初中数学圆中常用辅助线的作法八大题型及答案

112遇弦作弦心距解决有关弦长的问题】5384115遇90°1661972383011.(2024·陕西渭南·三模)如图，△ABC内接于⊙OAB为⊙OD在⊙OCDBDBD=BC长到点E得BE=BDCE．(1)求证：∠A+∠E=90°；256(2)若⊙O的半径为BC=5CE的长．12.(23-24九年级上·重庆大足·期末)如图，AB是⊙O⊥ABP=8OP=3⊙O的直径为()A.10B.8C.533.(2024·贵州黔东南·二模)如图，⊙O是△ABCAC=BCB作BE⊥ACEBE交⊙O于点DADCDCOCO交BD于点F．(1)写出图中一个与∠相等的角∶(2)求证∶=CF；；(3)若BC=10BE=6⊙O的半径．24.(2024·陕西咸阳·模拟预测)Rt△ABC中，∠ACB=90°BC是⊙O的直径，⊙O与边AB交于点DE为BDCEAB交于点F．(1)求证：AC=AF．(2)当F为ABFC=2．2遇弦作弦心距解决有关弦长的问题】5.(23-24九年级上·云南昆明·期末)5的⊙OABEAB==8OE的长为()A.3B.3C.23326.(23-24九年级上·山东潍坊·期末)如图，⊙O的半径是4P是弦ABOPOP=6∠APO=30°弦AB的长为()52A.27B.7C.537.(23-24九年级下·上海·阶段练习)如图，⊙O和⊙O相交于A和BA作OO的平行线交两圆1212于CD知OO=20cm=cm．128.(23-24九年级上·福建厦门·期末)关于x的一元二次方程2ax2+2cx+2b=0abc满足a2+b2=c2且c≠0(1)x2ax2+2cx+2b=0必有实数根.(2)AB是半径为5的⊙O的两条平行弦，AB=2a=2bx的方程2ax2+10x+2b=0.①求∠BDC的度数，②直接写出BD的长：(用含ab的式子表示).39.(2024·安徽合肥·一模)如图，AB是⊙O的直径，是⊙O的一条弦，AB⊥于点M接．(1)若∠=54°∠的度数；(2)AC的延长线相交于点FCE是⊙OBF于点ECE⊥DF：AC=．410.(2024九年级上·湖北武汉·期中)如图，AB为⊙OC为BE的中点，⊥AE交直线AE于D点．(1)求证：OC∥AD；(2)若=1,=2⊙O的直径．11.(2024·浙江温州·三模)△ABC中，∠ACB=90°AB=4AC=3E是ACCE为直径作⊙F接BE交⊙F于点DAD的最小值为．12.(23-24九年级上·福建莆田·期中)如图，AB是半圆O的直径，AB=10D在半圆O上，AD=6C是弧BDACD点作DH⊥AC于HBHC移动的过程中，BH的最小值是．5413.(2024·贵州·模拟预测)Rt△ABC中，∠ACB=90°P为边BCAPA，12PAPEF交AB于点DD为圆心，长AB于点MBC恰好是⊙D的切线．若∠B=30°AC=3BM的长为()2333334A.B.C.314.(2024·辽宁大连·一模)如图，△ABC内接于⊙OAD是⊙O的直径与BC交于点F∠CAD=45°B点的切线交AD的延长线于点E．(1)若∠C=64°∠E的度数；(2)⊙O的半径是3=1BE的长．615.(2024·福建泉州·模拟预测)已知AB与⊙O相切于点BAO与⊙O相交于CD两点(AO>AC)E为BDOEAB的延长线于点F．(1)E为∠A的大小；(2)BD与相交于点G：∠D=∠F．16.(23-24九年级上·北京西城·期中)如图，AB为⊙O的直径，CB分别切⊙O于点BD交的延长线于点ECO的延长线交⊙O于点G⊥OG于点F．若BC=6=4．(1)求证：∠FEB=∠ECF；(2)求⊙O的半径长．(3)求线段的长．75遇90°17.(2024·安徽合肥·一模)内接于⊙O∠=90°BC=C作CE=CEAD的延长线于点E．(1)求证：AB=AE．(2)若AD==2的长．⏜18.(2024·浙江嘉兴·模拟预测)内接于⊙O,AB=2,BC=23AB的长为()132333233A.πB.πC.ππ19.(23-24九年级下·四川成都·开学考试《墨子·数学之美．如图，正方形的边长为2．以它的对角线的交点为位似中心，作它的位似图形C:AB=2:1C的外接圆半径为．820.(2024·江西景德镇·三模)xOy中，⊙P经过点Oy轴交于点A0,6x轴交于点B8,0OP的长为．621.(23-24九年级上·四川泸州·阶段练习)如图，⊙O的直径AB=8=3在圆上滑动(CD与点AB不重合)点C作CP⊥AB于点PM是PM的最大值是．22.(2024九年级上·浙江台州·期中)△ABC中，AB=5AC=4BC=3C且与边AB相切的动圆与CACB分别相交于点PQPQ长度的最小值是．923.(2024·江苏徐州·三模如图1P是⊙OPO分别交⊙O于点AB．小明认为线段是点P到⊙O⊙O上任意取一个不同于点A的点C接OCCP有OP<OC+PCOP-OC<PCOA=OC得OP-OA<PC<PC是点P到⊙O上各点的距离中最短的线段．小红认为在图1PB是点P到⊙O说明理由．