2024-2025版高中数学第一章解三角形1.2.1解三角形的实际应用举例-距离问题素养评价检测含解析新人教A版必修5

PAGE解三角形的实际应用举例——距离问题15分钟30分)1.(2024·大庆高一检测)一船自西向东匀速航行,上午10时到达一座灯塔P的南偏西75°,距灯塔68海里的M处,下午2时到达这座灯塔的东南方向N处,则该船航行的速度是 ()A.QUOTE海里/时 B.34QUOTE海里/时C.QUOTE海里/时 D.34QUOTE海里/时【解析】选A.由题意知∠MPN=75°+45°=120°,∠PNM=45°,在△PMN中,由正弦定理,得QUOTE=QUOTE,所以MN=QUOTE=34QUOTE,又由M到N所用时间为14-10=4(小时),所以船的航行速度v=QUOTE=QUOTE(海里/时)2.(2024·成都高一检测)随着“一带一路”倡议的实施,交通运输发展的外部环境和内在要求面临深层次的调整和变更.内河水运作为现代综合交通运输体系的重要组成部分,迎来了新的历史机遇.为做好航道升级的前期工作,成都市组织相关人员到府河现场进行勘察.现要测量府河岸边A,B两地间的距离.如图,在B的正东方向选取一点C,测得CB=2km,A位于C西北方向,A位于B北偏东15°,则A,B两地间的距离为()A.QUOTEkm B.2QUOTEkmC.QUOTEkm D.2QUOTEkm【解析】选C.在△ABC中,依题意知∠ABC=90°-15°=75°,∠ACB=45°,那么A=180°-∠ABC-∠ACB=60°,由正弦定理得QUOTE=QUOTE,又因为CB=2km,所以AB=QUOTE=QUOTE=QUOTEkm.3.某人从A处动身,沿北偏东60°行走3QUOTEkm到B处,再沿正东方向行走2km到C处,则A,C两地的距离为.

【解析】如图所示,由题意可知AB=3QUOTE,BC=2,∠ABC=150°,由余弦定理得AC2=27+4-2×3QUOTE×2×cos150°=49,所以AC=7,所以A,C两地的距离为7km.答案:7km4.一蜘蛛沿东北方向爬行xcm捕获到一只小虫,然后向右转105°,爬行10cm捕获到另一只小虫,这时它向右转135°爬行回它的动身点,那么x=cm.

