人教版物理高中举一反三-选择性必修一专题2.1 简谐运动【八大题型】（教师版）

专题1.3简谐运动【八大题型】【人教版】TOC\o"1-3"\t"正文,1"\h【题型1水平弹簧振子】 【题型2竖直弹簧振子】 【题型3单摆】 【题型4等效单摆】 【题型5振动图像的应用】 【题型6简谐运动的对称性】 【题型7简谐运动的周期性】 【题型8简谐运动的表达式的应用】 【题型1水平弹簧振子】【例1】如图所示，物体A置于物体B上，一轻质弹簧一端固定，另一端与B相连，现从弹簧处于压缩状态开始释放A、B，在弹簧的弹性限度内，A、B在光滑的水平面上做简谐运动，并保持相对静止。若取向右为正方向，则从释放开始，A、B向右运动的整个过程中，物体A的速度v和所受摩擦力Ff随时间变化的关系图像正确的是()解析：选B由于物体A、B做简谐运动，开始时物体A、B向右运动，速度为正，位移越来越小，则速度越来越大，A、B的回复力由弹簧弹力提供，从开始释放到回到平衡位置过程中回复力减小，则加速度减小，运动到平衡位置时，回复力为0，加速度为0，此过程中加速度逐渐减小，v-t图像的斜率减小，过平衡位置后，物体A、B继续向右运动，速度仍为正，位移越来越大，速度越来越小，回复力越来越大，回复力方向变为向左，则加速度大小变大，方向改变，即v-t图像的斜率变大，斜率切线变为负，A错误，B正确；对A受力分析可知，A做简谐运动的回复力由B对A的摩擦力提供，A从初始位置向平衡位置运动过程中，回复力方向向右，则摩擦力方向向右即为正，回复力大小为F＝－kx＝Ff，此过程中位移减小，摩擦力减小，即摩擦力与位移呈线性关系，且为正值，但此过程中物体A做加速度减小的加速运动，同理，物体A从平衡位置向右运动的过程中，摩擦力与位移也呈线性关系，但此过程中物体A做加速度增大的减速运动即加速度向左，摩擦力向左，应为负值，C、D错误。【变式1-1】(多选)如图甲所示，以O点为平衡位置，弹簧振子在A、B两点间做简谐运动，图乙为这个弹簧振子的振动图象.下列说法中正确的是()A.在t＝0.2s时，弹簧振子的加速度为正向最大B.在t＝0.1s与t＝0.3s两个时刻，弹簧振子在同一位置C.从t＝0到t＝0.2s时间内，弹簧振子做加速度增大的减速运动D.在t＝0.6s时，弹簧振子有最小的弹性势能答案BC解析在t＝0.2s时，弹簧振子的位移为正向最大值，a＝－eq\f(kx,m)，知弹簧振子的加速度为负向最大，A错误；在t＝0.1s与t＝0.3s两个时刻，弹簧振子的位移相同，说明弹簧振子在同一位置，B正确；从t＝0到t＝0.2s时间内，弹簧振子从平衡位置向最大位移处运动，位移逐渐增大，加速度逐渐增大，加速度方向与速度方向相反，弹簧振子做加速度增大的减速运动，C正确；在t＝0.6s时，弹簧振子的位移为负向最大值，即弹簧的形变量最大，弹簧振子的弹性势能最大，D错误.【变式1-2】如图甲所示，水平放置的弹簧振子在A、B之间做简谐运动，O是平衡位置，以向右为正方向，其振动图像如图乙所示，则()A．A、O间的距离为4cmB．0.1s末，小球位于A点C．0.2s末，小球有正向的最大速度D．在0.2～0.3s内，小球从O向A做减速运动解析：选D由振动图像可知，振幅为2cm，所以A、O间的距离为2cm，A错误；0.1s末，小球在正向最大位移处，即位于B点，B错误；0.2s末，小球速度方向沿x轴负方向，并且速度最大，C错误；在0.2～0.3s内，小球沿负向的速度逐渐减小，到达负向最大位移A处时速度减为零，则小球从O向A做减速运动，D正确。