如图3Rt△ABC中，∠ACB=90°AC=BC=2BC为直径的半圆交AB于DP是上的一APAP的最小值是；如图42的菱形中，∠A=60°M是AD边的中点，N是AB△AMN沿MN所在的直线翻折得到△MN接CC长度的最小值．如图5C在以AB为直径，O为圆心的半圆上，AB=4BC为边作等边△BCDAD的最大值是．1024.(23-24九年级上·河南开封·阶段练习)G(0,3)6的圆与x轴交于ABy轴交于CDE为⊙G上一动点，CF⊥AE于FE在GFG的长度的最小值为．725.(2024·贵州六盘水·二模)内接于⊙OAD为直径，平分∠ADCCA=与CA交于点EAB,DC交于点F．(1)直接写出线段AB与线段BC的数量关系；(2)求证：△AFC≌△；(3)设△ABD的面积为S△的面积为SS1的值．12S21126.(2024·吉林长春·模拟预测)已知是⊙O的直径，=6．点AD和点E在同一条直线上．且AD=2．过点A另一条直线交⊙O于BC．(1)如图1AC=5CEBD可以得到△ABD∽△AECAB长．请写出完整的解答过程．(2)如图2BC重合于一点时，AC=(3)如图3OB平分∠AOC时，AC=．．27.(23-24九年级下·福建厦门·阶段练习)AB为直径的⊙O与AH相切于点AC在AB左侧⊥AB交⊙O于点DACADA关于的对称点为ECE交⊙O于点FAH于点G．(1)求证：∠CAG=∠AGC；CE25DPCP(2)当点E在ABAF交于点P=的值；(3)当点E在射线AB上，AB=2AE的长．1228.(2024九年级上·上海·专题练习)已知AB是⊙OC在⊙OCOAB于点D=CB．⏜⏜(1)如图1果BO平分∠ABC：AB=BC；(2)如图2果AO⊥OBAD:的值；(3)延长线段AO交弦BC于点E果△EOB⊙O的半径长等于2弦BC的长．829.(2024九年级上·北京海淀·阶段练习)如图1中F在边BCF作⊥BC，且FE=FC(CE<CB)接CEAEG是AEFG．(1)用等式表示线段BF与FG的数量关系：；(2)将图1中的△绕点C△的顶点F恰好在正方形的对角线AC上，点G仍是AEFGDF．①在图2②用等式表示线段DF与FG的数量关系并证明．1330.(23-24九年级上·湖南长沙·阶段练习)△ABC中，∠ACB=90°AC=4BC=3∠CPB=∠A点C作CPBP的延长线交于点QCQ的最大值为()154165A.4B.5C.31.(2024·浙江嘉兴·中考真题)ΔABC中，∠=90°AB=AC=5D在ACAD=2，点E是ABFG分别是BCAGFGAG=FG长为()522412A.13B.C.432.(23-24九年级下·重庆·阶段练习)在△ABC中，AC=BCD在BC绕点D顺时针旋转90°到ED．(1)如图1∠ACB=90°D在ACAECE∠=15°AB=22=26AE的长；(2)如图2D在ACBE交于点MF为BE∠=∠EDF+12∠EBCM为BFF作FH⊥于点H：DM=+FH；(3)如图3∠ACB=90°BC=2=25△EDC沿着直线翻折至△E连接EBEA并延长交于点QEB于点RCR△的面积．14112遇弦作弦心距解决有关弦长的问题】5384115遇90°1661972383011.(2024·陕西渭南·三模)如图，△ABC内接于⊙OAB为⊙OD在⊙OCDBDBD=BC长到点E得BE=BDCE．(1)求证：∠A+∠E=90°；256(2)若⊙O的半径为BC=5CE的长．(1)见解析(2)6(1)利于等边对等角的性质得到∠BCE=∠E∠=∠D∠BCE+∠E+∠+∠D=180°∠E+∠D=90°(2)连接OCOB⊥CDCF=DFBF定理即可推出CE的长．(1)证明：∵BD=BCBE=BD，∴BC=BE，∴∠BCE=∠E∠=∠D，∵∠BCE+∠E+∠+∠D=180°，112∴∠E+∠D=×180°=90°，∵∠A=∠D，∴∠A+∠E=90°；256(2)OCOC=OB=∵BC=BD，∴BC=BD，∴OB⊥CDCF=DF，25625622在Rt△OCF中，CF2=OC2-2=--BF，在Rt△BCF中，CF2=BC2-BF2=52-BF2，25625622∴--BF=52-BF2，解得BF=3，∵BD=BEDF=CF，∴BF为△DCE的中位线，∴CE=2BF=6．2.(23-24九年级上·重庆大足·期末)如图，AB是⊙O⊥ABP=8OP=3⊙O的直径为()A.10B.8C.53AOCCP=PD=4OCOC∵⊥AB=8，∴CP=PD=4，∵OP=3，∴在Rt△CPO中，OC=CP2+OP2=5，∴⊙O的直径为10；故选A．3.(2024·贵州黔东南·二模)如图，⊙O是△ABCAC=BCB作BE⊥ACEBE交⊙O于点DADCDCOCO交BD于点F．2(1)写出图中一个与∠相等的角∶(2)求证∶=CF；；(3)若BC=10BE=6⊙O的半径．(1)∠=∠ABD(答案不唯一)(2)见解析5103(3)⊙O的半径为(1)根据圆周角可得∠=∠ABD；(2)延长CF交AB于M∠ACF=∠BCFCM⊥ABBE⊥AC得到∠ACF=∠ABD∠=∠ABD=∠ACF=∠BCF=CF；12(3)连OACE=8AE=2AB=210AM=AB=10CM后在Rt△中利用勾股定理求半径即可．