初中数学将军饮马五大模型七类题型及答案

将军饮马五大模型七类题型(模型梳理与题型分类讲解)1.2.3.中垂线上的点到线段两端点的距离相等；4.垂线段最短.如图1l和l的异侧两点A.Bl上求作一点P+PB最小；图1如图2l和l的同侧两点A.Bl上求作一点P+PB最小(同侧转化为异侧)；图2如图3P是∠上作点AB。使△的周长最小。图3如图4PQ为∠上作点AB。使四边形B的周长最小。1图4(垂线段最短)型】如图5A是∠上作点P与点P到射线的距离之和最小。图5(作)如图6A是∠上作点P，使与点P到射线的距离之和最小。图6.......................................................3;(两点之间线段最短)型...................................6;(垂线段最短)型.........................................9；.......................................................12;(等线段)转化型.........................................14;2.........................................................18;.........................................................21;1.(23-24八年级上·河北廊坊·期中)△ABC中，∠=90°AB=12AC=16BC=20△ABC沿射线BMA与BC边上的点D重合．(1)线段的长是；(2)若点E是射线BM△周长的最小值是．2.(22-23八年级上·广西南宁·期末)E在等边△ABC的边BC上，BE=4⊥BC为点CP是射线F是线段ABEP+FP的值最小时，BF=5AB的长为．3.(23-24八年级下·河南郑州·阶段练习)△ABC中，AB=AC．在ABAC上分别截取AP、12AP=．再分别以点PQPQ∠内交于点RARBC于点D．已知BC=5AD=6．若点MN分别是线段AD和线段AB上的动点，则BM+MN的最小值为．3一定两动(两点之间线段最短)型；4.(23-24七年级下·陕西西安·期末)△ABC中，∠ABC=30°AC=4△ABC的面积为5，P为△ABCP关于ABBCAC的对称点PPPPPPP2PP+12312312PP3的最小值为．5.(23-24八年级上·北京海淀·期中)∠=30°∠的内部有一点PA为上一动点，B为上一动点，OP=a△的周长最小时，∠APB=度，△B的周长的最小值是．6.(22-23八年级上·新疆乌鲁木齐·期末)∠AOB的大小为αP是∠AOBOP=5EF分别是OAOB△周长的最小值等于5α=()A.30°B.45°C.60°90°】一定两动型(垂线段最短)；7.(2024八年级上·全国·专题练习)Rt△ABC中，∠ACB=90°AC=3BC=4AD是∠的PQ分别是AD和ACPC+PQ的最小值是()4A.2.4B.3C.458.(23-24七年级下·广东深圳·期末)ABC中，AB=ACAD⊥BCD为垂足，EF分别是ADAB上的动点．若AB=6△ABC的面积为12BE+的最小值是()A.2B.4C.689.(23-24八年级·江苏·假期作业)△ABC中，AB=AC=10,BC=12,AD=8AD是∠的平分线．若PQ分别是AD和ACPC+PQ的最小值是．10.(22-23八年级上·湖北武汉·期末)如图，∠AOB=20°MN分别是边OAOB上的定点，PQ分别是边OBOA∠OPM=α∠OQN=βMP+PQ+QNαβ的数量关系正确的是()5A.β-α=30°B.β+α=210°C.β-2α=30°β+α=200°(等线段)转化型；11.(23-24九年级下·广西南宁·开学考试)如图，△ABC是等边三角形，AB=4．过点A作AD⊥BC于点DP是直线ADCPCP的下方作等边△CPQDQDQ的最小值为．12.