人教版七年级数学下册专题18一元一次不等式(组)应用(5大类型)期末复习特训(原卷版+解析)

专题18一元一次不等式（组）应用（5大类型）题型归纳题型归纳题型一：球赛积分问题题型二：分配问题题型三：行程问题题型四：经济问题题型五：方案问题典例分析典例分析【考点1：球赛积分问题】【典例1】（2022秋•洪江市期末）我校举行数学竞赛，一共有25道题，满分100分，每答对一题得4分，答错扣一分，不答记0分．（1）某同学只有一道题未作答，最后满分86分，则该生一共答对多少题？（2）若规定参赛者每题必须作答，得分大于或等于90分，才可以评为一等奖，则参赛者至少答对多少题才能获评一等奖？【变式1-1】（2023春•定远县校级月考）某大学举办“学习强国”知识竞赛，规定答对一题得20分，答错一题扣10分，在8道必答题中，得分不低于100分即可进入下一轮，冉冉进入了下一轮，则冉冉答错题数最多为．【变式1-2】（2022春•唐河县期中）为了庆祝中国共产党的生日，增进广大师生对中国共产党发展历程的了解，加强同学们爱国爱党的意识，某校开展了题为“学党史，庆党生，铭党恩，跟党走”的知识竞赛，本次知识竞赛共25题，答对一题得10分，答错一题或不答题扣5分，设小凌同学在这次竞赛中答对了x道题．（1）根据所给的条件，补全表格：答题情况题数（题）每题得分（分）得分（分）答对x1010x答错或不答（2）若小凌同学的竞赛成绩不低于150分，则小凌至少要答对几道题？【变式1-3】（2022秋•雨花区期中）为了庆祝中共二十大胜利召开，雅礼某初中举行了以“二十大知多少”为主题的知识竞赛，一共有25道题，满分100分，每一题答对得4分，答错扣1分，不答得0分．（1）若某参赛同学有2道题没有作答，最后他的总得分为82分，则该参赛同学一共答对了多少道题？（2）若规定参赛者每道题都必须作答且总得分大于或等于92分才可以被评为“二十大知识小达人”，则参赛者至少需答对多少道题才能被评为“二十大知识小达人”？【考点2：分配问题】【典例2】为了治理环境，九年级部分同学去植树，若每人平均植树7棵，还剩9棵；若每人平均植树9棵．则有1名同学植树的棵树小于8棵．若设同学人数为x人，下列各项能准确的求出同学人数与种植的树木的数量的是（）A．7x+9﹣9（x﹣1）＞0 B．7x+9﹣9（x﹣1）＜8 C． D．【变式2-1】我市某学校有住宿生若干名，分住若干间宿舍，若每间住4人，则还有19人无宿舍住；若每间住7人，则有一间宿舍不空但所住的人数不足5人．若设宿舍间数为x，根据题意x应满足的不等式（组）为（）A．4x+19﹣7（x﹣1）＞0 B．4x+19﹣7（x﹣1）＜5 C． D．【变式2-2】（2021春•高明区校级期末）现在有住宿生若干名，分住若干间宿舍，若每间住4人，则还有19人无宿舍住；若每间住6人，则有一间宿舍不空也不满．若设宿舍间数为x，则可以列得不等式组为．【变式2-3】（2021春•西区期中）将一箱苹果分给若干个小朋友，若每位小朋友分5个苹果，则还剩12个苹果；若每位小朋友分8个苹果，则有一个小朋友能分到不足5个苹果．这一箱苹果的个数是，小朋友的人数是．【考点3：行程问题】【典例3】（2022秋•翔安区期末）举世瞩目的港珠澳大桥东接香港，西接珠海、澳门，世界上最长的跨海大桥，被誉为“新世界七大奇迹”之一．如图，香港口岸B至珠海口岸A约42千米，某一时刻，一辆穿梭巴士从香港口岸发车，沿港珠澳大桥开往珠海口岸，6分钟后，一辆私家车也从香港口岸出发沿港珠澳大桥开往珠海口岸，在私家车出发的同时，一辆大客车从珠海口岸出发开往香港口岸．已知穿梭巴士的平均速度为60千米/时，大客车的平均速度为66千米/时．（1）穿梭巴士出发多长时间与大客车相遇？（2）已知全程的限速（不超过）是100千米时，私家车速度是什么范围时才能在到达珠海口岸前追上穿校巴士？【变式3-1】（2020春•嘉祥县期末）某人要完成2.1千米的路程，并要在18分钟内到达，已知他每分钟走90米．若跑步每分钟可跑210米，问这人完成这段路程，至少要跑（）A．3分钟 B．4分钟 C．4.5分钟 D．5分钟【变式3-2】（2021春•市南区校级期中）甲、乙两地相距45km，小李要从甲地到乙地办事，若他以7km/h的速度可按时到达，现在小李走了4h后因有事停留了0.5h，为了不迟到，小李后来的速度至少是多少？【考点4：经济问题】【典例4】（2022秋•碑林区校级期末）新年到来之际，百货商场进行促销活动，某种商品进价1000元，出售时标价为1400元，本次打折销售要保证利润不低于5%，则最多可打（）A．六折 B．七折 C．七五折 D．八折【变式4-1】（2022•牡丹江一模）某种商品每件的进价为120元，商场按进价提高50%标价，为增加销量，准备打折销售，但要保证利润率不低于5%，则至多可以打_______折（）A．7 B．7.5 C．8 D．8.5【变式4-2】（2022春•上蔡县期中）某种商品进价为20元，标价为30元出售，商场规定可以打折销售，但其利润率不能少于5%这种商品最多可以按几折销售？设这种商品打x折销售，则下列符合题意的不等式是（）A．30x﹣20≥20×5% B．30x﹣20≤20×5% C．30×﹣20≥20×5% D．30×﹣20≤20×5%【典例5】（2023•大连模拟）学校为了奖励在“诗词大赛”中获奖同学，准备购买甲、乙两种奖品，已知购买1件甲奖品、4件乙奖品，共需240元；购买2件甲奖品、1件乙奖品，共需165元．（1）求每件甲奖品和每件乙奖品各多少元？（2）如果学校准备购买甲、乙两种奖品共40件，总费用不超过2140元，那么至少购买多少件乙奖品？