(1)由圆周角可得：∠=∠ABD，故答案为：∠ABD(答案不唯一)；(2)延长CF交AB于M，∵AC=BCCO交BD于点F12∴∠ACF=∠BCFCM⊥ABAM=AB∵BE⊥AC，∴∠BEC=∠AMC=90°，∴∠ACF=∠ABD=90°-∠CAB，∴∠=∠ABD=∠ACF=∠BCF，∵BE⊥AC，∴∠CED=∠=90°，∴△CED≌△，∴=CF；(3)连OA，∵BC=10BE=6，∴CE=BC2-CE2=8AC=BC=10∴AE=AC-CE=2，∴AB=AE2+BE2=210，1∴AM=AB=102∴CM=AC2-AM2=310，∴=CM-OA=310-OARt△中，2+AM2=2，3∴310-OA2+10=25103解得OA=，5103∴⊙O的半径为．4.(2024·陕西咸阳·模拟预测)Rt△ABC中，∠ACB=90°BC是⊙O的直径，⊙O与边AB交于点DE为BDCEAB交于点F．(1)求证：AC=AF．(2)当F为ABFC=2．(1)见详解(2)见详解(1)连接EOBD于点NE为BDOE⊥BD∠+∠=90°据EO=OC∠OEC=∠OCE∠ACF=∠AFC12(2)连接EBRt△ABCBF=AF=FC=AB∠ABC=∠FCBE为BD∠EBD=∠FCB∠EBD=∠ABC△EBF∽△CBA(1)连接EOBD于点N∵E为BD的中点，∴OE⊥BD，∴∠ENF=90°，∴∠+∠=90°，∴∠+∠AFC=90°，∵EO=OC，∴∠OEC=∠OCE，∵∠ACB=90°，∴∠ACF+∠OCE=90°，∴∠ACF+∠OEC=90°，∵∠+∠AFC=90°，∴∠ACF=∠AFC，∴AC=AF；(2)连接EB∵在Rt△ABC中，F为AB的中点，12∴BF=AF=FC=AB，∴∠ABC=∠FCB，4∵E为BD的中点，∴=BE，∴∠EBD=∠FCB，∴∠EBD=∠ABC，∵BC是⊙O的直径，∴∠BEC=90°，∴∠BEC=∠ACB，又∵∠EBD=∠ABC，∴△EBF∽△CBA，ACACBFABBFAB∴=，12即==，∴2=AC，∵AF=FC(1)已证明AC=AF，即FC=2．2遇弦作弦心距解决有关弦长的问题】5.(23-24九年级上·云南昆明·期末)5的⊙OABEAB==8OE的长为()A.3B.3C.2332D⊥AB于M⊥CB于NOAOCBM=AM=4DN=CN=4，根据勾股定理求出和证明四边形⊥AB于M⊥CB于NOAOC．∴AM=BM=4CN=DN=4，∵OA=OC=5，∴=2-AM2=52-42=3=OC2-CN2=52-42=3∴=，∵AB⊥CD，∴∠=∠=∠MEN=90°，∴四边形是矩形，∵=，∴四边形是正方形，∴OE=2=32，5故选：D．6.(23-24九年级上·山东潍坊·期末)如图，⊙O的半径是4P是弦ABOPOP=6∠APO=30°弦AB的长为()52A.27B.7C.5A30°OAOA=4点O作⊥AB交AB于点DADAB的长．OAOA=4点O作⊥AB交AB于点D，∵若OP=6∠APO=30°∴=OP÷2=6÷2=3，则AD=2-2=∴AB=2AD=27．故选：A．42-32=7=77.(23-24九年级下·上海·阶段练习)如图，⊙O和⊙O相交于A和BA作OO的平行线交两圆1212于CD知OO=20cm=cm．1240OE⊥于点EOF⊥于点F12定理得到AE=CEAF=DFOOFE=OO=20cm1212换即可得到．OE⊥于点EOF⊥于点F，12∴OE∥OFAE=CEAF=DF，12∵OO∥CD，12易得四边形OOFE为矩形，12∵OO=20cm，12∴=OO=20cm，12∴=CE+AE+AF+DF=2AE+AF=2=40cm，故答案为：40．68.(23-24九年级上·福建厦门·期末)关于x的一元二次方程2ax2+2cx+2b=0abc满足a2+b2=c2且c≠0(1)x2ax2+2cx+2b=0必有实数根.(2)AB是半径为5的⊙O的两条平行弦，AB=2a=2bx的方程2ax2+10x+2b=0.①求∠BDC的度数，②直接写出BD的长：(用含ab的式子表示).(1)见解析(2)①∠BDC=45°2a+b(1)根据一元二次方程根的判别式即可判断；(2)②过点D作ABGAB∥CD∠GBD=∠BDC=45°(1)证明：∵关于x的一元二次方程2ax2+2cx+2b=0∴a2+b2=c2且c≠0a≠0，Δ=2c2-4⋅2a⋅2b=4c2-8ab=4a2+b2-8ab=4a2+b2-2ab=4a-b2，∵a-b2≥0，∴Δ≥0，∴方程必有实数根；(2)∠BDC=45°作OE⊥AB于EEO交于FOBOC，∵DC∥AB，∴⊥CD，∴AE=BE=aCF=DF=b，∵BE2+OE2=OB2，∴a2+OE2=52，∵2ax2+10x+2b=0∴a2+b2=52，∴OE=b=CF；∵OB=OC，7∴Rt△BOE≌Rt△OCFHL；∴∠FOC=∠OBE，∵∠OBE+∠EOB=90°，∴∠FOC+∠EOB=90°，∴∠COB=90°，12∴∠BDC=∠BOC=45°．D作ABG是矩形，∴DG==a+b，∵AB∥CD∠GBD=∠BDC=45°∴=2DG=2a+b故答案为：2a+b．