【变式1-3】(2022·青岛调研)如图甲所示，弹簧振子以O点为平衡位置，在光滑水平面上的A、B两点之间做简谐运动，A、B为分居O点左右两侧的对称点。取水平向右为正方向，振子的位移x随时间t变化的正弦曲线如图乙所示，下列说法正确的是()A．t＝0.6s时，振子在O点右侧6cm处B．振子在t＝0.2s和t＝1.0s时的速度相同C．t＝1.2s时，振子的加速度方向水平向右D．t＝1.0s到t＝1.4s的时间内，振子的加速度和速度都逐渐增大解析：选C由题图可知，弹簧振子的振幅为0.12m，周期为1.6s，所以ω＝eq\f(2π,T)＝1.25πrad/s，结合振动图像得，振动方程为x＝0.12sin(1.25πt)m，在t＝0.6s时，振子的位移x1＝0.12sin(1.25π×0.6)m＝6eq\r(2)cm，A错误；由振动图像可知，t＝0.2s时振子从平衡位置向右运动，t＝1.0s时振子从平衡位置向左运动，速度方向不同，B错误；t＝1.2s时，振子到达A处，振子的加速度方向水平向右，C正确；t＝1.0s到t＝1.2s的时间内振子向负向最大位移处运动，速度减小，加速度增大；t＝1.2s到t＝1.4s时间内振子从负向最大位移处向平衡位置运动，则速度增大，加速度减小，D错误。【题型2竖直弹簧振子】【例2】(多选)如图所示，一轻质弹簧上端固定在天花板上，下端连接一物块，物块沿竖直方向以O点为平衡位置，在C、D两点之间做周期为T的简谐运动.已知在t1时刻物块的速度大小为v、方向向下，动能为Ek.下列说法正确的是()A.如果在t2时刻物块的速度大小也为v，方向向下，则t2－t1的最小值小于eq\f(T,2)B.如果在t2时刻物块的动能也为Ek，则t2－t1的最小值为eq\f(T,2)C.当物块通过O点时，其加速度最小D.物块在C、D两点的加速度相同答案AC解析如果在t1时刻物块位于O点上方且向下运动，t2时刻物块位于O点下方且与t1时刻物块速度相同，则t2－t1的最小值小于eq\f(T,2)，选项A正确；如果在t2时刻物块的动能也为Ek，则t2时刻物块速度与t1时刻大小相等，方向可能相同，也可能相反，t2－t1的最小值小于eq\f(T,2)，选项B错误；题图中O点是平衡位置，物块通过O点时位移最小，根据a＝－eq\f(kx,m)知，其加速度最小，选项C正确；C、D两点关于平衡位置对称，加速度等大反向，选项D错误.【变式2-1】[多选]如图，轻弹簧上端固定，下端连接一小物块，物块沿竖直方向做简谐运动。以竖直向上为正方向，物块简谐运动的表达式为y＝0.1sin(2.5πt)m。t＝0时刻，一小球从距物块h高处自由落下；t＝0.6s时，小球恰好与物块处于同一高度。取重力加速度的大小g＝10m/s2。以下判断正确的是()A.h＝1.7mB．简谐运动的周期是0.8sC．0.6s内物块运动的路程为0.2mD．t＝0.4s时，物块与小球运动方向相反[思路点拨](1)由物块做简谐运动的表达式确定物块的振幅和振动周期。(2)确定0.6s时物块所在的位置。(3)确定0.6s时小球下落的高度与h的关系。[解析]由物块做简谐运动的表达式y＝0.1sin(2.5πt)m知，ω＝2.5π，T＝eq\f(2π,ω)＝eq\f(2π,2.5π)s＝0.8s，选项B正确；t＝0.6s时，y＝－0.1m，对小球：h＋|y|＝eq\f(1,2)gt2，解得h＝1.7m，选项A正确；物块0.6s内运动的路程为0.3m，t＝0.4s时，物块经过平衡位置向下运动，与小球运动方向相同，故选项C、D错误。[答案]AB【变式2-2】如图所示，一轻质弹簧上端固定，下端悬挂一物块，取物块静止时所处位置为坐标原点O，向下为正方向，建立Ox坐标轴。