y轴的双曲线的标准方程，再根据该双曲线为等轴双曲线写出m满足的条件，解得即可.【详解】由于双曲线是焦点在y轴上的双曲线，所以双曲线的标准方程为y2又因为双曲线为等轴双曲线，所以m2−2=−mm故选：D.【变式53】中心在原点，实轴在x轴上，一个焦点在直线x−4y+22=0上的等轴双曲线方程是（A．x2−yC．y2−x【答案】B【分析】由题干中直线方程求得双曲线焦点坐标，再根据等轴双曲线中a=b且a2【详解】因为双曲线实轴在x上且焦点在直线x−4y+22故令y=0得x=−22，即c=2又因为a=b且a2+b所以双曲线方程为x24−故选：B【考点6：共焦点的双曲线】【典例6】多选题过点(3,2)且与椭圆x28+A．x225+y220=1 B．【答案】BC【分析】本题考查椭圆的简单性质以及椭圆方程的求法和双曲线的简单性质和双曲线的标准方程，考查计算能力．求出椭圆的焦点坐标，设出方程利用圆锥曲线经过的点，求解即可．【详解】解：椭圆x28+y2设椭圆的方程为x2可得9a2+解得a=15，b=所求的椭圆方程为x设双曲线的方程为：x2可得9m2−解得m=3，n=所求的双曲线方程为x2故选：BC【变式61】过点2,3且与椭圆5x2+9A．x2−y23=1 B．x【答案】A【分析】根据椭圆的标准方程可求焦点坐标为±2,0，根据焦点坐标及点2,3可求双曲线的方程.【详解】椭圆的标准方程为x29+y2设双曲线的方程为x2故4a2−故双曲线的标准方程为x2故选:A.【变式62】与双曲线x216−y2【答案】x【分析】设双曲线方程为x216−k−y2【详解】解：设双曲线方程为x216−k−y2即1816−k−44+k=1故所求双曲线方程为x2故答案为：x【考点7：双曲线的实际应用】【典例7】3D打印是快速成型技术的一种，它是一种以数字模型文件为基础，运用粉末状金属或塑料等可粘合材料，通过逐层打印的方式来构造物体的技术，如图所示的塔筒为3D打印的双曲线型塔筒，该塔筒是由离心率为10的双曲线的一部分围绕其旋转轴逐层旋转打印得到的，已知该塔筒（数据均以外壁即塔筒外侧表面计算）的上底直径为62cm，下底直径为92cm，喉部（中间最细处）的直径为A．272cm B．18cm C．27【答案】C【分析】根据模型建立平面直角坐标系，由已知条件先求双曲线的标准方程，再计算高度即可.【详解】该塔筒的轴截面如图所示，以喉部的中点O为原点，建立平面直角坐标系，设A与B分别为上，下底面对应点.设双曲线的方程为x2因为双曲线的离心率为10=1+b又喉部（中间最细处）的直径为8cm，所以2a=8,a=4，所以双曲线的方程为x由题意可知xA=32所以该塔筒的高为yA故选:C.【变式71】单叶双曲面是最受设计师青睐的结构之一，它可以用直的钢梁建造，既能减少风的阻力，又能用最少的材料来维持结构的完整.如图1，俗称小蛮腰的广州塔位于中国广州市，它的外形就是单叶双曲面，可看成是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所形成的曲面.某市计划建造类似于广州塔的地标建筑，此地标建筑的平面图形是双曲线，如图2，最细处的直径为100m，楼底的直径为5022m，楼顶直径为506m，最细处距楼底300m，则该地标建筑的高为（A．350m B．375m C．400m D．450m【答案】C【分析】根据题意建立平面直角坐标系，设双曲线的方程是x2由已知可得a，将点C坐标代入解得b的值，从而得到双曲线的方程，最后利用双曲线的方程解得B的坐标即可求得地标建筑的高.【详解】解：以地标建筑的最细处所在直线为x轴，双曲线的虚轴为y轴，建立平面直角坐标系如图所示.由题意可得：A50,0，C设B256,y0则a=5025222所以双曲线的方程是：x2将点B256,解得y0所以该地标建筑的高为：300+100=400m.故选：C.【变式72】祖暅是我国南北朝时期伟大的科学家，他于5世纪末提出了“幂势既同，则积不容异”的体积计算原理，即“夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等”．某同学在暑期社会实践中，了解到火电厂的冷却塔常用的外形可以看作是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所形成的曲面（如图）．现有某火电厂的冷却塔设计图纸，其外形的双曲线方程为x2−y24

【答案】3【分析】由直线y=t，其中−2≤t≤1，分别联立方程组y=2xy=t和x2−y2【详解】如图所示，双曲线x2−y由直线y=t，其中−2≤t≤1，

联立方程组y=2xy=t，解得A联立方程组x2−y所以截面圆环的面积为S=π4+t根据“幂势既同，则积不容异”，可得该几何体的体积与底面面积为π，高为3的圆柱的体积相同，所以该几何体的体积为V=π故答案为：3π【点睛】关键点点睛：根据题意分析可知旋转面的面积为π，可得该几何体的体积与底面面积为π，高为3的圆柱的体积相同,【变式73】青花瓷，中华陶瓷烧制工艺的珍品，是中国瓷器的主流品种之一.如图是一个落地青花瓷，其外形称为单叶双曲面，且它的外形左右对称，可以看成是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所形成的曲面.若该花瓶横截面圆的最小直径为16cm，上瓶口圆的直径为20cm，上瓶口圆与最小圆圆心间的距离为12cm，则该双曲线的离心率为.【答案】5【分析】由题意作出轴截面，最短直径为2a=16，根据已知条件点(10,12)在双曲线上，代入双曲线的标准方程，结合a，b，c的关系可求得离心率e的值．【详解】由题意作出轴截面如图：以花瓶最细处横截面圆的直径A1A2为x轴，A设双曲线的方程为：x2花瓶最细处横截面圆直径为A1A2则由已知可得B是双曲线上的点，且B(10,12),故10264−122故e2故答案为：5．一、单选题1．已知等轴双曲线C的对称轴为坐标轴，且经过点A42,2，则双曲线CA．x236−y236=1 B．【答案】C【分析】设出等轴双曲线的标准方程，将A4【详解】设等轴双曲线C的方程为x2将点A42,2代入得32所以双曲线C的标准方程为x2故选:C.2．等轴双曲线的渐近线方程为（