【变式5-1】（2023•高新区模拟）某文具店经销甲、乙两种笔记本，每次购买同一种笔记本的单价相同，购进笔记本的具体信息如表：进货批次甲种笔记本数量（单位：本）乙种笔记本数量（单位：本）购买总费用（单位：元）第一次1520640第二次3025980（1）求甲、乙两种笔记本的购买单价；（2）若第三次计划用不超过920元购买甲、乙两种笔记本共50本，求至少购买甲种笔记本多少本？【变式5-2】（2023•蜀山区校级模拟）某超市现有甲、乙两种商品，已知一个甲商品比一个乙商品贵20元，购买甲、乙两种型号各10个共需1760元．（1）求甲、乙两种商品的单价各是多少元？（2）为吸引顾客，该超市准备对甲商品进行打折促销活动．已知甲商品的进价为49元/个，为保证打折后利润率不低于20%，至多可打几折．【考点5：方案问题】【典例6】（2023•覃塘区一模）某高科技公司根据市场需求，计划生产A、B两种型号的医疗器械，其部分信息如下：信息一：A、B两种型号的医疗器械共生产80台；信息二：生产这两种医疗器械的资金超过1800万元，但不足1810万元；信息三：A、B两种医疗器械的生产成本和售价如下表：型号AB成本（万元/台）2025售价（万元/台）2430根据上述信息，解答下列问题：（1）这两种型号的医疗器械各生产多少台？（2）在实际销售时，每台A型医疗器械的售价提高了m%，每台B型医疗器械的售价不变，全部销售这两种医疗器械共获得利润595万元，求m的值．（利润＝售价﹣成本）【变式6-1】（2023春•渝中区校级月考）某手机经销商计划同时购进一批甲、乙两种型号的手机，若购进2部甲型号手机和1部乙型号手机，共需要资金5000元；若购进3部甲型号手机和2部乙型号手机，共需要资金8000元．（1）求甲、乙型号手机每部进价为多少元？（2）该店计划购进甲、乙两种型号的手机销售，预计用不多于2.6万元且不少于2.4万元的资金购进这两部手机共20台，请问有几种进货方案？请写出进货方案．【变式6-2】（2023春•开福区校级月考）为了响应习主席提出的“足球进校园”的号召，某中学开设了“足球大课间活动”，该中学购买A种品牌的足球30个，B种品牌的足球20个，共花费3100元，已知B种品牌足球的单价比A种品牌足球的单价高30元．（1）求A、B两种品牌足球的单价各多少元？（2）根据需要，学校决定再次购进A、B两种品牌的足球50个，正逢体育用品商店“优惠促销”活动，A种品牌的足球单价优惠4元，B种品牌的足球单价打8折．如果此次学校购买A、B两种品牌足球的总费用不超过2750元，且购买B种品牌的足球不少于24个，则有几种购买方案？为了节约资金，学校应选择哪种方案？夯实基础夯实基础1．（2022春•罗源县期末）小明和小亮共下了10盘围棋（没有平局），小明胜一盘记1分，小亮胜一盘记3分．当下完第9盘后，小明得分高于小亮；下完第10盘后，小亮得分高过小明，小亮最终胜（）A．1盘 B．2盘 C．3盘 D．4盘2．（2022春•滦南县期末）小明网购了一本《好玩的数学》，同学们想知道书的价格，小明让他们猜．甲说：“至少25元”乙说：“至多22元，”丙说：“至多20元，”小明说：“你们三个人都说错了”．则这本书的价格x（元）所在的范围为（）A．20＜x＜22 B．22＜x＜25 C．20＜x＜25 D．21＜x＜243．（2022春•滕州市期中）张老师把一些书分给几名同学，如果每人分3本，那么余6本；如果前面的每名同学分5本，那么最后一人就分不到3本，那么书本数和人数各为（）A．27本，7人 B．21本，5人 C．24本，6人 D．18本，4人4.（2021春•沈阳期末）某人要完成2.1千米的路程，并要在18分钟内到达，已知他每分钟走90米．若跑步每分钟可跑210米，问这人完成这段路程，至少要跑多少分钟？设要跑x分钟，则列出的不等式为（）A．210x+90（18﹣x）≥2100 B．90x+210（18﹣x）≤2100 C．210x+90（18﹣x）≥2.1 D．210x+90（18﹣x）＞2.15.（2022春•番禺区期末）把一部分书分给几名同学，如果每人分3本，则余8本；如果前面的每名同学分5本，那么最后一人就分不到3本（包含分不到书的情况），这些书有多少本？共有多少人？6.（2021春•高明区校级期末）现在有住宿生若干名，分住若干间宿舍，若每间住4人，则还有19人无宿舍住；若每间住6人，则有一间宿舍不空也不满．若设宿舍间数为x，则可以列得不等式组为．7.（2022春•嘉定区校级期中）某校学生志愿服务小组在“学雷锋”活动中购买了一批牛奶到敬老院慰问老人．如果分给每位老人4盒牛奶，那么剩下28盒牛奶；如果分给每位老人5盒牛奶，那么最后一位老人分得的牛奶不足4盒，但至少1盒．问该敬老院的老人至少有多少人？8.（2023•林州市模拟）某初级中学为了提高教职工的身体素质，举办了“坚持锻炼，活力无限”的健身活动，并准备购买一些体育器材为活动做准备．已知购买2副乒乓球拍和4副羽毛球拍共需要350元，购买6副乒乓球拍和3副羽毛球拍共需要420元．（1）购买一副乒乓球拍和一副羽毛球拍各需多少元？（2）已知该中学需要购买两种球拍共80副，羽毛球拍的数量不超过40副．现商店推出两种购买方案，方案A：购买一副羽毛球拍赠送一副乒乓球拍；方案B：按总价的八折付款．试说明选择哪种购买方案更实惠．9.（2023春•新城区校级月考）学校准备购进一批甲、乙两种办公桌若干张．若学校购进20张甲种办公桌和15张乙种办公桌共花费17000元，购买10张甲种办公桌比购买5张乙种办公桌多花费1000元．