现将物块竖直向下拉到A位置后由静止释放，不计空气阻力。已知物块的质量为m，弹簧的劲度系数为k，A位置的坐标为x1，重力加速度为g。下列说法正确的是()A．该简谐运动的振幅为2x1B．在任意eq\f(1,4)周期内物块通过的路程一定等于x1C．物块在A位置时所受的回复力大小为kx1D．物块到O位置时的动能为eq\f(1,2)kx12－mgx1解析：选C该简谐运动的振幅为x1，A错误；物块运动过程中，靠近平衡位置时运动比较快，远离平衡位置时运动比较慢，所以在不经过平衡位置的eq\f(1,4)周期内物块通过的路程小于x1，B错误；物块在O位置时受力平衡，有kx0＝mg，x0为弹簧伸长量，在A位置时所受的回复力大小为F＝k(x0＋x1)－mg＝kx1，C正确；物块从A位置回到O位置时，根据能量守恒定律得eq\f(1,2)k(x1＋x0)2＝mgx1＋eq\f(1,2)mv2＋eq\f(1,2)kx02，解得eq\f(1,2)mv2＝eq\f(1,2)k(x1＋x0)2－mgx1－eq\f(1,2)kx02，D错误。【变式2-3】如图所示，弹簧下面挂一质量为m的物体，物体在竖直方向上做振幅为A的简谐运动，当物体振动到最高点时，弹簧正好处于原长，弹簧在弹性限度内，则物体在振动过程中()A．弹簧的最大弹性势能等于2mgAB．弹簧的弹性势能和物体动能总和不变C．物体在最低点时的加速度大小应为2gD．物体在最低点时所受弹簧的弹力大小应为mg解析：选A因物体振动到最高点时，弹簧正好处于原长，此时弹簧弹力等于零，物体的重力mg＝F回＝kA，当物体在最低点时，弹簧的弹性势能最大等于2mgA，A对；在最低点，由F回＝mg＝ma知，C错；由F弹－mg＝F回得F弹＝2mg，D错；由能量守恒知，弹簧的弹性势能和物体的动能、重力势能三者的总和不变，B错。【题型3单摆】【例3】[多选]图1、2分别是甲、乙两个单摆在同一位置处做简谐运动的图像，则下列说法中正确的是()A．甲、乙两单摆的振幅之比为2∶1B．t＝2s时，甲单摆的重力势能最小，乙单摆的动能为零C．甲、乙两单摆的摆长之比为4∶1D．甲、乙两单摆的摆球在最低点时，向心加速度大小一定相等解析：选AB由题图知，甲、乙两单摆的振幅分别为4cm、2cm，故选项A正确；t＝2s时，甲单摆在平衡位置处，乙单摆在振动的正方向最大位移处，故选项B正确；由单摆的周期公式，推出甲、乙两单摆的摆长之比为l甲∶l乙＝T甲2∶T乙2＝1∶4，故选项C错误；设摆球摆动的最大偏角为θ，由mgl(1－cosθ)＝eq\f(1,2)mv2及a＝eq\f(v2,l)可得，摆球在最低点时向心加速度a＝2g(1－cosθ)，因两摆球的最大偏角θ满足sinθ＝eq\f(A,l)，故θ甲>θ乙，所以a甲>a乙，故选项D错误。【变式3-1】如图所示，房顶上固定一根长2.5m的细线沿竖直墙壁垂到窗沿下，细线下端系了一个小球(可视为质点)。打开窗子，让小球在垂直于窗子的竖直平面内小幅度摆动，窗上沿到房顶的高度为1.6m，不计空气阻力，g取10m/s2，则小球从最左端运动到最右端所用的最短时间为()A．2.0πsB．0.4πsC．0.6πs D．1.2πs解析：选B小球的摆动可视为单摆运动，摆长为线长时对应的周期：T1＝2πeq\r(\f(l1,g))＝πs，摆长为线长减去墙体长时对应的周期T2＝2πeq\r(\f(l1－l2,g))＝0.6πs，故小球从最左端到最右端所用的最短时间为t＝eq\f(T1＋T2,4)＝0.4πs，B正确。【变式3-2】如图所示，两个摆长均为L的单摆，摆球A、B质量分别为m1、m2，悬点均为O。