【解析】如图所示,设蜘蛛原来在O点,先爬行到A点,再爬行到B点,易知在△AOB中,AB=10cm,∠OAB=75°,∠ABO=45°,则∠AOB=60°,由正弦定理知:x=QUOTE=QUOTE=QUOTE(cm).答案:QUOTE5.海上某货轮在A处看灯塔B,在货轮北偏东75°,距离为12QUOTEnmile;在A处看灯塔C,在货轮的北偏西30°,距离为8QUOTEnmile;货轮向正北由A处航行到D处时看灯塔B的方位角为120°.求:(1)A处与D处的距离;(2)灯塔C与D处之间的距离.【解析】由题意,画出示意图,如图所示.(1)在△ABD中,由已知∠ADB=60°,则B=45°.由正弦定理,得AD=QUOTE=24(nmile)(2)在△ADC中,由余弦定理,得CD2=AD2+AC2-2AD×ACcos30°=242+(8QUOTE)2-2×24×8QUOTE×QUOTE=(8QUOTE)2,所以CD=8QUOTE(nmile).答:A处与D处之间距离为24nmile,灯塔C与D处之间的距离为8QUOTEnmile.【补偿训练】如图所示,若小河两岸平行,为了知道河对岸两棵树C,D(CD与河岸平行)之间的距离,选取岸边两点A,B(AB与河岸平行),测得数据:AB=6m,∠ABD=60°,∠DBC=90°,∠DAB=75°.试求C,D间的距离.【解析】∠ABC=∠ABD+∠DBC=60°+90°=150°,所以∠C=180°-150°=30°,∠ADB=180°-75°-60°=45°.在△ABD中,由正弦定理得AD=QUOTE=3QUOTE.由余弦定理得BD=QUOTE=3+3QUOTE.在Rt△BDC中,CD=QUOTE=6+6QUOTE,即CD的长为(6+6QUOTE)m.(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.如图所示为起重机装置示意图.支杆BC=10m,吊杆AC=15m,吊索AB=5QUOTEm,起吊的货物与岸的距离AD为 ()A.30m B.QUOTEm C.15QUOTEm D.45m【解析】选B.在△ABC中,AC=15m,AB=5QUOTEm,BC=10m,由余弦定理得cos∠ACB=QUOTE=QUOTE=-QUOTE,所以sin∠ACB=QUOTE.又∠ACB+∠ACD=180°,所以sin∠ACD=sin∠ACB=QUOTE.在Rt△ACD中,AD=ACsin∠ACD=15×QUOTE=QUOTE(m).2.甲船在岛B的正南A处,AB=10km,甲船以4km/h的速度从A动身向正北航行,同时乙船自岛B动身以6km/h的速度向北偏东60°的方向驶去,当甲、乙两船相距最近时,它们的航行时间是 ()A.QUOTEminB.QUOTEhC.21.5minD.2.15h【解析】选A.由题意可作出如图所示的示意图,设两船航行t小时后,甲船位于C点,乙船位于D点,如图.则BC=10-4t,BD=6t,∠CBD=120°,依据余弦定理得CD2=BC2+BD2-2BC·BDcos∠CBD=(10-4t)2+36t2+6t(10-4t)=28t2-20t+100,所以当t=QUOTE时,CD2取得最小值,即两船间的距离最近,所以它们的航行时间是QUOTEmin.3.一艘海警船从港口A动身,以每小时40海里的速度沿南偏东40°方向直线航行,30分钟后到达B处,这时候接到从C处发出的求救信号,已知C在B的北偏东65°,港口A的东偏南20°处,那么B,C两点的距离是 ()A.10QUOTE海里 B.10QUOTE海里C.20海里 D.15QUOTE海里【解析】选A.如图,由已知可得,∠BAC=30°,∠ABC=105°,AB=20,从而∠ACB=45°.在△ABC中由正弦定理可得BC=QUOTE×sin30°=10QUOTE(海里).4.台风中心从A地以每小时20千米的速度向东北方向移动,离台风中心30千米内的地区为危急区,城市B在A的正东40千米处,B城市处于危急区内的时间为 ()A.0.5小时 B.1小时C.1.5小时 D.2小时【解析】选B.设A地东北方向上存在点P到B的距离为30千米,AP=x千米,在△ABP中,PB2=AP2+AB2-2AP·AB·cosA,即302=x2+402-2x·40cos45°,化简得x2-40QUOTEx+700=0,设该方程的两根为x1,x2,则|x1-x2|2=(x1+x2)2-4x1x2=400,|x1-x2|=20,即图中的PP′=20(千米),故时间t=QUOTE=1(小时).5.(2024·葫芦岛高一检测)自古以来,人们对于崇山峻岭都心存敬畏,同时感慨大自然的鬼斧神工,一代诗圣杜甫曾赋诗《望岳》:“岱宗夫如何?齐鲁青未了.造化钟神秀,阴阳割昏晓.荡胸生曾云,决眦入归鸟.会当凌绝顶,一览众山小.”然而,随着技术手段的发展,山高路远便不再是人们出行的阻碍,宏大领袖毛主席曾作词:“一桥飞架南北,天堑变通途”.在科技腾飞的当下,路桥建设部门仍旧潜心探讨如何缩短空间距离便利出行,如港珠澳跨海大桥等.如图为某工程队将从A到D修建一条隧道,测量员测得一些数据如图所示(A,B,C,D在同一水平面内),则A,D间的距离为 ()A.QUOTEkm B.QUOTEkmC.QUOTEkm D.QUOTEkm【解析】选A.如图所示,连接BD,在△BCD中,因为BD2=BC2+CD2-2BC·CD·cos∠BCD=25+9-2×5×3×QUOTE=49,所以BD=7,又因为QUOTE=QUOTE,即QUOTE=QUOTE,解得:sin∠DBC=QUOTE,因为∠ABD=∠ABC-∠DBC,所以cos∠ABD=cos(90°-∠DBC)=sin∠DBC=QUOTE,在△ABD中,AD2=AB2+BD2-2AB·BD·cos∠ABD=16+49-2×4×7×QUOTE=65-12QUOTE,即A,D间的距离为QUOTEkm.二、填空题(每小题5分,共15分)6.(2024·汕头高一检测)如图所示,一艘海轮从A处动身,测得灯塔在海轮的北偏东15°方向,与海轮相距20海里的B处,海轮按北偏西60°的方向航行了30分钟后到达C处,又测得灯塔在海轮的北偏东75°的方向,则海轮的速度为海里/分.