39.(2024·安徽合肥·一模)如图，AB是⊙O的直径，是⊙O的一条弦，AB⊥于点M接．(1)若∠=54°∠的度数；(2)AC的延长线相交于点FCE是⊙OBF于点ECE⊥DF：AC=．(1)36°(2)见详解(1)根据等腰三角形的性质得到∠=∠OBD=54°∠DOB=180°-∠OBD-∠=72°，根据垂径定理得到BC=BD(2)连接OCBCOC⊥CE∠ACO=∠F性质得到∠A=∠ACOAB=BFAC=CF解题的关键．(1)解：∵=OB，∴∠=∠OBD=54°，∴∠DOB=180°-∠OBD-∠=72°，∵AB是⊙O的直径，AB⊥CD，∴BC=BD，12∴∠=∠=36°，故∠的度数为36°；(2)OCBC，∵CE是⊙O的切线，8∴OC⊥CE，∵CE⊥DF，∴OC∥DF，∴∠ACO=∠F，∵OA=OC，∴∠A=∠ACO，∴∠A=∠F，∴AB=BF，∵AB是⊙O的直径，∴BC⊥AF，∴AC=CF，∵∠A=∠，∴∠=∠F，∴=CF，∴AC=．10.(2024九年级上·湖北武汉·期中)如图，AB为⊙OC为BE的中点，⊥AE交直线AE于D点．(1)求证：OC∥AD；(2)若=1,=2⊙O的直径．(1)见解析(2)5(1)证明OC⊥EBAD⊥BE即可得出结论；(2)设BE交OC于点TOB=OC=r(1)BE∵AB为⊙O的直径，∴∠AEB=90°AD⊥BE，∵点C为BE的中点，∴EC=CB，∴OC⊥EB，∴OC∥AD；(2)BE交OC于点T∵⊥AD，∴∠D=∠=∠CTE=90°，∴四边形是矩形，∴=ET=2,=CT=1，9∵OC⊥EB，∴BT=TE=2，设OB=OC=r，则r2=r-12+22，52∴r=，∴AB=2r=5⊙O的直径为5；,11.(2024·浙江温州·三模)△ABC中，∠ACB=90°AB=4AC=3E是ACCE为直径作⊙F接BE交⊙F于点DAD的最小值为．43-72DC以CE为直径作⊙F∠=90°∠=90°D在以BC为直径的圆上ADOAD≥AO-△ABC中，∠ACB=90°AB=4AC=3，∴BC=AB2-AC2=42-32=7连接DCCE为直径作⊙FBC=4AC=5，∴∠=90°∠=90°，∴动点D在以BC为直径的圆上运动，O为圆心，当ADO在一直线上时，722432AO=32+=4327243-7∴AD≥AO-=-=243-7即AD的最小值为43-72故答案为：．212.(23-24九年级上·福建莆田·期中)如图，AB是半圆O的直径，AB=10D在半圆O上，AD=6C是弧BDACD点作DH⊥AC于HBHC移动的过程中，BH的最小值是．1073-3/-3+73BDAD的中点EBEH在以点E为圆心，AEB、HE三点共线时，BHBDBEEHBH=BE-EHBH的长．BDAD的中点E接BE，∵DH⊥AC，∴点H在以点E为圆心，AEBHE三点共线时，BH取得最小值，∵AB是直径，∴∠B=90°，在Rt△B中，∵AB=10AD=6，∴由勾股定理得：BD=AB2-AD2=100-36=8，∵E为AD的中点，1∴=AD=3，2在Rt△中，∵BD=8=3，∴由勾股定理得：BE=2+BD2=9+64=73，又∵DH⊥AC点E为AD的中点，1∴EH=AD=3，2∴BH=BE-EH=73-3．故答案为：73-3．能够判断出动点的运动轨迹是解本题的关键．413.(2024·贵州·模拟预测)Rt△ABC中，∠ACB=90°P为边BCAPA，12PAPEF交AB于点DD为圆心，长AB于点MBC恰好是⊙D的切线．若∠B=30°AC=3BM的长为()112333334A.B.C.3A30°直于经过切点的半径是解题的关键．连接DPAD=DP质求得AB=23∠DPB=90°△BPD∽△BCEDP，由题意可得，是AP的垂直平分线，∴AD=DP，设AD=DP=r，∵∠B=30°AC=3，∴AB=23，∵BC是⊙O的切线，∴∠DPB=90°，∵∠ACB=90°，∴∠DPB=∠ACB=90°，∴DP∥AC，∴△BPD∽△BCE，BDAB23-r23DPAC∴∴=，r3=，233∴r=，233433∴AD=∴AM=，，433233∴BM=AB-AM=23-故选：A=，14.(2024·辽宁大连·一模)如图，△ABC内接于⊙OAD是⊙O的直径与BC交于点F∠CAD=45°B点的切线交AD的延长线于点E．12(1)若∠C=64°∠E的度数；(2)⊙O的半径是3=1BE的长．(1)38°(2)BE的长为4(1)连接OB∠OBE=90°∠AOB=2∠C∠C=64°得到∠AOB=128°∠BOE=180°-128°=52°(2)连接OCOB∠=2∠CAD=2×45°=90°=BERt△OBE中据勾股定理得，OE2=OB2+BE2BE==xx+1=32+x2(1)OB，∵BE是⊙O的切线∴OB⊥BE∴∠OBE=90°∵AB=AB∴∠AOB=2∠C∵∠C=64°∴∠AOB=128°∴∠BOE=180°-128°=52°∴∠E=90°-52°=38°(2)OCOB，∵=∴∠=2∠CAD=2×45°=90°∴∠1+∠3=90°∵OC=OB∴∠1=∠2∵∠OBE=90°∴∠2+∠4=90°∴∠3=∠4∵∠3=∠5∴∠4=∠5∴=BE在Rt△OBE中，∠OBE=90°，根据勾股定理得，OE2=OB2+BE2设BE==xOB=3=1得，x+1=32+x2解得，x=413∴BE的长为4．