第六章 微专题43　机械能守恒定律及其应用

微专题43机械能守恒定律及其应用1．单物体多过程机械能守恒问题：划分物体运动阶段，研究每个阶段中的运动性质，判断机械能是否守恒；表达式一般选用E1＝E2(要选择参考平面)或ΔEp＝－ΔEk(不用选择参考平面)。2.多物体的机械能守恒：“轻绳模型”与“轻杆模型”：要注意两端的物体速度大小是否相等；“轻弹簧模型”：要注意伸长量和压缩量相同两点弹性势能相等；“非质点模型”：一般分析物体重心高度变化；一般选用ΔEp＝－ΔEk或ΔEA增＝ΔEB减形式(不用选择参考平面)。1.(2024·北京市顺义区第一中学阶段练习)如图所示，一条轻绳跨过定滑轮，绳的两端各系一个小球a和b，用手托住球b，当绳刚好被拉紧时，球b离地面的高度为h，球a静止于地面。已知球a的质量为m，球b的质量为3m，重力加速度为g，定滑轮的质量及轮与轴间的摩擦均不计，不计空气阻力。若无初速度释放球b，则下列判断正确的是()A．经过时间eq\r(\f(2h,g))，球b恰好落地B．在球b下落过程中，球b所受拉力大小为mgC．在球b下落过程中，球a的机械能增加了eq\f(3,2)mghD．球b落地前瞬间速度大小为eq\r(2gh)答案C解析以小球a和b为整体，根据牛顿第二定律可得3mg－mg＝(3m＋m)a解得a＝eq\f(g,2)根据h＝eq\f(1,2)at2可得球b落地的时间为t＝2eq\r(\f(h,g))，故A错误；对小球b受力分析可得3mg－FT＝3ma，解得FT＝eq\f(3,2)mg，故B错误；在球b下落过程中，球a的动能增加量为ΔEk＝eq\f(1,2)mva2＝eq\f(1,2)m(at)2＝eq\f(1,2)mgh在球b下落过程中，球a的机械能增加量为ΔE＝ΔEp＋ΔEk＝mgh＋eq\f(1,2)mgh＝eq\f(3,2)mgh，故C正确；球b落地前瞬间速度大小为vb＝at＝eq\r(gh)，故D错误。2.(多选)如图所示，用轻杆通过铰链相连的小球A、B、C处于同一竖直平面内，质量均为m，两段轻杆等长。现将C球置于距地面高h处，由静止释放，假设三个小球只在同一竖直面内运动，不计一切摩擦，重力加速度为g，则在小球C下落过程中()A．小球A、B、C组成的系统机械能守恒B．小球C的机械能一直减小C．小球C落地前瞬间的速度大小为eq\r(2gh)D．当小球C的机械能最小时，地面对小球B的支持力大于mg答案AC解析由于小球A、B、C组成的系统只有重力做功，故系统的机械能守恒，故A正确；小球B的初速度为零，C落地瞬间，B的速度为零，故B的动能先增大后减小，而B的重力势能不变，则B的机械能先增大后减小，同理可得A的机械能先增大后减小，而系统机械能守恒，故C的机械能先减小后增大，故B错误；根据以上分析，设小球C落地前瞬间的速度大小为v，根据动能定理可知eq\f(1,2)mv2＝mgh，解得v＝eq\r(2gh)，故C正确；当小球C的机械能最小时，小球B速度最大，此时小球B的加速度为零，水平方向所受的合力为零，C与B之间的杆对小球B恰好没有力的作用，所以地面对小球B的支持力大小为mg，故D错误。3．(多选)内径面积为S的U形圆筒竖直放在水平面上，筒内装水，底部阀门K关闭时两侧水面高度分别为h1和h2(h1>h2)，如图所示。已知水的密度为ρ，重力加速度为g，不计水与筒壁的摩擦阻力。现把连接两筒的阀门K打开，当两筒水面高度相等时，则该过程中()A．水柱的重力做正功B．大气压力对水柱做负功C．水柱的机械能守恒D．当两筒水面高度相等时，水柱的动能是eq\f(1,4)ρgS(h1－h2)2答案ACD解析把连接两筒的阀门打开到两筒水面高度相等的过程中大气压力对左筒水面做正功，对右筒水面做负功，抵消为零；水柱的机械能守恒，重力做功等于重力势能的减少量，等于水柱增加的动能，等效于把左管高eq\f(h1－h2,2)的水柱移至右管，如图中的阴影部分所示，重心下降eq\f(h1－h2,2)，重力所做正功为WG＝(eq\f(h1－h2,2))ρgS·(eq\f(h1－h2,2))＝eq\f(1,4)ρgS(h1－h2)2，故A、C、D正确。4.(2023·山东省模拟)如图所示，质量分布均匀的铁链，静止放在半径R＝eq\f(6,π)m的光滑半球体上方。