(23-24八年级下·湖北武汉·阶段练习)Rt△ABC中，∠=90°AC=6BC=10DE分别是ABBCCE=BD接AECDAE+的最小值为．13.(2024·安徽合肥·二模)如图，△ABC和△∠=∠E=120°AB=8O是ACD在直线BCOED运动过程中，OE的最小值为()64332A.42B.3C.214.(2023·辽宁锦州·中考真题)Rt△ABC中，∠ACB=90°∠ABC=30°AC=412AC和AB上分别截取ADAEAD=AE．②分别以点D和点E的∠内交于点M．③作射线AM交BC于点F．若点P是线段AF上的一个12CPCP+AP的最小值是．15.(2020·新疆·中考真题)△ABC中，∠A=90°,∠B=60°,AB=4D是BC2AD+DC的最小值为．16.(2024·辽宁葫芦岛·二模)在△ABC中，∠ABC=60°BC=4AC=5DE在ABACAD=CE+BE的最小值是．717.(23-24八年级上·湖北武汉·阶段练习)△ABC中，∠=100°BD平分∠ABCN为BDM为BCBN=MC当AM+AN的最小值为4时，AB的长度是．8将军饮马五大模型七类题型(模型梳理与题型分类讲解)1.2.3.中垂线上的点到线段两端点的距离相等；4.垂线段最短.如图1l和l的异侧两点A.Bl上求作一点P+PB最小；图1如图2l和l的同侧两点A.Bl上求作一点P+PB最小(同侧转化为异侧)；图2如图3P是∠上作点AB。使△的周长最小。图3如图4PQ为∠上作点AB。使四边形B的周长最小。1图4(垂线段最短)型】如图5A是∠上作点P与点P到射线的距离之和最小。图5(作)如图6A是∠上作点P，使与点P到射线的距离之和最小。图6.......................................................3;(两点之间线段最短)型...................................6;(垂线段最短)型.........................................9；.......................................................12;(等线段)转化型.........................................14;2.........................................................18;.........................................................21;1.(23-24八年级上·河北廊坊·期中)△ABC中，∠=90°AB=12AC=16BC=20△ABC沿射线BMA与BC边上的点D重合．(1)线段的长是；(2)若点E是射线BM△周长的最小值是．824(1)由折叠的性质可得BD=AB=12=BC-BD进行计算即可得到答案；(2)设BM与AC的交点为点FAEDF=AF=AE∠BDF=∠两点之间线段最短可得当点E与点F重合时，AE+CEAC解：(1)由折叠的性质可得：BD=AB=12，∴=BC-BD=20-12=8，故答案为：8；(2)BM与AC的交点为点F接AE，由折叠的性质可得：DF=AF=AE∠BDF=∠，由(1)得：=8，∴△的周长=++CE=8+AE+CE，要是△AE+CE最小，E与点F重合时，AE+CEAC，∴△的周长=8+AC=8+16=24，故答案为：24．2.(22-23八年级上·广西南宁·期末)E在等边△ABC的边BC上，BE=4⊥BC为点CP是射线F是线段ABEP+FP的值最小时，BF=5AB的长为．3730质求最短距离的方法是解答的关键．作点E关于射线的对称点EE作EF⊥AB于F于PPEEP+FP∠E=90°-∠B=30°30度角的直角三角形的性质求得BE=2BF=10CE=3即可求解．E关于射线的对称点EE作EF⊥AB于F于PPEEP=EP，∴EP+FP=EP+FP=EFEP+FPBF=5，∵△ABC是等边三角形，∴∠B=60°AB=BC，在Rt△BFE中，∠E=90°-∠B=30°，∴BE=2BF=10，∵BE=4CE=CE，∴2CE+4=10，∴CE=3，∴AB=BC=3+4=7，故答案为：7．