在O点正下方0.19L处固定一小钉。初始时刻B静止于最低点，其摆线紧贴小钉右侧，A从图示位置由静止释放(θ足够小)，在最低点与B发生弹性正碰。两摆在整个运动过程中均满足简谐运动条件，悬线始终保持绷紧状态且长度不变，摆球可视为质点，不计碰撞时间及空气阻力，重力加速度为g。下列选项正确的是()A．若m1＝m2，则A、B在摆动过程中最大振幅之比为9∶10B．若m1＝m2，则每经过1.9πeq\r(\f(L,g))时间A回到最高点C．若m1>m2，则A与B第二次碰撞不在最低点D．m1<m2，则A与B第二次碰撞必在最低点解析：选D若m1＝m2，则两球碰撞后交换速度，所以A、B在摆动过程中最大振幅相等，两球的振动完全一样，所以每经过2πeq\r(\f(L,g))时间A回到最高点，A、B错误；摆长为L的周期为T＝2πeq\r(\f(L,g))，摆长为0.81L的周期为T′＝1.8πeq\r(\f(L,g))，若m1>m2，则碰后A球向右运动，摆长变为0.81L，B球摆回最低点后向左运动时，摆长为0.81L，所以两摆的周期均为T″＝eq\f(1,2)T＋eq\f(1,2)T′＝1.9πeq\r(\f(L,g))，即第一次在最低点碰撞后，经过一个周期发生第二次碰撞，位置仍然在最低点，C错误；若m1<m2，则A与B碰后，A反弹，两球的摆长一样，周期一样，所以各经过半个周期后，在最低点发生第二次碰撞，D正确。【变式3-3】如图，长为l的细绳下方悬挂一小球a，绳的另一端固定在天花板上O点处，在O点正下方eq\f(3,4)l的O′处有一固定细铁钉。将小球向右拉开，使细绳与竖直方向成一小角度(约为2°)后由静止释放，并从释放时开始计时。当小球a摆至最低位置时，细绳会受到铁钉的阻挡。设小球相对于其平衡位置的水平位移为x，向右为正。下列图像中，能描述小球在开始一个周期内的x-t关系的是()解析：选A摆长为l时单摆的周期T1＝2πeq\r(\f(l,g))，振幅A1＝lα(α为摆角，α很小时，sinα＝α)，摆长为eq\f(1,4)l时单摆的周期T2＝2πeq\r(\f(\f(1,4)l,g))＝πeq\r(\f(l,g))＝eq\f(T1,2)，振幅A2＝eq\f(1,4)lβ(β为摆角)。根据机械能守恒定律得mgl(1－cosα)＝mgeq\f(l,4)(1－cosβ)，利用cosα＝1－2sin2eq\f(α,2)，cosβ＝1－2sin2eq\f(β,2)，以及sinα＝tanα＝α(α很小)，解得β＝2α，故A2＝eq\f(1,2)A1，A正确。【变式3-4】(多选)关于单摆，下列说法正确的是()A.将单摆由沈阳移至广州，单摆周期变大B.将单摆的摆角从4°改为2°，单摆的周期变小C.当单摆的摆球运动到平衡位置时，摆球的速度最大D.当单摆的摆球运动到平衡位置时，受到的合力为零答案AC解析将单摆由沈阳移至广州，因重力加速度减小，根据T＝2πeq\r(\f(l,g))可知，单摆周期变大，选项A正确；单摆的周期与摆角无关，将单摆的摆角从4°改为2°，单摆的周期不变，选项B错误；当单摆的摆球运动到平衡位置时，摆球的速度最大，有向心加速度，则受到的合力不为零，选项C正确，D错误.【题型4等效单摆】【例4】如图所示，ACB为光滑弧形槽，弧形槽半径为R，C为弧形槽最低点，R≫Aeq\x\to(B)。甲球从弧形槽的球心处自由下落，乙球从A点由静止释放，问：(1)两球第1次到达C点的时间之比；(2)若在弧形槽的最低点C的正上方h处由静止释放甲球，让其自由下落，同时将乙球从弧形槽左侧由静止释放，欲使甲、乙两球在弧形槽最低点C处相遇，则甲球下落的高度h是多少？