2025届高考数学一轮复习核心素养测评第三章3.3利用导数研究函数的极值最值理含解析北师大版

PAGE12-核心素养测评十五利用导数探讨函数的极值、最值(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.设函数f(x)=QUOTE+lnx则 ()A.x=QUOTE为f(x)的极大值点B.x=QUOTE为f(x)的微小值点C.x=2为f(x)的极大值点D.x=2为f(x)的微小值点【解析】选D.f′(x)=-QUOTE+QUOTE=QUOTE,由f′(x)>0,得x>2,所以f(x)的增区间为QUOTE,f(x)的减区间为(0,2),所以f(x)只有微小值,微小值点为x=2.2.已知函数f(x)是R上的可导函数,f(x)的导函数f′(x)的图像如图,则下列结论正确的是 ()A.a,c分别是极大值点和微小值点B.b,c分别是极大值点和微小值点C.f(x)在区间(a,c)上是增函数D.f(x)在区间(b,c)上是减函数【解析】选C.由极值点的定义可知,a是微小值点,无极大值点;由导函数的图像可知,函数f(x)在区间(a,+∞)上是增函数.3.(2024·榆林模拟)已知x=2是函数f(x)=x3-3ax+2的微小值点,那么函数f(x)的极大值为 ()A.15 B.16 C.17 D.18【解析】选D.因为x=2是函数f(x)=x3-3ax+2的微小值点,所以f′(2)=12-3a=0,解得a=4,所以函数f(x)的解析式为f(x)=x3-12x+2,f′(x)=3x2-12,由f′(x)=0,得x=±2,故函数f(x)在(-2,2)上是削减的,在(-∞,-2),(2,+∞)上是增加的,由此可知当x=-2时,函数f(x)取得极大值f(-2)=18.4.(2024·湘潭模拟)某莲藕种植塘每年的固定成本是1万元,每年最大规模的种植是8万斤,每种植一斤藕,成本增加0.5元,销售额函数是f(x)=-QUOTEx3+QUOTEax2+QUOTEx,x是莲藕种植量,单位:万斤;销售额的单位:万元,a是常数,若种植2万斤,利润是2.5万元,则要使利润最大,每年种植莲藕 ()A.8万斤 B.6万斤C.3万斤 D.5万斤【解析】选B.设销售利润为g(x),得g(x)=-QUOTEx3+QUOTEax2+QUOTEx-1-QUOTEx=-QUOTEx3+QUOTEax2-1,当x=2时,g(2)=-QUOTE×23+QUOTEa×22-1=2.5,解得a=2.所以g(x)=-QUOTEx3+QUOTEx2-1,g′(x)=-QUOTEx2+QUOTEx=-QUOTEx(x-6),所以函数g(x)在(0,6)上单调递增,在(6,8)上单调递减.所以当x=6时,函数g(x)取得极大值即最大值.5.若函数f(x)=ax-lnx在区间(0,e]上的最小值为3,则实数a的值为世纪金榜导学号()A.e2B.2eC.QUOTED.QUOTE【解题指南】(1)推断单调区间,把a分为a≤0与a>0两种状况来确定单调区间,而a>0时又要将QUOTE与区间(0,e]进行比较探讨;(2)依据各种状况的单调区间确定各种状况下的最小值,每计算一个a的值都要记得检验是否满意前提范围.【解析】选A.因为f(x)=ax-lnx,(x>0),所以f′(x)=a-QUOTE=QUOTE(x>0).①当a≤0时,f′(x)<0,则f(x)在(0,e]上为减函数,此时f(x)min=f(e)=ae-1=3,解得a=QUOTE>0(舍去).②当a>0时,当0<x<QUOTE时,f′(x)<0,f(x)在QUOTE上为减函数,当x≥QUOTE时,f′(x)≥0,f(x)在QUOTE上为增函数.所以当0<QUOTE≤e时,即a≥QUOTE时,x=QUOTE为f(x)在(0,e]上的微小值点也是最小值点且最小值为fQUOTE=1-lnQUOTE=3,解得a=e2.当QUOTE>e时,即a<QUOTE时,f(x)在(0,e]上为减函数,f(x)min=f(e)=ae-1=3,解得a=QUOTE>QUOTE(舍去),综上所述:a=e2.二、填空题(每小题5分,共15分)6.(2024·濮阳模拟)函数f(x)=ex-2x的最小值为________________.

【解析】f′(x)=ex-2,令f′(x)=ex-2=0,解得x=ln2.可得:函数f(x)在(-∞,ln2)上单调递减,在(ln2,+∞)上单调递增.所以x=ln2时,函数f(x)取得微小值也是最小值,f(ln2)=2-2ln2.答案:2-2ln27.(2024·咸阳模拟)已知y=f(x)是奇函数,当x∈(0,2)时,f(x)=lnx-axQUOTE,当x∈(-2,0)时,f(x)的最小值为1,则a=________________.

