专题16列联表与独立性检测（课时训练）

专题16列联表与独立性检测1．（2324高二下·辽宁·期中）下列说法正确的是（

）A．一组数据7，8，8，9，11，13，15，17，20，22的第80百分位数为17B．根据分类变量X与Y的成对样本数据，计算得到，根据小概率值的独立性检验，可判断X与Y有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05C．“事件A，B互斥”是“事件A，B对立”的充分不必要条件D．若随机变量，满足，则【答案】B【分析】A选项，根据百分位数的定义进行计算；B选项，，推出结论；C选项，由于事件A，B对立是事件A，B互斥的特殊情况，故“事件A，B互斥”是“事件A，B对立”的必要不充分条件；D选项，，D错误.【详解】A选项，，故从小到大选取第8个和第9个数的平均数作为第80百分位数，即，A错误；B选项，，故可判断X与Y有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05，B正确；C选项，事件A，B互斥不能推出事件A，B对立，但事件A，B对立，则一定有事件A，B互斥，故“事件A，B互斥”是“事件A，B对立”的必要不充分条件，C错误；D选项，若随机变量，满足，则，D错误.故选：B2．（2024·山东枣庄·一模）某儿童医院用甲、乙两种疗法治疗小儿消化不良．采用有放回简单随机抽样的方法对治疗情况进行检查，得到两种疗法治疗数据的列联表：疗法疗效合计未治愈治愈甲155267乙66369合计21115136经计算得到，根据小概率值的独立性检验（已知独立性检验中），则可以认为（

）A．两种疗法的效果存在差异B．两种疗法的效果存在差异，这种判断犯错误的概率不超过0．005C．两种疗法的效果没有差异D．两种疗法的效果没有差异，这种判断犯错误的概率不超过0．005【答案】C【分析】根据条件可得列联表，计算的值，结合临界值表可得结论．【详解】零假设为：疗法与疗效独立，即两种疗法效果没有差异．根据列联表中的数据，，根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，因此可以认为成立，即认为两种疗法效果没有差异．故选:C．3．（2324高二下·全国·课后作业）通过随机询问110名不同的大学生是否爱好某项运动，得到了如下的列联表：男女合计爱好402060不爱好203050总计6050110附表：0.050.0100.0013.8416.63510.828参照附表，能得到的正确结论是（

）.A．有以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”B．有以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”C．在犯错误的概率不超过的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”D．在犯错误的概率不超过的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”【答案】A【分析】根据列联表数据计算观测值，结合附表即可得到结论.【详解】由题意知本题所给的观测值，，所以有以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”，即在犯错误的概率不超过的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”.故选：A.4．（2024·上海闵行·二模）某疾病预防中心随机调查了339名50岁以上的公民，研究吸烟习惯与慢性气管炎患病的关系，调查数据如下表：不吸烟者吸烟者总计不患慢性气管炎者121162283患慢性气管炎者134356总计134205339假设：患慢性气管炎与吸烟没有关系，即它们相互独立.通过计算统计量，得，根据分布概率表:，，，.给出下列3个命题，其中正确的个数是（

）①“患慢性气管炎与吸烟没有关系”成立的可能性小于；②有的把握认为患慢性气管炎与吸烟有关；③分布概率表中的、等小概率值在统计上称为显著性水平，小概率事件一般认为不太可能发生.A．个 B．个 C．个 D．个【答案】D【分析】根据，与临界值表对照判断.【详解】解：因为，且，所以有的把握认为患慢性气管炎与吸烟有关，即“患慢性气管炎与吸烟没有关系”成立的可能性小于，故①②正确；分布概率表中的、等小概率值在统计上称为显著性水平，小概率事件一般认为不太可能发生.故③正确；故选：D5．（2324高三下·四川成都·阶段练习）下列论述错误的是（