解析：(1)甲球做自由落体运动R＝eq\f(1,2)gt12，所以t1＝eq\r(\f(2R,g))乙球沿弧形槽做简谐运动(由于Aeq\x\to(C)≪R，可认为偏角θ<5°)。此运动与一个摆长为R的单摆运动模型相同，故此等效摆长为R，因此乙球第1次到达C处的时间为t2＝eq\f(1,4)T＝eq\f(1,4)×2πeq\r(\f(R,g))＝eq\f(π,2)eq\r(\f(R,g))，所以t1∶t2＝2eq\r(2)∶π。(2)甲球从离弧形槽最低点h高处自由下落，到达C点的时间为t甲＝eq\r(\f(2h,g))由于乙球运动的周期性，所以乙球到达C点的时间为t乙＝eq\f(T,4)＋neq\f(T,2)＝eq\f(π,2)eq\r(\f(R,g))(2n＋1)(n＝0,1,2，…)由于甲、乙两球在C点相遇，故t甲＝t乙联立解得h＝eq\f(2n＋12π2R,8)(n＝0,1,2，…)。答案：(1)2eq\r(2)∶π(2)eq\f(2n＋12π2R,8)(n＝0,1,2，…)【变式4-1】如图所示，小球m自A点以指向AD方向的初速度v逐渐接近固定在D点的小球n，已知=0.8m，AB圆弧半径R=10m，AD=10m，A、B、C、D在同一水平面上，则v为多大时，才能使m恰好碰到小球n？（g取10m/s2，不计一切摩擦）答案：v=m/s（k=1，2，3…）解析：小球m的运动是由两个分运动合成的。这两个分运动分别是：以速度v在AD方向的匀速运动和在圆弧面上的往复滑动。因为≪R，所以小球在圆弧面上的往复滑动具有等时性，其周期为T=2π设小球m恰好能碰到小球n，则有且满足t=kT（k=1，2，3…）又T=2π联立解得v=m/s（k=1，2，3…）【变式4-2】[多选]如图所示，长度为l的轻绳上端固定在点O，下端系一小球(小球可以看成质点)。在点O正下方，距点O为eq\f(3l,4)处的点P固定一颗小钉子。现将小球拉到点A处，轻绳被拉直，然后由静止释放小球。点B是小球运动的最低位置，点C(图中未标出)是小球能够到达的左方最高位置。已知点A与点B之间的高度差为h，h≪l。A、B、C、P、O在同一竖直平面内。当地的重力加速度为g，不计空气阻力。下列说法正确的是()A．点C与点B高度差小于hB．点C与点B高度差等于hC．小球摆动的周期等于eq\f(3π,2)eq\r(\f(l,g))D．小球摆动的周期等于eq\f(3π,4)eq\r(\f(l,g))解析：选BC由于h≪l，故小球的运动可看成单摆运动，其周期T＝eq\f(1,2)·2πeq\r(\f(l,g))＋eq\f(1,2)·2πeq\r(\f(\f(1,4)l,g))＝eq\f(3π,2)eq\r(\f(l,g))，故C正确，D错误；小球摆动过程不计空气阻力，其机械能守恒，点A、C应等高，故A错误，B正确。【变式4-3】如图所示，用两根长度都为L的细绳悬挂一个小球A，绳与水平方向的夹角为α。使球A垂直于纸面做摆角小于5°的摆动，当它经过平衡位置的瞬间，另一小球B从A球的正上方自由下落，此后A球第3次经过最低点时B球恰击中A球，求B球下落的高度h。答案：π2Lsinα【解析】球A垂直于纸面做摆角小于5°的摆动等效于一个单摆，摆长为l=Lsinα所以A球振动周期T=2π设B球自由下落的时间为t，则它击中A球时下落的高度h=gt2则t=A球经过平衡位置，接着返回到平衡位置的时间为半个周期，即=π从B球开始下落至击中A球，A球振动的时间为的3倍t=3×=3π则解得h=π2Lsinα

