2024-2025学年新教材高中数学第五章三角函数5.5.2简单的三角恒等变换一课一练含解析新人教A版必修第一册

PAGEPAGE1第五章三角函数5.5三角恒等变换5.5.2简洁的三角恒等变换第1课时简洁的三角恒等变换(1)考点1半角公式的理解和简洁应用1.(2024·山东青岛四校高一下期中考试)已知sin2α=13,则cos2α-π4A.-13 B.-23 C.13答案：D解析：cos2α-π4=1+cos2α2.(2024·安徽芜湖高一上期末考试)已知等腰三角形的顶角的余弦值等于725,则它的底角的余弦值为()A.34 B.35 C.12答案：B解析：设等腰三角形的顶角为α,底角为β,则cosα=725。又β=π2-α2,所以cosβ=cosπ2-α2=sinα23.(2024·西安一中单元检测)cosα=725,0<α<π2,则sinα2为(A.45 B.35 C.25答案：B解析：∵α∈0,π2,sinα2=1-cosα4.(2024·浙江诸暨中学高一段考)若θ∈(π,2π),则1-cosθ答案：-tanθ解析：∵θ∈(π,2π),∴sinθ<0,∴1-cosθ1+cosθ=1考点2积化和差公式的理解和简洁应用5.(2024·浙江金华一中高一期中考试)已知cos2α-cos2β=m,那么sin(α+β)sin(α-β)=()。A.-m2 B.m2 C.-m 答案：C解析：方法一:sin(α+β)sin(α-β)=-12(cos2α-cos2β)=-12(2cos2α-1-2cos2β+1)=cos2β-cos2α=-m,故选方法二:sin(α+β)sin(α-β)=(sinαcosβ+cosαsinβ)·(sinαcosβ-cosαsinβ)=sin2αcos2β-cos2αsin2β=(1-cos2α)cos2β-cos2α(1-cos2β)=cos2β-cos2α=-m,故选C。6.(2024·银川一中模块测试)给出下列四个关系式:①sinαsinβ=12[cos(α+β)-cos(α-β)];②sinα·cosβ=12[sin(α+β)+sin(α-β)];③cosαcosβ=-12[cos(α+β)-cos(α-β)];④cosαsinβ=12[sin(α+β)-sin(α其中不正确的个数是()。A.1 B.2 C.3 D.4答案：B解析：①③不正确,②④正确。7.(2024·广州调研)已知sinθ+π6·sinθ-π6=答案：∵sinθ+π6sinθ∴-12cosθ即-12cos2θ∴cos2θ=-35。又cos2θ=1∴1-tan2θ1+ta考点3和差化积公式的理解和简洁应用8.(2024·河南林州一中高二上开学考试)在△ABC中,已知acosA+bcosB=ccosC,则△ABC是()。A.等腰三角形 B.直角三角形C.等腰直角三角形 D.等边三角形答案：B解析：由正弦定理,可得sinAcosA+sinBcosB=sinCcosC,即sin2A+sin2B=sin2C,由和差化积公式,可得2sin(A+B)·cos(A-B)=2sinCcosC,即cos(A-B)=-cos(A+B),即cos(A-B)+cos(A+B)=0,所以cosAcosB=0,所以A=90°或B=90°,故选B。9.(2024·西北工大附中单元测评)下列四个关系式中正确的个数为。