（1）求甲、乙两种办公桌每张各多少元；（2）若学校购买甲、乙两种办公桌共40张，甲种办公桌数量不多于乙种办公桌数量的3倍，且总费用不超过18400元，那么有几种购买方案？10.（2022秋•长沙期中）我市在创建全国文明城市过程中，决定购买A，B两种树苗对某路段道路进行绿化改造，已知购买A种树苗8棵，B种树苗2棵，需要900元；购买A种树苗5棵，B种树苗4棵，需要700元．（1）求购买A，B两种树苗每棵各需多少元？（2）考虑到绿化效果和资金周转，购进A种树苗不能少于32棵，且用于购买这两种树苗的资金不能超过5750元，若购进这两种树苗共80棵，则有哪几种购买方案？11．（2022秋•益阳期末）如图，长青农产品加工厂与A，B两地有公路、铁路相连，这家工厂从A地购买一批原料甲运回工厂，经过加工后制成产品乙运B地，其中原料甲和产品乙的重量都是正整数．铁路运价为2元/（吨•千米），公路运价为8元/（吨•千米）．（1）若由A到B的两次运输中，原料甲比产品乙多9吨，工厂计划支出铁路运费超过5700元，公路运费不超过9680元，问购买原料甲有哪几种方案，分别是多少吨？（2）由于国家出台惠农政策，对运输农产品的车辆免收高速通行费，并给予一定的财政补贴，综合惠农政策后公路运输价格下降m（0＜m＜4且m为整数）元，若由A到B的两次运输中，铁路运费为5760元，公路运费为5100元，求m的值．12．（2023•福田区模拟）某企业计划购买A、B两种型号的机器人来搬运货物，已知每台A型机器人比每台B型机器人每天少搬运10吨，且A型机器人每天搬运540吨货物与B型机器人每天搬运600吨货物所需台数相同．（1）求每台A型机器人和每台B型机器人每天分别搬运货物多少吨？（2）每台A型机器人售价1.2万元，每台B型机器人售价2万元，该公司计划采购A、B两种型号的机器人共30台，必须满足每天搬运的货物不低于2830吨，购买金额不超过48万元．请你求出最节省的采购方案，购买总金额最低是多少万元？13．（2023春•沙坪坝区校级月考）为迎接校园科技节的到来，学校科技社团欲购买甲、乙两种模型进行组装，已知3套甲模型的总价与2套乙模型的总价相等，若购买1套甲模型和2套乙模型共需80元．（1）求甲、乙两种模型的单价各是多少元？（2）现计划用19320元资金，在不超过预算的情况下，购买这两种模型共800套，且乙种模型的数量不少于甲种模型数量的，求两种模型共有多少种选购方案？乙种模型选购多少套时总费用最少？14．（2023•游仙区模拟）2022年3月1日，新冠疫情卷土重来，疫情发生后，市政府高度重视，并第一时间启动应急预案，迅速做好疫情防控工作，由于疫情原因，市急需大量物资．某省红十字会采购甲、乙两种抗疫物资共540吨，甲物资单价为3万元/吨，乙物资单价为2万元/吨，采购两种物资共花费1380万元．（1）甲、乙两种物资各采购了多少吨？（2）现在计划安排A，B两种不同规格的卡车共50辆来运输这批物资，A种卡车每辆需付运输费1500元，B种卡车每辆需付运输费1300元．甲物资7吨和乙物资3吨可装满一辆A型卡车；甲物资5吨和乙物资7吨可装满一辆B型卡车．按此要求安排A，B两型卡车的数量，请问有几种运输方案？哪种运输方案的运输费最少，并求此时的运输费．15．（2023•郸城县一模）党的二十大报告，深刻阐述了推动绿色发展，促进人与自然和谐共生的理念，尊重自然、顺应自然、保护自然，是全面建设社会主义现代化国家的内在要求．为响应党的号召，某市政府欲购进一批风景树绿化荒山，已知购进A种风景树4万棵，B种风景树3万棵，共需要380万元；购进A种风景树8万棵，B种风景树5万棵，共需要700万元．（1）问A，B两种风景树每棵的进价分别是多少元？（2）该市政府计划用不超过5460万元购进A，B两种风景树共100万棵，其中要求A风景树的数量不多于58万棵，则共有几种购买方案？16．（2022秋•长沙期末）北京时间12月18日晚23点，2022年卡塔尔世界杯决赛，阿根廷对战法国．阿根廷最终战胜法国，时隔36年再次夺得世界杯冠军，这也是阿根廷队历史第3次在世界杯夺冠．梅西赛后接受采访时说道，“我们受到了很多挫折，但我们做到了”．世界杯结束后，学生对于足球的热情高涨．为满足学生课间运动的需求，学校计划购买一批足球，已知购买3个A品牌足球和2个B品牌足球共需480元；购买5个A品牌足球和2个B品牌足球共需640元．（1）求A，B两种品牌足球的单价；（2）若该校计划从某商城网购A，B两种品牌的足球共20个，其中购买A品牌的足球不少于3个且不多于B品牌的足球个数，求该校购买这些足球共有几种方案？17．（2023春•重庆期中）为打造“书香校园”，学校每个班级都建立了图书角．七年1班，除了班上每位同学捐出一本书外，三位班委还相约图书城，用班费买些新书．下面是他们的对话内容：班委A：“我上次在这边买了一套很好看的书，可惜有点贵，160元，据我了解这套书进价只有100元．”班委B：“你可以花20元办一张会员卡，买书可打八折．”班委C：“嗯，是的．不过我听说还有一种优惠方式，花100元办张贵宾卡，买书打六折．”（1）班委A上次买的一套书，图书城的利润是元，利润率是．如果当时他买一张会员卡，可省下元．（2）当购书的总价（指未打折前的原价）为多少时，办贵宾卡与办会员卡购书一样优惠？（3）三个班委精心挑选了一批新书，经过计算分析后，发现三种购买方式中，办会员卡购书最省钱，请你直接写出这批书的总价的范围．