）A．若随机事件A，B满足：，，，则事件A与B相互独立B．基于小概率值的检验规则是：当时，我们就推断不成立，即认为X和Y不独立，该推断犯错误的概率不超过；当时，我们没有充分证据推断不成立，可以认为X和Y独立C．若随机变量，满足，则D．若y关于x的经验回归方程为，则样本点的残差为【答案】C【分析】根据和事件与独立事件的概率公式可判定A，根据独立性检验的基本思想可判定B，根据随机变量的方差性质可判定C，根据残差的定义可判定D.【详解】对于A，由题意可知，所以，所以事件A与B相互独立，即A正确；对于B，由独立性检验的基本思想可知其正确；对于C，由题意可知，故C错误；对于D，将样本点代入得预测值为，所以，故D正确.故选：C6．（2122高二·全国·课后作业）千百年来，我国劳动人民在生产实践中根据云的形状、走向、速度、厚度、颜色等的变化，总结了丰富的“看云识天气”的经验，并将这些经验编成谚语，如“天上钩钩云，地上雨淋淋”“日落云里走，雨在半夜后”……小波同学为了验证“日落云里走，雨在半夜后”，观察了地区A的100天日落和夜晚天气，得到如下2×2列联表（单位：天），并计算得到，下列小波对地区A天气的判断不正确的是（）日落云里走夜晚天气下雨未下雨出现255未出现2545参考公式：临界值参照表：0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828A．夜晚下雨的概率约为B．未出现“日落云里走”，夜晚下雨的概率约为C．据小概率值的独立性检验，认为“日落云里走”是否出现与夜晚天气有关D．出现“日落云里走”，据小概率值的独立性检验，可以认为夜晚会下雨【答案】D【分析】应用古典概型的概率求法求概率判断A、B，应用卡方计算公式求卡方值，与临界值比较，应用独立检验的基本思想得到结论，判断C、D.【详解】由列联表知：100天中有50天下雨，50天未下雨，因此夜晚下雨的概率约为，A正确；未出现“日落云里走”，夜晚下雨的概率约为，B正确；，因此据小概率值的独立性检验，认为“日落云里走”是否出现与夜晚天气有关，C正确，D错误．故选：D7．（2223高一下·江苏苏州·期末）为了解喜爱足球是否与性别有关，随机抽取了若干人进行调查，抽取女性人数是男性的2倍，男性喜爱足球的人数占男性人数的，女性喜爱足球的人数占女性人数的，若本次调查得出“在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为喜爱足球与性别有关”的结论，则被调查的男性至少有（