‍【题型5振动图像的应用】【例5】(多选)一个质点以O为中心做简谐运动，位移随时间变化的图象如图7，a、b、c、d表示质点在不同时刻的相应位置.下列说法正确的是()A.质点通过位置c时速度最大，加速度为零B.质点通过位置b时，相对平衡位置的位移为eq\f(A,2)C.质点从位置a到位置c和从位置b到位置d所用时间相等D.质点从位置a到位置b和从位置b到位置c的平均速度相等E.质点通过位置b和通过位置d时速度方向相同，加速度方向相反答案ACE解析质点通过位置c，即平衡位置时，此时速度最大，加速度为零，故A正确；x－t图象是正弦图象，故质点通过位置b时，相对平衡位置的位移为eq\f(\r(2),2)A，故B错误；质点从位置a到c和从位置b到d所用的时间相等，均为2s，故C正确；质点从位置a到b和从b到c的过程中时间相同但位移大小不同，故平均速度不同，故D错误.因为x－t图象的斜率表示速度，则质点通过位置b和通过位置d时速度方向相同，加速度方向均指向平衡位置，即方向相反，故E正确.【变式5-1】(多选)如图所示是甲、乙两个单摆做简谐运动的图象，则下列说法中正确的是()A.甲、乙两摆的振幅之比为2∶1B.t＝2s时，甲摆的重力势能最小，乙摆的动能为零C.甲、乙两摆的摆长之比为4∶1D.甲、乙两摆摆球在最低点时摆线的拉力大小一定相等答案AB解析由题图知甲、乙两摆的振幅分别为2cm、1cm，故A正确；t＝2s时，甲摆在平衡位置处，重力势能最小，乙摆在正的最大位移处，动能为零，B正确；甲、乙两摆的周期之比为1∶2，由单摆的周期公式T＝2πeq\r(\f(l,g))，得到甲、乙两摆的摆长之比为1∶4，C错误；由题目中的条件不能比较甲、乙两摆摆球在最低点时摆线的拉力大小，D错误.【变式5-2】如图是质量相等的甲、乙两个物体分别做简谐运动时的图像，下列说法错误的是()A．甲、乙两物体的振幅分别是2m和1mB．甲的振动频率比乙的大C．前2s内，两物体的加速度均为负值D．第2s末，甲的速度最大，乙的加速度最大解析：选A由题图知，甲、乙两物体的振幅分别为2cm和1cm，A错误；8s内甲完成2次全振动，乙完成1次全振动，甲的振动频率比乙的大，B正确；前2s内，甲、乙的位移均为正，所以加速度均为负值，C正确；第2s末甲在平衡位置，速度最大，乙在最大位移处，加速度最大，D正确。【变式5-3】(多选)某弹簧振子在水平方向上做简谐运动，其振动图象如图所示，则()A.弹簧振子在t＝0到t＝10s内路程为0.5mB.简谐运动的频率是0.125HzC.弹簧振子在第4s末的位移为零D.在第3s末与第5s末弹簧振子的速度方向相同E.第5s末，弹簧振子的速度与加速度均为正值答案BCD解析弹簧振子在t＝0到t＝10s内路程为5A，即2.5m，选项A错误；简谐运动的周期T＝8s，则频率是f＝eq\f(1,T)＝0.125Hz，选项B正确；弹簧振子第4s末在平衡位置，位移为零，选项C正确；因x－t图象的斜率表示速度，可知在第3s末与第5s末弹簧振子的速度方向不变，选项D正确；第5s末，弹簧振子的速度沿y轴负方向，加速度沿y轴正方向，选项E错误.【变式5-4】如图所示为某弹簧振子在0～5s内的振动图像，由图可知，下列说法中正确的是()A．振动周期为5s，振幅为8cmB．第2s末振子的速度为零，加速度为负向的最大值C．从第1s末到第2s末振子在做加速运动D．第3s末振子的速度为正向的最大值[解析]振幅是位移的最大值的大小，故振幅为8cm，而周期是完成一次全振动的时间，振动周期为4s，故A错误；第2s末振子的速度为零，加速度为正向的最大值，故B错误；从第1s末到第2s末振子的位移逐渐增大，速度逐渐减小，振子做减速运动，C错误；第3s末振子的位移为零，经过平衡位置，故速度最大，且方向为正，故D正确。