专题18一元一次不等式（组）应用（5大类型）题型归纳题型归纳题型一：球赛积分问题题型二：分配问题题型三：行程问题题型四：经济问题题型五：方案问题典例分析典例分析【考点1：球赛积分问题】【典例1】（2022秋•洪江市期末）我校举行数学竞赛，一共有25道题，满分100分，每答对一题得4分，答错扣一分，不答记0分．（1）某同学只有一道题未作答，最后满分86分，则该生一共答对多少题？（2）若规定参赛者每题必须作答，得分大于或等于90分，才可以评为一等奖，则参赛者至少答对多少题才能获评一等奖？【答案】（1）该生一共答对了22道题；（2）参赛者至少需答对23道题才能获评一等奖．【解答】解：（1）设该生一共答对了x道题，则答错了25﹣x﹣1＝（24﹣x）道题，由题意可得：4x﹣（24﹣x）×1＝86，解得x＝22，答：该生一共答对了22道题；（2）设参赛者需答对a道题才能获评一等奖，由题意可得：4a﹣（25﹣a）≥90，解得a≥23，答：参赛者至少需答对23道题才能获评一等奖．【变式1-1】（2023春•定远县校级月考）某大学举办“学习强国”知识竞赛，规定答对一题得20分，答错一题扣10分，在8道必答题中，得分不低于100分即可进入下一轮，冉冉进入了下一轮，则冉冉答错题数最多为2道．【答案】2道．【解答】解：设冉冉答错了x道题，则答对了（8﹣x）道题，根据题意得：20（8﹣x）﹣10x≥100，解得：x≤2，∴x的最大值为2，∴冉冉答错题数最多为2道．故答案为：2道．【变式1-2】（2022春•唐河县期中）为了庆祝中国共产党的生日，增进广大师生对中国共产党发展历程的了解，加强同学们爱国爱党的意识，某校开展了题为“学党史，庆党生，铭党恩，跟党走”的知识竞赛，本次知识竞赛共25题，答对一题得10分，答错一题或不答题扣5分，设小凌同学在这次竞赛中答对了x道题．（1）根据所给的条件，补全表格：答题情况题数（题）每题得分（分）得分（分）答对x1010x答错或不答（25﹣x）﹣5﹣5（25﹣x）（2）若小凌同学的竞赛成绩不低于150分，则小凌至少要答对几道题？【答案】（1）10x，（25﹣x），﹣5，﹣5（25﹣x）；（2）小凌至少要答对19道题．【解答】解：（1）∵本次知识竞赛共25题，且小凌同学在这次竞赛中答对了x道题，∴答错或不答（25﹣x）道题；又∵答对一题得10分，答错一题或不答题扣5分，∴答对题目的得分为10x分，答错或不答题目的得分为﹣5（25﹣x）分．故答案为：10x，（25﹣x），﹣5，﹣5（25﹣x）；（2）根据题意得：10x﹣5（25﹣x）≥150，解得：x≥，又∵x为整数，∴x的最小值为19．答：小凌至少要答对19道题．【变式1-3】（2022秋•雨花区期中）为了庆祝中共二十大胜利召开，雅礼某初中举行了以“二十大知多少”为主题的知识竞赛，一共有25道题，满分100分，每一题答对得4分，答错扣1分，不答得0分．（1）若某参赛同学有2道题没有作答，最后他的总得分为82分，则该参赛同学一共答对了多少道题？（2）若规定参赛者每道题都必须作答且总得分大于或等于92分才可以被评为“二十大知识小达人”，则参赛者至少需答对多少道题才能被评为“二十大知识小达人”？【答案】（1）21道；（2）24道．【解答】解：（1）设该参赛同学一共答对了x道题，则答错了（25﹣2﹣x）道题，依题意得：4x﹣（25﹣2﹣x）＝82，解得：x＝21．答：该参赛同学一共答对了21道题．（2）设参赛者需答对y道题才能被评为“二十大知识小达人”，则答错了（25﹣y）道题，依题意得：4y﹣（25﹣y）≥92，解得：y≥，又∵y为正整数，∴y的最小值为24．答：参赛者至少需答对24道题才能被评为“二十大知识小达人”．【考点2：分配问题】【典例2】为了治理环境，九年级部分同学去植树，若每人平均植树7棵，还剩9棵；若每人平均植树9棵．则有1名同学植树的棵树小于8棵．若设同学人数为x人，下列各项能准确的求出同学人数与种植的树木的数量的是（）A．7x+9﹣9（x﹣1）＞0 B．7x+9﹣9（x﹣1）＜8 C． D．【答案】C【解答】解：设同学人数为x人，则种植的树木的数量为（7x+9）棵，由题意得：，故选：C．【变式2-1】我市某学校有住宿生若干名，分住若干间宿舍，若每间住4人，则还有19人无宿舍住；若每间住7人，则有一间宿舍不空但所住的人数不足5人．若设宿舍间数为x，根据题意x应满足的不等式（组）为（）A．4x+19﹣7（x﹣1）＞0 B．4x+19﹣7（x﹣1）＜5 C． D．【答案】C【解答】解：∵若每间住4人，则还有19人无宿舍住，∴学生总人数为（4x+19）人，由题意得：，故选：C．【变式2-2】（2021春•高明区校级期末）现在有住宿生若干名，分住若干间宿舍，若每间住4人，则还有19人无宿舍住；若每间住6人，则有一间宿舍不空也不满．若设宿舍间数为x，则可以列得不等式组为．【答案】【解答】解：∵若每间住4人，则还有19人无宿舍住，∴学生总人数为（4x+19）人，∵一间宿舍不空也不满，∴学生总人数﹣（x﹣1）间宿舍的人数在1和5之间，∴列的不等式组为：，故答案为：．【变式2-3】（2021春•西区期中）将一箱苹果分给若干个小朋友，若每位小朋友分5个苹果，则还剩12个苹果；若每位小朋友分8个苹果，则有一个小朋友能分到不足5个苹果．这一箱苹果的个数是，小朋友的人数是．【答案】42,6【解答】解：设有x位小朋友，则苹果为（5x+12）个，依题意得：0＜5x+12﹣8（x﹣1）＜5，可化为：，解得：5＜x＜，∵x是正整数，∴x＝6，当x＝6时，5x+12＝42；∴这一箱苹果有42个，小朋友有6位，故答案为：42，6．