3.(23-24八年级下·河南郑州·阶段练习)△ABC中，AB=AC．在ABAC上分别截取AP、12AP=．再分别以点PQPQ∠内交于点RARBC于点D．已知BC=5AD=6．若点MN分别是线段AD和线段AB上的动点，则BM+MN的最小值为．6013-B作BH⊥AC于点HAD于点M12126013形的性质和勾股定理求出ACS=⋅BC⋅AD=⋅AC⋅BHBH=．作点H关于AD的对称点交AB于点NMN得MH=MN4B作BH⊥AC于点HAD于点M，由作图可知，AD平分∠，∵AB=AC，∴AD⊥BC，1252∴BD==BC=，∵AD=6．521322∴AC=AD2+DC2=62+1=，1∵S=⋅BC⋅AD=⋅AC⋅BH，21322∴5×6=BH，60∴BH=．13∵AB=ACAD⊥BC，作点H关于AD的对称点交AB于点NMNM与MBM+MN最小，∴MH=MN，∴BH=BM+MH=BM+MN，6013则BM+MN的最小值为．60故答案为：13一定两动(两点之间线段最短)型；4.(23-24七年级下·陕西西安·期末)△ABC中，∠ABC=30°AC=4△ABC的面积为5，P为△ABCP关于ABBCAC的对称点PPPPPPP2PP+12312312PP3的最小值为．5△ABC的面积为5，AC⋅BM=5BM=∠ABC=30°和对称构造正三角形，1252将PP转化成BP2PP+PP提取系数21212312PP3与AC交于点QPQ=PP接BPBQBPBPBM312⊥ACM，AC=4△ABC的面积为5，1212∴AC⋅BM=5×4BM=552∴BM=，5根据对称性得BP=BP=BP∠ABP=∠ABP∠CBP=∠CBP，1212∴∠PBP=2∠ABC=60°，12∴△PBP是正三角形，12∴PP=BP=BP，12112∴2PP+PP=2PP+PP=2(BP+PQ)≥2BQ≥2BM=5，123123故答案为：5．PP转化成BP122PP+PP提取系数21235.(23-24八年级上·北京海淀·期中)∠=30°∠的内部有一点PA为上一动点，B为上一动点，OP=a△的周长最小时，∠APB=度，△B的周长的最小值是．120aP关于的交点即为所确OPOP===a∠OA=∠POA∠OB=∠POB△P关于的对称点于点AB此△的周长最小．时连接OP，由轴对称的性质得：OP===a，∠OA=∠POA∠OB=∠POB，∵∠=30°，∴∠=2∠=60°，∴△是等边三角形，∴=OP=a∠O=∠APO∠O=∠BPO，∴∠APB=∠O+∠O=120°，∴△的周长==a，故答案为：120a．-6.(22-23八年级上·新疆乌鲁木齐·期末)∠AOB的大小为αP是∠AOBOP=5EF分别是OAOB△周长的最小值等于5α=()6A.30°B.45°C.60°90°AP关于OA的对称点为C于OB的对称点为DEF在上时，△的周长为PE++FP=CD=5可求出α的度数．P关于OA的对称点COB的对称点DCDOA于EOB于F．此时，△的周长最小．连接OCPEPF．∵点P与点C关于OA对称，∴OA垂直平分PC，∴∠COA=∠AOPPE=CEOC=OP，∠DOB=∠BOPPF=DF=OP．∴∠COA+∠DOB=∠AOP+∠BOP=∠AOB=αOC==OP=5，∴∠=2α．又∵△的周长为：PE++FP=CE++FD==5，∴OC===5，∴△是等边三角形，∴2α=60°，∴α=30°．故选：A．E和F的位置是解题的关键．要使△】一定两动型(垂线段最短)；7.(2024八年级上·全国·专题练习)Rt△ABC中，∠ACB=90°AC=3BC=4AD是∠的PQ分别是AD和ACPC+PQ的最小值是()A.2.4B.3C.45AQ关于AD的对称点，C作CH⊥AB于点HPC+PQ=PC+≥CH7股定理求出ABCH的长即可得到结果．Q关于AD的对称点C作CH⊥AB于点H，∵AD是△ABC的角平分线，Q与关于AD对称，∴点在AB上，PC+PQ=PC+≥CH，∵AC=3BC=4，∴AB=AC2+BC2=5，12121212⋅AC⋅BC=⋅AB⋅CH即×3×4=×5×CH，∴CH=2.4，∴CP+PQ≥2.4，∴PC+PQ的最小值为2.4，故选：A．