[答案]D【题型6简谐运动的对称性】【例6】(多选)弹簧振子做简谐运动，O为平衡位置，从它经过O点时开始计时，经过0.3s第一次到达点M，再经过0.2s第二次到达点M，则弹簧振子的周期可能为()A．0.53sB．1.4sC．1.6s D．2s解析：选AC如图甲所示，若振子从O点开始向右按所示路线振动，则振子的振动周期为T1＝4×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0.3＋\f(0.2,2)))s＝1.6s；如图乙所示，若振子从O点开始向左按所示路线振动，令从M运动到O的时间为t，则有eq\f(0.2s,2)＋t＝eq\f(0.3s－t,2)，解得t＝eq\f(0.1,3)s，振子的振动周期为T2＝4×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(0.2,2)＋\f(0.1,3)))s≈0.53s，A、C正确。【变式6-1】一个质点在平衡位置O点附近做简谐运动，若从O点开始计时，经过3s质点第一次经过M点，如图所示，再继续运动，又经过4s第二次经过M点，则再经过多长时间第三次经过M点()A.7s B.14sC.16s D.eq\f(10,3)s答案C解析由题意可知质点第一次经过M点的运动方向向右，简谐运动的周期T＝4×(3＋2)s＝20s，则第三次经过M点的时间为t＝(20－4)s＝16s，故C选项正确.【变式6-2】(多选)一弹簧振子做简谐运动，则以下说法正确的是()A.振子的加速度方向始终指向平衡位置B.已知振动周期为T，若Δt＝T，则在t时刻和(t＋Δt)时刻振子运动的加速度一定相同C.若t时刻和(t＋Δt)时刻弹簧的长度相等，则Δt一定为振动周期的整数倍D.振子的动能相等时，弹簧的长度不一定相等答案ABD解析振子的加速度方向始终指向平衡位置，故A正确；若Δt＝T，则在t时刻和(t＋Δt)时刻振子的位移相同，加速度也相同，故B正确；从平衡位置再回到平衡位置，经历的时间最短为eq\f(T,2)，弹簧的长度相等，故C错误；关于平衡位置对称的两个位置，振子的动能相等，弹簧的长度不相等，故D正确.【变式6-3】弹簧振子以O点为平衡位置，在水平方向上的A、B两点间做简谐运动，以下说法正确的是（）A．振子在A、B两点时的速度和位移均为零B．振子在通过O点时速度的方向将发生改变C．振子所受的弹力方向总跟速度方向相反D．振子离开O点的运动总是减速运动，靠近O点的运动总是加速运动【详解】A．弹簧振子以O点为平衡位置，在水平方向上的A、B两点间做简谐运动，故A、B速度为零，位移值最大，故A错误；B．振子在通过O点前后速度的方向不发生改变，B错误；C．由简谐运动规律的定义，振子的弹力方向总跟位移的方向相反，而跟振子的速度方向有时相同，有时相反，C错误；D．振子离开O点运动后的运动方向与加速度方向相反，故为减速运动，振子靠近O点的运动方向与加速度方向相同故为加速运动，D正确。【答案】D。【题型7简谐运动的周期性】【例7】弹簧振子以O点为平衡位置，在B、C两点间做简谐运动，在t＝0时刻，振子从O、B间的P点以速度v向B点运动；在t＝0.2s时，振子速度第一次变为－v；在t＝0.5s时，振子速度第二次变为－v。(1)求弹簧振子振动周期T；(2)若B、C之间的距离为25cm，求振子在4.0s内通过的路程；(3)若B、C之间的距离为25cm，从平衡位置计时，写出弹簧振子位移表达式，并画出弹簧振子的振动图像。