沪科版六年级数学核心知识点与通关讲解练上海市预初开学分班考专项复习02方程综合(原卷版+解析)

上海市预初开学分班考专项复习02方程综合【知识梳理】你知道吗？方程这个名词，最早见于我国古代算书《九章算术》．《九章算术》是在我国东汉初年编定的一部现有传本的、最古老的中国数学经典著作．书中收集了246个应用问题和其他问题的解法，分为九章，“方程”是其中的一章． 小学阶段所学习的方程是所有方程类型中最基本的，以后到初中阶段还会系统学习多元一次方程组、一元二次方程等更多更难的方程类型。 解方程时，基本的思想就是化简，通过合并、移项等多种方式来将式子变成“x＝？”的形式。1．回顾等式的基本性质：（1）等式两边同时加上或减去同一个数，所得结果仍然是等式；（2）等式两边同时乘或除以同一个不等于0的数，所得结果仍然是等式2．利用等式的性质解下列方程，并写出验算过程（1）；（2）；（3）解：解：解：【考点剖析】例题1：解下列方程(1)3x＋7x＋10＝90

(2)3(x－12)＋23＝35 试一试：解下列方程(1)7x－8＝2x＋27 (2)5x－18＝3－2x（3）24－7x＝4x＋2例题2：解下列方程(1)7x－4＋3(x－2)＝

2x＋6(2)2(3x－4)＋(4－x)＝4x (3)3(3x－2)－2(2x－1)＝6 试一试：解下列方程(1)2(x－2)－(3＋x)＝5 (2)11－5(x－3)＝2－2x (3)2(2x－1)－3(3－2x)＝9例题3：解下列方程：(1)(2x＋5)÷3＝7 (2)3(x＋1)÷(2x－4)＝

6 (4)(3x＋5)÷2＝(5x－9)÷3

试一试：解下列方程(1)80÷x＝20(2)4(2x＋1)÷3x＝3(2)(2x＋5)÷3＝(3x－10)÷2例题4：列方程计算：(1)什么数的2倍减去3.5与6的积，差是75与25的和。(2)一个数加3.6除以0.25的商，和是20.16，求这个数。试一试：列方程计算：(1)一个数与8的差的5倍，正好等于这个数的3倍，这个数是多少？(2)一个数的5倍减去1.6的差正好等于这个数，求这个数？【过关检测】一、选择题1．（2019秋·上海宝山·五年级校考期末），a与b的平均数是c，b与c的平均数是d，如果将a、b、c、d四个数按从大到小排列，应该是（