）A．y=±2x B．y=±3x C．【答案】C【分析】写出等轴双曲线方程，根据方程即可求出其渐近线方程.【详解】由题意，若等轴双曲线方程为x2则a=b，则其渐近线方程为y=±b若等轴双曲线方程为y2则a=b，则其渐近线方程为y=±a综上，等轴双曲线的渐近线方程为y=±x.故选：C3．若双曲线C：x2m+y2m2A．1 B．−1 C．2 D．−2【答案】D【分析】根据题意写出焦点在y轴的双曲线的标准方程，再根据该双曲线为等轴双曲线写出m满足的条件，解得即可.【详解】由于双曲线是焦点在y轴上的双曲线，所以双曲线的标准方程为y2又因为双曲线为等轴双曲线，所以m2−2=−mm故选：D.4．中心在原点，实轴在x轴上，一个焦点在直线x−4y+22=0上的等轴双曲线方程是（A．x2−yC．y2−x【答案】B【分析】由题干中直线方程求得双曲线焦点坐标，再根据等轴双曲线中a=b且a2【详解】因为双曲线实轴在x上且焦点在直线x−4y+22故令y=0得x=−22，即c=2又因为a=b且a2+b所以双曲线方程为x24−故选：B5．设双曲线E的中心为O，一个焦点为F，过F作E的两条渐近线的垂线，垂足分别为A、B．若BF=2OA，则EA．62 B．2 C．3 【答案】C【分析】设双曲线的方程为x2a2−y2b2=1a>0,b>0，且Fc,0，设直线y=【详解】设双曲线的方程为x2a2则E的两条渐近线方程分别为y=bax设直线y=bax的倾斜角为α易得△OAF≌△OBF，所以OA=OB，且从而tanα=所以ba=2，故b整理，得ca故E的离心率等于3．故选：C6．若双曲线x25+y2m=1A．−5 B．−10 C．−15 D．−20【答案】C【分析】首先得到a2，b【详解】因为曲线x25+y2m=1故c2a2故选：C7．已知双曲线C:y2a2−x2A．y=±3x B．y=±33x 【答案】B【分析】设双曲线C:y2a2−x2b2【详解】设双曲线C:y2a双曲线的渐近线方程为by±ax=0，由点到直线的距离公式可得|b×c±a×0|a又双曲线C:y2a2−所以双曲线C的渐近线方程为3y±3x=0，即故选：B.8．双曲线E:x29A．y=±14x B．y=±12x【答案】C【分析】根据题意，结合双曲线的几何性质，即可求解.【详解】由双曲线E:x29所以双曲线的渐近线方程为y=±b故选：C．9．已知双曲线C:x24−y23=1，以右顶点A为圆心，r为半径的圆上一点M（M不在x轴上）处的切线与C交于S、T两点，且A．r>2217 B．0<r<457【答案】A【分析】先求双曲线的渐近线，利用双曲线中点弦及切线斜率可得答案.【详解】由题意得双曲线渐近线y=±32x，A(2,0)切点M在双曲线左支和右支之间，由对称性，不妨设切点M在x轴的上方；设Mx0,y0y0因为直线AM的斜率kAM=y因为x124②—①得3x可得k=y所以2−x0y0=3x又Mx所以r2因为切点M在x轴的上方，切线与双曲线交于两点，一条渐近线的斜率为32所以有0<k=2−x0y0故r2即r>2故选：A.【点睛】关键点点睛：本题求解的关键有两个：一是利用点差法找到半径与x0,y10．已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)，点B的坐标为（0,bA．2+12,+C．2,+∞ 【答案】D【分析】设P(x,y)，根据PB<b和点P在双曲线上，消去x得c【详解】设P(x,y)，则PB<b⇒由双曲线方程可得x2=a化简整理得关于y的一元二次不等式：c2所以Δ=4b2所以c2−a2>ac⇒故选：D11．双曲线y23−A．±3,0 B．0,±3 C．±3,0【答案】D【分析】根据题意，结合双曲线的几何性质，即可求解.【详解】由双曲线y23−x2且双曲线的焦点在y轴上，所以双曲线的焦点坐标为(0,±3).故选：D.12．已知点A为双曲线x24−y2=1的左顶点，点B和点C在双曲线的左支上，若A．4 B．89 C．169 【答案】C【分析】双曲线x24−y2=1的左顶点A−2,0【详解】由题意得A−2,0，点B和点C若△ABC是等腰直角三角形，设Bx1,则有y1=x1−2则有等腰直角三角形△ABC的斜边BC=83所以S△ABC故选：C.二、填空题13．双曲线x29−【答案】4,0【分析】利用双曲线的标准方程,直接求出双曲线的右焦点即可.【详解】由双曲线的标准方程为x29−y由c2=a所以