(1)sin5θ+sin3θ=2sin8θcos2θ;(2)cos3θ-cos5θ=-2sin4θsinθ;(3)sin3θ-sin5θ=-12cos4θcosθ(4)sin5θ+cos3θ=2sin4θcosθ。答案：0解析：(1)错误,右边应是2sin4θcosθ。(2)错误,右边应是2sin4θsinθ。(3)错误,右边应是-2cos4θsinθ。(4)错误,左边为异名三角函数,应先用诱导公式化同名三角函数后再化积,即sin5θ+cos3θ=sin5θ+sinπ2-3θ=2sin10.(2024·哈尔滨模拟)在△ABC中,∠C=60°,则sinA+sinB等于()。A.2sinA+B2 C.3sinA-B2 D.答案：D解析：∵sinA+sinB=2sinA+B2cosA-B2。又∠C=60°,∴∠A+∠B=120°,∴sinA+sinB=2sin60°cos11.(2024·上海浦东区调考)求值:sin75°-sin15°。答案：sin75°-sin15°=2cos75°+15°2·sin75°-15°2=2cos45°·sin30考点4半角公式、和积互化公式的敏捷应用问题12.(2024·南昌检测)若cos2αsinα-π4=-22,则sinαA.-72 B.-12 C.12答案：C解析：cos2α=cos2α-sin2α=(cosα-sinα)·(cosα+sinα)=2cosα+π4·(cosα+sinα)=2sinπ4-α(cosα+sinα),则cos2αsinα-π4=-2(cosα+sin13.(2024·遵义调考)若sinθ=35,5π2<θ<3π,则tanθ2+cosθ2的值为A.3+1010 B.3-C.3+31010 D.答案：B解析：因为5π2<θ<3π,所以cosθ=-1-sin2θ=-45,5π4<θ2<3π2,所以sinθ2<0,cosθ2<0。所以sinθ2=-1-cosθ2=-31010,cos14.(2024·福州调考)若f(x)=cos(3x+φ)-3sin(3x+φ)为偶函数,则φ可以取的一个值为()。A.π6 B.π3 C.-π6 答案：D解析：f(x)=cos(3x+φ)-3sin(3x+φ)=-2sin3x+φ-π6。因为f(x)为偶函数,所以只需使φ-π6为π2的奇数倍即可。因为-π315.(2024·苏州模拟)sin10°+sin50°-sin70°的值为。

答案：0解析：sin10°+sin50°-sin70°=2sin50°+10°2·cos50°-10°2-sin70°=2sin30°cos20°16.(2024·衡阳八中模拟)已知sinθ+cosθ=2sinα,sin2β=sinθcosθ,求证:2cos2α=cos2β。答案：证明:由题意,得2sin①2-②×2,得4sin2α-2sin2β=1。变形为1-2sin2β=2-4sin2α,则有cos2β=2cos2α。考点5给角求值问题17.计算:sin105°cos75°=()。A.12 B.14 C.22答案：B解析：sin105°cos75°=sin75°cos75°=12sin150°=14,故选18.计算:3cosπ12+sinπ12=(A.0 B.-2C.6+2答案：C解析：原式=232cosπ12+12sinπ12=2cosπ6cosπ12+sinπ6sinπ12=2cosπ12=2cosπ3-π4=2cosπ3cosπ4+sinπ3sinπ419.计算:sin35°-sin25°答案：-3解析：原式=2sin5°cos30°-2sin30°sin5°=-20.计算:3tan12°-3答案：-43解析：原式=3sin12°-3cos12°cos12°sin12°·2cos2421.计算:tan11°+tan49°+3tan11°tan49°=。

答案：3解析：原式=2cos(30°-20°)-sin20°考点6给值求值问题22.已知2sinα=1+cosα,则tanα2=()A.12 B.1C.2 D.2或不存在答案：B解析：2sinα=1+cosα,即4sinα2cosα2=2cos2α2,当cosα2=0时,tanα2不存在,当cosα2≠023.设α是其次象限角,tanα=-43,且sinα2<cosα2,则cosα2A.-55 B.55 C.35 答案：A解析：因为α是其次象限角,且sinα2<cosα2,所以α2为第三象限角,所以cosα2<0。因为tanα=-43,所以cosα=-35,所以cos24.若sin(α+β)cosβ-cos(α+β)sinβ=0,则sin(α+2β)+sin(α-2β)=()。A.1 B.-1 C.0 D.±1答案：C解析：∵sin(α+β)cosβ-cos(α+β)sinβ=sin(α+β-β)=sinα=0,∴sin(α+2β)+sin(α-2β)=2sinαcos2β=0。25.已知sinθ2+cosθ2=233,则cos2答案：7解析：因为sinθ2+cosθ2=233,所以1+sinθ=43,即sinθ=13,所以cos2θ=1-2sin226.若tanθ+π4=3,则5sin2θ-3sinθcosθ+2cos2θ答案：7解析：tanθ=tanθ+π4-π∴原式=5sin2θ-3sin第2课时简洁的三角恒等变换(2)考点1协助角公式的应用问题1.使函数f(x)=sin(2x+θ)+3cos(2x+θ)为奇函数的θ的一个值是()。A.π6B.π3C.π2答案：D解析：f(x)=sin(2x+θ)+3cos(2x+θ)=2sin2x当θ=23π时,f(x)=2sin(2x+π)=-2sin2x2.已知f(x)=sinx+3cosx(x∈R),函数y=f(x+φ)的图像关于直线x=0对称,则φ的值可以是()。A.π2 B.π3 C.π4答案：D解析：因为f(x)=2sinx+π3,所以f(x+φ)=2sinx+φ+π3。因为f(x+φ)的图像关于直线x=0对称,所以φ+π3=kπ+π2(k∈Z),即φ=kπ+π63.已知函数f(x)=(1+3tanx)cosx,则函数f(x)图像的一条对称轴方程是。