15.(2024·福建泉州·模拟预测)已知AB与⊙O相切于点BAO与⊙O相交于CD两点(AO>AC)E为BDOEAB的延长线于点F．(1)E为∠A的大小；(2)BD与相交于点G：∠D=∠F．(1)30°(2)见解答(1)连接OB∠OBF=90°∠=60°∠DOE=∠BOE=60°∠AOB=60°∠A的度数；(2)连接OBOE⊥BD∠OBD=∠F上∠OBD=∠D∠D=∠F．(1)OB∵AB与⊙O相切于点B，∴OB⊥AF，∴∠OBF=90°，∵E为的中点，∴OE=，∴=2OB，OB12在Rt△OBF中，∵cos∠==，∴∠=60°，∵点E为BD的中点，∴∠DOE=∠BOE=60°，∴∠AOB=60°，∴∠A=90°-60°=30°；(2)OB∵点E为BD的中点，∴OE⊥BD，∴∠OGB=90°，∵∠OBD+∠=90°∠+∠F=90°，∴∠OBD=∠F，∵OB=，∴∠OBD=∠D，∴∠D=∠F．16.(23-24九年级上·北京西城·期中)如图，AB为⊙O的直径，CB分别切⊙O于点BD交14的延长线于点ECO的延长线交⊙O于点G⊥OG于点F．若BC=6=4．(1)求证：∠FEB=∠ECF；(2)求⊙O的半径长．(3)求线段的长．(1)证明见解析(2)3(3)25(1)根据切线的性质及证得△≌△COB∠=∠OCB求证结论；(2)设=xOB=xOE=8-xRt△BCE和Rt△OED(3)在Rt△OED和Rt△OE=5OC=35求解；(1)，∵CB是⊙O的切线，∴CB=CD∠=∠OBC=90°，=OB在△和△COB中，∠=∠CBO，=CB∴△≌△COB()，∴∠=∠OCB，∵⊥OG，∴∠+∠=90°，∵∠BOC+∠BCO=90°∠=∠BOC，∴∠FEB=∠OCB，∴∠FEB=∠ECF．(2)(1)得：=CB=6，∵=4，∴CE=+=10，在Rt△BCE∴BE=EC2-BC2=102-62=8，在Rt△OED中=x，则OB=xOE=8-x，15由勾股定理得：2+2=OE2，即：42+x2=8-x，解得：x=3，∴=3，即⊙O的半径为3．(3)Rt△OED和Rt△OE=2+2=32+42=5，OC=2+2=32+62=35，∵∠FEO=∠DCO∠=∠=90°，∴△∽△COD，OEOC6535∴=：=，∴=25．辅助线是解本题的关键．5遇90°17.(2024·安徽合肥·一模)内接于⊙O∠=90°BC=C作CE=CEAD的延长线于点E．(1)求证：AB=AE．(2)若AD==2的长．(1)见解析(2)10(1)ACBC=推出∠=∠EACBC=CE∠B=∠E△ABC≌△AECAASAB=AE．(2)先证明BD是⊙O∠=90°．由(1)可得AB=4．在Rt△ABD中求出BD=2522Rt△中，=BC=BD=10．(1)AC．∵BC=CD，∴BC=CD，∴∠=∠EAC．∵=CE，∴∠E=∠BC=CE．∵∠B+∠ADC=180°∠+∠ADC=180°，∴∠B=∠，∴∠B=∠E．16∠=∠EAC，BC=CE，在△ABC与△AEC中，∠B=∠E，∴△ABC≌△AECAAS，∴AB=AE．(2)BD．∵∠=90°，∴BD是⊙O的直径，∴∠=90°．由(1)可得AB=AE．∵AD==2，∴AB=4．在Rt△ABD中，BD=AB2+AD2=25；22在Rt△中，=BC=BD=10．90度圆周角和直角三角形是解题的关键．⏜18.(2024·浙江嘉兴·模拟预测)内接于⊙O,AB=2,BC=23AB的长为()132333233A.πB.πC.ππBACBDABOA=OB=2△AOBACBD，∵四边形是矩形，∴∠=∠ABC=90°，∴ACBDO是线段AC的中点，∴在Rt△ABC中，AC=AB2+BC2=22+232=4，12∴OB=AC=2=OA，∴OA=OB=AB=2，∴△AOB是等边三角形，∴∠AOB=60°，nπr18060π×218023∴l===π17故选：B．19.(23-24九年级下·四川成都·开学考试《墨子·数学之美．如图，正方形的边长为2．以它的对角线的交点为位似中心，作它的位似图形C:AB=2:1C的外接圆半径为．22的边长为2和位似比求出=4题关键求出正方形的边长．C，∵正方形与四边形C是位似图形，∴四边形C是正方形，∴∠C=90°∴C是四边形C的外接圆直径，∵正方形的边长为2:AB=2:1∴=4∴AC=42+42=42∴四边形C的外接圆半径为22，故答案为：22．20.(2024·江西景德镇·三模)xOy中，⊙P经过点Oy轴交于点A0,6x轴交于点B8,0OP的长为．590ABABP在ABABAB，∵∠AOBABO都在圆上，∴ABP在AB上，18∵A0,6B8,0，∴OA=6OB=8，∴AB=2+OB2=10，1∴OP=AB=5，2故答案为：5．621.