新高考2025版高考数学一轮总复习练案32第五章第五讲复数

第五讲复数A组基础巩固一、单选题1．(2024·全国乙理)设2(z＋eq\x\to(z))＋3(z－eq\x\to(z))＝4＋6i，则z＝(C)A．1－2i B．1＋2iC．1＋i D．1－i[解析]设z＝a＋bi(a，b∈R)，则eq\x\to(z)＝a－bi，代入2(z＋eq\x\to(z))＋3(z－eq\x\to(z))＝4＋6i，得4a＋6bi＝4＋6i，所以a＝1，b＝1，故z＝1＋i.故选C.2．(2024·课标Ⅲ)复数eq\f(1,1－3i)的虚部是(D)A．－eq\f(3,10) B．－eq\f(1,10)C．eq\f(1,10) D．eq\f(3,10)[解析]利用复数除法法则得eq\f(1,1－3i)＝eq\f(1＋3i,1－3i1＋3i)＝eq\f(1＋3i,10)，所以虚部为eq\f(3,10)，选D.3．(2024·葫芦岛模拟)设i是虚数单位，若复数z＝1＋2i，则复数z的模为(D)A．1 B．2eq\r(2)C．eq\r(3) D．eq\r(5)[解析]依题意，|z|＝eq\r(12＋22)＝eq\r(5)，故选D.4．(2024·3月份北京市高考适应性测试)在复平面内，复数i(3－2i)对应的点的坐标为(B)A．(3,2) B．(2,3)C．(－2,3) D．(2，－3)[解析]i(3－2i)＝3i＋2＝2＋3i，故选B.5．(2024·课标Ⅲ)若eq\o(z,\s\up6(－))(1＋i)＝1－i，则z＝(D)A．1－i B．1＋iC．－i D．i[解析]∵eq\o(z,\s\up6(－))(1＋i)＝1－i，∴eq\o(z,\s\up6(－))＝eq\f(1－i,1＋i)＝eq\f(1－i2,1＋i1－i)＝eq\f(－2i,2)＝－i，∴z＝i，故选D.6．(2024·贵州37校联考)复数z＝eq\f(1＋i,1－i)的共轭复数是(D)A．1＋i B．1－iC．i D．－i[解析]因为z＝eq\f(1＋i,1－i)＝i，故z的共轭复数eq\o(z,\s\up6(－))＝－i，故选D.7．(2024·五省优创名校联考)若复数z1，z2满意z1＝eq\f(1,\r(2)－i)－eq\f(1,\r(2)＋i)，z1(z2－2)＝1，则|z2|＝(A)A．eq\f(5,2) B．3C．eq\f(7,2) D．4[解析]因为z1＝eq\f(1,\r(2)－i)－eq\f(1,\r(2)＋i)＝eq\f(2i,3)，z2＝eq\f(1,z1)＋2＝eq\f(4－3i,2)，所以|z2|＝eq\f(5,2).8．(2024·咸阳模拟)设复数z满意|z－1＋i|＝1，z在复平面内对应的点为P(x，y)，则点P的轨迹方程为(D)A．(x＋1)2＋y2＝1 B．(x－1)2＋y2＝1C．x2＋(y－1)2＝1 D．(x－1)2＋(y＋1)2＝1[解析]设z＝x＋yi(x，y∈R)，则由|z－1＋i|＝1得|(x－1)＋(y＋1)i|＝1，即eq\r(x－12＋y＋12)＝1，则(x－1)2＋(y＋1)2＝1.二、多选题9．假如复数z＝eq\f(2,－1＋i)，则下面正确的是(ABD)A．z的共轭复数为－1＋iB．z的虚部为－1C．|z|＝2D．z的实部为－1[解析]因为z＝eq\f(2,－1＋i)＝eq\f(2－1－i,－1＋i－1－i)＝eq\f(－2－2i,2)＝－1－i，所以z的实部为－1，虚部为－1，共轭复数为－1＋i，故选A、B、D.10．已知复数z满意i2k＋1·z＝2＋i，(k∈Z)则复数z在复平面内对应的点可能位于(BD)A．第一象限 B．其次象限C．第三象限 D．