）。A． B．C． D．2．（2020春·上海·五年级期中）同样大的两个长方形，第一个长方形的长减少4米，宽不变；第二个长方形的宽减少4米，长不变。变化后的第()个长方形面积大一些。A．一 B．二 C．两个一样大 D．无法确定二、填空题3．（2020春·上海·五年级专题练习）有一个三位数：十位上的数字是0，其余两位上的数字之和是12．如果个位数字减2，百位数字加1，所得的新三位数比原三位数的百位数字与个位数字调换所得的三位数小100，则原三位数是____。4．（2019秋·上海浦东新·五年级校考期末）如果，，，那么等于()。5．（2022春·上海·五年级期末）已知x2＝275625，则x＝()。6．（2020春·上海·五年级专题练习）一个自然数除以3，得余数2，用所得的商除以4，得余数3，若用这个自然数除以6，得余数______。三、解方程或比例7．（2018春·上海松江·五年级统考期中）解方程：.8．（2018春·上海松江·五年级统考期中）解方程：.四、解答题9．（2020春·上海·五年级期中）小丁和小胖的家在同一个小区，小区离学校1400米。放学时小胖先走了4分钟，小丁从学校出发去追小胖。已知小胖每分钟走50米，小丁每分钟走60米，小丁能在到达小区前追上小胖吗？10．（2020春·上海·五年级期中）老师给班级中表现优秀的同学发奖品。每人发3本，正好发完。如果每人发4本，就有2人发不到奖品。问老师要给几个同学发奖品？老师买了多少本本子？11．（2019秋·上海宝山·五年级校考期末）一个长方形的长和宽分别增加8厘米，新长方形面积比原长方形面积增加208平方厘米。原来长方形的周长是多少厘米？12．（2021秋·上海·五年级期末）甲、乙、丙、丁四个数的和是100，甲数加上4，乙数减去4，丙数乘以4，丁数除以4后，四个数就正好相等。求这四个数。13．（2018春·上海松江·五年级统考期中）求不等式的负整数解.14．（2018春·上海松江·五年级统考期中）已知，求关于的不等式的解集.15．（2018春·上海松江·五年级统考期中）某家电商场计划用9万元从生产厂家购进50台电视机．已知该厂家生产三种不同型号的电视机，出厂价分别为A种每台1500元，B种每台2100元，C种每台2500元．（1）若家电商场同时购进A、B两种不同型号的电视机共50台，用去9万元，求商场购进这两种型号的电视机各多少台？（2）若商场销售一台A种电视机可获利150元，销售一台B种电视机可获利200元，销售一台C种电视机可获利250元．该家电商场用9万元从生产厂家购进两种不同型号的电视机共50台，为了使销售时获利最多，该家电商场应该购买哪两种型号的电视机？分别购进多少台？16．（2019秋·上海·五年级校考期末）某地块有2个居民小区，A小区有200户居民，B小区有300户居民，两个小区相距900米。要在两个小区之间设立一个直饮水站，设置在哪里比较合理？（1）设直饮水站距离B小区x米。当x取不同的值时，计算两个小区所有居民到直饮水站的距离之和。填表。x0100500900距离之和/m（2）如果要让两个小区的居民到直饮水站的距离之和相等，直饮水站应距离A小区多少米？（3）你认为直饮水站设置在哪里比较合理？17．（2020秋·上海·五年级校考期末）有四个数，相加的和为125，第一个数加4，第二个数减4，第三个数乘4，第四个数除以4，它们的结果相同，求这四个数．18．（2020春·上海·五年级专题练习）四个连续奇数的和一定是8的倍数吗？为什么？19．（2023春·上海徐汇·五年级校考期末）甲乙两地相距12千米，上午10：45一位乘客乘出租车从甲地出发前往乙地。途中，乘客问司机距乙地还有多远？司机看了计程表后告诉乘客：已走路程的三分之一加上未走路程的2倍，恰好等于已走的路程，又知出租车的速度是30千米/小时，那么现在的时间（

）。请用你喜欢的方式简要说明你的分析和解题过程：

上海市预初开学分班考专项复习02方程综合【知识梳理】你知道吗？方程这个名词，最早见于我国古代算书《九章算术》．《九章算术》是在我国东汉初年编定的一部现有传本的、最古老的中国数学经典著作．书中收集了246个应用问题和其他问题的解法，分为九章，“方程”是其中的一章． 小学阶段所学习的方程是所有方程类型中最基本的，以后到初中阶段还会系统学习多元一次方程组、一元二次方程等更多更难的方程类型。 解方程时，基本的思想就是化简，通过合并、移项等多种方式来将式子变成“x＝？”的形式。1．回顾等式的基本性质：（1）等式两边同时加上或减去同一个数，所得结果仍然是等式；（2）等式两边同时乘或除以同一个不等于0的数，所得结果仍然是等式2．利用等式的性质解下列方程，并写出验算过程（1）；（2）；（3）解：解：解：【考点剖析】例题1：解下列方程(1)3x＋7x＋10＝90

(2)3(x－12)＋23＝35 教法说明：简单的方程，通过基本的去括号、计算、移项等步骤就可以完成。在基本过程中，尤其要注意去括号、移项之后的“＋”、“－”号。参考答案：（1）x＝8；（2）x＝16试一试：解下列方程(1)7x－8＝2x＋27 (2)5x－18＝3－2x（3）24－7x＝4x＋2参考答案：（1）x＝7；（2）x＝3；（3）x＝2例题2：解下列方程(1)7x－4＋3(x－2)＝

2x＋6(2)2(3x－4)＋(4－x)＝4x (3)3(3x－2)－2(2x－1)＝6 教法说明：去括号的时候不仅仅要注意“＋、－”，还要注意去掉括号之后每个东西前面系数的变化。参考答案：（1）x＝2； （2）x＝8；（3）x＝2试一试：解下列方程(1)2(x－2)－(3＋x)＝5 (2)11－5(x－3)＝2－2x (3)2(2x－1)－3(3－2x)＝9参考答案：（1）x＝12； （2）x＝8；（3）x＝2例题3：解下列方程：(1)(2x＋5)÷3＝7 (2)3(x＋1)÷(2x－4)＝