8.(23-24七年级下·广东深圳·期末)ABC中，AB=ACAD⊥BCD为垂足，EF分别是ADAB上的动点．若AB=6△ABC的面积为12BE+的最小值是()A.2B.4C.68B-线．作点F关于AD的对称点MBMEMB作BN⊥AC于点NBE+≥BM，即BM最小时，BE+最小．再根据垂线段最短可知BN的长即为BM求出BN的长即可．F关于AD的对称点MBMEMB作BN⊥AC于点N，∴=EM，∴BE+=BE+EM≥BM，∴BM最小时，BE+最小．当BM⊥AC时BMBN的长，12∵S=AC⋅BN=12AB=AC=6，∴BN=2×12÷6=4，∴BE+的最小值是4．故选B．9.(23-24八年级·江苏·假期作业)△ABC中，AB=AC=10,BC=12,AD=8AD是∠的平分线．若PQ分别是AD和ACPC+PQ的最小值是．89.6--质．连接PBPQBP=CPBPQ三点共线时，PC+1212PQBQBQ⊥AC时，BQS=BC⋅AD=AC⋅BQ出BQPBPQ，∵AB=ACAD是∠的平分线，∴AD垂直平分BC，∴BP=CP，∴PC+PQ=PB+PQ≥PQ，∴当点BPQ三点共线时，PC+PQBQBQ⊥AC时，BQ最小，1212∵S=BC⋅AD=AC⋅BQ，112∴×12×8=×10BQ，2∴BQ=9.6．故答案为：9.610.(22-23八年级上·湖北武汉·期末)如图，∠AOB=20°MN分别是边OAOB上的定点，PQ分别是边OBOA∠OPM=α∠OQN=βMP+PQ+QNαβ的数量关系正确的是()A.β-α=30°DB.β+α=210°C.β-2α=30°β+α=200°M关于OB的对称点MN关于OA的对称点NMN交OA于QOB于PMP+PQ+QN∠OPM=∠OPM′=∠NPQ∠OQP=∠′=∠∠OQN=180°-20°-∠ONQ∠OPM=∠NPQ=20°+∠OQP∠OQP=∠=20°+∠ONQM关于OB的对称点MN关于OA的对称点N接MN交OA于QOB于PMP9PQ+QN最小，解:由轴对称的性质得∠OPM=∠OPM′=∠NPQ∠OQP=∠′=∠∠OQN=180°-20°-∠ONQ∠OPM=∠NPQ=20°+∠OQP∠OQP=∠=20°+∠ONQ，∴α+β=180°-20°-∠+20°+20°+∠=200°．故选：D．-(20-21八年级上·天津·期末)如图，∠AOB=25°MN分别是边OAOBPQ分别是边OBOA∠MPQ=α∠PQN=βMP+PQ+QN的值最小时，β-α的大小=_______(度)．50M关于OB的对称点MN关于OA的对称点NMNOB于点POA于点Q接MPQNMP+PQ+QN最小，此时∠OPM=∠OPM=QPN∠OQP=∠=∠出结论．M关于OB的对称点MN关于OA的对称点NMNOB于点POA于点QMP，QNMP+PQ+QNMP+PQ+QN=MN，∴∠OPM=∠OPM=QPN∠OQP=∠=∠，∵∠MPQ=α∠PQN=β，1212∴∠QPN=180°-α∠OQP=180°-β，∵∠QPN=∠AOB+∠OQP∠AOB=25°,101212∴180°-α=25°+180°-β，∴β-α=50°，故答案为：50．(等线段)转化型；11.(23-24九年级下·广西南宁·开学考试)如图，△ABC是等边三角形，AB=4．过点A作AD⊥BC于点DP是直线ADCPCP的下方作等边△CPQDQDQ的最小值为．1BQ△ACP≌△BCQ()∠CBQ=∠CAP=30°Q点在过B点且与BC成30°DQ⊥BQ时，DQDQ的值即可．Q点的运动轨迹是解题的关键．BQ，∵△ABC和△CPQ都是等边三角形，∴AC=BCPC=QC∠ACB=∠PCQ=60°，∴∠ACB-∠PCB=∠PCQ-∠PCB，即∠ACP=∠BCQ，∴△ACP≌△BCQ()，∴∠CBQ=∠CAP，∵△ABC是等边三角形，AB=4，∴BC=AB=4∠=60°，∵AD⊥BC，1212∴BD=DC=BC=2∠CAP=∠=30°，∴∠CBQ=30°，∴Q点在过B点且与BC成30°角的直线上运动．