答案：x=π3(只要符合x=kπ+π3,k∈Z即可,解析：f(x)=(1+3tanx)·cosx=1+3sinxcosx·cosx=cosx+3由x+π6=kπ+π2(k∈Z)得x=kπ+π3(k∈Z),故函数f(x)图像的对称轴方程为x=kπ+π3(4.已知α,β均为锐角,且cos(α+β)=sin(α-β),则tanα=。

答案：1解析：因为cos(α+β)=sin(α-β),所以cosαcosβ-sinαsinβ=sinαcosβ-cosαsinβ,所以cosα(sinβ+cosβ)=sinα(cosβ+sinβ)。因为α,β均为锐角,所以sinβ+cosβ≠0,所以cosα=sinα,所以tanα=1。5.已知tanα2=12,则sinα+答案：3+4解析：∵tanα2=12,∴sinα=2sinα2cosα2=2sinα2coscosα=cos2α2-sin2α2=cos2α2-∴sinα+π6=sinαcosπ6+cosαsinπ6=45×32考点2三角变换之变角问题6.(2024·天津南开区高一期末)sin80°cos70°+sin10°·sin70°=()。A.-32 B.-12 C.12答案：C解析：sin80°cos70°+sin10°sin70°=cos10°cos70°+sin10°sin70°=cos(70°-10°)=cos60°=12,故选C7.(2024·甘肃定西通渭高三上期末)已知f(sinx)=cos3x,则f(cos10°)的值为()。A.-32 B.±12 C.12答案：B解析：因为cos10°=sin80°,并且f(sinx)=cos3x,所以f(cos10°)=f(sin80°)=cos240°=cos(180°+60°)=-cos60°=-12。因为cos10°=sin100°,所以f(cos10°)=f(sin100°)=cos300°=cos(360°-60°)=cos60°=12,故选8.tan20°+4sin20°=。

答案：3解析：原式=sin20°cos20°+4sin20°=sin20°+2sin40°cos20°=9.函数y=sin(x+10°)+cos(x+40°)(x∈R)的最大值是。

答案：1解析：令x+10°=α,则x+40°=α+30°。∴y=sinα+cos(α+30°)=sinα+cosαcos30°-sinαsin30°=12sinα+32cosα=sin(α+60°)。∴ymax10.已知sinx+π6=33,则sin5π6-答案：2+解析：sin5π6-x+sin2π3-x=sinπ-5π6-x+cos2π211.(2024·河北张家口高三上期末)已知cosα=17,cos(α-β)=1314,且0<β<α<(1)求tan2α的值;答案：解:(1)由cosα=17,0<α<π2sinα=1-cos2α∴tanα=sinαcosα=4∴tan2α=2tanα1-tan(2)求β。答案：(2)由0<β<α<π2,得0<α-β<π∵cos(α-β)=1314∴sin(α-β)=1-cos2(由β=α-(α-β),得cosβ=cos[α-(α-β)]=cosα·cos(α-β)+sinαsin(α-β)=17×1314+437×∴β=π3考点3三角变换之变式问题12.已知sin2α=23,则cos2α+π4A.16 B.13 C.12答案：A解析：由倍角公式可得,cos2α+π4=1+cos2α+π22=13.在△ABC中,若sinAsinB=cos2C2,则下列等式中肯定成立的是()A.A=B B.A=CC.B=C D.A=B=C答案：A解析：∵sinAsinB=cos2C2=1+cosC2=12-12cos(A+B)=12-12(cosA∴12cosAcosB+12sinAsinB=12。∴cos(A-∵0<A<π,0<B<π,∴-π<A-B<π,∴A-B=0,∴A=B。故选A。14.函数y=2cos2x+sin2x的最小值是。