(23-24九年级上·四川泸州·阶段练习)如图，⊙O的直径AB=8=3在圆上滑动(CD与点AB不重合)点C作CP⊥AB于点P，若M是PM的最大值是．4CP交⊙O于点KCP=12PKPM=KDKD最大时，PMKD为直径时，KDCP交⊙O于点K，∵AB⊥CK，∴CP=PK，∵M是的中点，∴PM是△CKD的中位线，1∴PM=KD，2∴当KD最大时，PM的值最大，即当KD为直径时，KD的值最大，∵⊙O的直径AB=8，1212∴PM=KD=AB=4，故答案为：4．22.(2024九年级上·浙江台州·期中)△ABC中，AB=5AC=4BC=3C且与边AB相切的动圆与CACB分别相交于点PQPQ长度的最小值是．1912/2.4/2255FF与AB的切点为DFDCFCDFD⊥AB△∠ACB=90°FC+FD=QPFC+FD≥CDPQ为圆F点F在直角三角形ABC的斜边AB的高上时，PQ=为圆F△ABC的面积即可求解．FF与AB的切点为DFDCFCD，∵圆F与AB相切，∴FD⊥AB，∵在△ABC中，32+42=52BC2+AC2=AB2，∴△∠ACB=90°，1∴CF=QP，2又∵CF=FD，∴FC+FD=QP，∵FC+FD≥CDPQ为圆F的直径，∴当点F在直角三角形ABC的斜边AB的高上时，PQ=为圆F的直径，1212∵S=BC⋅AC=AB⋅CD，112∴×4×3=×5×CD，2125∴=，125故答案为：．根据题意可知当点F在直角三角形ABC的斜边AB的高上时，PQ=有最小值是解题的关键．23.(2024·江苏徐州·三模如图1P是⊙OPO分别交⊙O于点AB．小明认为线段是点P到⊙O⊙O上任意取一个不同于点A的点C接OCCP有OP<OC+PCOP-OC<PCOA=OC得OP-OA<PC<PC是点P到⊙O上各点的距离中最短的线段．小红认为在图1PB是点P到⊙O说明理由．20如图3Rt△ABC中，∠ACB=90°AC=BC=2BC为直径的半圆交AB于DP是上的一APAP的最小值是；如图42的菱形中，∠A=60°M是AD边的中点，N是AB△AMN沿MN所在的直线翻折得到△MN接CC长度的最小值．如图5C在以AB为直径，O为圆心的半圆上，AB=4BC为边作等边△BCDAD的最大值是．5-17-123+2∶根据三角形的任意两边之和大于第三边即可得解；直接运用∶取半圆的圆心O接OA交半圆于点MP与点M重合时，OA=22+12=5M=AMAD都在以AD为直径的圆上．如图3点M为圆心，MA为半径画⊙MMC．当C在MCM作MH⊥DC于点F性质及勾股定理即可得解；AB的上方作等边△ABHDHBH的中点G连接DG△ABC≌△HBD∠BDH=∠ACB=90°D在以BH勾股定理及三角形的两边之和大于第三边即可得解．∶小红的说法正确，在圆О上任意取一个不同于点B的点COCOP，21∵在△POC中，OP+OC>PC．OB=OC，∴OP+OB>PCPB>PC．∴线段PB是点Р到圆О上各点的距离中最长的线段．∴小红的说法正确；直接运用∶取半圆的圆心O接OA交半圆于点MP与点M重合时，最小，∵∠ACB=90°AC=BC=2，∴OC=1OC2+AC2=2，∴OA=22+12=5，∴的最小值为OA-AM=5-1故答案为：5-1．M=AM，∵M是AD的中点，∴MA=MA=MD，∴点AD都在以AD为直径的圆上．如图3M为圆心，MA为半径画⊙MMC．当C在MC上，过点M作MH⊥DC于点F，∵在边长为6的菱形中，∠A=60°M为AD中点，∴2MD=AD==2∠HDM=60°，∴∠HMD=30°，1212∴HD=MD=．3252∴HM=DM×cos30°=,HC=，∴MC=HM2+HC2=7，∴C=MC-MA=7-1；AB的上方作等边△ABHDHBH的中点G连接DG，∵AB是半圆的直径，∴∠ACB=90°，∵△ABH和△都是等边三角形，∴AB=BH=AH=4BD=BC=DC∠ABH=∠CBD=60°即∠ABC+∠CBH=∠CBH+∠HBD，∴∠ABC=∠HBD，∴△ABC≌△HBD，∴∠BDH=∠ACB=90°，∴点D在以BH为直径的半圆上，∵G是BH的中点，AB=AH=BH=4，∴AG⊥BHBG=DG=HG=2，∴AG=AB2-BG2=42-22=23，∴根据三角形的两边之和大于第三边可得AD的最大值为AG+DG=23+2，故答案为：23+2．2224.(23-24九年级上·河南开封·阶段练习)G(0,3)6的圆与x轴交于ABy轴交于CDE为⊙G上一动点，CF⊥AE于FE在GFG的长度的最小值为．33-3/-3+3330三角形是解题的关键．过点G作GM⊥AC于点FAG．得到点F在MG的延长线上时，FG的长度的=FM-GMG作GM⊥AC于点FAG，∵GO⊥AB，∴OA=OB，∵G(0,3)，∴OG=3，在Rt△AGO中，AG=6,OG=3，∴OA=AG2-GO2=33，∴∠GAO=30°,AB=2AO=63，∴∠AGO=60°，∵GC=GA=6，∴∠GCA=∠GAC，∵∠AGO=∠GCA+∠GAC，∴∠AGO=∠GAC=30°，12∴AC=2OA=63,MG=CG=3，∵∠AFC=90°，∴点F在以AC为直径的⊙M上，AC2∴MF==33，点F在MG的延长线上时，FG=FM-GM=33-3，故答案为：33-3．