【考点3：行程问题】【典例3】（2022秋•翔安区期末）举世瞩目的港珠澳大桥东接香港，西接珠海、澳门，世界上最长的跨海大桥，被誉为“新世界七大奇迹”之一．如图，香港口岸B至珠海口岸A约42千米，某一时刻，一辆穿梭巴士从香港口岸发车，沿港珠澳大桥开往珠海口岸，6分钟后，一辆私家车也从香港口岸出发沿港珠澳大桥开往珠海口岸，在私家车出发的同时，一辆大客车从珠海口岸出发开往香港口岸．已知穿梭巴士的平均速度为60千米/时，大客车的平均速度为66千米/时．（1）穿梭巴士出发多长时间与大客车相遇？（2）已知全程的限速（不超过）是100千米时，私家车速度是什么范围时才能在到达珠海口岸前追上穿校巴士？【答案】（1）穿梭巴士出发经小时与大客车相遇；（2）私家车速度在大于70千米不超过100千米时才能在到达珠海口岸前追上穿梭巴士；【解答】解：（1）设穿梭巴士出发经x小时与大客车相遇，由题意，得：60x+66（x﹣）＝42，解得：x＝，答：穿梭巴士出发经小时与大客车相遇；（2）设私家车的速度为y千米/时，由题意，得（）y＞42，解得：y＞70，由全程的限速（不超过）是100千米时，故70＜y≤100，所以私家车速度在大于70千米不超过100千米时才能在到达珠海口岸前追上穿梭巴士．【变式3-1】（2020春•嘉祥县期末）某人要完成2.1千米的路程，并要在18分钟内到达，已知他每分钟走90米．若跑步每分钟可跑210米，问这人完成这段路程，至少要跑（）A．3分钟 B．4分钟 C．4.5分钟 D．5分钟【答案】B【解答】解：设这人跑了x分钟，则走了（18﹣x）分钟，根据题意得：210x+90（18﹣x）≥2100，解得：x≥4，答：这人完成这段路程，至少要跑4分钟．故选：B．【变式3-2】（2021春•市南区校级期中）甲、乙两地相距45km，小李要从甲地到乙地办事，若他以7km/h的速度可按时到达，现在小李走了4h后因有事停留了0.5h，为了不迟到，小李后来的速度至少是多少？【解答】解：设小李后来的速度为xkm/h，由题意得：4×7+（﹣4﹣0.5）x≥45，解得：x≥8，答：为了不迟到，小李后来的速度至少是8km/h【考点4：经济问题】【典例4】（2022秋•碑林区校级期末）新年到来之际，百货商场进行促销活动，某种商品进价1000元，出售时标价为1400元，本次打折销售要保证利润不低于5%，则最多可打（）A．六折 B．七折 C．七五折 D．八折【答案】C【解答】解：设该商品打x折销售，依题意得：1400×﹣1000≥1000×5%，解得：x≥7.5，∴该商品最多可打七五折．故选：C．【变式4-1】（2022•牡丹江一模）某种商品每件的进价为120元，商场按进价提高50%标价，为增加销量，准备打折销售，但要保证利润率不低于5%，则至多可以打_______折（）A．7 B．7.5 C．8 D．8.5【答案】A【解答】解：设打x折，由题意可得：120（1+50%）×﹣120≥120×5%，解得x≥7，即至多打7折，故选：A．【变式4-2】（2022春•上蔡县期中）某种商品进价为20元，标价为30元出售，商场规定可以打折销售，但其利润率不能少于5%这种商品最多可以按几折销售？设这种商品打x折销售，则下列符合题意的不等式是（）A．30x﹣20≥20×5% B．30x﹣20≤20×5% C．30×﹣20≥20×5% D．30×﹣20≤20×5%【答案】C【解答】解：设这种商品可以按x折销售，则售价为30×，那么利润为：30×﹣20，根据题意可得：30×﹣20≥20×5%，故选：C．【典例5】（2023•大连模拟）学校为了奖励在“诗词大赛”中获奖同学，准备购买甲、乙两种奖品，已知购买1件甲奖品、4件乙奖品，共需240元；购买2件甲奖品、1件乙奖品，共需165元．（1）求每件甲奖品和每件乙奖品各多少元？（2）如果学校准备购买甲、乙两种奖品共40件，总费用不超过2140元，那么至少购买多少件乙奖品？【答案】（1）每件甲奖品的价格是60元，每件乙奖品的价格是45元；（2）至少购买18件乙奖品．【解答】解：（1）设每件甲奖品的价格是x元，每件乙奖品的价格是y元，根据题意得：，解得：．答：每件甲奖品的价格是60元，每件乙奖品的价格是45元；（2）设购买m件乙奖品，则购买（40﹣m）件甲奖品，根据题意得：60（40﹣m）+45m≤2140，解得：m≥，又∵m为正整数，∴m的最小值为18．答：至少购买18件乙奖品．【变式5-1】（2023•高新区模拟）某文具店经销甲、乙两种笔记本，每次购买同一种笔记本的单价相同，购进笔记本的具体信息如表：进货批次甲种笔记本数量（单位：本）乙种笔记本数量（单位：本）购买总费用（单位：元）第一次1520640第二次3025980（1）求甲、乙两种笔记本的购买单价；（2）若第三次计划用不超过920元购买甲、乙两种笔记本共50本，求至少购买甲种笔记本多少本？【答案】（1）甲种笔记本的购买单价为16元/本，乙种笔记本的购买单价为20元/本；（2）至少购买甲种笔记本20本．【解答】解：（1）设甲种笔记本的购买单价为x元/本，乙种笔记本的购买单价为y元/本，根据题意得：，解得：．答：甲种笔记本的购买单价为16元/本，乙种笔记本的购买单价为20元/本；（2）设购买甲种笔记本m本，则购买乙种笔记本（50﹣m）本，根据题意得：16m+20（50﹣m）≤920，解得：m≥20，∴m的最小值为20．答：至少购买甲种笔记本20本．【变式5-2】（2023•蜀山区校级模拟）某超市现有甲、乙两种商品，已知一个甲商品比一个乙商品贵20元，购买甲、乙两种型号各10个共需1760元．（1）求甲、乙两种商品的单价各是多少元？