答案：1-2解析：∵y=2cos2x+sin2x=1+cos2x+sin2x=1+2sin2x+π4,∴y15.化简2+cos2-sin答案：3cos1解析：原式=1+cos2+(1-sin21)=2cos21+cos16.(2024·湖北荆州高一调考)若sinπ3-α=13,则cos答案：-7解析：cosπ3+2α=cos2π6+α=cos2π2-π17.(2024·山东潍坊高一调考)已知cosα-π4=45,α∈0,π答案：6解析：因为cosα-π4=45,所以sinα-π4=-35,sin所以cos2αsinα+π2sinπ2-α+π考点4角的范围在三角变换中的应用问题18.已知方程x2+4ax+3a+1=0(a>1)的两根分别为tanα,tanβ,且α,β∈-π2,π2,则tanαA.12 B.-2 C.43 D.1答案：B解析：由题意知tanα+tanβ=-4a,tanα·tan(α+β)=2tanα+β21-tan2α+∵a>1,∴tanα+tanβ=-4a<0,tanα·tanβ=3a+1>0,∴tanα<0,tanβ<0。∵α,β∈-π2,π2,∴α,β∈-∴tanα+β2<0,∴tanα+19.设α∈3π2,2π,化简:1答案：-cosα解析：∵α∈3π2,2π,∴cosα>0,cos故原式=12+12cos2α=20.(2024·湖北恩施高一调考)已知sinα=-1213,α∈π,3π2,则tan答案：-3解析：因为sinα=-1213,α∈π,3π2,所以cosα=-513,所以tanα=125。因为α∈π,3π2,所以α2∈π2,3π4,所以即6tan2α2+5tanα2-6=0,解得tanα2=-32或tanα2=21.已知sinx-siny=-23,cosx-cosy=23,x,y为锐角且x≠y,则sin(x+y)=答案：1解析：∵sinx-siny=-23,cosx-cosy=23,两式相加,得sinx+cosx=siny+cosy,∴sin2x=sin2又∵x,y均为锐角且x≠y,∴2x=π-2y,x+y=π2,∴sin(x+y)=122.已知α,β为锐角,cosα=17,sin(α+β)=5314,则角β答案：π解析：∵α为锐角,cosα=17,∴sinα=4又∵β为锐角,∴0<α+β<π。∵sin(α+β)=5314<sinα,∴π2<α+β<π,∴cos(α+β∴cosβ=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cosα+sin(α+β)·sinα=-1114×17+5314×∵β为锐角,∴β=π323.已知sinα,cosα是关于x的方程x2-ax+a=0的两个根,则1+cos2α-sin2α1答案：2+1解析：原式=2cos2α-2sinαcosα2si由一元二次方程根与系数的关系得sinα+cosα=a,sinα·cosα=a,依据同角三角函数基本关系式可得(sinα+cosα)2=a2=1+2sinαcosα=1+2a,即a2-2a+1=0。解得a=1±2,又因为-2≤sinα+cosα≤2,24.(2024·辽宁抚顺中学高三上期末)已知π2<β<α<3π4,cos(α-β)=1213,sin(α+β)=-35,答案：∵π2<β<3π4,∴-3π4<-β∵π2<α<34π,∴-14π<α-β∵α>β,∴α-β>0,∴0<α-β<π4∵cos(α-β)=1213,∴sin(α-β)=1-144∵π2<α<3π4,π2<β<3π4,∴π<α+∵sin(α+β)=-35,∴cos(α+β)=-1-9∴cos2α=cos[(α-β)+(α+β)]=cos(α-β)cos(α+β)-sin(α-β)sin(α+β)=1213×-45-513×考点5三角恒等变换与三角函数性质的综合问题25.(2024·石家庄质量检测)已知函数f(x)=asin[(1-a)x]+cos[(1-a)x]的最大值为2,则f(x