725.(2024·贵州六盘水·二模)内接于⊙OAD为直径，平分∠ADCCA=与CA交于点EAB,DC交于点F．23(1)直接写出线段AB与线段BC的数量关系；(2)求证：△AFC≌△；(3)设△ABD的面积为S△的面积为SS1的值．12S2(1)AB=BC(2)见解析(3)2(1)(2)证明△AFC≌△即可；(3)过点C作CH⊥∠=∠ABD=90°AD=2+2=2CD，ABCHAD证明△ABD∽△CHD==2(1)OB,OC：∠AOB=2∠,∠BOC=2∠，∵平分∠ADC，∴∠=∠，∴∠AOB=∠BOC，∴AB=BC，∴AB=BC；(2)∵AD为直径，∴∠=90°，∴∠ACF=90°=∠ACD，又∵∠=∠CA=CD，∴△AFC≌△；(3)过点C作CH⊥∠CHD=90°∵AD为直径，∴∠=∠ABD=90°，∵CA=CD，∴AD=2+2=2CD，∵∠ABD=∠CHD=90°,∠=∠，∴△ABD∽△CHD，ABCHADAB⋅BD∴==2，1212S1==ABCH=2．∴S2CH⋅BD26.(2024·吉林长春·模拟预测)已知是⊙O的直径，=6．点AD和点E在同一条直24线上．且AD=2．过点A另一条直线交⊙O于BC．(1)如图1AC=5CEBD可以得到△ABD∽△AECAB长．请写出完整的解答过程．(2)如图2BC重合于一点时，AC=．．(3)如图3OB平分∠AOC时，AC=165(1)AB=(2)48105(3)ADACABAE165(1)连接BDCE△ABD∽△AEC=AB=．(2)连接OCBC重合于一点时，AC与⊙O相切于点C∠ACO=90°AC=AO2-OC2=52-32=4．12(3)连接BD∠AOB=∠COB=∠AOC=BC△ABD∽△AOBABAOADABBDOBAB52ABBD33105====出AB=10BD=(1)BDCE∵=6AD=2，∴AE=AD+=2+6=8，∵∠ABD+∠CBD=180°∠CBD+∠E=180°，∴∠ABD=∠E，∵∠=∠EAC，∴△ABD∽△AEC，ADAC2ABAE∴∴=，AB8=，516解得：AB=．5(2)OC∵当BC重合于一点时，AC与⊙O相切于点C，∴∠ACO=90°，∵=6，∴OC==OE=3，∴AO=AD+DO=2+3=5，∴AC=AO2-OC2=52-32=4．(3)BD25∵OB平分∠AOC，12∴∠AOB=∠COB=∠AOC，∴=BC，∵OC=OE，∴∠OCE=∠OEC，∵∠AOC=∠OCE+∠OEC，12∴∠OCE=∠OEC=∠AOC，∴∠DOB=∠OEC，根据解析(1)可知：∠ABD=∠AEC，∴∠ABD=∠AOB，∵∠B=∠OAB，∴△ABD∽△AOB，ABAOAB5ADAB2BDOBBD3∴====，，即AB3105解得：AB=10BD=，31058105∴AC=AB+BC=AB+BD=10+=．27.(23-24九年级下·福建厦门·阶段练习)AB为直径的⊙O与AH相切于点AC在AB左侧⊥AB交⊙O于点DACADA关于的对称点为ECE交⊙O于点FAH于点G．(1)求证：∠CAG=∠AGC；CE25DPCP(2)当点E在ABAF交于点P=的值；(3)当点E在射线AB上，AB=2AE的长．(1)见解析57(2)3-5(3)2-2或2(1)设AB与相交于点M⊙O与AH相切于点A∠=90°⊥AB∠AMC=90°AG∥CD∠CAG=∠ACD∠AGC=∠FCDA26关于的对称点为E得到∠=∠即可证明．(2)过F点作FK⊥AB于点KAB与交于点NDF∠=∠ADC得到DP=APKEENCE25明△≌△FPD得到PF=PC△∽△NEC及△APN∽△AFK得到==和AFANAK512==(3)OC∥AFAC∥(1)AB与相交于点M，∵⊙O与AH相切于点A，∴∠=90°，∵⊥AB，∴∠AMC=90°，∴AG∥CD，∴∠CAG=∠ACD∠AGC=∠FCD，∵点A关于的对称点为E，∴∠=∠ACD，∴∠CAG=∠AGC．(2)F点作FK⊥AB于点KAB与交于点NDF由同弧所对的圆周角相等可知：∠=∠，∵AB为⊙O⊥ABAC=AD，∴∠=∠ADC，∵点A关于的对称点为E，∴∠=∠ACD，∴∠=∠=∠=∠ADC∠=∠ADC，∴DP=AP，由同弧所对的圆周角相等得：∠ACP=∠DFP∠=∠FPD，∴△≌△FPD，∴PC=PF，∵FK⊥ABAB与交于点N，∴∠FKE=∠CNE=90°．∵∠=∠NEC∠FKE=∠CNE=90°，∴△∽△NEC，KEENCE25∴==，设KE=2x,EN=5x，∵点A关于的对称点为E，∴AN=EN=5xAE=AN+NE=10xAK=AE+KE=12x，又FK∥PN，∴△APN∽△AFK，AFANAK5x12x512∴===．