当DQ⊥BQ时，DQ最小，12此时DQ=BD=1，∴DQ的最小值为1．故答案为：1．1112.(23-24八年级下·湖北武汉·阶段练习)Rt△ABC中，∠=90°AC=6BC=10DE分别是ABBCCE=BD接AECDAE+的最小值为．234C作CN∥AB且使CN=BCENAN△CEN≌△BDCEN=DC进而可得AE+=AE+EN点之间线段最短可得：AE+EN≥ANE在AN上时，AE+EN有最小值,即AE+有最小值为ANC作CN∥AB且使CN=BCENAN，∵CN∥AB，∴∠ECN=∠ABC∠ACN=180°-∠=90°，在△CEN和△BDC中，EC=BD∠ECN=∠，CN=BC∴△CEN≌△BDC，∴EN=DC，∴AE+=AE+EN，AE+EN≥ANE在AN上时，AE+EN有最小值,即AE+有最小值为AN，∵AC=6BC=CN=10，∴Rt△ACN中，AN=AC2+CN2=62+102=234，∴AE+最小值为：234，故答案为：234．13.(2024·安徽合肥·二模)如图，△ABC和△∠=∠E=120°AB=8O是ACD在直线BCOED运动过程中，OE的最小值为()124332A.42B.3C.2DAB的中点为Q接DQQ作QH⊥BC于H△和△AOE全等得QD=OE当QD为最小时，OEQD≥QHD与点H重合时，QDQHRt△BQH中求出QH的长即可．AB的中点为QDQ点Q作QH⊥BC于H∵△ABC和△∠=∠E=120°，∴AB=ACAD=AE∠QAD+∠=∠C+∠OAE=120°，∴∠QAD=∠OAE，∵点Q是ABO是AC的中点，AB=AC，∴=AO，在△和△AOE中，=AO∠QAD=∠OAE，AD=AE∴△≌△AOE()，∴QD=OE，∴当QD为最小时，OE为最小，∵点Q为AB的中点，AB=8D在直线BC上运动，∴QD≥QH，∴当点D与点H重合时，QDQH的长，在△ABC中，AB=AC=8∠=120°，1∴∠B=∠C=(180°-∠)=30°，212在Rt△BQH中，∠B=30°BQ=AB=4，12∴QH=BQ=2，∴QD的最小值为2，即OE的最小值为2.故选：D．1314.(2023·辽宁锦州·中考真题)Rt△ABC中，∠ACB=90°∠ABC=30°AC=412AC和AB上分别截取ADAEAD=AE．②分别以点D和点E的∠内交于点M．③作射线AM交BC于点F．若点P是线段AF上的一个12CPCP+AP的最小值是．23P作PQ⊥AB于点QC作CH⊥AB于点H121212出∠=30°30°的直角三角的性质得出PQ=APCP+AP=CP+PQ≥CH12CPQAB垂直时，CP+AP最小，CP+AP最小值为CH30°的直角三角的性质和勾股定理求出ABBCP作PQ⊥AB于点QC作CH⊥AB于点H，由题意知：AF平分∠，∵∠ACB=90°∠ABC=30°，∴∠=60°，1∴∠=∠=30°，2121∴PQ=AP，∴CP+AP=CP+PQ≥CH，21212∴当CPQAB垂直时，CP+AP最小，CP+AP最小值为CH，∵∠ACB=90°∠ABC=30°AC=4，∴AB=2AC=8，∴BC=AB2-AC2=43，121∵S∴CH==AC⋅BC=AB⋅CH，24×438AC⋅BC==23，AB12即CP+AP最小值为23．14故答案为：23．-30°法求三角形的高或点的线的距离的方法．15.(2020·新疆·中考真题)△ABC中，∠A=90°,∠B=60°,AB=4D是BC2AD+DC的最小值为．12C作射线CE∠BCE=30°D作DF⊥CEFADRt△DFC中，1212∠DCF=30°DF=DC2AD+DC=2AD+DC=2(AD+DF)当ADFAF⊥CE时，AD+DFAF的长．C作射线CE∠BCE=30°D作DF⊥CEFAD在Rt△DFC中，∠DCF=30°，1∴DF=DC，212∵2AD+DC=2AD+DC=2(AD+DF)，∴当ADFAF⊥CE时，AD+DF值等于垂线段AF的长，此时，∠B=∠=60°，∴△ABD是等边三角形，∴AD=BD=AB=4，在Rt△