给铁链一个微小的扰动使之向右沿球面下滑，当铁链的端点B滑至C处时其速度大小为3eq\r(2)m/s。已知∠AOB＝60°，以OC所在平面为参考平面，取g＝10m/s2。则下列说法中正确的是()A．铁链下滑过程中靠近B端的一小段铁链机械能守恒B．铁链在初始位置时其重心高度eq\f(3\r(3),π)mC．铁链的端点A滑至C处时其重心下降2.8mD．铁链的端点A滑至C处时速度大小为6eq\r(2)m/s答案C解析铁链下滑过程中靠近B端的一小段铁链受到上边铁链的拉力，该拉力做负功，故机械能不守恒，故A错误；根据几何关系可知，铁链长度为L＝eq\f(πR,3)＝2m，铁链全部贴在半球体上时，质量分布均匀且形状规则，则其重心在几何中心且重心在∠AOB的角平分线上，故铁链在初始位置时其重心与半球体球心连线长度等于端点B滑至C处时其重心与球心连线长度，设均为h0，根据机械能守恒有mgh0－mgh0sin30°＝eq\f(1,2)mv12，代入数据解得h0＝1.8m，故B错误；铁链的端点A滑至C处时，其重心在参考平面下方eq\f(L,2)处，则铁链的端点A滑至C处时其重心下降Δh＝h0＋eq\f(L,2)＝2.8m，故C正确；铁链的端点A滑至C处过程，根据机械能守恒定律有mgΔh＝eq\f(1,2)mv22，解得v2＝2eq\r(14)m/s，故D错误。5.(2023·内蒙古呼伦贝尔市模拟)如图所示，倾角为30°的固定斜面上固定一根与斜面垂直的轻杆PQ，长为L的轻杆两端分别用铰链固定质量相等的小球A和B，A球(中空)套在PQ上，B球与斜面接触，重力加速度大小为g，不计一切摩擦。若将轻杆从竖直位置由静止释放，则当A球刚要到达斜面时，A球的速度大小为()A.eq\r(\f(1,2)gL)B.eq\r(\f(3,2)gL)C.eq\r(2gL)D.eq\r(gL)答案C解析从静止释放到A球刚要到斜面时，由A、B组成的系统机械能守恒，可知mgLcos30°·cos30°＋mgeq\f(L,2)sin30°＝eq\f(1,2)mvA2＋eq\f(1,2)mvB2，两球沿长为L的轻杆方向的分速度相等，可知，A球刚要到斜面时，由于A球的速度垂直轻杆，所以沿杆方向的速度为0，故B球的速度为vB＝0，解得vA＝eq\r(2gL)，故选C。6.(多选)(2023·云南昆明市质检)如图所示，质量为m的小环(可视为质点)套在固定的光滑竖直杆上，一足够长且不可伸长的轻绳一端与小环相连，另一端跨过光滑的定滑轮与质量为M的物块相连，已知M＝2m。与定滑轮等高的A点和定滑轮之间的距离为d＝3m，定滑轮大小及质量可忽略。现将小环从A点由静止释放，小环运动到C点速度为0，忽略一切摩擦力，重力加速度g取10m/s2，则下列说法正确的是(sin53°＝0.8，cos53°＝0.6)()A．A、C间距离为4mB．小环最终静止在C点C．小环下落过程中减少的重力势能始终等于物块增加的机械能D．当小环下滑至绳与杆的夹角为60°时，小环与物块的动能之比为2∶1答案AD解析小环运动到C点时，对系统，由机械能守恒定律得：mgLAC＝Mg(eq\r(d2＋LAC2)－d)，解得LAC＝4m，故A正确；假设小环最终静止在C点，则绳中的拉力大小等于2mg，在C点对小环有：FT＝eq\f(mg,sin53°)＝eq\f(5,4)mg≠2mg，所以假设不成立，小环不能静止，故B错误；由机械能守恒可知，小环下落过程中减少的重力势能转化为物块增加的机械能和小环增加的动能，故C错误；将小环的速度沿绳和垂直绳方向分解，沿绳方向的速度即为物块的速度，则绳与杆的夹角为60°时有vM＝vmcos60°，由Ek＝eq\f(1,2)mv2可知，小环与物块的动能之比为2∶1，故D正确。7.(多选)(2024·河南省检测)如图所示，半径为R的光滑半圆弧轨道ABC与光滑的水平面无缝对接于C点，AC是竖直直径，B点距离水平面高度为R，质量均为m的小球甲、乙(均视为质点)用轻质细杆连接，小球甲套在半圆弧轨道上的A点，小球乙放置在C点，甲、乙均处于静止状态，甲球受到轻微的扰动而沿半圆弧轨道向下运动，乙球沿着水平面向左运动，重力加速度为g，则甲从A运动到B的过程中，下列说法正确的是()A．甲的重力势能全部转化为甲的动能B．甲克服杆的作用力做的功等于杆对乙所做的功C．