解析：(1)弹簧振子简谐运动示意图如图所示，由对称性可得：T＝0.5×2s＝1.0s。(2)若B、C之间距离为25cm，则振幅A＝eq\f(1,2)×25cm＝12.5cm，振子4.0s内通过的路程s＝eq\f(4,T)×4×12.5cm＝200cm。(3)根据x＝Asinωt，A＝12.5cm，ω＝eq\f(2π,T)＝2π得x＝12.5sin(2πt)cm。振动图像为答案：(1)1.0s(2)200cm(3)x＝12.5sin(2πt)cm【变式7-1】做简谐运动的单摆，其摆长不变，若摆球的质量增加为原来的eq\f(9,4)倍，摆球经过平衡位置的速度减为原来的eq\f(2,3)，则单摆振动的()A．周期不变，振幅不变 B．周期不变，振幅变小C．周期改变，振幅不变 D．周期改变，振幅变大解析：选B由单摆的周期公式T＝2πeq\r(\f(l,g))可知，当摆长l不变时，周期不变，C、D错误；由机械能守恒定律可知eq\f(1,2)mv2＝mgh，其摆动的高度与质量无关，因摆球经过平衡位置的速度减小，则最大高度减小，故振幅变小，B正确，A错误。【变式7-2】关于简谐运动以及完成一次全振动的意义，以下说法正确的是()A．位移的方向总跟加速度的方向相反，跟速度的方向相同B．动能或势能第一次恢复为原来的大小所经历的过程为一次全振动C．速度和加速度第一次同时恢复为原来的大小和方向所经历的过程为一次全振动D．物体运动方向指向平衡位置时，速度的方向与位移的方向相同；背离平衡位置时，速度方向与位移方向相反解析：选C回复力与位移方向相反，故加速度和位移方向相反，但速度与位移方向可以相同，也可以相反，物体运动方向指向平衡位置时，速度的方向与位移的方向相反，背离平衡位置时，速度方向与位移方向相同，A、D错误；一次全振动过程中，动能和势能可以多次恢复为原来的大小，B错误；速度和加速度第一次同时恢复为原来的大小和方向所经历的过程为一次全振动，C正确。【变式7-3】一单摆在地面处的摆动周期与在某矿井底部摆动周期的比值为k.设地球的半径为R，地球的密度均匀．已知质量均匀分布的球壳对壳内物体的引力为零，求矿井的深度d.解析根据万有引力定律，地面处质量为m的物体的重力mg＝Geq\f(mM,R2)式中g是地面处的重力加速度，M是地球的质量．设ρ是地球的密度，则有M＝eq\f(4,3)πρR3摆长为l的单摆在地面处的摆动周期为T＝2πeq\r(\f(l,g))若该物体位于矿井底部，则其重力为mg′＝Geq\f(mM′,R－d2)式中g′是矿井底部的重力加速度，且M′＝eq\f(4,3)πρ(R－d)3在矿井底部此单摆的周期为T′＝2πeq\r(\f(l,g′))由题意：T＝kT′联立以上各式得d＝R(1－k2)【题型8简谐运动的表达式的应用】【例8】(2021·江苏高考)如图所示，半径为R的圆盘边缘有一钉子B，在水平光线下，圆盘的转轴A和钉子B在右侧墙壁上形成影子O和P，以O为原点在竖直方向上建立x坐标系。t＝0时从图示位置沿逆时针方向匀速转动圆盘，角速度为ω，则P做简谐运动的表达式为()A．x＝Rsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωt－\f(π,2))) B．x＝Rsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωt＋\f(π,2)))C．x＝2Rsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωt－\f(π,2))) D．x＝2R