（2）为吸引顾客，该超市准备对甲商品进行打折促销活动．已知甲商品的进价为49元/个，为保证打折后利润率不低于20%，至多可打几折．【答案】（1）甲种商品的单价是98元，乙种商品的单价是78元；（2）至多可打6折．【解答】解：（1）设乙种商品的单价是x元，则甲种商品的单价是（x+20）元，由题意得：10（x+20）+10x＝1760，解得：x＝78，∴x+20＝78+20＝98，答：甲种商品的单价是98元，乙种商品的单价是78元；（2）设甲商品可打a折，由题意得：98×0.1a﹣49≥49×20%，解得：a≥6，答：至多可打6折【考点5：方案问题】【典例6】（2023•覃塘区一模）某高科技公司根据市场需求，计划生产A、B两种型号的医疗器械，其部分信息如下：信息一：A、B两种型号的医疗器械共生产80台；信息二：生产这两种医疗器械的资金超过1800万元，但不足1810万元；信息三：A、B两种医疗器械的生产成本和售价如下表：型号AB成本（万元/台）2025售价（万元/台）2430根据上述信息，解答下列问题：（1）这两种型号的医疗器械各生产多少台？（2）在实际销售时，每台A型医疗器械的售价提高了m%，每台B型医疗器械的售价不变，全部销售这两种医疗器械共获得利润595万元，求m的值．（利润＝售价﹣成本）【答案】（1）生产A种型号的医疗器械39台，则生产B种型号的医疗器械41台；（2）m＝25．【解答】解：设生产A种型号的医疗器械x台，则生产B种型号的医疗器械（80﹣x）台．由题意得，，解得，38＜x＜40，∵x为整数，∴x＝39，则80﹣39＝41．答：生产A种型号的医疗器械39台，则生产B种型号的医疗器械41台；（2）由题意得，39[24（1+m%）﹣20]+41（30﹣25）＝595，解得m＝25．【变式6-1】（2023春•渝中区校级月考）某手机经销商计划同时购进一批甲、乙两种型号的手机，若购进2部甲型号手机和1部乙型号手机，共需要资金5000元；若购进3部甲型号手机和2部乙型号手机，共需要资金8000元．（1）求甲、乙型号手机每部进价为多少元？（2）该店计划购进甲、乙两种型号的手机销售，预计用不多于2.6万元且不少于2.4万元的资金购进这两部手机共20台，请问有几种进货方案？请写出进货方案．【答案】（1）甲型号手机每部进价为2000元，乙型号手机每部进价为1000元（2）共有三种方案，方案一：购进甲手机4部、乙手机16部；方案二：购进甲手机5部、乙手机15部；方案三：购进甲手机6部、乙手机14部【解答】解：（1）设甲种型号手机每部进价为x元，乙种型号手机每部进价为y元，根据题意得：，解得：，∴甲型号手机每部进价为2000元，乙型号手机每部进价为1000元；（2）设购进甲种型号手机a部，则购进乙种型号手机（20﹣a）部，根据题意得：24000≤2000a+1000（20﹣a）≤26000，解得：4≤a≤6，∵a为整数，∴共有三种方案，方案一：购进甲手机4部、乙手机16部；方案二：购进甲手机5部、乙手机15部；方案三：购进甲手机6部、乙手机14部．【变式6-2】（2023春•开福区校级月考）为了响应习主席提出的“足球进校园”的号召，某中学开设了“足球大课间活动”，该中学购买A种品牌的足球30个，B种品牌的足球20个，共花费3100元，已知B种品牌足球的单价比A种品牌足球的单价高30元．（1）求A、B两种品牌足球的单价各多少元？（2）根据需要，学校决定再次购进A、B两种品牌的足球50个，正逢体育用品商店“优惠促销”活动，A种品牌的足球单价优惠4元，B种品牌的足球单价打8折．如果此次学校购买A、B两种品牌足球的总费用不超过2750元，且购买B种品牌的足球不少于24个，则有几种购买方案？为了节约资金，学校应选择哪种方案？【答案】（1）A种品牌足球的单价是50元，B种品牌足球的单价是80元；（2）共有2种购买方案，为了节约资金，学校应选择购买26个A种品牌的足球，24个B种品牌的足球．【解答】解：（1）设A种品牌足球的单价是x元，B种品牌足球的单价是y元，根据题意得：，解得：．答：A种品牌足球的单价是50元，B种品牌足球的单价是80元；（2）设购买m个B种品牌的足球，则购买（50﹣m）个A种品牌的足球，根据题意得：，解得：24≤m≤25，又∵m为正整数，∴m可以为24，25，∴共有2种购买方案，方案1：购买26个A种品牌的足球，24个B种品牌的足球，总费用为（50﹣4）×26+80×0.8×24＝2732（元）；方案2：购买25个A种品牌的足球，25个B种品牌的足球，总费用为（50﹣4）×25+80×0.8×25＝2750（元）．∵2732＜2750，∴为了节约资金，学校应选择购买方案1，即购买26个A种品牌的足球，24个B种品牌的足球．夯实基础夯实基础1．（2022春•罗源县期末）小明和小亮共下了10盘围棋（没有平局），小明胜一盘记1分，小亮胜一盘记3分．当下完第9盘后，小明得分高于小亮；下完第10盘后，小亮得分高过小明，小亮最终胜（）A．1盘 B．2盘 C．3盘 D．4盘【答案】C【解答】解：设下完10盘棋后小亮胜了x盘．根据题意得：，解得：，∴所列不等式组的整数解为x＝3．故选：C．2．（2022春•滦南县期末）小明网购了一本《好玩的数学》，同学们想知道书的价格，小明让他们猜．甲说：“至少25元”乙说：“至多22元，”丙说：“至多20元，”小明说：“你们三个人都说错了”．则这本书的价格x（元）所在的范围为（）A．20＜x＜22 B．22＜x＜25 C．20＜x＜25 D．21＜x＜24【答案】B【解答】解：依题意得：，∴22＜x＜25．