【解析】由已知得∠ACB=45°,∠BAC=75°,所以∠B=60°由正弦定理可得QUOTE=QUOTE,所以AC=QUOTE=10QUOTE,所以海轮的速度为QUOTE=QUOTE(海里/分).答案:QUOTE7.如图,为了测量A,C两点间的距离,选取同一平面上B,D两点,测出四边形ABCD各边的长度(单位:km):AB=5,BC=8,CD=3,DA=5,A,B,C,D四点共圆,则AC的长为km.

【解析】因为A,B,C,D四点共圆,所以D+B=π.在△ABC和△ADC中,由余弦定理可得82+52-2×8×5×cos(π-D)=32+52-2×3×5×cosD,整理得cosD=-QUOTE,代入得AC2=32+52-2×3×5×QUOTE=49,故AC=7.答案:78.如图所示,位于东海某岛的雷达观测站A,发觉其北偏东45°,与观测站A距离20QUOTE海里的B处有一货船正匀速直线行驶,半小时后,又测得该货船位于观测站A东偏北θ(0°<θ<45°)的C处,且cosθ=QUOTE,已知A,C两处的距离为10海里,则该货船的船速为海里/小时.

【解析】因为cosθ=QUOTE,所以sinθ=QUOTE,由题意得∠BAC=45°-θ,即cos∠BAC=cos(45°-θ)=QUOTE=QUOTE,因为AB=20QUOTE,AC=10,所以由余弦定理得BC2=AB2+AC2-2AB·ACcos∠BAC,即BC2=(20QUOTE)2+102-2×20QUOTE×10×QUOTE=800+100-560=340,即BC=QUOTE=2QUOTE,设船速为x海里/小时,则QUOTEx=2QUOTE,所以x=4QUOTE(海里/小时).答案:4QUOTE三、解答题(每小题10分,共20分)9.高铁是我国国家名片之一,高铁的修建凝合着中国人的才智与汗水.如图所示,B,E,F为山脚两侧共线的三点,在山顶A处测得这三点的俯角分别为30°,60°,45°,安排沿直线BF开通穿山隧道,现已测得BC,DE,EF三段线段的长度分别为3,1,2.(1)求出线段AE的长度;(2)求出隧道CD的长度.【解题指南】(1)由已知在△AEF中,由正弦定理即可解得AE的值.(2)由已知可得∠BAE=90°,在Rt△ABE中,可求BE的值,进而可求CD的值.【解析】(1)由已知可得EF=2,∠F=45°,∠EAF=60°-45°=15°,在△AEF中,由正弦定理得:QUOTE=QUOTE,即QUOTE=QUOTE,解得AE=2(QUOTE+1).(2)由已知可得∠BAE=180°-30°-60°=90°,∠B=30°,在Rt△ABE中,BE=2AE=4(QUOTE+1),所以隧道长度CD=BE-BC-DE=4QUOTE.10.如图所示,港口B在港口O正东方向120海里处,小岛C在港口O北偏东60°方向,且在港口B北偏西30°方向上.一艘科学考察船从港口O动身,沿北偏东30°的OA方向以20海里/时的速度行驶,一艘快艇从港口B动身,以60海里/时的速度驶向小岛C,在C岛装运补给物资后给考察船送去.现两船同时动身,补给物资的装船时间为1小时,则快艇驶离港口B后,最少要经过多少小时才能和考察船相遇?【解析】设快艇驶离港口B后,经过x小时,在OA上的点D处与考察船相遇.如图所示,连接CD,则快艇沿线段BC,CD航行.在△OBC中,由题意易得∠BOC=30°,∠CBO=60°.因为BO=120,所以BC=60,OC=60QUOTE.故快艇从港口B到小岛C须要1小时,所以x>1.在△OCD中,由题意易得∠COD=30°,OD=20x,CD=60(x-2).由余弦定理,得CD2=OD2+OC2-2OD·OCcos∠COD,所以602(x-2)2=(20x)2+(60QUOTE)2-2×20x×60QUOTE×cos30°.解得x=3或x=QUOTE,因为x>1,所以x=3.所以快艇驶离港口B后,至少要经过3小时才能和考察船相遇.【补偿训练】如图所示,海中小岛A四周38nmile内有暗礁,一船正向南航行,在B处测得小岛A在船