甲运动到B点时，甲、乙的速度大小之比为3∶1D．甲运动到B点时，甲的动能为eq\f(3,4)mgR答案BD解析甲的速度沿切线方向，在B点时，根据几何关系可知，杆与竖直方向夹角为60°，则此时v1cos60°＝v2cos30°所以乙的速度不为零，则甲的重力势能全部转化为甲和乙的动能之和，故A错误；因为杆是轻杆，根据机械能守恒可知，甲克服杆的作用力做的功等于杆对乙所做的功，故B正确；甲运动到B点时，甲、乙的速度大小之比为eq\f(v1,v2)＝eq\f(\r(3),1)，故C错误；甲运动到B点时，根据机械能守恒mgR＝eq\f(1,2)mv12＋eq\f(1,2)mv22甲的动能为Ek＝eq\f(1,2)mv12＝eq\f(3,4)mgR，故D正确。8．(多选)(2024·河南平顶山市检测)如图所示，质量为mA＝2.5kg的物体A，其下端拴接一固定在水平地面上的轻质弹簧，弹簧的劲度系数k＝100N/m。物体A的上端通过不可伸长的细线跨过两个光滑的小定滑轮连接中间有孔的小球B，小球B套在倾角θ＝37°的光滑直杆上，D为杆的底端，O2D与固定杆的夹角也是θ，细线O1O2B水平，此时细线的拉力是F＝45N。小球B的质量mB＝1.5kg，C是杆上一点且O2C与杆垂直，O2C＝0.6m，重力加速度g取10m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8。现由静止释放小球B，弹簧一直在弹性限度内，下列说法正确的是()A．物体A、B系统的机械能守恒B．小球B第一次运动到C点时的动能为17.2JC．小球B第一次运动到C点时细线对B做的功为10JD．小球B第一次运动到D点时A的动能为零答案BC解析物体A与小球B组成的系统除了受到重力以外，弹簧弹力对A做功，即其他力所做功不为零，则物体A与小球B组成的系统机械能不守恒，故A错误；小球B第一次运动到C点时，物体A下降的高度为hA1＝BO2－O2C＝eq\f(O2C,sinθ)－O2C＝0.4m小球B下降的高度为hB1＝O2Ccosθ＝0.48m未释放小球B时，设弹簧的形变量为Δx1，对物体A有kΔx1＋mAg＝F解得Δx1＝0.2m故此时弹簧被拉伸，当小球B第一次运动到C点时Δx2＝hA1－Δx1＝0.2m此时弹簧被压缩，故此时弹簧的弹性势能与未释放小球B时相等，A、B和弹簧组成的系统机械能守恒，有mAghA1＋mBghB1＝eq\f(1,2)mvA12＋eq\f(1,2)mvB12由于小球B在C点时，细线与小球B速度方向垂直，可知vA1＝0故解得EkB＝mAghA1＋mBghB1＝17.2J，故B正确；小球B从释放到第一次运动到C点，对小球B，根据动能定理可得W线＋mBghB1＝EkB＝17.2J，解得W线＝10J，故C正确；由几何知识可得BO2＝DO2故小球B第一次运动到D点时物体A回到初始位置，设此时小球B的速度为vB2，物体A的速度为vA2，则vA2＝vB2cosθ小球B下降的高度为hB2＝2hB1＝0.96m此时弹簧的弹性势能与未释放B时相等，A、B和弹簧组成的系统机械能守恒，有mBghB2＝eq\f(1,2)mAvA22＋eq\f(1,2)mBvB22联立解得EkA＝eq\f(1,2)mAvA22＝7.43J故D错误。9.(2023·山东省模拟)如图所示，在竖直方向上A、B两物体通过劲度系数为k的轻质弹簧相连，A放在水平地面上，B、C两物体通过细线绕过轻质定滑轮相连，C放在固定的足够长光滑斜面上。用手按住C，使细线恰好伸直但没有拉力，并保证ab段的细线竖直、cd段的细线与斜面平行。已知A、B的质量均为m，C的质量为M(M＞2m)，细线与滑轮之间的摩擦不计，开始时整个系统处于静止状态。释放C后它沿斜面下滑，当A恰好要离开地面时，B获得最大速度(B未触及滑轮，弹簧始终处于弹性限度内，重力加速度大小为g)。求：(1)释放物体C之前弹簧的压缩量；(2)物体B的最大速度vm。答案(1)eq\f(mg,k)(2)2mgeq\r(\f(1,kM＋m))解析(1)释放物体C之前，细线恰好伸直，绳子拉力为零，弹簧处于压缩状态，设弹簧的压缩量为x，物体B受重力与弹簧弹力作用而静止，处于平衡状态，由平衡条件及胡克定律得mg＝kx，解得x＝eq\f(mg,k)(2)当A恰好要离开地面时，地