）人0.100.050.010.0050.0012.7063.8415.6357.87910.828A．11 B．12 C．13 D．14【答案】B【分析】设出男性人数，列出列联表，算出的观测值表达式，列出不等式求解作答.【详解】设男性人数为，依题意，得列联表如下：喜爱足球不喜爱足球合计男性女性合计则的观测值为，因为本次调查得出“在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为喜爱足球与性别有关”的结论，于是，即，解得，而，因此故选：B8．（2024·陕西·二模）为了引导学生阅读世界经典文学名著，某学校举办“名著读书日”活动，每个月选择一天为“名著读书日”，并给出一些推荐书目.为了了解此活动促进学生阅读文学名著的情况，该校在此活动持续进行了一年之后，随机抽取了校内100名学生，调查他们在开始举办读书活动前后的一年时间内的名著阅读数量，所得数据如下表：多于5本少于5本合计活动前3565100活动后6040100合计95105200(1)试通过计算，判断是否有的把握认为举办该读书活动对学生阅读文学名著有促进作用；(2)已知某学生计划在接下来的一年内阅读6本文学名著，其中4本国外名著，2本国内名著，并且随机安排阅读顺序.记2本国内名著恰好阅读完时的读书数量为随机变量，求的数学期望.参考公式：.临界值表：0.100.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.828【答案】(1)有(2)【分析】（1）由表中数据计算卡方，对比临界值即可得出结论；（2）的可能取值为，由古典概型概率公式、组合数公式求出对应概率，进一步由数学期望公式即可运算求解.【详解】（1）由表中数据可知，，所以有的把握认为举办该读书活动对学生阅读文学名著有促进作用；（2）由题意可知，的可能取值为，则，，所以.9．（2024·广东广州·二模）治疗某种疾病有一种传统药和一种创新药，治疗效果对比试验数据如下：服用创新药的50名患者中有40名治愈；服用传统药的400名患者中有120名未治愈．(1)补全列联表（单位：人），并根据小概率值的独立性检验，分析创新药的疗效是否比传统的疗效药好；药物疗效合计治愈未治愈创新药传统药合计(2)从服用传统药的400名患者中按疗效比例分层随机抽取10名，在这10人中随机抽取8人进行回访，用表示回访中治愈者的人数，求的分布列及均值．附：，0.10.050.012.7063.8416.635【答案】(1)表格见解析，创新药的疗效没有比传统药的疗效好；(2)分布列见解析，【分析】（1）根据已知条件补充列联表；利用公式计算出的值，即可作出判断；（2）按疗效比例分层随机抽取10名，则有7名治愈者和3名未治愈者，故，且服从超几何分布，利用超几何概率计算公式进而可求出分布列与期望．【详解】（1）根据已知数据补全列联表如下所示：药物疗效合计治愈未治愈创新药401050传统药280120400合计320130450因为，根据小概率值的独立性检验，我们没有充分的证据说明创新药的疗效比传统药的疗效好，所以我们认为创新药的疗效没有比传统药的疗效好；（2）从服用传统药的400名患者中按疗效比例分层随机抽取10名，相当于每40名患者抽取1名，所以治愈者中抽7名和未治愈者中抽3名，现在这10人中随机抽取8人进行回访，用表示回访中治愈者的人数，其中的可能取值有，则，，所以服从超几何分布列，即，故分布列为：567所以．10．（2024·广西河池·模拟预测）某大学研究机构选择了网络游戏这一项目作为研究，来了解网络游戏对大学生的影响.该机构共在某高校发放50份问卷调查，有34名男同学，16名女同学参加了这次问卷调查活动，调查的结果如下图：

(1)完成下面的列联表，并依据的独立性检验，能否认为大学生喜欢玩网游与性别有关？玩过网游没玩过网游总计男生女生总计(2)视本次问卷中的频率为概率，在该校所有学生中任意抽查5名学生，记其中玩过网游的人数为，求和.附：，其中.0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828【答案】(1)大学生喜欢玩网游与性别无关(2)；【分析】（1）根据完善列联表，计算，并与临界值对比分析；（2）由题意分析可知：，结合二项分布运算求解.【详解】（1）由题意可得列联表：玩过网游没玩过网游总计男生221234女生8816总计302050零假设：大学生喜欢玩网游与性别无关，则，根据的独立性检验可知：假设成立，所以大学生喜欢玩网游与性别无关.（2）用频率估计概率，可知大学生玩过网游的概率为，由题意可知：玩过网游的人数，所以，.11．（2324高二下·江苏·期中）（多选题）下列命题正确的是（

）A．若随机变量满足，则B．以模型去拟合一组数据时，为了求出线性回归方程，设，求得线性回归方程为，则c，k的值分别是和2C．已知，若，则事件M，N相互独立D．根据分类变量X与Y的成对样本数据，计算得到，根据小概率值的独立性检验（），可判断X与Y有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05【答案】BCD【分析】对于A，给出反例，即可判断；对于B，利用得到即可判断；对于C，利用事件独立的定义即可判断；对于D，利用独立性检验的相关知识即可判断.【详解】对于A，若恒有，，则，且.所以，故A错误；对于B，由于有线性回归方程，故，即，所以，，故B正确；对于C，由于，故，即，所以事件M，N相互独立，C正确；对于D，由于，故有的把握判断X与Y有关联，即判断错误的概率不超过，D正确.故选：BCD12．（2024·河南·模拟预测）（多选题）某研究机构为了探究过量饮酒与患疾病真否有关，调查了400人，得到如图所示的列联表，其中，则（