6 (4)(3x＋5)÷2＝(5x－9)÷3

教法说明：以上都是我们已经经常练习的内容了，接着来看些不太常见的问题，思考一下，能不能通过我们已有的知识尝试下这些问题。参考答案：（1）x＝11； （2）x＝3；（3）x＝33试一试：解下列方程(1)80÷x＝20(2)4(2x＋1)÷3x＝3(2)(2x＋5)÷3＝(3x－10)÷2参考答案：（1）x＝4； （2）x＝4；（3）x＝8例题4：列方程计算：(1)什么数的2倍减去3.5与6的积，差是75与25的和。(2)一个数加3.6除以0.25的商，和是20.16，求这个数。参考答案：(1)2x－3.6×6＝75＋25x＝65.5；(2)x＋3.6÷0.25＝20.16x＝15.76；试一试：列方程计算：(1)一个数与8的差的5倍，正好等于这个数的3倍，这个数是多少？(2)一个数的5倍减去1.6的差正好等于这个数，求这个数？参考答案：(1)5(x－8)＝3xx＝20；(2)5x－1.6＝xx＝0.4；【过关检测】一、选择题1．（2019秋·上海宝山·五年级校考期末），a与b的平均数是c，b与c的平均数是d，如果将a、b、c、d四个数按从大到小排列，应该是（

）。A． B．C． D．【答案】C【分析】我们先来看一个例子：10与4的平均数是（10＋4）÷2＝7，10＞7＞4；就是说一个大点数和一个小点的数，那么他们的平均数要大于小点的数，小于大点的数。本题可应用这个性质来解答。【详解】已知：，a与b的平均数是c，利用刚才推得的性质可得：a＞c＞b；又已知：b与c的平均数是d，且c＞b，同理可得：c＞d＞b；综上所述可得：a＞c＞d＞b。故答案为：C。【点睛】利用平均数的知识，能够巧妙化解难度，且巩固了对于平均数知识点的掌握。2．（2020春·上海·五年级期中）同样大的两个长方形，第一个长方形的长减少4米，宽不变；第二个长方形的宽减少4米，长不变。变化后的第()个长方形面积大一些。A．一 B．二 C．两个一样大 D．无法确定【答案】A【分析】根据长方形的面积公式：S＝ab，可以通过假设两个长方形的长都是a米，宽都是b米，分别求出变化后的面积进行比较即可。【详解】假设两个长方形的长都是a米，宽都是b米第一个长方形：（a﹣4）×b＝ab﹣4b（平方米）；第二个长方形：a×（b﹣4）＝ab﹣4a（平方米）因为a＞b所以变化后第一个长方形的面积大一些。故答案为：A【点睛】此题主要考查长方形面积公式的灵活运用，关键是熟记公式。二、填空题3．（2020春·上海·五年级专题练习）有一个三位数：十位上的数字是0，其余两位上的数字之和是12．如果个位数字减2，百位数字加1，所得的新三位数比原三位数的百位数字与个位数字调换所得的三位数小100，则原三位数是____。【答案】507【分析】此题条件较复杂，可以用设未知数的方法解决，设原三位数的百位数字为a，个位数字为b，则有：100（a＋1）＋（b﹣2）＋100＝100b＋a，又a＋b＝12，即可解出。【详解】解：设原三位数的百位数字为a，个位数字为b，则100（a＋1）＋（b﹣2）＋100＝100b＋a，得：b＝a＋2，又a＋b＝12，所以a＝5，b＝7则原来的三位数为507，故答案为507【点睛】此题较为复杂，用设未知数的方法，比较好理解。4．（2019秋·上海浦东新·五年级校考期末）如果，，，那么等于()。【答案】20【分析】将230、260、190相加，得到的和相当于是4个（A+B+C）的和，先求出（A+B+C），再求出B的值。【详解】【点睛】本题考查的是等式的加减，若，，那么，等号的左边相加等于等号的右边相加。5．（2022春·上海·五年级期末）已知x2＝275625，则x＝()。【答案】525【分析】x²表示x×x，将275625分解质因数，将得到的质因数平均分配，相乘，即可得到x的值。【详解】275625＝3×3×5×5×5×5×7×73×5×5×7＝525因为525×525＝275625，x2＝x×x＝275625所以x＝525【点睛】将合数写成几个质数相乘的形式（这些不重复的质数即为质因数），实际运算时可采用逐步分解的方式。6．（2020春·上海·五年级专题练习）一个自然数除以3，得余数2，用所得的商除以4，得余数3，若用这个自然数除以6，得余数______。【答案】5【分析】根据被除数＝商×除数＋余数的关系解答本题。【详解】除以4，得余数3，设这时的商为x。（4x＋3）×3＋2＝12x＋9＋2＝6x×2＋6＋5＝6（2x＋1）＋5所以若用这个自然数除以6，得余数5。故答案为：5【点睛】设合适的未知数是解答本题的关键。三、解方程或比例7．（2018春·上海松江·五年级统考期中）解方程：.【答案】【详解】解：去分母，得去括号，得