【解析】由题意知,当x∈(0,2)时,f(x)的最大值为-1.令f′(x)=QUOTE-a=0,得x=QUOTE,当0<x<QUOTE时,f′(x)>0;当x>QUOTE时,f′(x)<0.所以f(x)max=fQUOTE=-lna-1=-1,解得a=1.答案:18.已知函数f(x)=QUOTE当x∈(-∞,m]时,函数f(x)的取值范围为[-16,+∞),则实数m的取值范围是________________. 世纪金榜导学号

【解析】当x≤0时,f′(x)=3(2+x)(2-x),所以当x<-2时,f′(x)<0,函数f(x)单调递减;当-2<x≤0时,f′(x)>0,函数f(x)单调递增,所以函数f(x)在x=-2处取最小值f(-2)=-16.画出函数的图像,结合函数的图像得-2≤m≤8时,函数f(x)总能取到最小值-16,故m的取值范围是[-2,8].答案:[-2,8]三、解答题(每小题10分,共20分)9.若函数y=f(x)在x=x0处取得极大值或微小值,则称x0为函数y=f(x)的极值点.已知a,b是实数,1和-1是函数f(x)=x3+ax2+bx的两个极值点.(1)求a,b的值.(2)设函数g(x)的导数g′(x)=f(x)+2,求g(x)的极值点.【解析】(1)由题设知f′(x)=3x2+2ax+b,且f′(-1)=3-2a+b=0,f′(1)=3+2a+b=0,解得a=0,b=-3.(2)由(1)知f(x)=x3-3x,则g′(x)=f(x)+2=(x-1)2(x+2),所以g′(x)=0的根为x1=x2=1,x3=-2,即函数g(x)的极值点只可能是1或-2.当x<-2时,g′(x)<0,当-2<x<1时,g′(x)>0,当x>1时,g′(x)>0,所以-2是g(x)的极值点,1不是g(x)的极值点.10.已知函数f(x)=ax+lnx,其中a为常数. 世纪金榜导学号(1)当a=-1时,求f(x)的最大值.(2)若f(x)在区间(0,e]上的最大值为-3,求a的值.【解析】(1)易知f(x)的定义域为(0,+∞),当a=-1时,f(x)=-x+lnx,f′(x)=-1+QUOTE=QUOTE,令f′(x)=0,得x=1.当0<x<1时,f′(x)>0;当x>1时,f′(x)<0.所以f(x)在(0,1)上是增函数,在(1,+∞)上是减函数.所以f(x)max=f(1)=-1.所以当a=-1时,函数f(x)在(0,+∞)上的最大值为-1.(2)f′(x)=a+QUOTE,x∈QUOTE,QUOTE∈QUOTE.①若a≥-QUOTE,则f′(x)≥0,从而f(x)在QUOTE上单调递增,所以f(x)max=f(e)=ae+1≥0,不符合题意.②若a<-QUOTE,令f′(x)>0得a+QUOTE>0,结合x∈QUOTE,解得0<x<-QUOTE;令f′(x)<0得a+QUOTE<0,结合x∈QUOTE,解得-QUOTE<x≤e.从而f(x)在QUOTE上单调递增,在QUOTE上单调递减,所以f(x)max=fQUOTE=-1+lnQUOTE,令-1+lnQUOTE=-3,得lnQUOTE=-2,所以a=-e2,因为-e2<-QUOTE,所以a=-e2为所求,故实数a的值为-e2.(15分钟35分)1.(5分)设函数f(x)=(x+1)ex+1,则 ()A.x=2为f(x)的极大值点B.x=2为f(x)的微小值点C.x=-2为f(x)的极大值点D.x=-2为f(x)的微小值点【解析】选D.函数f(x)=(x+1)ex+1,所以f′(x)=(x+2)ex,令(x+2)ex=0,可得x=-2,当x<-2时,f′(x)<0,函数是减函数;当x>-2时,f′(x)>0,函数是增函数,所以x=-2是函数的微小值点.2.(5分)用长为30m的钢条围成一个长方体形态的框架(即12条棱长总和为30m),要求长方体的长与宽之比为3∶2,则该长方体最大体积是 ()A.24m3B.15m3C.12m3D.6m3【解析】选B.设该长方体的宽是xm,由题意知,其长是QUOTEm,高是QUOTE=QUOTEm(0<x<3),则该长方体的体积V(x)=x·QUOTE·QUOTE=-QUOTEx3+QUOTEx2,V′(x)=-QUOTEx2+QUOTEx,由V′(x)=0,得到x=2(x=0舍去),且当0<x<2时,V′(x)>0;当2<x<3时,V′(x)<0,即体积函数V(x)在x=2处取得极大值V(2)=15,也是函数V(x)在定义域上的最大值.所以该长方体体积的最大值是15m3.【变式备选】用边长为120cm的正方形铁皮做一个无盖水箱,先在四周分别截去一个小正方形,然后把四边翻转90°角,再焊接成水箱,则水箱的最大容积为 ()A.120000cm3 B.128000cm3C.150000cm3 D.158000cm3【解析】选B.