∵∠=∠，∴CF∥AD，DPCPAPPFAPAF-AP57∴===；27(3)OC∥AFOC∠AGF=α∠CAG=∠=∠DCF=∠AFG=α，∵OC∥AF，∴∠OCF=∠AFC=α，∵OC=OA，∴∠OCA=∠OAC=3α，∵∠OAG=45°，∴4α=90°，∴α=22.5°，∵OC=OA=，∴∠=∠OCF-∠AFC=22.5°，∴∠=∠OAF=45°，∴AF=2=2OC，∵OC∥AF，AEOEAFOC∴==2，∴AE=2OE，∵OA=1，2∴AE==2-2；1+2AC∥OC，设∠AGF=α，∵∠ACF=∠+∠DCF=2α，∵AC∥，∴∠CFO=∠ACF=2α，∴∠CAO=∠ACO=4α，∵∠AOC+∠OAC+∠ACO=180°，∴10α=180°，∴α=18°，∴∠COE=∠ECO-∠CFO=36°，∴△OCE∽△FCO，∴OC2=CE⋅CF，∴1=CECE+1，5-1∴CE=AC=OE=∴AE=OA-OE=，；23-523-5AE的长为2-2或，228.(2024九年级上·上海·专题练习)已知AB是⊙OC在⊙OCOAB于点D=CB．28⏜⏜(1)如图1果BO平分∠ABC：AB=BC；(2)如图2果AO⊥OBAD:的值；(3)延长线段AO交弦BC于点E果△EOB⊙O的半径长等于2弦BC的长．(1)见解析33(2)(3)5+1或22(1)证明△≌△OBC即可解决问题．(2)如图2DM⊥OB于MDN⊥OA于N=a．首先证明∠=∠CBD=75°形求出ADBD(用a表示)即可解决问题．(3)由∠OEB=∠C+∠COE>∠OBEOE≠OB3-1BO=BE3-2EO=EB(1)1中，∵BO平分∠ABC，∴∠ABO=∠CBO，∵OB=OA=OC，∴∠A=∠ABO∠C=∠OBC，∴∠A=∠C，∵OB=OB，∴△≌△OBCAAS，∴AB=BC，⏜⏜∴AB=BC．(2)2中DM⊥OB于MDN⊥OA于N=a．∵OA⊥OB，∴∠=∠DMO=∠DNO=90°，∴四边形是矩形，∴DN==a，∵OA=OB∠AOB=90°，∴∠A=∠ABO=45°，∵OC=OB=CB，∴∠C=∠OBC∠=∠CBD，∵∠C+∠+∠CBD=180°，∴3∠C+90°=180°，∴∠C=30°，∴∠=∠CBD=75°，29∵∠DMB=90°，∴∠=∠=45°，∴DM=BM∠=30°，∴DM=3=3aDN=2DM=6aAD=2DN=2a，AD2a6a33∴==．(3)3-1中BO=BE时，∵=CB，∴∠=∠CBD，∴∠A+∠=∠+∠OBC，∵∠A=∠ABO，∴∠=∠OBC=∠C，∵=∠COE，∴∠C=∠COE=∠CBO，∵∠C=∠C，∴△OCE∽△BCO，OCBCCEOC∴∴=，2EC=，2+EC2∴EC2+2EC-4=0，解得EC=-1+5或-1-5(舍弃)，∴BC=5+1．如图3-2EO=EB△OEB是等腰直角三角形，22∴EO=EB=EC=OB=2，∴BC=22，∵∠OEB=∠C+∠COE>∠OBE，∴OE≠OB，综上所述，BC的值为5+1或22．于中考压轴题．829.(2024九年级上·北京海淀·阶段练习)如图1中F在边BCF作⊥BC，且FE=FC(CE<CB)接CEAEG是AEFG．30(1)用等式表示线段BF与FG的数量关系：；(2)将图1中的△绕点C△的顶点F恰好在正方形的对角线AC上，点G仍是AEFGDF．①在图2②用等式表示线段DF与FG的数量关系并证明．(1)BF=2FG(2)DF=2FG(1)先判断出△AGB≌△CGB到∠GBF=45°△≌△CFG∠GFB=45°得到△BGF(2)①画图22BFBG明△ADF≌△ABF得DF=BF质得：AG=EG=BG=FGAFEB在以点G为圆心，AG长为半径的圆上，∠BGF=2∠=90°△BGF(1)BF=2FG，1BGCG，∵四边形为正方形，∴∠ABC=90°∠ACB=45°AB=BC，∵⊥BCFE=FC，∴∠CFE=90°∠ECF=45°，∴∠ACE=90°，∵点G是AE的中点，∴EG=CG=AG，∵BG=BG，∴△AGB≌△CGB(SSS)，12∴∠ABG=∠CBG=∠ABC=45°，∵EG=CG=CFFG=FG，∴△≌△CFG(SSS)，1212∴∠=∠CFG=(360°-∠BFE)=(360°-90°)=135°，∵∠BFE=90°，∴∠BFG=45°，∴△BGF为等腰直角三角形，∴BF=2FG．故答案为：BF=2FG；(2)①如图2所示，②DF=2FG如图2BFBG，∵四边形是正方形，∴AD=AB∠ABC=∠=90°AC平分∠BAD，∴∠=∠=45°，∵AF=AF，∴△ADF≌△ABF()，∴DF=BF，∵⊥AC∠ABC=90°G是AE的中点，31∴AG=EG=BG=FG，∴点AFEB在以点G为圆心，AG长为半径的圆上，∵BF=BF∠=45°，∴∠BGF=2∠=90°，∴△BGF是等腰直角三角形，∴BF=2FG，∴DF=2FG．△BGF30.(23-24九年级上·湖南长沙·阶段练习)△ABC中，∠ACB=90°AC=4BC=3∠CPB=∠A点C作CPBP的延长线交于点QCQ的最大值为()154165A.4B.5C.C34∠PCQ=∠ACB=90°∠CPB=∠A△CPQ∽△CABQC=PCPC有最大值时，CQ∠CPB=∠AACBPPCPC∠ACB=90°到ABPC=AB=AC2+BC2=5∵CQ⊥CP∴∠PCQ=∠ACB=90°∵∠CPB=∠A∴△CPQ∽△CABPCACP