化简，得

所以，原方程的解是．8．（2018春·上海松江·五年级统考期中）解方程：.【答案】【详解】解：去括号，得.移项，得.化简，得.两边同除以的系数7，得所以，是原方程的解.四、解答题9．（2020春·上海·五年级期中）小丁和小胖的家在同一个小区，小区离学校1400米。放学时小胖先走了4分钟，小丁从学校出发去追小胖。已知小胖每分钟走50米，小丁每分钟走60米，小丁能在到达小区前追上小胖吗？【答案】能追上【分析】设小丁经过x分钟追上小胖，根据速度×时间＝路程，分别求出两人的路程，再根据两人的路程相等列出方程，解方程算出追上小胖所用的时间，进而求出小丁所走的路程，与1400米比较即可解答。【详解】解：设设小丁经过x分钟追上小胖，根据题意得：（x＋4）×50＝60x10x＝200x＝20小丁所走的路程是：20×60＝1200（米）1200＜1400所以小丁能在到达小区前追上小胖。答：小丁能在到达小区前追上小胖。【点睛】本题主要考查应用方程解决实际问题，解答本题的关键是求出追上小胖时所用的时间。10．（2020春·上海·五年级期中）老师给班级中表现优秀的同学发奖品。每人发3本，正好发完。如果每人发4本，就有2人发不到奖品。问老师要给几个同学发奖品？老师买了多少本本子？【答案】8个；24本【分析】设有x名优秀同学，由“每人发3本”、“每人发4本，就有2人发不到奖品”，分别表示出本子的数量，根据本子个数＝本子个数列出方程，解方程求出优秀学生人数，进而求出本子个数。【详解】解：设有x名优秀同学，根据题意得：3x＝（x－2）×43x＝4x－8x＝83x＝8×3＝24答：老师要给8个同学发奖品，老师买了24本本子。【点睛】本题主要考查列方程解含两个未知数的问题，解题的关键在于由题目中隐含的相等关系列出相应的方程。11．（2019秋·上海宝山·五年级校考期末）一个长方形的长和宽分别增加8厘米，新长方形面积比原长方形面积增加208平方厘米。原来长方形的周长是多少厘米？【答案】36厘米【分析】设原来长方形的长为a厘米，宽为b厘米，根据题意作图如下：增加的面积208平方厘米，可分成3部分，即8a＋8b＋8×8＝208平方厘米；由此可以求出原来长方形的长与宽的和是多少厘米，再利用长方形的周长公式解答。【详解】解：设原来长方形的长为a厘米，宽为b厘米8a＋8b＋8×8＝2088（a＋b）＝208－64a＋b＝144÷8a＋b＝1818×2＝36（厘米）答：原来长方形的周长是36厘米。【点睛】此题解答关键是根据增加的面积求出原来长方形的长与宽的和，再利用长方形的周长公式解答即可。12．（2021秋·上海·五年级期末）甲、乙、丙、丁四个数的和是100，甲数加上4，乙数减去4，丙数乘以4，丁数除以4后，四个数就正好相等。求这四个数。【答案】甲12，乙20，丙4，丁64。【分析】根据题干，设四个数字变化后相等时为x，则甲是x－4，乙是x＋4，丙是x÷4，丁是4x，据此再根据四个数字之和是100，列出方程解决问题。【详解】解：设四个数字变化后相等时为x，则甲是x－4，乙是x＋4，丙是x÷4，丁是4x。x－4＋x＋4＋x÷4＋4x＝1006.25x＝100x＝16则甲：16－4＝12乙：16＋4＝20丙：16÷4＝4丁：16×4＝64答：甲乙丙丁这四个数分别是12、20、4、64。【点睛】解答此题的关键是正确设出未知数，再根据四个数字的和是100列出方程解决问题。13．（2018春·上海松江·五年级统考期中）求不等式的负整数解.【答案】-2