）患疾病不患疾病合计过量饮酒不过量饮酒合计400参考公式与临界值表：0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.828A．任意一人不患疾病的概率为0.9B．任意一人不过量饮酒的概率为C．任意一人在不过量饮酒的条件下不患疾病的概率为D．依据小概率值的独立性检验，认为过量饮酒与患疾病有关【答案】ACD【分析】先求出，利用古典概型概率公式求解判断AB，利用条件概率概念求解判断C，求出的观测值，即可判断D.【详解】由已知得，又，所以.任意一人不患疾病的概率为，所以A正确；任意一人不过量饮酒的概率为，所以B错误；任意一人在不过量饮酒的条件下不患疾病的概率为，所以C正确；对于D，列联表如下：患疾病不患疾病合计过量饮酒30120150不过量饮酒10240250合计40360400则的观测值，由于，依据小概率值的独立性检验，认为过量饮酒与患疾病有关，所以D正确.故选：ACD13．（2324高二下·湖南长沙·阶段练习）（多选题）为了解高二学生是否喜爱物理学科与性别的关联性，某学校随机抽取了200名学生进行统计．得到如图所示的列联表，则下列说法正确的是（

）性别物理学科合计喜爱不喜爱男6040100女2080100合计80120200参考公式：，其中．附表：0.100.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828A．喜爱物理学科的学生中，男生的频率为B．女生中喜爱物理学科的频率为C．依据小概率值的独立性检验，可以推断学生是否喜爱物理学科与性别有关D．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为学生是否喜爱物理学科与性别无关【答案】AC【分析】求得喜爱物理学科的学生中，男生的频率判断选项A；求得女生中喜爱物理学科的频率判断选项B；求得的值并依据独立性检验规则判断选项CD.【详解】对于A，喜爱物理学科的学生共有（名），故喜爱物理学科的学生中男生的频率为，A正确；对于B，女生共有100名，喜爱物理的女有20名，故女生中喜爱物理学科的频率为，B错误；对于C，D，，故依据小概率值的独立性检验，可以推断学生是否喜爱物理学科与性别有关，即在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为学生是否喜爱物理学科与性别有关，C正确，D错误．故选：AC14．（2024·江西鹰潭·二模）（多选题）等高堆积条形图是一种数据可视化方式，能够清晰呈现多个变量的数据并进行比较，这种类型图表将多个条形图堆积在一起并用颜色进行区分，形成一条整体条形图，每个条形图的高度表示对应变量的值，不同颜色表示不同变量，能够更好的理解每个变量在总体中的占比.北方的冬天室外温度极低，如果轻薄、保暖的石墨烯发热膜能用在衣服上，那么可爱的医务工作者们在冬季行动会更方便.石墨烯发热膜的制作如下：从石墨中分离出石墨烯，制成石墨烯发热膜.从石墨中分离石墨烯的一种方法是化学气相沉积法，使石墨升华后附着在材料上再结晶.现在有材料、材料可供选择，研究人员对附着在材料、材料上的石墨各做了50次再结晶试验，得到如下等高堆积条形图.