第四象限[解析]∵i2k＋1·z＝2＋i，∴z＝eq\f(2＋i,i2k＋1)，当k为奇数时，i2k＋1＝－i，∴z＝－1＋2i，位于其次象限；当k为偶数时，i2k＋1＝i，∴z＝1－2i，位于第四象限，故选B、D.三、填空题11．(2024·上海)已知z1＝1＋i，z2＝2＋3i，则z1＋z2＝3＋4i.[解析]z1＋z2＝(1＋2)＋(1＋3)i＝3＋4i.12．(2024·天津和平区线上检测)设复数z满意(1＋i)z＝3－i，则|z|＝eq\r(5).[解析]由题意得，z＝eq\f(3－i,1＋i)＝eq\f(3－i1－i,2)＝eq\f(2－4i,2)＝1－2i，所以|z|＝eq\r(12＋－22)＝eq\r(5).13．(2024·江苏南京十三中调研)已知复数z＝eq\f(2＋i,1－i)，则复数z的虚部为eq\f(3,2).[解析]由题意得，复数z＝eq\f(2＋i,1－i)＝eq\f(2＋i1＋i,1－i1＋i)＝eq\f(1,2)＋eq\f(3,2)i，所以复数z的虚部为eq\f(3,2).14．(2024·浙江温州联考)已知复数z＝eq\f(1＋ai,i)(a∈R)的实部为eq\r(3)，则a＝eq\r(3)，|z|＝2.[解析]∵z＝eq\f(1＋ai,i)＝eq\f(1＋ai－i,－i2)＝a－i的实部为eq\r(3)，∴a＝eq\r(3)，则|z|＝eq\r(\r(3)2＋－12)＝2.B组实力提升1．(2024·河北张家口期末)已知i为虚数单位，复数z满意(1－2i)z＝3－4i，则复数z在复平面内对应的点位于(C)A．其次象限 B．第三象限C．直线2x－11y＝0上 D．直线2x＋11y＝0上[解析]本题考查复数代数形式的四则运算及复数的几何意义．由(1－2i)z＝3－4i，得z＝eq\f(3－4i,1－2i)＝eq\f(3－4i1＋2i,1－2i1＋2i)＝eq\f(11,5)＋eq\f(2,5)i.故复数z在复平面内对应点的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(11,5)，\f(2,5)))，位于直线2x－11y＝0上，故选C.2．(2024·河南商丘九校联考)若复数z＝eq\f(1＋i,a－i)(a∈R，i为虚数单位)为纯虚数，则|z|的值为(A)A．1 B．eq\r(2)C．eq\r(3) D．2[解析]由题意可设z＝eq\f(1＋i,a－i)＝bi(b∈R且b≠0)，则b＋abi＝1＋i，解得b＝1，即z＝i，则|z|＝1，故选A.3．(2024·西藏拉萨十校联考)已知复数z满意：|z|＝|3－2z|，且z的实部为2，则|z－1|＝(B)A．3 B．eq\r(2)C．3eq\r(2) D．2eq\r(3)[解析]设z＝2＋bi(b∈R)，依据题意得到4＋b2＝1＋4b2⇒b＝±1，∴z＝2±i.则|z－1|＝eq\r(2)，故选B.4．(2024·福建福州五校联考)若复数eq\f(1－bi,2＋i)(b∈R，i为虚数单位)的实部与虚部相等，则b的值为(B)A．－6 B．－3C．3 D．6[解析]解法一：由题意可设eq\f(1－bi,2＋i)＝a＋ai(a∈R)，即1－bi＝(2＋i)(a＋ai)，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＝a，,－b＝3a))∴b＝－3.解法二：eq\f(1－bi,2＋i)＝eq\f(1－bi2－i,2＋i2－i)＝eq\f(2－b－1＋2bi,5)，∴2－b＝－(1＋2b)，解得b＝－3.5．(2024·山西大同模拟)若复数z满意|z－eq\r(3)－i|＝1(i为虚数单位)，则|z|的最大值为(C)A．1 B．2C．3