-1【详解】解：去分母，

去括号，得移项，得化简，得所以，原不等式组的解集是，负整数解是-2、-1.14．（2018春·上海松江·五年级统考期中）已知，求关于的不等式的解集.【答案】【详解】解：根据题意，得

所以，关于的不等式的解集是.15．（2018春·上海松江·五年级统考期中）某家电商场计划用9万元从生产厂家购进50台电视机．已知该厂家生产三种不同型号的电视机，出厂价分别为A种每台1500元，B种每台2100元，C种每台2500元．（1）若家电商场同时购进A、B两种不同型号的电视机共50台，用去9万元，求商场购进这两种型号的电视机各多少台？（2）若商场销售一台A种电视机可获利150元，销售一台B种电视机可获利200元，销售一台C种电视机可获利250元．该家电商场用9万元从生产厂家购进两种不同型号的电视机共50台，为了使销售时获利最多，该家电商场应该购买哪两种型号的电视机？分别购进多少台？【答案】（1）A种25台

B种25台

（2）选择购A种电视机35台，C种电视机15台【详解】解：（1）设购A种电视机x台，则购B种电视机购（50-x）台．1500x+2100（50-x）=90000

即5x+7（50-x）=300

2x=50

x=25

50-x=25答：购A、B两种电视机各25台．（2）按购A，B两种，B，C两种，A，C两种电视机这三种方案分别计算：①当选购A，B两种电视机时，设购A种电视机x台，购B种电视机（50-x）台，可得方程1500x+2100（50-x）=90000

即5x+7（50-x）=300

2x=50

x=25

50-x=25②当选购A，C两种电视机时，设购A种电视机x台，购C种电视机（50-x）台，可得方程1500x+2500（50-x）=90000

3x+5（50-x）=180

x=35

50-x=15③当购B，C两种电视机时，设购B种电视机y台，购C种电视机为（50-y）台，可得方程2100y+2500（50-y）=90000

21y+25（50-y）=900，4y=350，不合题意由此可选择两种方案：一是购A，B两种电视机各25台；二是购A种电视机35台，C种电视机15台．若选择方案①购A，B两种电视机各25台，可获利：150×25+200×25=8750（元）若选择方案②A种电视机35台，C种电视机15台，可获利：150×35+250×15=9000（元）9000>8750

故为了获利最多，选择购A种电视机35台，C种电视机15台．16．（2019秋·上海·五年级校考期末）某地块有2个居民小区，A小区有200户居民，B小区有300户居民，两个小区相距900米。要在两个小区之间设立一个直饮水站，设置在哪里比较合理？（1）设直饮水站距离B小区x米。当x取不同的值时，计算两个小区所有居民到直饮水站的距离之和。填表。x0100500900距离之和/m（2）如果要让两个小区的居民到直饮水站的距离之和相等，直饮水站应距离A小区多少米？（3）你认为直饮水站设置在哪里比较合理？【答案】（1）两个小区所有居民到直饮水站的距离之和＝300x＋200×（900﹣x）x0100500900距离之和/m180000190000230000270000（2）直饮水站应距离A小区540米时，两个小区的居民到直饮水站的距离之和相等。（3）直饮水站设置在距离B小区处比较合理，设置在此处两个小区所有居民到直饮水站的距离之和最小，更方便大家的生活。【分析】（1）直饮水站距离B小区x米，那么距离A小区（900﹣x）米。B小区的总人数×距离B小区的距离＋A小区的总人数×距离A小区的距离＝两个小区所有居民到直饮水站的距离之和．据此列出等式。（2）设直饮水站应距离A小区a米时，两个小区的居民到直饮水站的距离之和相等。B小区的总人数×距离B小区的距离＝A小区的总人数×距离A小区的距离，求出直饮水站应距离A小区的距离。（3）最优化方案应从多个角度来考虑：距离交通便利性等。【详解】（1）两个小区所有居民到直饮水站的距离之和＝300x＋200×（900﹣x）x0100500900距离之和/m180000190000230000270000（2）设直饮水站应距离A小区a米时，两个小区的居民到直饮水站的距离之和相等。200a＝300×（900﹣a）200a＝270000﹣300a500a＝270000a＝540答：直饮水站应距离A小区540米时，两个小区的居民到直饮水站的距离之和相等。（3）假设直饮水站设置在距离B小区x米处比较合理，设置在此处两个小区所有居民到直饮水站的距离之和最小，更方便大家的生活。S＝300x＋200×（900﹣x）S＝300x＋180000﹣200xS＝1