故选：B．3．（2022春•滕州市期中）张老师把一些书分给几名同学，如果每人分3本，那么余6本；如果前面的每名同学分5本，那么最后一人就分不到3本，那么书本数和人数各为（）A．27本，7人 B．21本，5人 C．24本，6人 D．18本，4人【答案】B【解答】解：设共有x名同学分书，则共有（3x+6）本书，依题意得：，解得：4＜x≤．又∵x为正整数，∴x＝5，∴3x+6＝3×5+6＝21．∴共有21本书，5人．故选：B．4.（2021春•沈阳期末）某人要完成2.1千米的路程，并要在18分钟内到达，已知他每分钟走90米．若跑步每分钟可跑210米，问这人完成这段路程，至少要跑多少分钟？设要跑x分钟，则列出的不等式为（）A．210x+90（18﹣x）≥2100 B．90x+210（18﹣x）≤2100 C．210x+90（18﹣x）≥2.1 D．210x+90（18﹣x）＞2.1【答案】A【解答】解：由题意得：210x+90（18﹣x）≥2100，故选：A．5.（2022春•番禺区期末）把一部分书分给几名同学，如果每人分3本，则余8本；如果前面的每名同学分5本，那么最后一人就分不到3本（包含分不到书的情况），这些书有多少本？共有多少人？【答案】这些书有26本，共有6人．【解答】解：设共有x人，则这些书有（3x+8）本，依题意得：，解得：5＜x≤．又∵x为正整数，∴x＝6，∴3x+8＝3×6+8＝26．答：这些书有26本，共有6人．6.（2021春•高明区校级期末）现在有住宿生若干名，分住若干间宿舍，若每间住4人，则还有19人无宿舍住；若每间住6人，则有一间宿舍不空也不满．若设宿舍间数为x，则可以列得不等式组为．【答案】【解答】解：∵若每间住4人，则还有19人无宿舍住，∴学生总人数为（4x+19）人，∵一间宿舍不空也不满，∴学生总人数﹣（x﹣1）间宿舍的人数在1和5之间，∴列的不等式组为：，故答案为：．7.（2022春•嘉定区校级期中）某校学生志愿服务小组在“学雷锋”活动中购买了一批牛奶到敬老院慰问老人．如果分给每位老人4盒牛奶，那么剩下28盒牛奶；如果分给每位老人5盒牛奶，那么最后一位老人分得的牛奶不足4盒，但至少1盒．问该敬老院的老人至少有多少人？【答案】30人．【解答】解：设该敬老院的老人有x人，依题意，得：，解得：29＜x≤32，又∵x为正整数，∴x可以取的最小值为30．答：该敬老院的老人至少有30人．8.（2023•林州市模拟）某初级中学为了提高教职工的身体素质，举办了“坚持锻炼，活力无限”的健身活动，并准备购买一些体育器材为活动做准备．已知购买2副乒乓球拍和4副羽毛球拍共需要350元，购买6副乒乓球拍和3副羽毛球拍共需要420元．（1）购买一副乒乓球拍和一副羽毛球拍各需多少元？（2）已知该中学需要购买两种球拍共80副，羽毛球拍的数量不超过40副．现商店推出两种购买方案，方案A：购买一副羽毛球拍赠送一副乒乓球拍；方案B：按总价的八折付款．试说明选择哪种购买方案更实惠．【答案】（1）购买一副乒乓球拍需35元，一副羽毛球需70元；（2）当购买羽毛球拍的数量少于20副时，选项方案B更实惠；当当购买羽毛球拍的数量等于20副时，选项两种购买方案所需总费用相同；当购买羽毛球拍的数量大于20副且不超过40副时，选项方案A更实惠．【解答】解：（1）设购买一副乒乓球拍需x元，一副羽毛球需y元，依题意得：，解得：．答：购买一副乒乓球拍需35元，一副羽毛球需70元．（2）设购买m（0＜m≤20且m为整数）副羽毛球拍，则选择方案A所需总费用为70m+35（80﹣m）＝2800（元），选项方案B所需总费用为80%×[70m+35（80﹣m）]＝（28m+2240）（元）．当2800＞28m+2240时，m＜20，∵m＞0，∴0＜m＜20；当2800＝28m+2240时，m＝20；当2800＜28m+2240时，m＞20，∵m≤40，∴20＜m≤40．答：当购买羽毛球拍的数量少于20副时，选项方案B更实惠；当当购买羽毛球拍的数量等于20副时，选项两种购买方案所需总费用相同；当购买羽毛球拍的数量大于20副且不超过40副时，选项方案A更实惠．9.（2023春•新城区校级月考）学校准备购进一批甲、乙两种办公桌若干张．若学校购进20张甲种办公桌和15张乙种办公桌共花费17000元，购买10张甲种办公桌比购买5张乙种办公桌多花费1000元．（1）求甲、乙两种办公桌每张各多少元；（2）若学校购买甲、乙两种办公桌共40张，甲种办公桌数量不多于乙种办公桌数量的3倍，且总费用不超过18400元，那么有几种购买方案？【答案】（1）甲种办公桌每张400元，乙种办公桌每张600元；（2）3种方案．【解答】解：（1）设甲种办公桌每张x元，乙种办公桌每张y元，由题意可得，解得，∴甲种办公桌每张400元，乙种办公桌每张600元；（2）设购买甲种办公桌m张，由题意可得，解得28≤m≤30，∵m取整数，∴m的取值为28或29或30，∴共有3种方案．10.（2022秋•长沙期中）我市在创建全国文明城市过程中，决定购买A，B两种树苗对某路段道路进行绿化改造，已知购买A种树苗8棵，B种树苗2棵，需要900元；购买A种树苗5棵，B种树苗4棵，需要700元．（1）求购买A，B两种树苗每棵各需多少元？（2）考虑到绿化效果和资金周转，购进A种树苗不能少于32棵，且用于购买这两种树苗的资金不能超过5750元，若购进这两种树苗共80棵，则有哪几种购买方案？