材料材料合计试验成功试验失败合计单位：次(1)根据等高堆积条形图，填写列联表，并判断是否有的把握认为试验的结果与材料有关；(2)研究人员得到石墨烯后，再制作石墨烯发热膜有三个环节：①透明基底及UV胶层；②石墨烯层；③表面封装层.第一、二环节生产合格的概率均为，第三环节生产合格的概率为，且各生产环节相互独立.已知生产1吨石墨烯发热膜的固定成本为1万元，若生产不合格还需进行修复，第三环节的修复费用为4000元，其余环节修复费用均为2000元.试问如何定价（单位：万元），才能实现每生产1吨石墨烯发热膜获利不低于1万元的目标？（精确到0.001）附：，其中.0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828【答案】(1)列联表见解析，有的把握认为试验的结果与材料有关(2)石墨烯发热膜的定价至少为2.233万元/吨，才能实现预期的利润目标.【分析】（1）根据所给等高堆积条形图，得到列联表，计算出卡方，即可判断；（2）依题意可得的可能取值为，，，，，求出所对应的概率，即可得到分布列与数学期望，即可得解.【详解】（1）根据题中所给等高堆积条形图，得列联表如下：材料材料合计试验成功453075试验失败52025合计5050100计算可得，依据的独立性检验，有的把握认为试验的结果与材料有关.（2）设生产1吨石墨烯发热膜所需的修复费用为万元，易知的可能取值为，，，，，，，，，则的分布列为00.20.40.60.8修复费用的期望，所以石墨烯发热膜的定价至少为万元/吨，才能实现预期的利润目标.15．（2024·江西景德镇·三模）近年来，景德镇市积极探索传统文化与现代生活的连接点，活化利用陶溪川等工业遗产，创新场景和内容，打造了创意集、陶然集、春秋大集“三大集市”IP，让传统文化绽放当代生命力.为了了解游客喜欢景德镇是否与年龄有关，随机选取了来景旅游的老年人和年轻人各50人进行调查，调查结果如表所示：喜欢景德镇不喜欢景德镇合计年轻人302050老年人153550合计4555100(1)判断是否有的把握认为游客喜欢景德镇与年龄有关？(2)2024年春节期间，景德镇某旅行社推出了A、B两条旅游路线.现有甲、乙、丙共3名游客，他们都决定在A、B路线中选择其中一条路线旅游，他们之间选择哪条旅游路线相互独立.其中甲选择A路线的概率为，而乙、丙选择A路线的概率均为，且在三人中有且仅有1人选择A路线的条件下该人为甲的概率为.设表示这3位游客中选择A路线的人数，求的分布列与数学期望.附：0.1000.0500.0102.7063.8416.635【答案】(1)有的把握认为游客喜欢景德镇与年龄有关；(2)分布列见解析，【分析】（1）根据公式求得卡方，从而即可求解；（2）根据贝叶斯公式结合题意可得，根据分布列的求解步骤和期望公式即可求解.【详解】（1），有的把握认为游客喜欢景德镇与年龄有关；（2）根据贝叶斯公式可知三人中有且仅有1人选择路线的条件下该人为甲的概率为，，解得：，由题意可知，的取值为0，1，2，3.；；；.的分布列为的数学期望是.16．（2024·辽宁葫芦岛·一模）“村超”是贵州省榕江县举办的“和美乡村足球超级联赛”的简称，为了解不同年龄的游客对“村超”的满意度，某组织进行了一次抽样调查，分别抽取年龄超过40周岁的游客和年龄不超过40周岁的游客各100人作为样本，每位参与调查的游客都对“村超”给出满意或不满意的评价．调查结果如下表．年龄满意度合计满意不满意不超过40周岁6040100超过40周岁8020100合计14060200(1)根据列联表中的数据，在犯错误的概率不超过1%的前提下，可以认为游客对“村超”的满意度与年龄有关吗？(2)若将频率视为概率，该组织从某日所有游客中随机抽取3名游客进行现场采访，记抽取的3名游客中对“村超”满意的人数为，求随机变量的分布列与数学期望．附：．0.10.050.010.0050.001k2.7063.8416.6357.87910.828【答案】(1)有关联(2)分布列见解析，数学期望为【分析】（1）计算，对照附表即可得出结论；（2）根据随机变量的所有取值计算出对应概率，列出分布列，即可求出期望．【详解】（1）零假设为：游客对“村超”的满意度与年龄互相独立，即游客对“村超”的满意度与年龄无关联，，依据小概率值的独立性检验，推断不成立，即认为游客对“村超”的满意度与年龄有关联，此推断犯错误的概率不大于．（2）由题可知，参与调查的游客都对“村超”给出满意评价的概率为，则，随机变量可取，，，，，所以的分布列为：01230.0270.1890.4410.343数学期望．

17．（2324高二下·全国·课前预习）独立性检验（1）计算公式:，其中.（2）临界值的定义：对于任何小概率值，可以找到相应的正实数，使得成立，我们称为的临界值，概率值越小，临界值越大.（3）独立性检验：，通常称为或原假设.基于小概率值的检验规则是：当时，我们就推断不成立，即认为和，该推断犯错误的概率不超过；当时，我们没有充分证据推断不成立，可以认为和独立.这种利用的取值推断分类变量和是否独立的方法称为独立性检验，读作“”，简称独立性检验.（4）独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.8