设水箱底长为xcm,则高为QUOTEcm.由QUOTE得0<x<120.设水箱的容积为ycm3,则有y=-QUOTEx3+60x2.求导数,有y′=-QUOTEx2+120x.令y′=0,解得x=80(x=0舍去).当x∈(0,80)时,y′>0;当x∈(80,120)时,y′<0.因此,x=80是函数y=-QUOTEx3+60x2的极大值点,也是最大值点,此时y=128000.3.(5分)(2024·昆明模拟)已知函数f(x)=ax2+bx+clnx(a>0)在x=1和x=2处取得极值,且极大值为-QUOTE,则函数f(x)在区间(0,4]上的最大值为 世纪金榜导学号()A.0B.-QUOTEC.2ln2-4D.4ln2-4【解析】选D.函数的导数为f′(x)=2ax+b+QUOTE=QUOTE.因为f(x)在x=1和x=2处取得极值,所以f′(1)=2a+b+c=0①,f′(2)=4a+b+QUOTE=0②,因为f(x)极大值为-QUOTE,a>0,所以由函数性质知当x=1时,函数取得极大值为-QUOTE,则f(1)=a+b+cln1=a+b=-QUOTE③,由①②③得a=QUOTE,b=-3,c=2,即f(x)=QUOTEx2-3x+2lnx,f′(x)=x-3+QUOTE=QUOTE=QUOTE,由f′(x)>0得2<x≤4或0<x<1,此时为增函数,由f′(x)<0得1<x<2,此时f(x)为减函数,则当x=1时,f(x)取得极大值,极大值为-QUOTE,又f(4)=8-12+2ln4=4ln2-4>-QUOTE,即函数在区间(0,4]上的最大值为4ln2-4.4.(10分)(2024·成都模拟)已知函数f(x)=alnx-x2+QUOTEx-QUOTE. 世纪金榜导学号(1)当曲线f(x)在x=3时的切线与直线y=-4x+1平行,求曲线f(x)在QUOTE处的切线方程.(2)求函数f(x)的极值,并求当f(x)有极大值且极大值为正数时,实数a的取值范围.【解析】(1)f′(x)=QUOTE-2x+a-2.由题意得f′(3)=QUOTE-2×3+a-2=-4,得a=3.当x=1时,f(1)=-12+QUOTE×1-QUOTE=-QUOTE,f′(1)=QUOTE-2×1+3-2=2,故曲线f(x)在QUOTE处的切线方程为y+QUOTE=2QUOTE,即8x-4y-17=0.(2)f′(x)=QUOTE-2x+a-2=QUOTE(x>0),①当a≤0时,f′(x)≤0,所以f(x)在QUOTE上单调递减,f(x)无极值.②当a>0时,由f′(x)=0得x=QUOTE,随x的改变,f′(x)、f(x)的改变状况如下:xf′(x)+0-f(x)↗极大值↘故f(x)有极大值,无微小值,极大值为fQUOTE=alnQUOTE-QUOTE+QUOTE×QUOTE-QUOTE=alnQUOTE-a,由alnQUOTE-a>0,结合a>0可得a>2e,所以当f(x)有极大值且极大值为正数时,实数a的取值范围是QUOTE.5.(10分)(2024·济宁模拟)已知函数f(x)=lnx-xex+ax(a∈R). 世纪金榜导学号(1)若函数f(x)在[1,+∞)上单调递减,求实数a的取值范围.(2)若a=1,求f(x)的最大值.【解题指南】(1)由题意分别参数,将原问题转化为函数求最值的问题,然后利用导函数即可确定实数a的取值范围.(2)结合函数的解析式求导函数,将其分解因式,利用导函数探讨函数的单调性,最终利用函数的单调性结合函数的解析式即可确定函数的最大值.【解析】(1)由题意知,f′(x)=QUOTE-(ex+xex)+a=QUOTE-(x+1)ex+a≤0在[1,+∞)上恒成立,所以a≤(x+1)ex-QUOTE在[1,+∞)上恒成立.令g(x)=-QUOTE+(x+1)ex,则g′(x)=(x+2)ex+QUOTE>0,所以g(x)在[1,+∞)上单调递增,所以g(x)min=g(1)=2e-1,所以a≤2e-1.(2)当a=1时,f(x)=lnx-xex+x(x>0),则f′(x)=QUOTE-(x+1)ex+1=(x+1)QUOTE,令m(x)=QUOTE-ex,则m′(x)=-QUOTE-ex<0,所以m(x)在(0,+∞)上单调递减.由于mQUOTE>0,m(1)<0,所以存在x0>0满意m(x0)=0,即QUOTE=QUOTE.当x∈(0,x0),m(x)>0,f′(x)>0;当x∈(x0,+∞)时,m(x)<0,f′(x)<0.所以f(x)在(0,x0)上单调递增,在(x0,+∞)上单调递减.所以f(x)max=f(x0)=lnx0-x0QUOTE+x0,因为QUOTE