【解答】解：（1）设购买A种树苗每棵需x元，购买B种树苗每棵需y元，根据题意得：，解得，答：购买A种树苗每棵需100元，购买B种树苗每棵需50元；（2）设购买A种树苗m棵，则购买B种树苗（80﹣m）棵，∵购进A种树苗不能少于32棵，且用于购买这两种树苗的资金不能超过5750元，∴，解得32≤m≤35，∵m是正整数，∴m可取32，33，34，35，∴有4种购买方案：①购买A种树苗32棵，购买B种树苗48棵，②购买A种树苗33棵，购买B种树苗47棵，③购买A种树苗34棵，购买B种树苗46棵，④购买A种树苗35棵，购买B种树苗45棵．11．（2022秋•益阳期末）如图，长青农产品加工厂与A，B两地有公路、铁路相连，这家工厂从A地购买一批原料甲运回工厂，经过加工后制成产品乙运B地，其中原料甲和产品乙的重量都是正整数．铁路运价为2元/（吨•千米），公路运价为8元/（吨•千米）．（1）若由A到B的两次运输中，原料甲比产品乙多9吨，工厂计划支出铁路运费超过5700元，公路运费不超过9680元，问购买原料甲有哪几种方案，分别是多少吨？（2）由于国家出台惠农政策，对运输农产品的车辆免收高速通行费，并给予一定的财政补贴，综合惠农政策后公路运输价格下降m（0＜m＜4且m为整数）元，若由A到B的两次运输中，铁路运费为5760元，公路运费为5100元，求m的值．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）设运送乙产品x吨，则运送甲产品（x+9）吨，，解得，11.8＜x≤14∵x为整数，∴x＝12，13，14，∴x+9为21，22，23，∴购买原料甲有三种方案，分别是21吨、22吨、23吨；（2）设运送原料甲a吨，运送产品乙b吨，化简，得，∵a、b都为正整数，0＜m＜4且m为整数，∴当m＝1时，求得a、b不是整数，故不符合题意；当m＝2时，求得a、b不是整数，故不符合题意；当m＝3时，得a＝21，b＝12，由上可得，m的值为3．12．（2023•福田区模拟）某企业计划购买A、B两种型号的机器人来搬运货物，已知每台A型机器人比每台B型机器人每天少搬运10吨，且A型机器人每天搬运540吨货物与B型机器人每天搬运600吨货物所需台数相同．（1）求每台A型机器人和每台B型机器人每天分别搬运货物多少吨？（2）每台A型机器人售价1.2万元，每台B型机器人售价2万元，该公司计划采购A、B两种型号的机器人共30台，必须满足每天搬运的货物不低于2830吨，购买金额不超过48万元．请你求出最节省的采购方案，购买总金额最低是多少万元？【答案】（1）每台A型机器人每天搬运货物90吨，则每台B型机器人每天搬运货物100吨；（2）购买A型机器人17台，B型机器人13台时，购买总金额最低是46.4万元．【解答】解：（1）设每台A型机器人每天搬运货物x吨，则每台B型机器人每天搬运货物（x+10）吨，由题意得：，解得：x＝90，当x＝90时，x（x+10）≠0，∴x＝90是分式方程的根，∴x+10＝90+10＝100，答：每台A型机器人每天搬运货物90吨，每台B型机器人每天搬运货物100吨；（2）设购买A型机器人m台，购买总金额为w万元，由题意得：，解得：15≤m≤17，w＝1.2m+2（30﹣m）＝﹣0.8m+60；∵﹣0.8＜0，∴w随m的增大而减小，∴当m＝17时，w最小，此时w＝﹣0.8×17+60＝46.4，∴购买A型机器人17台，B型机器人13台时，购买总金额最低是46.4万元．13．（2023春•沙坪坝区校级月考）为迎接校园科技节的到来，学校科技社团欲购买甲、乙两种模型进行组装，已知3套甲模型的总价与2套乙模型的总价相等，若购买1套甲模型和2套乙模型共需80元．（1）求甲、乙两种模型的单价各是多少元？（2）现计划用19320元资金，在不超过预算的情况下，购买这两种模型共800套，且乙种模型的数量不少于甲种模型数量的，求两种模型共有多少种选购方案？乙种模型选购多少套时总费用最少？【答案】（1）甲种模型的单价为20元，乙种模型的单价为30元；（2）一共有13种选购方案，乙种模型选购320套时，总费用最少．【解答】解：（1）设甲种模型的单价为x元，乙种模型的单价为y元，则由题意可得：，解得：．答：甲种模型的单价为20元，乙种模型的单价为30元．（2）设甲种模型数量为m，则乙种模型数量为（800﹣m），由题意可得：，解得：，∴468≤m≤480，∵m为整数，∴一共有13种选购方案，设总费用为W元，W＝20m+24000﹣30m＝24000﹣10m，∴当m越大，总费用越少，当m＝480套时，乙种为：800﹣480＝320（套）．答：乙种模型选购320套时，总费用最少．14．（2023•游仙区模拟）2022年3月1日，新冠疫情卷土重来，疫情发生后，市政府高度重视，并第一时间启动应急预案，迅速做好疫情防控工作，由于疫情原因，市急需大量物资．某省红十字会采购甲、乙两种抗疫物资共540吨，甲物资单价为3万元/吨，乙物资单价为2万元/吨，采购两种物资共花费1380万元．（1）甲、乙两种物资各采购了多少吨？（2）现在计划安排A，B两种不同规格的卡车共50辆来运输这批物资，A种卡车每辆需付运输费1500元，B种卡车每辆需付运输费1300元．甲物资7吨和乙物资3吨可装满一辆A型卡车；甲物资5吨和乙物资7吨可装满一辆B型卡车．按此要求安排A，B两型卡车的数量，请问有几种运输方案？哪种运输方案的运输费最少，并求此时的运输费．【答案】（1）甲物资采购了300吨，乙物资采购了240吨；（2）共有3种运输方案，方案1：安排25辆A型卡车，25辆B型卡车；方案2：安排26辆A型卡车，24辆B型卡车；方案3：安排27辆A型卡车，23辆B型卡车；方案1运费的运费最少，